Marcelo Gorges
Olímpio Rudinin Vissoto Leite
MATEMÁTICA ELEMENTAR II:
situações de matemática do ensino médio no dia a dia
2009
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L55m
Leite, Olímpio Rudinin Vissoto.
Matemática elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a
dia. / Olímpio Rudinin Vissoto Leite, Marcelo Gorges. – Curitiba, PR: IESDE,
2009.
444 p.
Sequência de: Matemática elementar I
ISBN 978-85-387-0414-0
1. Matemática (Ensino médio). I. Gorges, Marcelo. II. Inteligência Educacional
e Sistemas de Ensino. III. Título.
09-3612.
CDD: 510
CDU: 51
Capa: IESDE Brasil S.A.
Imagem da capa: Júpiter Images/DPI Images
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Olímpio Rudinin Vissoto Leite
Mestre em Gestão de Negócios pela Universidade Católica de
Santos. Graduado em Licenciatura em Matemática pela USP.
Marcelo Gorges
Licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica
do Paraná.
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Sumário
Números e operações | 11
Números naturais | 11
Números inteiros | 14
Números racionais | 17
Números reais | 20
Porcentagem | 24
Fator de aumento | 26
Fator de redução | 27
Geometria e medidas | 33
Comprimento e massa | 33
Área, volume e capacidade | 37
Volume e capacidade | 42
Estimativas e arredondamentos | 46
Teorema de Tales | 51
Teorema de Pitágoras | 58
Gráficos | 65
Tipos de gráficos | 65
Introdução às funções | 83
Conceito intuitivo de função | 83
Gráfico cartesiano | 85
Domínio e imagem de uma função | 88
Uma nova notação para função | 89
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Função afim | 97
Gráfico da função afim | 97
Função linear | 98
Função identidade | 98
Função constante | 99
Coeficientes da função afim | 100
Interseção da reta com eixo x (raiz da função afim) | 101
Equações da reta | 108
Função quadrática | 115
Gráfico de uma função quadrática | 115
Domínio e imagem da função quadrática | 126
Máximo ou mínimo de uma função quadrática | 127
Tópicos complementares de funções | 135
Função definida por várias sentenças | 135
Estudo da variação das funções | 139
Valores extremos de uma função | 141
Estudo do sinal de uma função | 147
Inequação | 149
Funções exponenciais | 155
Potenciação | 155
Propriedades das potências | 156
Notação científica | 157
Função exponencial | 163
Equações exponenciais | 169
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Função logarítmica | 175
O que é logaritmo? | 175
Propriedades dos logaritmos | 178
Função logarítmica | 186
Equação logarítmica | 190
A função exponencial de base ‘e’ e de base 1 | 192
e
Logaritmo natural | 193
Introdução à trigonometria | 197
As razões trigonométricas | 197
Como calcular o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo? | 199
Seno, cosseno e tangente de um ângulo obtuso | 211
Lei dos senos | 219
Lei dos cossenos | 219
Progressão Aritmética (P.A.) | 225
Sequência numérica | 225
Progressão Aritmética (P.A.) | 228
Progressão Geométrica (P.G.) | 241
Progressão Geométrica | 241
Classificação de P.G. | 242
Sistemas lineares | 259
Matrizes | 259
Determinantes | 265
Sistemas lineares | 269
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Princípio fundamental da contagem | 279
Princípio fundamental da contagem | 279
Tipos de agrupamentos | 281
Análise combinatória | 287
Fatorial | 287
Permutação simples | 288
Permutação com repetição | 289
Arranjo simples | 292
Combinação simples | 295
Noções de probabilidade | 299
Experimentos aleatórios | 299
Probabilidade | 300
Probabilidade condicional | 306
Matemática Financeira | 313
Porcentagem | 313
Porcentagem de uma quantia | 314
Porcentagem de um número em relação a outro | 314
Aumento | 315
Desconto | 317
Juros | 320
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Geometria espacial | 327
Prismas | 327
Paralelepípedo reto-retângulo | 329
Cubo | 330
Pirâmides | 334
Cilindro | 339
Cone | 341
Esfera | 342
Estatística | 345
Notações | 345
Tipos de variáveis | 345
Medidas de tendência central | 346
Medidas de dispersão | 350
Apresentação de dados estatísticos | 353
Frequências | 354
Circunferência trigonométrica | 359
Circunferência trigonométrica | 359
Relações trigonométricas | 363
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Função afim
Olímpio Rudinin Vissoto Leite
b∈
A lei de uma função afim é dada por ƒ(x) = ax + b ou y = ax + b, com a e
(a e b são números reais).
