SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
Ministério da Educação
Universidade Federal do Rio Grande
Universidade Aberta do Brasil
Administração – Bacharelado
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
Rodrigo Barbosa Soares
Curso de Administração
2
5. Funções – Parte1:
5.1. Introdução:
Muitas vezes, deparamo-nos com situações que envolvem uma relação entre
grandezas. Assim, o tempo de viagem entre duas cidades depende da velocidade
média desenvolvida no trajeto; o preço de um produto depende da sua demanda e
oferta; a temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição
diminui quando a altitude aumenta) e o rendimento anual de suas economias
depende da taxa de juros oferecida pelo banco.
Na própria Matemática, abundam exemplos de grandezas que dependem de
outras, como a área de um círculo de raio r, que é dada por A=π r2. Então, dizemos
que a área de um círculo depende do raio e em cada caso, o valor de uma variável
depende do valor da outra. O ponto de ebulição da água, e, depende da altitude, a;
os juros, j, dependem da taxa de juros, t. Dizemos que “e” e “j” são variáveis
dependentes, porque são determinadas pelos valores das variáveis “a” e “t” que
são as variáveis independentes.
Podemos utilizar tabelas, gráficos e linguagem matemática por meio de
fórmulas, para representar as relações de dependência entre duas ou mais
grandezas. E dentro do universo das relações entre grandezas, as funções são as
melhores ferramentas para descrever o mundo real, em termos matemáticos.
Uma regra ou relação que associa a cada elemento de um conjunto em um
único elemento de outro conjunto é chamada de função. Uma função é uma
máquina que associa um único produto (f(x)) a cada matéria-prima (x) disponível. A
matéria-prima forma o domínio da função e os produtos formam a imagem.
A
1
B
2
C
3
Matéria-prima
(x) domínio
Produto (f(x))
imagem
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
3
5.2. Definições:
5.2.1.
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano
(indica-se por A x B) o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y) do plano
cartesiano, nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a
B .
5.2.2.
Relação
Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação de A em B a qualquer
subconjunto de A x B.
5.2.3.
Função real de uma variável real
Uma relação f de A em B é uma função se, e somente se:
•Todo elemento x pertencente a A tem um correspondente y
pertencente a B definido pela relação , chamado de imagem de x.
•A cada x pertencente a A não podem corresponder dois ou mais
elementos de B por meio de f, ou seja, a cada elemento do conjunto A está
associado um e apenas um elemento do conjunto B .
(lê-se: função de A em B)
Domínio da função ou campo de definição da função é o conjunto A , de todos
os valores dados para a variável independente
x.
Curso de Administração
O conjunto
B
4
é denominado contradomínio da função. É no contradomínio que
estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento
x tem um correspondente y no contradomínio. O conjunto de
todos os valores de
y correspondentes aos valores de x é chamado de
Imagem da função.
Exemplo 1:
Seja a função dada pela sentença
f ( x )=2x . O domínio da função são todos
os valores possíveis de x, que tornam a sentença verdadeira. No caso, o domínio é
o conjunto dos números reais,
ℜ , ou o intervalo (−∞ ,+ ∞) . O gráfico da função,
já sabemos, é uma reta que passa pela origem e tem coeficiente angular 2 e linear
0. A imagem da função é o conjunto ℜ . Assim:
f (1 )=2, f ( 2)=4 são os valores da função quando x=1, x=2 que formam
os pares ordenados
( 1,2) ;(2,4 ) . O gráfico da função definida pela sentença
f ( x )=2x é formado por todos os pontos que pertencem à reta da figura abaixo.
y
f (x) = 2x
x
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
Exemplo 2:
Dado
o
conjunto
5
A= { 1,2,3,4,5,6 }
e
B= { 1,3,5,7,9, 11 ,13 , 15 } ,
determine o domínio, o contradomínio e a imagem da função
Como o domínio da função é o conjunto
B , CD f =B
,
f ( x )=2x+ 1 . e o
A , Df =A e o contradomínio é o conjunto
construindo uma tabela de valores temos que a imagem da função é
I m={ 3,5,7,9 ,11 , 13 } . O diagrama da relação y=f ( x )=2x +1 é mostrado abaixo:
Para cada valor da variável
independente
x∈ A , temos um
único valor correspondente para a
variável dependente y ∈B .
