Para cima e Para baixo: Movimento Harmónico Amortecido, Níveis 9-12
Para cima e Para baixo:
Movimento Harmónico
Amortecido
Descrição Geral
Quando um objecto ressalta preso a uma mola, as forças de resistência como o
atrito diminuem a velocidade do objecto. Este efeito é designado por amortecimento.
O amortecimento e eventualmente a diminuição de velocidade até à paragem são
experimentados pela maioria dos objectos oscilantes, como uma cadeira de baloiço
vazia ou uma prancha de mergulho. Nesta actividade, os estudantes irão recolher
dados de movimento à medida que um prato de papel preso a uma mola leve oscila
sobre um sensor de movimento. A seguir, têm de encontrar um modelo matemático
para o conjunto de dados resultante.
Objectivos:
• Registar os dados de movimento de um prato a ressaltar na extremidade de uma
mola leve
• Analisar os dados de movimento para determinar a informação sobre frequência,
período e amplitude
• Representar a parte oscilatória dos dados utilizando as funções trigonométricas
• Representar o amortecimento utilizando uma função exponencial
• Criar um modelo composto constituído por amortecimento e oscilação
• Comparar o modelo composto com os dados experimentais
Materiais:
• TI-Nspire™ CAS
• Calculator-Based Ranger 2™ (CBR 2™) ou Go!® Motion
• Suporte metálico em forma de L
• Gancho com pesos perfurados padrão
• Slinky™ ou uma mola leve
• Prato de papel
Capacidades adquiridas com o TI-Nspire™ CAS:
Professor / estudante deve conseguir realizar o seguinte*:
• Recolher dados com um sensor de movimento
• Ajustar os eixos durante a visualização de um gráfico
• Determinar as coordenadas dos pontos num diagrama de dispersão
• Guardar os valores como variáveis
*Consulte o Apêndice Recolha de Dados
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Procedimento
Configuração
1. Peça aos estudantes para abrirem o ficheiro UpandDown.tns em
TI-Nspire™ CAS. O Problema 1 contém a introdução da actividade incluindo a
descrição geral e objectivos.
2. O Problema 2 contém as instruções para a recolha de dados, incluindo
informação sobre a configuração. Será necessário que os estudantes abram a
cabeça articulada do Sensor de Movimento, e se esta disponibilizar um selector
de sensibilidade, colocá-lo em Normal (que geralmente corresponde à imagem
de uma pessoa em movimento e de uma bola de basquetebol).
3. O sensor de movimento deve ser colocado no chão de forma a que a cabeça
fique voltada completamente para cima.
4. A seguir, os estudantes devem prender o prato de papel à mola e pendurar a
mola a partir de um suporte metálico em forma de L ou de outro apoio fixo. Após
colocar a mola, os estudantes devem aguardar até que esta pare e certificaremse de que a distância até ao Sensor de Movimento é de pelo menos 70 cm. Esta
posição é denominada posição de equilíbrio.
Recolha de Dados
1. Peça aos estudantes para puxarem o prato cerca de 10 cm para baixo e permita
que este oscile uma ou duas vezes. A seguir, prima o botão Start (Iniciar)
para iniciar a recolha de dados. A recolha de dados demorará 20 segundos.
2. Quando a recolha de dados tiver sido concluída, será apresentado um gráfico de
distância versus tempo. Peça aos estudantes para analisarem o gráfico de
distância versus tempo. O gráfico deve apresentar uma curva da função seno de
amplitude decrescente. Analise os trabalhos dos estudantes para verificar se
será necessária uma nova recolha de dados para obter melhores resultados.
3. Para repetir a recolha de dados, os estudantes podem premir novamente o botão
Start (Iniciar) e OK.
Análise
1. O gráfico indica várias funções, que serão representadas pelos estudantes com
uma função matemática adequada.
Em primeiro lugar, os estudantes devem ter em atenção o movimento para trás e
para a frente, ou oscilatório. Em segundo lugar, peça aos estudantes para
observarem a diminuição da amplitude de forma regular do movimento. Tal
padrão pode ser representado com uma função co-seno
y = A cos ( B ( x − C ) ) + D em que x é o tempo em segundos, y é a distância em
metros e A é a amplitude do movimento ou a distância maior acima da posição
central. Os estudantes devem ter em atenção que a amplitude não é constante,
então A não é apenas um número mas na realidade uma função de tempo. Os
parâmetros B, C e D serão explicados conforme o seu cálculo.
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2. O tempo mais curto necessário para um movimento repetitivo se repetir é
denominado período. O cálculo do tempo entre dois pontos máximos sucessivos
é um método para obter o período. Peça aos estudantes para clicarem sobre o
ícone Graphing (Gráfico) e seleccionar Graph Trace. A seguir, arrastar o
cursor sobre dois máximos adjacentes do gráfico para determinar os seus
valores x. Os estudantes devem registar estes dois valores como t1 e t2 na
página 17 do Problema 2. A diferença destes dois valores é definida como T. Os
estudantes devem registar igualmente este valor na Tabela de Dados da
página 17.
3. O parâmetro B representa o número de ciclos realizados pela função sinusoidal
durante o período natural da função co-seno. Peça aos estudantes para
calcularem B dividindo 2π (o período natural da função co-seno) pelo período T
registado anteriormente e para registarem o valor de B na Tabela de Dados.