Gráfico da função afim
O gráfico de ƒ(x) = ax + b ou y = ax + b é uma reta.
Exemplo:
Esboçar o gráfico da função ƒ(x) = 10x + 100 (ou y = 10x + 100).
Solução:
Para desenhar uma reta, basta determinar dois pontos distintos dessa reta.
Assim, se x = 0, então y = 10 . 0 + 100 = 100; se x = 3, então y = 10 . 3 + 100 = 130
y
200
100
x
y
(x, y)
0
100
(0, 100)
3
130
(3, 130)
x
0
1
2
3
4
5
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98
Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
Função linear
Se uma função afim ƒ(x) = → é definida por uma lei da forma ƒ(x) = ax + b,
com a ≠ 0 e b = 0, ou seja ƒ(x) = ax, ela é denominada função linear.
Exemplo:
f(x)
f(x)=
2
x
3
2
0
3
x
y
(x,y)
1
2
3
1, 2
3
3
2
(3, 2)
x
No gráfico anterior, por exemplo, temos a reta y = 2 x. Quando x = 1, temos
3
y = 2 e quando x = 3, temos y = 2. Observe que as variáveis x e y são proporcionais.
3
Além disso, sempre que x for zero, y também será. O gráfico de uma função linear
sempre intercepta a origem, ponto (0, 0).
Função identidade
A função afim ƒ(x) = ax + b, com a = 1 e b = 0, fica reduzida a ƒ(x) = x. A função
ƒ(x) = x é chamada de função identidade, pois a cada x ela associa um valor igual ao
de x, ou seja, o valor de y é idêntico ao do x.
O gráfico da função identidade é uma reta particular: ela é bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes do referencial cartesiano, como pode ser observado no
gráfico a seguir.
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Função afim
y
1
x
0
x
y
(x, y)
0
0
(0, 0)
1
1
(1, 1)
1
Função constante
Uma outra função pode ser obtida a partir da função afim: a função constante.
Em ƒ(x) = ax + b, fazendo a = 0, obtemos ƒ(x) = 0x + b, ou, simplesmente, ƒ(x) = b.
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x.
Exemplo:
Esboçar o gráfico da reta y = 2.
Solução:
Para qualquer valor de x, y é constante, isto é, vale sempre 2.
x
y
(x, y)
–2
2
(–2, 2)
–1
2
(–1, 2)
0
2
(0, 2)
1
2
(1, 2)
2
2
(2, 2)
3
2
(3, 2)
4
2
(4, 2)
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99
100
Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
y
2
1
x
1
4
Coeficientes da função afim
A lei da função afim, ƒ(x) = ax + b ou y = ax + b, apresenta dois coeficientes:
a e b. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular.
Coeficiente angular ou declividade (a), é a tangente da inclinação da reta,
isto é, é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x, conforme pode ser
observado na figura a seguir:
y
y
α
x
α
a = tg α
a = tg α
(α agudo, tg α > 0)
(α obtuso, tg α < 0)
x
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Função afim
O coeficiente b é chamado de coeficiente linear.
Fazendo x = 0 em y = ax + b, obtemos y = b. Isso significa que o coeficiente
linear representa a ordenada do ponto P(0, b), interseção da reta com o eixo y.
Exemplo:
A partir da reta da equação y = 2x + 3, determine os significados dos coeficientes linear e angular.