1
2
3
4
5
6
1
31
73
95
7
11
9
13
11
13
15
Para identificar graficamente se uma
relação é ou não uma função, traçam-se
retas paralelas ao eixo y. Se a reta intercepta (corta) o gráfico em mais de um
ponto, não é função. Na função para cada x do domínio, deve existir em
correspondência um único y no contradomínio. Graficamente, o domínio de uma
função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas (eixo x), e a
imagem pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y).
Por exemplo: o gráfico ao lado não representa uma função, pois, para
cada x, temos dois y (y1 e y2).
Já os gráficos abaixo representam funções, pois traçando retas
paralelas ao eixo y, interceptam o gráfico da função uma única vez.
Então, verificamos que para cada x obtemos um único y.
Curso de Administração
6
Exemplo 3:
Construir no plano cartesiano o gráfico da função
{
f : ℜ→ℜ
definida por
}
f ( x )= x,se x≥2 .
2, se x< 2
Nesse caso, temos uma função definida por duas sentenças. Para a
construção do gráfico, vamos observar as tabelas:
x
F(x)=x
(x,y)
2
2
(2,2)
3
3
(3,3)
4
x
4
f(x)=2
(4,4)
(x,y)
1
2
(1,2)
0
2
(0,2)
-1
2
(-1,2)
y
x
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
7
Exemplo 4:
Dada a função
f ( x )=7x−3 , com D= ℜ , obtenha:
a)
f (2) , assim f (2)=7 (2)−3=11
b)
f (−1 ) , assim f (−1 )=7(−1)−3=−10
c)
f (x 0 +h ) , assim f (x 0 +h )=7( x 0 +h )−3=7x 0 + 7h−3
d)
f (x 0 +h )−f ( x 0 ) , assim
f ( x 0 +h )−f ( x 0 )=(7 ( x 0 +h )−3 )−(7x 0 −3 )=7x 0 +7h−3−7x0 +3=7h .
Exemplo 5:
Uma livraria vende uma revista por R$ 15,00 a unidade. Seja x a quantidade
vendida.
a) Obtenha a função receita R(x). b) Calcule R(40). c) Qual a quantidade que deve
ser vendida para dar uma receita igual a R$ 750,00?
a) R(x)=15x
b) R(40)=15(40)=600 a receita é de R$ 600,00 quando são vendidas 40 revistas.
c) 750=15x x= 750/15 = 50 revistas devem ser vendidas para que a receita seja
de R$ 750,00.
Exemplo 6:
O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função
C( x )=100+2x . a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades? b) Qual o custo de
fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricadas nove unidades?
a)
C( 10 )=100+2( 10 )=120
b)
C( 9)=100+ 2(9)=118
,
o custo de fabricação da décima unidade, depois de
nove unidades já terem sido fabricadas, é dado por
reais.
C( 10 )−C ( 9 )=120−118=2
Curso de Administração
8
Exemplo 7:
Em determinado país, o imposto de renda é igual a 10% da renda, para
rendas até R$ 900,00. Para rendas acima de R$ 900,00, o imposto de renda é igual
a R$ 90,00 (10% de R$ 900,00) mais 20% da parte da renda que excede R$ 900,00.
a) Qual o imposto de renda para uma renda de R$ 600,00? b) Qual o imposto de
renda para uma renda de R$ 1200,00? c) Chamando de x a renda e de y o imposto
de renda, obtenha a expressão de y em função de x.
Solução: Primeiramente, vamos resolver a letra C para obtermos a expressão
matemática do imposto como função da renda. Observe que
a) f(600)=0,1(600)=60,00 reais.
b) f(1200)=90+0,2(1200-900)=90+0,2(300)=90+60=150 reais.
Algumas vezes, o domínio da função não é mencionado. Convenciona-se que
ele seja formado por todos os valores reais de x para os quais exista a imagem y.
Dessa forma, não fará parte do domínio da função:
a)
O valor de x que torna o denominador igual a zero, por exemplo: se
f ( x )=
x+ 1
D= ℜ− {5 } ;
x −5 , x=5 não faz parte do domínio da função, o
b) o valor de x que torna o radicando de uma raiz quadrada negativo, por
exemplo: se f (x )=√ x+3 , assim
valores de
x+3≥0 e x≥−3 , o domínio de f são todos os
x≥−3 , ou seja, D= { x∈ ℜ/x≥3 }
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
9
5.3. Função Par e Função Ímpar:
Uma função
y=f ( x ) é uma Função par de x se f (−x )=f ( x ) , e uma
Função ímpar de x se
f (−x )=−f ( x ) , para qualquer x que pertença ao domínio
da função.
