PROGRAMA
DE
MATEMÁTICA
12ª Classe
Formação de Professores
para o Ensino Primário
Ficha Técnica
Título
Programa de Matemática - 12ª Classe
Formação de Professores para o Ensino Primário
Editora
Editora Moderna, S.A.
Pré-impressão, Impressão e Acabamento
GestGráfica, S.A.
Ano / Edição / Tiragem / N.º de Exemplares
2013 / 2.ª Edição / 1.ª Tiragem / 2.000 Ex.
E-mail: [email protected]
© 2013 EDITORA MODERNA
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arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimento
judicial, de acordo com o estipulado no código dos direitos de autor.
ÍNDICE
Introdução ----------------------------------------------------------------------- 4
Objectivos Gerais --------------------------------------------------------------- 5
Objectivos Específicos ---------------------------------------------------------- 6
Distribuição das Aulas por Trimestre ------------------------------------------- 7
Conteúdos Programáticos ------------------------------------------------------ 8
Sugestões Metodológicas ------------------------------------------------------- 12
Avaliação ----------------------------------------------------------------------- 14
Bibliografia --------------------------------------------------------------------- 15
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12ª CLASSE
INTRODUÇÃO
A realização deste programa corresponde aos objectivos da escola e da
matemática do ensino secundário, em particular da formação de professores do
ensino primário, que exige o máximo aproveitamento das possibilidades que
abarca o ensino desta ciência no processo docente-educativo.
Um aspecto fundamental corresponde ao desenvolvimento do aluno, das suas
capacidades mentais, como criativa e imaginativa, assim como a formação de
hábitos de disciplina, perseverança e tenacidade.
O trabalho de investigação efectuado possibilitou um estudo profundo e
pormenorizado da concepção da disciplina, da sua estrutura, bem como dos
conteúdos fundamentais desta classe, levando a concluir que os aspectos expostos
nos conteúdos das unidades a leccionar despertarão o aluno para uma actividade
mais activa nesta disciplina.
As unidades a serem leccionadas possibilitarão ao formando, futuro professor,
perceber melhor os conteúdos que, no futuro, terá que ensinar aos seus alunos,
muito particularmente na resolução de problemas no ensino da geometria. O
aluno deverá possuir conhecimentos sólidos, que o levarão a dominar melhor a
ciência matemática e, como consequência, a dar prosseguimento aos seus estudos.
Apesar do formando ter que, mais tarde, trabalhar com os seus futuros alunos
com os números Q, terá conhecimento que o conjunto R, dos números Reais é um
subconjunto dos números Complexos C.
O programa possui quatro unidades e todas terminam com uma prova escrita.
Este programa não contém um plano detalhado de provas escritas, mas estas
devem ser planificadas pelo professor sempre que for necessário, numa perspectiva
formativa, no sentido de promover o sucesso escolar.
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PROGRAMA DE MATEMÁTICA
OBJECTIVOS GERAIS
›› Dominar os conceitos de sucessões, limites de sucessões, cálculo diferencial,
cálculo integral e números complexos;
›› Dominar as definições ligadas à:
• Sucessões numéricas, limites de sucessões;
• Cálculo diferencial;
• Cálculo integral;
• Corpo de números complexos.
›› Consolidar os distintos sinais que intervêm nas operações anteriores de:
• Sucessões numéricas, limites de sucessões numéricas;
• Cálculo diferencial;
• Cálculo integral.
›› Aplicar as noções de sucessão, cálculo de limites de sucessão, cálculo de
derivadas, integrais, números complexos, as suas propriedades e relações
existentes entre elas;
›› Compreender as distintas propriedades que intervêm no cálculo de sucessões
numéricas, limites de sucessões numéricas, cálculo de derivadas, cálculo
integrais indefinidas e definidas, e números complexos;
›› Desenvolver capacidades, habilidades e hábitos de trabalho com formúlas
que intervêm nas distintas operações;
›› Desenvolver habilidades nas operações de sucessões e limites de sucessões
numéricas, cálculo diferencial, cálculo integral e números complexos;
›› Dominar a representação gráfica, números complexos, assim como do plano
de Argand;
›› Aplicar as distintas regras de cálculo de derivadas;
›› Compreender o cálculo de integrais indefinidas e integrais definidas.