Solução:
y
3
2
α
1
x
y
0
3
1
5
x
A partir da fórmula da função, percebemos que o coeficiente linear é 3. No
gráfico, notamos que a reta intercepta o eixo y no ponto P(0, 3), ou seja, o coeficiente
linear representa a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y.
O coeficiente angular é 2. Sendo assim, a tangente do ângulo a que a reta forma com o eixo x, vale 2. Utilizando uma calculadora científica, podemos determinar
que a medida do ângulo a, que a reta forma com o eixo x, é aproximadamente 63º.
Interseção da reta
com eixo x (raiz da função afim)
Todos os pontos do eixo x têm como ordenada com valor 0 (zero). Sendo assim, para descobrir o ponto de intersecção de uma reta de equação y = ax + b (a ≠ 0)
com eixo x, basta fazer y = 0 e calcular o valor de x correspondente.
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101
102
Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
Assim temos:
y
x
b
– a
y = ax + b
0 = ax + b
x=– b
a
O valor – b é chamado de raiz ou zero da função.
a
Portanto, a intersecção de uma reta de equação y = ax + b (a ≠ 0) com eixo x
é o ponto P (– b , 0). Também podemos pensar que raiz de uma função é o valor de
a
x que torna a função nula, ou seja, y igual a zero.
Exemplo:
Determinar a raiz da função y = 2x + 5 e o ponto de interseção com o eixo x,
da reta que a representa.
Solução:
Fazendo y = 0 em y = 2x + 5, obtemos 0 = 2x + 5. Logo, x = – 5 = –2,5.
2
Assim, a raiz da função y = 2x + 5 é x = –2,5, e o ponto de interseção da reta
com o eixo x é P(– 5 , 0). Perceba que para x = –2,5 temos y = 0.
2
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Função afim
Exercícios
1.
Em cada item, esboce o gráfico da função, dê o coeficiente angular e o coeficiente linear, explicando o significado de cada um.
a) y = 2x + 4
b) ƒ(x) = –x + 3
2.
Considere a função ƒ(x) = –2x + 5.
a) Esboce o gráfico da função.
b) Dê os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados.
c) Qual é a raiz dessa função?
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103
104
Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
3.
Calcule a área do triângulo colorido, sendo y = –2x + 6:
y
x
0
4.
Em cada um dos itens a seguir, a partir dos gráficos, dê o sinal (positivo ou
negativo) do coeficiente angular (a) e do coeficiente linear (b) da função correspondente.
a)
y
x
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Função afim
b)
y
x
c)
y
x
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105
106
Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
d)
y
x
5.
Em uma loja de Miami, o salário mensal fixo de um vendedor é de 100 dólares. Além disso, ele ganha 2 dólares por unidade vendida. Expresse o ganho
mensal y desse vendedor em função do número x de unidades vendidas.
Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de 800 dólares?
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Função afim
6.
Um botijão de cozinha contém 13kg de gás. Em média, é consumido, por
dia, 0,5kg.
a) Expresse a massa m de gás no botijão, em função de t (dias de consumo).
b) Esboce o gráfico dessa função.
c) Depois de quantos dias a massa de gás no botijão será de 6,5kg?
d) Depois de quantos dias o botijão estará vazio?
7.
Um capital de R$500.000,00 é investido a juros simples de 1% ao mês, isto
é, vai render mensalmente 1% de R$500.000,00. Expresse o montante M
(capital + juros) em função do tempo de aplicação n (em meses). Qual o
valor do montante após três meses de investimento?
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107
108
Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
Equações da reta
1.° caso: reta não vertical
Exemplo:
Determinar a reta que passa pelos pontos A (2, 1) e B (3, 4).
Solução:
y
P
B
4
β
3
2
α
A
1
x
0
1
2
3
4
Considerar um ponto P(x, y) que se movimenta sobre a reta AB. Ao percorrê-la, a abscissa e a ordenada de P variam. Mas a = b. Logo, tga = tgb.
