Mecânica
2007/2008
7ª Série
Questões:
1. Será que a amplitude A e a constante na fase φ de um oscilador podem ser
determinadas se apenas for especificada a posição no instante t=0? Explique.
2. Uma massa ligada a uma mola tem um movimento harmónico simples com
amplitude A. Será que a energia total varia se a massa duplicar mas a amplitude se
mantiver? As energias cinética e potencial dependem da massa? Explique.
3. Uma massa é pendurada numa mola segundo a vertical e é posta em oscilação.
Porque é que o seu movimento acaba por parar?
4. Um relógio de pêndulo está atrasado. Como se deveria ajustar o comprimento do
pêndulo para acertar as horas?
5. Um batalhão de soldados marcha ao longo de uma estrada. Porque é que lhes é
ordenado descoordenar a marcha quando atravessam uma ponte?
6. Será possível ter oscilações amortecidas quando um sistema está em ressonância?
Explique.
Problemas:
1. Uma partícula move-se ao longo do eixo-x com movimento harmónico simples,
tendo partido da origem no instante t=0 e deslocando-se para a direita. A
amplitude do movimento é 2.00 cm e a frequência é 1.50 Hz.
1.1. Escreva a equação para o deslocamento.
1.2. Determine a velocidade máxima e o primeiro instante em que a partícula
atinge essa velocidade; faça o mesmo para a aceleração.
1.3. Qual a distância total percorrida entre t=0 e t=1.00 s.
2. Uma bola, deixada cair de uma altura de 4.00 m, colide de uma forma
perfeitamente elástica com o solo. Presuma que não há perda de energia devido à
resistência do ar.
2.1. Mostre que o movimento é periódico.
2.2. Determine o período do movimento.
2.3. O movimento é harmónico simples? Explique.
3. Uma massa de 2.00 kg está ligada a uma mola e encontra-se sobre uma superfície
horizontal. É necessária uma força horizontal de 20.0 N para manter a massa em
repouso quando esta é puxada 0.200 m da posição de equilíbrio (a origem do eixo
dos x). A massa é largada do repouso com um deslocamento inicial x0=0.200 m, e
subsequentemente realiza oscilações harmónicas simples. Determine:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
a constante de força da mola;
a frequência das oscilações;
a energia total do sistema;
a velocidade, a aceleração, a energia cinética e a energia potencial, quando o
deslocamento é igual a um terço do seu valor máximo.
4. Um bloco de 100 g está colocado sobre um bloco de 200 g, como se mostra na
figura 8.1. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é 0.20.
4.1. O bloco inferior é posto a mover na horizontal, de um lado para o outro, com
um movimento harmónico simples de amplitude 6.0 cm. Mantendo a
amplitude constante, determine a maior frequência para a qual o bloco
superior não escorregará em relação ao bloco inferior.
4.2. Suponha agora que o bloco inferior é posto a mover na vertical com
movimento harmónico simples. A frequência é mantida constante a 2.0
oscilações/s enquanto a amplitude é gradualmente aumentada. Determine a
amplitude para a qual o bloco superior deixará de manter contacto com o
bloco inferior.
Figura 8.1
5. Uma massa m oscila livremente estando pendurada numa mola vertical, como se mostra
na figura 8.2. Quando m=0.810 kg o período é 0.910 s. Uma massa desconhecida
pendurada na mesma mola tem um período de 1.16 s. Determine:
5.1. a constante da mola;
5.2. a massa desconhecida.
Figura 8.2
6. Um pêndulo simples tem 5.0 m de comprimento. Qual o período do movimento
harmónico simples deste pêndulo se ele estiver pendurado num elevador que acelera:
6.1. para cima a 5.0 m/s2,
6.2. para baixo a 5.0 m/s2.
7. Uma partícula de massa m escorrega dentro de uma taça semi-esférica de raio R.
Mostre que para pequenos deslocamentos a partir do equilíbrio, a partícula tem
um movimento harmónico simples de frequência angular ω = g / R .
8. Uma tábua horizontal de massa m e comprimento L roda em torno de uma das
suas extremidades, e a outra extremidade está ligada a uma mola com constante de
força k, como se mostra na figura 8.3. O momento de inércia da tábua em torno da
1
extremidade fixa é mL2 . Mostre que se a tábua fôr deslocada de um pequeno
3
ângulo θ a partir da horizontal e depois largada, ela executa, subsequentemente,
um movimento harmónico simples de frequência angular ω = 3k / m .
Figura 8.3
9. A roda de uma balança de relógio tem um período de oscilação de 0.250 s. A roda tem
uma massa de 20.0 g concentrada em torno de um aro com um raio de 0.500 cm.
Determine:
9.1. o momento de inércia da roda;
9.2. a constante de torção da mola associada.
10. Uma massa m está ligada a duas molas com constantes de força k1 e k2 como se mostra
nas figuras 8.4-a) e b). Em ambos os casos a massa move-se sobre uma superfície sem
fricção, sendo inicialmente deslocada do equilíbrio e depois largada. Mostre que em cada
um dos casos a massa tem um movimento harmónico simples com períodos: a)
T = 2π m(k1 + k 2 ) /(k1k 2 ) ; b) T = 2π m /(k1 + k 2 ) .
Figura 8.4