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12ª CLASSE
OBJECTIVOS ESPECÍFICOS
›› Demonstrar o cálculo de integral indefinida e definida.
›› Usar as distintas regras e propriedades de cálculo de derivadas, integrais,
números complexos e limites de sucessões;
›› Conhecer as propriedades para o cálculo de derivadas, integrais, números
complexos e limites de sucessões;
›› Diferenciar a integral indefinida e a definida;
›› Demonstrar as propriedades intervenientes no cálculo de sucessões
numéricas, derivadas, integrais e números complexos.
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PROGRAMA DE MATEMÁTICA
DISTRIBUIÇÃO DAS AULAS POR TRIMESTRE
3 aulas semanais por trimestre, equivalentes a 111 aulas por ano.
1º TRIMESTRE
14 semanas lectivas, para um total de 42 aulas.
Unidade I - Sucessões Numéricas. Limites de Sucessões e
Limite de Funções Reais de Variável Real ..... 22 aulas
Unidade II - Cálculo de Diferencial ................................. 20 aulas
2º TRIMESTRE
12 semanas lectivas, para um total de 36 aulas.
Unidade III - Cálculo de Integral .................................... 36 aulas
3º TRIMESTRE
11 semanas lectivas, para um total de 33 aulas.
Unidade IV - Corpo dos Números Complexos “C” .......... 33 aulas
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12ª CLASSE
CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
1º TRIMESTRE
16 semanas sendo 14 semanas lectivas, para um total de 42 aulas.
Unidade I - Sucessões Numéricas. Limites de Sucessões e
Limite de Funções Reais de Variável Real ..... 25 aulas
››
››
››
››
››
››
››
››
Revisão do conceito de sucessão
Sucessão (Definição)
Sucessão Monótona
Conceito de subsucessão
Limite de uma sucessão
Vizinhança de um número
Classificação das sucessões
Sucessão convergente e divergente
.............................................
››
››
››
››
››
››
››
››
››
››
››
››
››
››
››
.............................................
Unidade de limite
Infinitésimos
Sucessão limitada
Definições gerais de infinitamente grande
Infinitamente grande positivo
Infinitamente grande negativo
Infinitamente grande
Teorema sobre infinitésimos e infinitamente grande
Álgebra dos limites (propriedades operatórias)
Teorema da soma
Teorema da diferença
Teorema da multiplicação
Teorema do quociente
Teorema da potência
Teorema da raiz
.............................................
8
4 aulas
8 aulas
.............................................
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
›› Limites do quociente; quando o divisor é um infinitésimo
›› Símbolo de indeterminação
›› Indeterminação do tipo
0
0
›› Limites de um polinómio
∞
›› Indeterminação€do tipo
∞
›› 1.Limite do quociente de dois polinómios
›› Indeterminação do tipo 0 x ∞
€
›› 1Indeterminação do tipo ∞ x ∞
›› Indeterminação do tipo ∞ _ ∞
›› Indeterminação do tipo 1
∞
›› Indeterminação do tipo ∞º
›› Indeterminação
€ do tipo 0º
.............................................
››
››
››
››
››
4 aulas
.............................................
Limite de funções reais de variável real
Ponto de acumulação e ponto isolado
Definição de limite segundo Heine e segundo Cauchy
Definição de limite de uma função real de variável real
Álgebra dos limites (operatórias)
.............................................
7 aulas
.............................................
Reserva ................................................................................ 2 horas
Unidade II - Cálculo de Diferencial ................................. 20 aulas
››
››
››
››
››
Conceito de derivada
Derivada de uma função num ponto
Função derivada
Método geral do cálculo de derivadas
Interpretação física da derivada. Velocidade e aceleração. Taxa de variação
›› Interpretação geométrica da derivada
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12ª CLASSE
››
››
››
››
››
Inclinação e declive ou coeficiente angular de uma recta
Casos particulares do estudo das rectas
Recta que passa pela origem das origem dos eixos coordenados
Rectas paralelas aos eixos
Equação da recta que passa por um dado ponto e tem um dado declive
............................................
