AULA DE REPOSIÇÃO 001 / 3º ANO
Introdução
Inicialmente, para a primeira aula, será feita uma retomada de todo o assunto já
estudado, uma vez que não é nada fácil simplesmente retomar o conteúdo sem que
sejam revistas as práticas, o conteúdo, exemplos e exercícios já trabalhados. A
matemática necessita que o processo de aprendizagem seja uma construção de
conhecimentos. E é necessário que cada conhecimento adquirido se mantenha “fresco”
em nossas memórias.
Assim, retomarei os principais tópicos e farei exemplos e exercícios de todos os
conteúdos já trabalhados sobre geometria analítica.
A Geometria Analítica
Trata-se do estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos
princípios da álgebra e da análise. No Ensino Médio, estudaremos a Geometria de
posição, analisando pontos, retas e planos.
Ponto
Definimos o espaço como um lugar formado por infinitos pontos. A primeira
medição que podemos fazer então é calcular a distância entre dois pontos:
Esta fórmula, nada mais é do que a aplicação do teorema de Pitágoras, onde a
distância entre esses dois pontos é a hipotenusa de um triângulo retângulo.
Após, podemos concluir que dois pontos são suficientes para definir uma reta e,
esta reta, é formada por infinitos pontos. Desta forma, somos capazes de obter a posição
exata de um ponto eqüidistante de cada extremidade do segmento de reta. Este ponto se
chama Ponto Médio, e é obtido através da fórmula:
 x A + xB y A + y B 

M ( x m , y m ) = 
,
2
2


Sabendo da existência das retas, podemos considerar um ponto fora de uma
determinada reta. Com isso, esse ponto formará com os outros dois, um triângulo. De
cada segmento que forma os lados do triângulo, podemos determinar seus pontos
médios. O segmento que une o ponto médio de um lado do triângulo ao vértice oposto
chama-se mediana. Todo triângulo possui 3 medianas, que interceptam-se em um ponto
em comum, chamado baricentro (G).
 x A + x B + xC y A + y B + y C 

G ( xG , y G ) = 
,
3
3


Um desafio que surge quando nos deparamos com três pontos então, é sabermos
se estes 3 pontos estão sobre uma mesma reta (alinhados) ou não (formam um
triângulo). Para isso, podemos estabelecer uma condição de alinhamento de 3 pontos.
Usa-se o cálculo do determinante de uma matriz 3x3, onde:
xA
det = x B
xC
yA 1
yB
yC
1
1
Se det = 0 , os pontos estão alinhados
Se det ≠ 0 , os pontos formam um triângulo
Além disso, se o det ≠ 0 , podemos calcular a área da superfície do triângulo
formado usando a fórmula:
S ∆ABC =
1
det
2
O Estudo da Reta
Inicialmente, partimos do entendimento que dois pontos definem uma reta.
Assim, para estudá-la, vamos analisá-la sempre em relação ao plano cartesiano. Salvo o
caso de a reta ser paralela ao eixo das abscissas (eixo x), as retas sempre cortarão o eixo
x em um determinado ângulo. Assim, podemos definir a existência de um coeficiente
angular, que será determinado a partir do ângulo formado entre o eixo e a reta em
questão.
O coeficiente angular da reta é chamado de m . Se não conhecermos o valor do
ângulo, usaremos a definição da tangente, dividindo cateto oposto pelo cateto adjacente
do triângulo retângulo formado por dois pontos conhecidos, com catetos paralelos aos
eixos cartesianos. Assim, o coeficiente angular pode ser obtido através de:
m=
C.O. y B − y A
=
C. A x B − x A
Neste momento, de retas, sabemos que elas possuem ao menos dois pontos e
também que possuem um coeficiente angular. Assim, podemos definir equações
geratrizes para qualquer reta, onde:
( y − y0 ) = m.(x − x0 )
Esta equação geratriz poderá nos levar até a equação reduzida da reta ou até a
equação geral da reta. Cada uma com suas particularidades:
Equação Reduzida da Reta
Consiste em isolar o y. Assim, a cara da equação fica: y = mx + n .
m = coeficiente angular
n = coeficiente linear (momento onde a reta corta o eixo das ordenadas)
Equação Geral da Reta
Consiste em deixar todos os elementos da equação em um mesmo lado da
igualdade, sobrando no outro lado, apenas o zero: ax + by + c = 0
EXERCÍCIOS PARA LEMBRAR DO CONTEÚDO:
01. Calcule a distância entre os pontos A = (− 3,5) e B = (− 3,12)
02. Calcule o ponto médio do segmento AB , onde A = (15,6) e B = (− 7,8)
03. Calcule o baricentro G do triângulo ∆ABC , onde A = (4,10) , B = (1,4) e C = (7,4 )
04. Verifique se os pontos ABC estão alinhados. Em caso negativo, calcule a área do
triângulo formado. A = (8,5) , B = (4,−7 ) e C = (2,2)
05. Dados os pontos A = (4,6) e B = (8,2) , determine:
a) O coeficiente angular da reta formada pelos pontos A e B
b) A Equação Reduzida da Reta
c) A Equação Geral da Reta
* Respostas estão na linha de baixo, use o mouse para selecionar:
Daqui ⇒ 01. Distância = 7 u.c. 02. M=(4,7) 03. G=(4,6) 04. Não, det= -60. S=30 u.a.
05. a) m= -1 b) y = -x + 10 c) x + y – 10 = 0 ⇐ até aqui
* Respostas e resoluções destes exercícios estão disponíveis também em vídeo.
Envie um e-mail para: [email protected] para pedir o link do mesmo.
FINAL DA REVISÃO
INÍCIO DO CONTEÚDO DE REPOSIÇÃO
Posições relativas entre duas retas
No plano, retas podem ter 3 posições relativas:
•
•
•
Paralelas: não possuem intersecção
Coincidentes: Se interceptam em todos os pontos (são a mesma reta)
Concorrentes: Se interceptam em um único ponto
o Oblíquas: Quando o ângulo entre as retas difere de 90º
o Perpendiculares: Quando o ângulo entre as retas é 90º
Retas Paralelas
Duas retas são paralelas quando possuem mesmo coeficiente angular e
coeficientes angulares diferentes.
Exemplo:
r : y = −2 x + 10
s : y = −2 x − 28
Os coeficientes angulares de r e s são iguais: m = −2
Os coeficientes lineares de r e s são diferentes: nr = 10 e n s = −28
Portanto, as retas são paralelas