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Uma vez que
f (−x )=f ( x ) , um ponto ( x,y )
estará no gráfico se, e somente se, o ponto
(−x,y ) estiver no gráfico (figura A). O gráfico de uma função ímpar é simétrico em
relação à origem.
Uma vez que
gráfico se, e somente se, o ponto
f (−x )=−f ( x ) , um ponto ( x,y ) estará no
(−x,− y ) estiver no gráfico (figura B). De
maneira equivalente, um gráfico é simétrico em relação à origem se uma rotação
de 180º, em relação à origem, não alterar o gráfico.
Figura A
Figura B
Por exemplo: Sendo f ( x )=y=x 2 para
logo,
x=2→ y= 4 e para x=−2→ y= 4 ,
3
y=x 2 é uma função par. Sendo f (x )=y=x , para x=2→ y= 8 e para
x=−2→ y=−8 , logo, y=x 3 é uma função ímpar.
Os nomes par e ímpar vêm das potências de x. Se y é uma potência par de
x, como
2
2
y=x 2 , então, é uma função par de x (pois (−x ) =x ). Se y é uma
potência ímpar de x, como
(−x )3=−x 3 ).
y=x 3 ou y=x , então, é uma função ímpar de x (pois
Curso de Administração
1
5.4. Função Crescente e Função Decrescente:
Uma função
quaisquer
x1
e
y=f ( x ) é crescente num conjunto A se, e somente se, para
x2
x 1 < x 2 , tivermos
pertencentes ao conjunto A, com
f ( x 1 )<f ( x 2 ) . Ou seja, à medida que x cresce, a imagem y também crescerá.
Analogamente, uma função é decrescente num conjunto A se, e somente se, para
quaisquer
x 1 e x 2 pertencentes ao conjunto A, x 1 < x 2 , tivermos f (x 1 )>f ( x 2 ) .
Assim, uma função é decrescente se à medida que aumenta o valor de x, as
imagens correspondentes vão diminuindo.
Exemplo 8:
Seja a função real dada por
y
aumenta
f ( x )=2x+ 1 . Para analisar se essa
y
3
função é crescente ou não, atribuímos
alguns valores a x e substituímos na
fórmula
dada,
obtendo
suas
-2
-1
respectivas imagens. À medida que x
1
aumenta, a imagem y aumenta, então,
x
a função é crescente.
x=−2 ⇒ f (−2 )=2(−2)+1=−3
x=−1⇒ f (−1 )=2(−1)+1=−1
x=0 ⇒ f ( 0 )=2( 0 )+1=1
x=1 ⇒ f ( 1)=2(1 )+1=3
X
aumenta
Exemplo 9:
Vamos estudar o comportamento da função
g( x )=−x 2 +9 , para x≥0 ,
quanto ao crescimento e decrescimento.
x=0 ⇒ f ( 0 )=−( 0 )2 + 9=9
x=1 ⇒ f ( 1)=−(1 )2 +9=8
Atribuindo valores para x, obtemos:
x=2 ⇒ f ( 2)=−( 2)2 + 9=7
x=3 ⇒ f ( 3 )=−( 3 )2 +9=0
À medida que x cresce, a imagem y decresce, então, a função é decrescente para
x≥0 .
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
1
5.6. Função Composta e Função Inversa:
5.6.1. Função Composta:
Uma fábrica que produz cartuchos para impressoras calcula o seu lucro por
meio da equação
L=0,2 P , onde L é o lucro e P o preço de venda desse cartucho
para o comércio.
Por sua vez, o preço de venda é calculado, fazendo-se
P= 20+2M , onde M é o valor gasto com matéria-prima para a fabricação desse
cartucho. Vemos que o lucro é dado em função do preço, e este, em função do
gasto em matéria-prima M.
Então,
L=0,2 P
P=20+2M
()
L= 0,2(20+2M )=4+0,4 M
A função H(M) chama-se função composta de L com P, que é indicada por
H ( M )=f ∘ g=f ( g (M )) .
Exemplo 10:
Sendo dados f (x )=x 2 +2 e
g( x )=3x , calcular g(f (x )) e f (g ( x )) .
Solução:
2
2
g( f (x )) =g∘ f=3 ( x +2)=3x + 6 , no lugar do x da função g colocamos a função f.
2
2
f ( g (x )) =f ∘ g=( 3x ) +2=9x +2 , no lugar do x da função f colocamos a função g.