Assim, tga = 4 – 1 e tgb = y – 4 . Daí, 3 = y – 4 , ou ainda, y = 3x – 5, que é a
3–2
x–3
x–3
equação da reta AB.
Repetindo esse procedimento para dois pontos quaisquer, A e B, de uma reta
não vertical, obtém-se sempre uma equação do tipo y = ax + b. Reciprocamente,
prova-se que qualquer equação do tipo y = ax + b, com a e b números reais, representa sempre uma reta.
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Função afim
Observação:
Toda equação é uma condição. Assim, a equação y = ax + b é a condição para
que um ponto P (x, y) pertença à reta que essa equação representa.
2.° caso: reta vertical
Exemplo:
Obter a equação da reta que passa pelos pontos A (4, 2) e B (4, 5).
Solução:
Inicialmente, vamos construir o gráfico da reta que passa pelos pontos A e B.
y
5
B
4
3
2
A
1
x
0
1
2
3
4
Considere um ponto P(x, y) que se movimenta sobre essa reta. Ao percorrê-la,
apenas a ordenada de P varia. A abscissa é sempre constante e igual a 4. Essa é a
principal característica da reta vertical: seus pontos têm sempre a mesma abscissa.
A condição x = 4 é a equação da reta vertical que passa pelos pontos A (4, 2)
e B (4, 5). Repetindo esse procedimento para dois pontos, a (k, y1) e b (k, y2), concluímos que a equação da reta vertical AB é sempre do tipo x = k.
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109
110
Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
Exemplo:
Obter a equação da reta determinada pelos pontos A (2, 3) e B(3, 5).
Solução:
P(x,y)
y
B(3,5)
5
A(2,3)
3
2
tga = 5 – 3 3–2
tga = 2 1
3
x
tg = y – 5
x–3
tg = y – 5
x–3
tga = 2
Como tga = tgb, temos:
2 = y – 5 , então: y = 2x – 1, que representa a equação da reta que passa pelos
x–3
pontos A(2, 3) e B(3, 5).
A equação da reta que passa pelos pontos A(2, 3) e B(3, 5), pode ser obtida de
outra maneira, vejamos:
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Função afim
y
B(3,5)
5
3
A(2,3)
x
2
3
A equação de uma reta é y = ax + b. Temos: tga = a, onde a é a inclinação
da reta. Do gráfico anterior, obtemos tga = 2. Logo, a = 2. Assim, já encontramos
y = 2x + b.
Como a reta passa pelo ponto A (2, 3), substituindo x = 2 e y = 3 nessa equação, obtemos o valor de b:
3=2.2+b
Daí, b = –1. Assim, a equação procurada é y = 2x –1.
Exercícios
8.
Desenhe o gráfico cartesiano da reta que passa pelos pontos A (2, 2) e B (3, 3).
Em seguida, determine a equação dessa reta.
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111
112
Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
9.
Determine a equação da reta que passa pelos pontos O (0, 0) e L (2, 2) e esboce o gráfico cartesiano dessa reta.
10.
Considere a reta de equação y = x + 2. Atribua a x os valores 2 e 4, e use os dois
pontos obtidos para esboçar o gráfico cartesiano dessa reta.
11.
Determine os pontos da reta de equação y = 2x + 4 que pertencem aos eixos
coordenados. Esboce o gráfico dessa reta.
12.
Esboce o gráfico cartesiano das retas de equações:
a) y = 2x + 4
b) y = –x + 2
c) y = 5
d) x = –2
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Função afim
13.
Sendo tg 0,8, determine a equação da reta r, que passa pelo ponto P (0, 2) e
forma um ângulo de medida a com o sentido positivo do eixo x.
14.
Sabendo que tg –0,8, determine a equação da reta s, que passa pelo ponto
Q (0, 0) e forma um ângulo de medida a com o sentido positivo do eixo x.
15.
Qual é o coeficiente angular da reta de equação x + y = 10?
16.