4. O parâmetro C representa a translação horizontal da função co-seno. Uma vez
que a função co-seno possui um valor máximo quando o argumento é zero,
utilize C como o tempo quando os dados alcançarem um máximo pela primeira
vez. Os estudantes devem traçar o primeiro máximo conforme o passo 3,
observar o valor x e, em seguida, registá-lo como C na Tabela de Dados.
5. O parâmetro D representa a translação vertical da função co-seno. Uma vez que
a função co-seno padrão é igual a zero após um quarto do seu período, D pode
ser calculado utilizando a fórmula seguinte:
T
+C
D=
4
Uma folha de cálculo é fornecida na página 19 do Problema 2 para que os
estudantes sejam capazes de calcular D utilizando os valores para T e C
previamente registados nas Tabelas de Dados. Após calcularem o valor de D,
peça aos estudantes para registarem o valor na Tabela de Dados da página 17.
6. A amplitude dos dados diminui com o tempo. Esta função pode ser exemplificada
utilizando o TI-Nspire™ CAS. Será necessário fornecer aos estudantes uma lista
dos valores y decrescentes. Ao traçar o gráfico conforme o passo 2, páginas 13
e 14, os estudantes podem mover o cursor sobre o primeiro máximo positivo e
observar as suas coordenadas.
A seguir, no lado da folha de
dados do documento da página
7, devem seleccionar a primeira
fila da primeira coluna completamente
em branco (geralmente a coluna C) e
inserir a coordenada x. Na seguinte
coluna completamente em branco
(geralmente coluna D), na mesma fila,
deve ser inserida a coordenada y.
7. Repetir o Passo 6, traçando sobre o
segundo máximo positivo, e pedir aos
estudantes para registarem os valores
x e y na segunda fila das mesmas
colunas utilizadas no passo 6. Repetir
isto até serem obtidas seis
coordenadas ou até os estudantes
não possuírem mais dados.
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8. Peça aos estudantes para converterem as coordenadas numa função adequada.
Os pontos devem diminuir a uma taxa exponencial, por isso as coordenadas
serão utilizadas para calcular uma função exponencial. Os estudantes terão de
clicar sobre a primeira fila (iniciada com um ponto, antes de 1) na coluna em
branco seguinte (geralmente coluna E)
introduzir a primeira coluna da página 7
seguido por “[ ]” (por exemplo, se no
passo 6 os estudantes utilizaram as
colunas C e D, devem inserir “C[ ]”). Na
mesma fila da coluna seguinte, devem
inserir a segunda coluna da página 7
seguido por “[ ] - D” em que D é a variável
da página 17. A seguir, as duas colunas
devem ser seleccionadas incluindo as
letras em maiúsculas na parte superior
das colunas, clicar no botão Statistics (Estatísticas)
, seleccionar
Regressions (Regressões) e escolher Exponential Regression (Regressão
Exponencial).
9. Será apresentada uma caixa de diálogo. Os estudantes devem clicar sobre OK
sem efectuar quaisquer alterações. No lado da folha de dados da página 7, sob a
coluna iniciada com “=ExpReg,” (geralmente coluna H), devem copiar o valor da
fila 2 como a na Tabela de Dados. De forma similar, devem copiar o valor da fila
3 como b e, em seguida, clicar sobre o lado do gráfico do documento. Quando lá
chegar, devem clicar sobre o ícone no canto inferior esquerdo as vezes que
forem necessárias até aparecer o botão Function (Função)
. Junto a “f1(x)=”
no ecrã os estudantes devem inserir a*b^x, substituindo a e b pelos valores da
sua Tabela de Dados. Prima Enter para que “f2(x)=” seja visualizado. Após
premir Enter, será apresentado um gráfico que pode ser ignorado.
10. Na linha com f2(x), peça aos estudantes para efectuarem a introdução
f1 ( x ) cos ( B ( x − C ) ) + D e, em seguida, clicar sobre qualquer outra parte do
ecrã para que o gráfico seja apresentado sobreposto aos dados. Deve ficar
alinhado adequadamente com o diagrama dos dados.
Tabela de Dados
M
A
t1, t2
T
B
C
D
a, b
Modelo composto
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11. Responda às perguntas do Problema 3:
Teste de Compreensão
1. Até que ponto a equação modelo corresponde aos dados? Qual a parte do
modelo que corresponde aos dados? Qual a parte do modelo que não
corresponde aos dados?
2. Até que ponto o modelo final corresponde aos dados experimentais? O
modelo está correcto? Descreva a equação modelo em palavras, sem
especificar os valores numéricos.
3. Indique algumas características físicas da massa oscilante que considere que
podem afectar a natureza das funções utilizadas para representar o conjunto
de dados.
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NOTAS PARA O PROFESSOR E SOLUÇÕES
Soluções:
1. A equação modelo corresponde à parte oscilante dos dados, mas a
amplitude é apenas aproximadamente correcta para os tempos iniciais. Para
os tempos posteriores, a amplitude está pouco correcta.
2. O modelo composto apresenta uma correspondência correcta, reflectindo
tanto a parte oscilatória como a parte decrescente da amplitude dos dados
experimentais. No entanto, o período poderia apresentar uma
correspondência melhor.
1. Se o movimento do prato fosse iniciado com um deslocamento maior a partir
da posição de equilíbrio a constante multiplicativa seria maior na função
exponencial. Ao utilizar um prato mais pequeno (menos amortecimento) a
constante decrescente do exponencial seria mais pequena. Ao utilizar uma
mola slinky mais rígida o período seria mais pequeno, tornando B maior. Ao
alterar o tempo de início da recolha de dados isto poderia alterar C.