5.6.2. Função Inversa:
Primeiramente, vamos definir uma função injetora: Uma função f(x) é
injetora no domínio D se f(a)≠f(b) sempre que a≠b. O gráfico de uma função injetora
y=f(x) só pode cruzar cada reta horizontal no máximo uma vez. Se isso ocorre mais
de uma vez, então, ela assume o mesmo valor de y mais de uma vez, portanto, não
é injetora.
Curso de Administração
1
Uma função injetora pode ser invertida. A função definida pela inversão de uma
função injetora f é a inversa de f , que é indicada por f
-1
(f
-1
(x)) não significa
1/f(x)).
Uma maneira de constatar se f e g são inversas é compor as funções f°g e
g°f. Se
f (g ( x )) =x e g( f ( x ))=x , então, f e g são inversas uma da outra; caso
contrário não são.
Teste: As funções
se,
f ( x ) e g( x ) são inversas uma da outra se, e somente
f ( g (x )) =x e g( f ( x )) =x . Neste caso, g=f −1 e f=g−1 .
Compor uma função com sua inversa (em qualquer sentido) devolve cada
ponto da imagem ao ponto do domínio onde se originou. O resultado de compor
uma função com sua inversa, em qualquer sentido, é a função identidade (que
veremos a seguir).
Determinando a função inversa:
Exemplo 11:
Determine a inversa da função
1
y= x+ 1 , expressando-a em função de x.
2
Solução:
Passo 1: Determine x em função de y.
1
y= x+ 1⇒ 2y =x+2
2
x=2y−2
Passo 2: Troque x por y na equação
Ficando
x=2y−2
,
1
y=2x−2 , a função inversa de f ( x )= x+1 é a função f −1 ( x )=2x−2
2
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
1
Conferindo:
f −1 (f ( x ) )=2
f (f
−1
y = 2x − 2
y
( 12 x+ 1)−2=x+2−2=x
y=
1
( x ) )= ( 2x+−2 ) +1 =x−1+ 1=x
2
Exemplo 12:
1
x +1
2
1
-2
x
-2
Determine a função inversa de
cada função dada:
a) y=x−3 solução:
y=
b)
3x−2
3
( x≠ )
4x−3
4
x=y+3 ⇒trocando x por y ⇒ y=x+3 =f
solução:
colocando x em evidência
y=
c)
(x)
3x−2
⇒isolando y , vem 4 xy −3y=3x−2
4x−3
x ( 4y−3 )=3y−2 ⇒ x=
3y−2
, trocando x por y
4y−3
3x−2
−1
, neste caso f ( x )=f ( x ) .
4x−3
f (x )=
2x−1
2x−1
( x≠3 ) solução: y=
⇒isolando y , vem xy−3y=2x−1
x−3
x−3
colocando x em evidência
y=
y=
−1
x ( y−2)=3y−1⇒ x=
3y−1
, trocando x por y
y−2
3x−1
3x−1
(x ≠2) , neste caso f −1 ( x )=
( x≠2 ) .
x−2
x−2
5.7. Função Polinomial do 1° grau:
Função polinomial do 1º grau é aquela cuja fórmula matemática é expressa
por um polinômio do 1º grau.
5.7.1. Definição:
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim,
função f
de ℜ dada por uma lei da forma
qualquer
f (x )=ax+b , onde a e b são números
reais dados e, a≠0. Como vimos anteriormente, na unidade 4 (geometria analítica),
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1
o gráfico da função do 1º grau é uma reta. Na sentença
y=ax+b , a é o coeficiente
angular da reta e b o coeficiente linear.
No caso de a = 0, a sentença
y=k é chamada de função constante. O
gráfico dessa função é uma reta horizontal que passa pelo ponto de ordenada k,
(0,k).
Quando b = 0, a sentença
y=ax
recebe o nome
y
especial de função linear.
Se ainda a = 1, a função
y=x recebe o nome de
função identidade. O gráfico é uma reta que divide o primeiro
x
e o terceiro quadrante em duas partes iguais.
5.7.2. Determinação da função conhecendo o gráfico:
Exemplo 13:
Determine a lei de formação da função f, cujo
gráfico cartesiano é representado ao lado:
Solução: Os pontos de intersecção com os eixos
coordenados são (1/3,0) e (0,-1). Vamos ver todas as
maneiras possíveis de determinar a reta do gráfico ao
lado, que passa pelos dois pontos.
