Polígono de frequência
No histograma, os intervalos correspondem a base das colunas e a frequência a altura. Os pontos médios da parte
superior de cada retângulo e fecharmos a figura como se existissem mais dois intervalos com frequência zero, um
antes e outro após a última, obtendo um polígono de frequência.
Gráficos de setores
7 classes de intervalos, nos indicam 7 setores circulares, cujo ângulos internos são dados pela frequência.
Como o total de alunos é de 40 e o ângulo central total do círculo tem 360°, temos 360/40=9° para cada aluno.
Classes
(Fi)
Setor circular
0,0 ├ 1,5
3
3.9=27°
1,5 ├ 3,0
3
3.9=27°
3,0 ├ 4,5
7
7.9=63°
4,5 ├ 6,0
8
8.9=72°
6,0 ├ 7,5
12
12.9=108°
7,5 ├ 9,0
6
6/9=54°
9,0 ├ 10,5
1
1.9=9°
Exemplos
1) A tabela a seguir relaciona tipo de transporte utilizado por 240 pessoas de uma metrópole.
Transporte
Fi
fi
%
Metrô
90
90/240=0,375
37,5%
Ônibus
80
80/240=0,33=1/3
33,3%
Trem
30
30/240=0,125
12,5%
Veículo próprio
40
40/80=0,166=1/6
16,6%
Total
240
100%
Construa o gráfico de setores que represente as informações do quadro acima.
Transporte
Fi
fi
%
Ângulo do setor
Metrô
90
90/240=0,375
37,5%
0,375*360=135°
Ônibus
80
80/240=0,33=1/3
33,3%
1/3*360=120°
Trem
30
30/240=0,125
12,5%
0,125*360=45°
Veículo próprio
40
40/80=0,166=1/6
16,6%
1/6*360=60°
Total 240
100%
Medidas de tendência central
Média Aritmética
𝑛
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
1
𝑥̅ =
→ 𝑜𝑢 → ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
Vamos construir a média da nota final dos alunos abaixo:
NOTA FINAL
Ana Clara
7,5
Alberto
9
Beto
4,5
Bianca
4
Camila
5,5
Cláudio
8
Dalva
8,5
Débora
9
Douglas
7,5
Flávia
7,5
Giovana
7
Kleber
6,5
Marcos
7,5
Suzana
9
Túlio
6,5
𝑥̅ =
7,5 + 9 + 4,5 + 4 + 5,5 + 8 + 8,5 + 9 + 7,5 + 7,5 + 7 + 6,5 + 7,5 + 9 + 6,5 107,5
=
≅ 7,17
15
15
Vamos calcular a média de tempo de vida útil de alguns aparelhos eletrônicos.
NOTA FINAL
Câmera digital
5
Ferro de passar
5
Fogão
6
Forno Elétrico
4
Micro ondas
20
5 + 5 + 6 + 4 + 20 40
=
=8
5
5
Não é uma medida central, é uma média resistente.
𝑥̅ =
Mediana
𝑥𝑛 + 𝑥𝑚
𝑀𝑒 =
2
1° Ordenamos x crescente;
2° Se a quantidade de valores for ímpar, basta assumir como mediana o valor central;
3° Se a quantidade de valores for par, toma-se os dois valores centrais e calcula-se a sua média.
Exemplo:
O controle de qualidade de uma indústria forneceu o seguinte número de peças defeituosas por lote de 100 unidades:
{5, 4, 9, 6, 3, 8, 1, 4, 5, 6, 11}
{1, 3, 4, 4, 5, 𝟓, 6, 6, 8, 9, 11} → 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑀𝑒 = 5
5 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 ≤ 5 ≥ 5 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
As temperaturas máximas diárias de uma cidade, no inverno foram medidas durante 10 dias:
{21°𝐶, 17°𝐶, 19°𝐶, 25°𝐶, 26°𝐶, 19°𝐶, 16°𝐶, 15°𝐶, 15°𝐶, 18°𝐶, }
18 + 19 37
{15°𝐶, 15°𝐶, 16°𝐶, 17°𝐶, 𝟏𝟖°𝑪, 𝟏𝟗°𝑪, 19°𝐶, 21°𝐶, 25°𝐶, 26°𝐶, } → 𝑀𝑒 =
=
= 18,5°𝐶
2
2
Moda
a) 5,8,11,8,3,4,8 Mo=8
b) 2,3,9,3,4,2,6 Mo=2 e Mo=3, logo é bimodal
c) 1,3,4,6,9,11,2 Não tem moda.
Medidas de dispersão
Suponha que um professor esteja interessado em comparar o desempenho de suas diferentes turmas de um mesmo
curso de inglês. Para isso, considerou a média final dos 5 alunos de quatro turmas:
Turma A: 5,5,5,5,5
Turma B: 5,6,5,4,5
Turma C: 3,7,6,5,4
Turma D: 1,8,5,2,9
Média de cada turma:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 25
𝑇𝐴 →
=
=5
5
5
5 + 6 + 5 + 4 + 5 25
𝑇𝐵 →
=
=5
5
5
3 + 7 + 6 + 5 + 4 25
𝑇𝐶 →
=
=5
5
5
1 + 8 + 5 + 2 + 9 25
𝑇𝐷 →
=
=5
5
5
É uma média falsa.
Vamos usar a variância como instrumento de correção da distorção dos resultados.
Var(x)=variância de x
(𝑥1 + 𝑥̅ )2 + (𝑥2 + 𝑥̅ )2 + ⋯ + (𝑥𝑛 + 𝑥̅ )2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =
𝑛
(5 + 5)2 + (5 + 5)2 + (5 + 5)2 + (5 + 5)2 + (5 + 5)2
𝑇𝐴 →
=0
5
2
2
2
2
2
(5 + 5) + (6 + 5) + (5 + 5) + (4 + 5) + (5 + 5)
𝑇𝐵 →
= 0,4
5
(3 + 5)2 + (7 + 5)2 + (6 + 5)2 + (5 + 5)2 + (4 + 5)2
𝑇𝐶 →
=2
5
(1 + 5)2 + (8 + 5)2 + (5 + 5)2 + (2 + 5)2 + (9 + 5)2
𝑇𝐷 →
= 10
5
A média precisa de variância para ser confiável.
Desvio Padrão
É a raiz quadrada da variância.
Usada para garantir assertividade da variância, mesmo em casos de variação de unidades de medidas.
𝐷𝑃 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥)
𝑇𝐴 → √0 = 0
𝑇𝐵 → √0,4 ≅ 0,632
𝑇𝐶 → √2 ≅ 1,414
𝑇𝐷 → √10 ≅ 3,162