Determine as leis das funções afim, representadas graficamente a seguir:
a)
y
B
3
2
α
1
A
x
1
2
3
4
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113
114
Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
b)
y
2
B
1
1
2
3
α
A
x
17.
O valor da bandeirada de um táxi é de R$3,00 e do quilômetro rodado é de
R$1,50. Seja y o valor a ser pago para percorrer x quilômetros, considerando
quilômetros rodados mais bandeirada. Dê a expressão de y em função de x
e desenhe, num referencial cartesiano, a reta associada à equação que você
achou. Quanto um passageiro deverá pagar se “rodar” 10km?
18.
Um tanque continha 15.000 de petróleo. Uma válvula aberta escoa 10 /min.
Sejam V o volume de petróleo e t os minutos que a válvula vai ficar aberta. Dê
a expressão de V em função de t e desenhe, num referencial cartesiano, a reta
associada à equação que você achou. Em quanto tempo o tanque ficará vazio
(V = 0)?
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Gabarito
Gabarito
Função afim
2.
y
c)
5
1.
a)
4
y
3
4
2
3
1
2
x
0
1
1
2
5
2
3
x
–2
–1
0
1
d) (0, 5) e 5 , 0
2
coeficiente angular = tg α = 2
coeficiente linear = 4 ( a reta intercepta
o eixo y no ponto (0, 4))
e) x =
3.
b)
y
A = 9 unidades de área.
4.
3
a) a > 0 e b > 0
2
b) a < 0 e b > 0
c) a > 0 e b < 0
1
α
0
5
= 2,5
2
1
2
x
d) a < 0 e b < 0
3
5.
y = 100 + 2x
800 = 100 + 2x
coeficiente angular = tg α = –1
coeficiente linear = 3 ( a reta intercepta
o eixo y no ponto (0, 3))
x = 350
Logo, deve vender x = 350 unidades
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Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
8.
6.
y
a) m = 13 – 0,5t
b)
m(kg)
y
13
t(dias)
1
x
26
1
0
c) 13 – 0,5t = 6,5
7.
t = 26 dias
M = 500 000 (1 + 0,01 . n)
M = 500 000 + 5 000n
pós 3 meses, o valor do investimenA
to é de:
M = 500 000 + 5 000 . n
3
x
9.
y
Valor do montante em função do
tempo de aplicação:
M = C (1 + i . n)
2
tg β = tg α
y–3 3–2
=
⇒y=x
x–3 3–2
t = 13 dias
d) 13 – 0,5t = 0
α
A
2
0
β
B
3
L
2
y=x
1
x
0
1
2
M = 500 000 + 5 000 . 3
M = 515 000
ssim, o montante ao final de 3 meA
ses é de R$515.000,00.
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Gabarito
10.
12.
Para x = 2 temos y = 4
Para x = 4 temos y = 6
a)
y
y
4
6
5
3
4
2
3
2
1
1
α
x
0
1
2
3
4
5
–1
–2
x
0
1
b)
11.
y
y
6
3
2
4
1
x
0
2
α
–2
–1
1
2
3
x
0
1
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Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
c)
14.
y = –0,8 . x
15.
y = –x + 10, logo, o coeficiente angular dessa reta é –1.
y
5
4
16.
3
2
17.
x
–1
y = 1,5x + 3
Sendo x = 10, temos:
1
–2
x
+1
2
2
b) y = – x + 2
3
a) y =
0
1
y = 1,5 . 10 + 3
y = 15 + 3
y = 18
Assim, o passageiro pagará R$18,00.
d)
y
y
5
3
4,5
4
2
3
1
x
–2
–1
0
1
2
1
x
13.
y = 0,8 . x + 2
0
1
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Gabarito
18.
V = 15 000 – 10t. Sendo V = 0, tem-se t = 1 500, isto é, o tanque ficará vazio em 1 500
minutos, ou seja, em 25 horas.
V (litros)
1600
1500
1400
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
t(minutos)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24 25 26
28
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