1°) A função, representada pela reta que passa por
dois pontos, pode ser obtida resolvendo o determinante
x
y
∣1/3 0
0 −1
1
1∣=0
1
(condição de alinhamento),
2°) Ou, determinando o coeficiente angular
a=m=
y 2 − y 1 Δy −1−0
= =
=3
x2 −x 1 Δx 0−1/3
e
calculando a reta que tem coeficiente angular igual a 3 e passa pelo ponto (0,-1)
y− y 1 =a( x−x 1 )
,
y−(−1 )=3( x−0) ⇒ y= 3x−1
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1
y− y 2 =a( x−x 2 )
3º) Ou a reta que passa por (1/3,0) e tem coeficiente angular 3 y−0=3( x−1 /3 ) ,
⇒ y= 3x−1
4º) Ou, sabendo que a equação segmentária da reta é dada por
conhecendo
os
pontos
(0.-1)=(0,q)
e
(1/3,0)=(p,0),
a
y x
+ =1 e
q p
equação
fica
y
x
+
=1 ⇒− y+3x=1
−1 1 /3
,
⇒ y= 3x−1
5º) Ou, substituindo os pontos conhecidos na equação y=ax+b :
( 0,−1 )⇒−1 =a(0 )+b
1
( 1/3,0) ⇒0 =a
+b então, resolvendo o sistema linear determinamos a e b:
3
()
{ }
b=−1
⇒ b=−1 e a=3
a
+b= 0
3
Exemplo 14:
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A (1,2) e B(2,3);
Sendo
f (x )=ax+b , então, substituindo os pontos A e B na equação, obtemos
2=a(1 )+b
3 =a(2) +b
, que corresponde ao sistema linear
{2aa+b=2
+b= 3 }
. Multiplicando a
primeira equação do sistema por (-1) e somando com a segunda, obtemos:
a=1 e b=1 , logo, a função que é representada pela reta que passa pelos pontos A
e B é
y=x+1 ou f ( x )=x+1 .
5.7.3. Zero da função do 1° grau:
O zero ou raiz da função do 1º grau é o ponto onde a reta intercepta o eixo
das abscissas (eixo x), ou seja, é o ponto de ordenada nula (y=0). Sendo
f ( x )=ax+b e y=f ( x )=0 determinamos o zero ou a raiz da equação do 1º grau:
ax+b=0 ⇒ x=−
b
.
a
Curso de Administração
1
5.7.4. Estudo do sinal de uma função do 1° grau:
f ( x )=ax+b
Zero da função: ax+b=0 ⇒ x=−
+
_
+
X=-b/a
X=-b/a
f (x) < 0 f (x) > 0
x=−
b
a
-
f (x) > 0 f (x) < 0
b
a
x=−
b
a
b
f ( x) > 0 ⇒ x > −
a
b
f ( x) < 0 ⇒ x < −
a
b
a
b
a
b
f ( x) > 0 ⇒ x < −
a
b
f ( x) < 0 ⇒ x > −
a
f ( x) = 0 ⇒ x = −
f ( x) = 0 ⇒ x = −
Exemplo 15:
Após o pagamento de todos os custos na importação de um produto, uma empresa
calcula o faturamento que terá com ele, usando a lei
f (x )=8x−640
, em que
f (x )
é o
faturamento líquido de x unidades vendidas. Qual a quantidade mínima que essa empresa
terá de vender para obter lucro?
Solução: o zero da função é dado por
8x=640
,
x=80
. Assim, podemos fazer o seguinte
esboço, sabendo que a função é crescente (a>0):
Fazendo o estudo do sinal temos:
+
_
80
f (x )=0 ⇒ x= 80
f (x )> 0⇒ x>80
f (x )< 0⇒ x<80
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1
A quantidade mínima que a empresa deve vender para ter lucro é x= 81
unidades.
5.8. Função Custo, Receita e Lucro do 1° grau:
5.8.1. Função Custo:
A função Custo descreve o custo de produção de determinado bem e varia
em função da quantidade produzida (x) desse bem.
No custo de produção, existem duas parcelas, a saber: uma fixa, chamada de
custo fixo, que não depende da quantidade produzida e outra variável,
chamada de custo variável, que depende da quantidade produzida.
O custo fixo corresponde a gastos fixos que não dependem da quantidade
produzida, tais como a instalação ou manutenção do prédio, aluguel, seguro e
outros. Ele pode ser considerado como uma função Constante (Função Custo
Fixo), e seu gráfico é paralelo ao eixo horizontal.