››
››
››
››
››
››
››
››
››
............................................
Equação da recta a uma curva num ponto
Derivabilidade e continuidade
Derivadas laterais
Regras de derivação
Derivada de uma constante
Derivada da variável independente
Derivada da soma
Derivada de um produto
Derivada do produto de uma constante por uma função
.............................................
››
››
››
››
8 aulas
6 aulas
.............................................
Derivada de uma potência de expoente natural
Derivada de um quociente. Casos particulares
Derivada de uma potência de expoente inteiro racional
Derivada de uma função composta ou função da função
.............................................
6 aulas
.............................................
2º TRIMESTRE
14 semanas sendo 12 semanas lectivas, para um total de 36 aulas.
Unidade III - Cálculo de Integral .................................... 36 aulas
››
››
››
››
››
Função primitiva
Integral indefinido
Constante de integração
Fórmulas de integração. Integrais imediatas
Integral definido
............................................
10
36 aulas
............................................
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
3º TRIMESTRE
14 semanas sendo 11 semanas lectivas, para um total de 33 aulas.
Unidade IV - Corpo dos Números Complexos “C” .......... 33 aulas
››
››
››
››
››
››
››
››
››
››
Definição de conjunto dos números complexos
Representação geométrica dos números complexos. Forma trigonométrica
Operações com números complexos
Adição de números complexos
Subtracção de números complexos
Multiplicação de números complexos
Divisão de números complexos
Potenciação e radiciação
Representação gráfica
Conjunto do plano de Argand definido por condições envolvendo números
complexos
............................................
33 aulas
............................................
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12ª CLASSE
SUGESTÕES METODOLÓGICAS
Com vista à obtenção de resultados que satisfaçam o plano traçado pelas
estruturas superiores da educação, é óbvio que os professores desta disciplina
devem utilizar métodos, meios e princípios didácticos adequados, que facilitem
a resolução dos problemas e situações problemáticas que surgem no decurso do
processo de ensino/aprendizagem.
Como o formando já possui alguns conhecimentos sobre a Unidade I,
adquiridos no ano anterior, o professor não terá muita dificuldade em dar os
primeiros passos, uma vez que as primeiras lições constituirão revisão dos
conteúdos já conhecidos - conceito de sucessão numérica, sucessão monótona,
progressão aritmética e geométrica e limite da sucessão numérica - logo, a sua
tarefa estará mais facilitada.
O professor deve, em todas as unidades, dar aos alunos exercícios exequíveis
partindo do simples para o complexo, uma vez que os conteúdos desta classe não
são de tão fácil compreensão.
As motivações devem ser feitas com base em situações concretas e que orientam
facilmente o aluno para os objectivos, suscitando o interesse em aprender os
novos conteúdos.
O uso de sinais e símbolos como, indeterminações, derivada e integral, devem
ser devidamente esclarecidos pelos professores e assimilados pelos alunos.
É importante frisar que, os teoremas devem ser explicados e demonstrados.
Para tal, o professor usará todos os meios, métodos e princípios para induzir o
aluno na percepção e assimilação dos mesmos.
Urge referir que, no campo dos números complexos, o professor deverá rever o
círculo trigonométrico de forma a possibilitar aos alunos o melhor entendimento
desta unidade.
É importante dizer que, de acordo com a revisão, o professor não deve esquecer
que a localização dos diferentes ângulos no círculo trigonométrico é um conteúdo
importante para o estudo dos números complexos.
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PROGRAMA DE MATEMÁTICA
As propriedades, que regem as operações com números complexos, devem ser
também bem esclarecidas, tendo em linha de conta a complexidade deste tema.
O professor não deve esquecer nunca de tornar a matéria o mais acessível
possível.
O estudo das sucessões não deve ser aprofundado devido à exiguidade de
tempo, pois é um conteúdo para conhecimento geral.
Os teoremas devem ser bem conhecidos pelos alunos para a sua aplicação.
Este programa, relativamente à distribuição de conteúdos está elaborado de
forma detalhada para possibilitar ao professor saber concretamente o que vai
leccionar.
Apesar da unidade I ser extensa, esta é facilmente administrada.