Cf
Quantidade (x)
O custo variável é função da quantidade produzida. Os gastos de produção
crescem à medida que a produção cresce, caracterizando assim uma função
crescente. Quando nada se produz, não há gasto de produção, portanto,
seu gráfico inicia na origem.
Curso de Administração
1
Cv = cx
Quantidade
(x)
A função Custo Total, em qualquer
C(x)
nível de produção, é a soma das
funções
Custo
Fixo
Variável, ou seja, C( x)
Normalmente,
e
Custo
= Cf + Cv .
o
x
custo
C(x) = Cf + Cv
variável é igual a uma constante
multiplicada pela quantidade q ou
x. Assim, sendo c o custo variável
unitário
de
produção
Quantidade (x)
de
determinado bem e q ou x a
quantidade produzida, o custo variável é
dado por C v =cx ou C v =cq .
Dessa
( C (x ) )
forma,
o
custo
total
C
Cv
é dado, então, pela equação
C( x )=C f +cx , onde c é o custo
variável unitário de produção do bem e
Cf é o custo fixo. Nesse caso, o custo
Cf
total é uma função do 1º grau da
quantidade produzida, cujo gráfico é
uma reta crescente, com coeficiente
angular positivo dado por c e coeficiente
linear dado pelo custo fixo.
Quantidade (x)
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
1
Por exemplo, o custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$
1.000,00, e o custo variável por unidade de produção é R$ 5,00. Então, a função
custo total é dada por
C( x )=1000+5x
5.8.2. Função Receita:
A função receita descreve o total bruto recebido pela venda de uma quantidade
variável (x) de um produto. Ou seja, chamamos de receita ao produto de x, pelo
preço de venda, e a indicamos por R. Se o preço P do produto for fixo, qualquer
que seja a quantidade vendida x ou q, a receita pode ser determinada,
multiplicando-se o preço unitário fixo P pela quantidade x ou q.
É uma função crescente as taxas constantes e seu gráfico é uma semirreta,
passando pela origem (trata-se de uma função do 1º grau com coeficiente linear
igual a zero). Por exemplo: Um produto é vendido a R$ 30,00 a unidade, a função
receita é, então, dada por
R( x )=30 x .
R(x)
Quantidade
Quantidade(x)
(x)
5.8.3. Função Lucro:
O lucro, L, é obtido como a diferença entre a função receita, R,
e a função custo, C. Assim, a função Lucro Total, ou simplesmente função
Lucro é expressa pela diferença entre as a funções
L( x )=R( x )−C (x ) .
Curso de Administração
2
Se colocarmos o gráfico da função Receita com o gráfico da função Custo,
num mesmo sistema de eixo, teremos a figura ao lado. As retas interceptam-se
num ponto N. Nesse ponto, a receita e o custo são iguais e consequentemente o
Lucro é zero. A abscissa desse ponto é chamada de ponto de nivelamento ou ponto
crítico.
Se:
R(x)
Lucro
C(x)
N
prejuízo
x
xc
x>x c , então, R( x )>C ( x ) e, portanto, L( x )>0 (Lucro positivo).
x<x c , então,
R( x )<C ( x )
e, portanto,
L( x )<0
(Lucro negativo é
PREJUÍZO).
x=x c , então, R( x )=C ( x ) e, portanto, não há lucro L( x )=0 .
Exemplo 16:
Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico) e esboce o gráfico da
função receita,
1
R( x )= x , e custo,
2
1
C( x )=20+ x . Obtenha a função lucro e
4
faça o estudo do sinal.
Solução: O ponto de nivelamento ocorre quando a receita é igual ao custo:
1
1
x=20+ x ,
2
4
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
1
1
x− x=20 ,
2
4
Então,
2
tirando
o
m.m.c.(2,4)=4,
2x−x
=20 ⇒ x= 80 ⇒( 80 , 40) .
4
A
função
Lucro
é
dada
por
L( x )=R( x )−C ( x ) ,
então,
1
1
L( x )= x−(20+ x )
2
4
1
1
2x−80−x x−80 x
L( x )= x−( 20+ x )=
=
= −20 .
2
4
4
4
4
Analisando o gráfico abaixo, verificamos que: O lucro é positivo para valores
de x maiores do que 80, é negativo (prejuízo) para valores de x menores que 80 e é
zero para x igual a 80.
R
4
0
N
C
L
80
Curso de Administração
2
5.9. Função Demanda e Oferta do 1° grau:
Oferta e Demanda são as forças que movimentam
as economias de mercado. Mercado designa um
grupo de compradores e de vendedores de um dado
bem ou serviço.
Oferta e Demanda se referem ao comportamento
de compradores e vendedores, quando interagem
no mercado. Oferta é definida pelos vendedores e
Demanda pelos compradores.
Demanda ou procura é a quantidade (q ou x) de produto que os
consumidores querem e podem comprar. A demanda cresce com a queda no
preço, é uma função decrescente. A demanda de um bem é a função de
muitas variáveis. Supondo-se que somente o preço unitário (P) do produto
varie, verifica-se que o preço P relaciona-se com a quantidade demandada (q
ou x). Chama-se função de demanda a relação entre P e x, .
A Procura de determinado produto é determinada pelas várias quantidades
que os consumidores estão dispostos e aptos a adquirir, em função de vários
níveis possíveis de preço, em dado período de tempo. Então, as quantidades
procuradas dependem inversamente dos preços (Introdução à Economia,
José Paschoal Rossetti, 2002).
A relação de dependência, entre quantidades procuradas ou demandadas e
preços, descreve uma função linear de coeficiente angular negativo. Assim, se
dispusermos as quantidades demandadas ou procuradas no eixo horizontal de
um diagrama cartesiano, representando os preços no eixo vertical, teremos,
para a função demanda ou procura, uma reta descendente, resultante do
princípio
definido:
quanto
mais
altos
os
preços,
menores
as
quantidades procuradas correspondentes.
Por exemplo: P=10−0,002 x , representa a função demanda do número de
refrigerantes (x), demandados por semana, numa lanchonete.
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
2
A Oferta de determinado produto é determinada pela várias quantidades que os
produtores estão dispostos e aptos a oferecer no mercado, em função de vários
níveis possíveis de preços, em dado período de tempo (Introdução à Economia,
ROSSETTI, José P., 2002).
As quantidades ofertadas dependem diretamente dos preços. A relação de
dependência entre quantidades ofertadas e preços descreve uma função linear de
coeficiente angular positivo. Consequentemente, a representação gráfica da curva
de oferta é oposta à de procura. Colocando as quantidades ofertadas no eixo
horizontal e os preços no vertical, teremos uma reta ascendente da esquerda para a
direita.
Por exemplo: A função oferta de refrigerantes na lanchonete é dada por: se o
preço do refrigerante for R$ 2,10, a quantidade ofertada será de 350 por semana, e,
se o preço do refrigerante for R$ 2,40, a quantidade ofertada será 1400. Assim, o
coeficiente angular da reta é:
m=
Δy 2,4−2,1
0,3
1
=
=
=
Δx 1400−350 1050 3500 ,
P−2,1=
a
equação
da
reta
de
oferta
é:
1
1
( x−350 )⇒ P=
x+ 2 .
3500
3500
Em todas as estruturas de mercado, as posições dos produtores e dos
consumidores, em relação a uma dada escala de preços, podem estar em conflito.
Expostos a preços considerados baixos, os produtores dispõem-se a produzir
menos, comparativamente às situações em que os preços se consideram
satisfatórios. Já os consumidores estão em posição oposta: os preços baixos é que
estimulam a adquirir maiores quantidades. Essas posições conflituosas resultam
dos próprios conceitos e das conformações básicas da procura e da oferta. Há,
porém, uma posição de equilíbrio possível, dada pela intersecção das curvas de
oferta e demanda. No ponto de intersecção, define-se o ponto de equilíbrio, que
é o preço que harmoniza os interesses conflitantes dos produtores e dos
consumidores (Introdução à Economia, ROSSETTI, José, P., 2002).
Ponto de equilíbrio é a situação onde o preço atinge um valor, onde a
demanda e a oferta se igualam. É o ponto de intersecção da reta de oferta com
a de demanda.
Curso de Administração
2
Demanda(QP
)
Preço
Oferta
(QO)
Preço
de
equilíbri
o
Quantidades
(x)
A relação entre quantidade demandada e preço de uma mercadoria é
representada
pela reta P no gráfico acima. Esta descreve o comportamento do
consumidor, que compra mais quando o preço cai e compra menos quando o preço
sobe. Essa variação inversa entre preço e quantidade demandada, que se observa
na reta descendente (coeficiente angular negativo), é chamada curva de demanda.