No cálculo de derivadas, o professor não deve perder muito tempo nas questões
teóricas, deverá aproveitar o pouco tempo que possui para praticar, tendo em
conta as regras básicas existentes para o cálculo de derivadas.
Relativamente à distribuição de conteúdos, este programa está elaborado de
forma detalhada, para possibilitar que o professor saiba, concretamente, o que
vai leccionar.
Relativamente ao cálculo integral, o professor deve fazer com que os alunos
aprendam e saibam aplicar as regras básicas de cálculo. Como se vê, esta unidade
(III) é bastante curta e dará possibilidades ao professor de pôr os alunos a
exercitarem bastante.
No que diz respeito aos números complexos, o professor deve preocupar-se em
fazer com que os alunos conheçam e saibam aplicar as distintas fórmulas e regras
básicas para o estudo destes números, particularmente nas operações.
Em suma, as duas unidades que constituem o 2º semestre não devem ser
aprofundadas.
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12ª CLASSE
AVALIAÇÃO
Com a avaliação, que é o ponto mais alto do processo de ensino aprendizagem,
o professor vai ter a possibilidade de verificar o grau de cumprimento dos
objectivos propostos, tanto através da avaliação formativa, como da sumativa
(por ex.: com uma prova no fim de cada capítulo).
Como se disse na introdução, não se programou a avaliação contínua (escrita
ou oral), mas o professor deverá promover esta actividade sempre que verificar
que o conteúdo leccionado possa ser avaliado.
Para um melhor êxito na avaliação, o professor deverá fazer com que os
alunos realizem vários exercícios e, se possível, incluir a avaliação de exercícios
efectuados em grupo, tendo em conta a complexidade das unidades inseridas
nesta classe.
Todas as provas escritas, planificadas superiormente e pelo professor, devem
ser de carácter obrigatório e o resultado deve ser comentado na turma, de forma
a possibilitar que os alunos saibam em que estado se encontram. Os resultados
devem também servir de reflexão ao professor da sua prática pedagógica,
permitindo inserir correcções no processo de ensino/aprendizagem.
De acordo com o tempo que o professor convive com os alunos, ele deve ser
o máximo sensível em relação aos mesmos, pois será capaz de compreender
todas as habilidades matemáticas de cada aluno, melhor do que qualquer teste
já inventado.
Ao efectuarem-se avaliações, estas devem assim subordinar-se aos conteúdos
leccionados e aos objectivos traçados.
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PROGRAMA DE MATEMÁTICA
BIBLIOGRAFIA
AYRES JR, Frank - Cálculo Diferencial e Integral, Colecção SCHÂUM.
BARENENKOV, G.; DEMIDOVITCH, B. & outros - Problemas e Exercícios de
Análise Matemática.
BRONSTEIN, I.; SEMENDIAEV, K. - Manual de Matemática para Engenheiros
e Estudantes. Editorial Mir - Moscovo.
COLECÇÃO OBJECTIVO - (Sistema de Método de Aprendizagem) Álgebra I livro 36.
FREITAS, A. César de; COIMBRA, Elvira; GOMES, Francelino - Matemática
12º ano de escolaridade, volume I (antigo 7º ano).
GARCIA, Maria M.; ANJOS, Alfredo O. dos; RUIVO, António F. - Compêndio
de Matemática 2º ano, 2º volume, curso complementar.
KUDRIÁVTSEV, L. D. - Curso de Análise Matemática, Tomo 1, Editorial Mir Moscovo
LIMA, Yolanda; GOMES, Francelino - Xeq Mat - Matemática 11º.
NEVES, Maria A. F.; VIERA, Maria T. C; ALVES, Alfredo G. - 11º Ano, volume
2, Porto Editora.
PISKUNOV, N. - Cálculo diferencial e Integral.
SANTOS, Fernando Borja - Cálculo diferencial, IV volume.
SANTOS, Fernando Borja - Números Complexos, Editorial Pueblo y Educacion
- Cuba Matemática - II.
SILVA, J. Sebastião e; PAULO, J. D. da Silva - Compêndio de Álgebra - 1º Tomo,
Ano do C.C.
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