A relação entre preço e quantidade oferecida de uma mercadoria descreve o
comportamento do produtor e é representada pela reta O no gráfico acima. A reta é
ascendente (coeficiente angular positivo), pois quando o preço sobe, significa que
existem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada
vez maiores de seu produto, no entanto, quando o preço cai, a oferta diminui. A
reta ascendente é chamada de curva de oferta.
O Preço de Equilíbrio, E, é o preço correspondente a iguais quantidades de
demanda e oferta, isto é, ocorre em um dado preço no qual a quantidade procurada
é igual à quantidade oferecida.
No gráfico acima, o ponto de equilíbrio é
representado pelo ponto de intersecção das duas retas. Abaixo desse ponto de
encontro, as quantidades procuradas ou demandadas serão superiores às
ofertadas. Por outro lado, acima do ponto de encontro das duas retas, os
excedentes das quantidades ofertadas em relação às procuradas conduzirão a uma
competição entre os produtores, provocando um natural rebaixamento do preço.
Exemplo 17:
Num certo mercado, as equações de oferta e demanda de um produto são
dadas por: Oferta: x=60+5p ;
demanda: x=500−13 p .
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
2
Qual a quantidade transacionada quando o mercado estiver em equilíbrio?
Para que o mercado esteja em equilíbrio, a oferta = demanda. Então,
igualando
60+5p=500−13 p⇒ 5p+13 p= 500−60 ⇒ 18 p= 440 ⇒ p=
X= quantidade transacionada=
x=60+5
440 220
=
18
9
1640
=
=182,2
(2209 )=540+1100
9
9
5.10. Função Depreciação Linear:
O valor de um bem diminui com o tempo, devido ao desgaste, à falta de
manutenção, etc. A essa perda de valor do bem em função do tempo chamamos
de depreciação. O gráfico do valor em função do tempo é uma reta
decrescente.
Exemplo 18:
O valor de um equipamento hoje é R$ 2.000,00 e daqui a 9 anos será R$
200,00. Admitindo a depreciação linear:
a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos? Hoje, consideraremos como tempo
zero, então, R$ 2.000,00 é o coeficiente linear da reta. Como o preço decresce, a
reta será decrescente e o coeficiente angular negativo. O coeficiente angular é
calculado como sendo
m=
2000−200 1800
=
=−200 , portanto, o valor é dado por
0−9
−9
V=2000−200 x . Logo, o valor do equipamento daqui a 3 anos (x) será:
V=2000−200( 3)=1400 reais.
b) Qual o valor de sua depreciação daqui a 3 anos?
A
depreciação
D= 2000−(2000−200 x ) .
é
dada
Assim,
D=Valorhoje−V ,
por
daqui
a
3
anos,
a
ou
depreciação
seja,
será:
D= 2000−2000+200 (3)=600
c) Daqui a quanto tempo o valor da máquina será nulo? O valor da máquina será
nulo quando
0=2000−200 x ⇒−200 x=−2000⇒ x=
−2000
=10 anos
−200
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2
5.11. Função Consumo e Função Poupança:
A Função Consumo é uma função matemática que relaciona o Consumo (C)
com Rendimento Disponível (Y), ou seja, o consumo varia em função da renda
familiar disponível.
Podemos escrever a função consumo da seguinte forma:
C=C 0 +mY .
A componente
C0 é chamada de consumo autônomo, que representa o gasto
fixo, e o coeficiente angular m da função consumo é chamado de propensão
marginal a consumir.
A diferença entre renda disponível (Y) e o consumo é chamada de função
poupança. E é indicada por
S=Y −C=−C 0 +( 1−m )Y . O coeficiente angular da
função poupança é chamado de propensão marginal a poupar.
Quando o Consumo é igual ao Rendimento Disponível, não existe
Poupança. O ponto de intersecção das duas retas, que representam as funções, é
chamado de ponto limiar. O ponto limiar é, portanto, o nível de Rendimento
Disponível em que todo o Rendimento é gasto em Consumo, e onde não existe
Poupança.
Exemplo 19:
Uma família tem um consumo autônomo de R$ 800,00 e uma propensão
marginal a consumir igual a 0,8. Obtenha: a) a função consumo; b) a função
poupança
a) O consumo autônomo é o coeficiente linear da reta e a propensão marginal a
consumir o coeficiente angular, logo
b)
a
função
S=Y −800−0. 8Y
poupança
que
é
C= 800+0,8 Y
dada
colocando
S=Y ( 1−0,8)−800=(1−m) Y −C 0
S=Y −C=−C 0 +( 1−m )Y .
por
o
Y
em
evidência
Então,
vem