Fractais: progressão e série geométrica
Uma metodologia de ensino
Andrios Bemfica
Graduado em Licenciatura Matemática na Faculdade Cenecista de Osório – FACOS
2010/2
Cassiana Alves
Graduada em Licenciatura Matemática na Faculdade Cenecista de Osório – FACOS
2010/2
Resumo: O presente trabalho teve como foco o tema referente à Geometria Fractal que é uma nova
maneira de ver e conceber o conhecimento geométrico. Buscamos apresentar o que são os fractais,
como construir fractais em software matemático e através de dobraduras. Além disso, procuramos
mostrar alguns dos fractais mais conhecidos como o Triângulo e Tapete de Sierpinsky e Conjunto de
Cantor. Assim, na busca da aplicação da geometria fractal nos conceitos matemáticos, realizamos o
cálculo da área e volume do Triângulo de Sierpinsky após n interações, cálculo da área do Tapete de
Sierpinsky. Para realizarmos tal trabalho de calcular, fizemos uso dos conceitos de progressões e
séries geométricas oriundos do cálculo, geometria e da álgebra. Com isso, buscamos abordar o tema
não somente como uma curiosidade geométrica, mas também discutir as possibilidades do uso deste
como uma metodologia para a matemática do ensino médio.
Palavras-chave: Geometria Fractal, Séries Geométricas, Cálculos Algébricos, Progressões
Geométricas.
Abstract: This paper focuses on the subject on the Fractal Geometry is a new way of seeing and
conceiving the geometric knowledge. We present what are fractals, how to build fractals in
mathematical software and by folding. Furthermore, we show some more of fractals known as the
Sierpinski Triangle and Carpet Set and Cantor. So, in seeking the application of mathematical
concepts in fractal geometry, we calculate the area and volume of the Sierpinski Triangle after n
interactions, calculating the area of the Sierpinski carpet. To make this work, to calculate, we use the
concepts of geometric progressions and series from the calculation, geometry and algebra. With this,
we address the issue not only as a geometrical curiosity, but also discuss the possibilities of using this
as a methodology for high school math.
Keywords: Fractal Geometry, Geometric Series, algebraic calculations, Geometric Progressions.
Introdução
O presente artigo vem mostrar um assunto ainda pouco utilizado como metodologia
de ensino da matemática, os fractais, que em especial podem ser aplicados nos
conteúdos de progressões geométricas do ensino médio. Mesmo sendo pouco
utilizado é visto em diversas formas em nossas vidas cotidianas.
6
Nos últimos anos, diferentes definições de fractais têm surgido. No entanto, a noção
que serviu de fio condutor a todas as definições foi introduzida por Benoit
Mandelbrot. De acordo com Sallum (2005):
Um fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços,
sendo cada um desses pedaços uma reprodução do todo. Não podemos ver
um fractal porque é uma figura limite, mas as etapas de sua construção
podem dar uma idéia da figura toda. Seu nome se deve ao fato de que a
dimensão de um fractal não é um número inteiro. (Ibidem, p.1)
Sendo assim, os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível,
com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área
finita. Os fractais podem ser divididos em duas categorias: os fractais geométricos,
que repetem continuamente um modelo padrão, e os aleatórios que são feitos
através dos computadores.
Além de se apresentarem como formas geométricas, os fractais apresentam
determinadas características: auto-semelhança, dimensionalidade e complexidade
infinita. A auto-semelhança é a simetria através das escalas, que consiste em cada
pequena função do fractal, é tal qual uma réplica do original, porém numa escala
menor. Esta propriedade pode ser vista em variados elementos da natureza
(conforme anexo 1).
A teoria do caos
Muitos fenômenos não podem ser previstos por leis matemáticas, assim, os
fenômenos ditos “caóticos” são aqueles onde não há previsibilidade. As variações
climáticas, oscilações do coração, do cérebro e as oscilações da bolsa de valores
são fenômenos ditos caóticos. Atualmente, com o desenvolvimento da matemática e
das outras ciências, a teoria do caos surgiu com o objetivo de compreender e dar
resposta às flutuações erráticas e irregulares que se encontram na natureza.
Assim, nas últimas décadas depois de um árduo trabalho de matemáticos e físicos,
elaboraram teorias para explicar o caos. Hoje se sabe muito a respeito de
fenômenos imprevisíveis, e já é possível ver os resultados. Por exemplo, em
noventa e sete, dois americanos conseguiram encontrar uma fórmula para prever
7
aplicações financeiras e com isso ganharam o prêmio Nobel de economia, logo,
caos tem aplicações em todas as áreas.
Assim, podemos dizer que:
Essa ciência trouxe consigo o ver ordem e padrões, onde anteriormente só
se observava o irregular, o aleatório, o imprevisível, digamos mesmo o
caótico. Entretanto, notasse que o Caos as colocou entre temas não
relacionados justamente pelas suas irregularidades. (SALLUM, p.10, 2002).
Desta forma, uma lei básica para a teoria do caos afirma que a evolução de um
sistema dinâmico depende principalmente das suas condições iniciais. O
comportamento do sistema dependerá então da sua situação “de início”. Se
analisarmos o mesmo sistema, sob outras condições iniciais, logicamente ele
assumirá outros caminhos e mostrar-se-á totalmente diferente do anterior.
Um exemplo tradicional de caos no mundo cotidiano, e também conhecido como um
provérbio é o “efeito borboleta”, que diz que: “uma borboleta bate as asas na China e
causará um furacão na América”, por mais absurdo que pareça esta metáfora, os
fenômenos climáticos são de comportamento caótico e de difícil previsibilidade. E
também podemos citar as formas do litoral e das ilhas, umas são alongadas, outras
circulares, diferem de tamanho, mas podem ser de formas análogas. São como
fractais, a sua formação deve-se a um conjunto de forças complexas que resultaram
num formato padrão, pois se observarmos a natureza não veremos ilhas quadradas.
Aqui muitos outros exemplos poderiam ser citados, mas não nos esqueçamos que
na natureza existem também fenômenos simples como a queda de um objeto, o
som, o movimento dos astros e muitos outros. Nem tudo é caótico, quando falamos
num sistema complexo não estamos nos referindo somente à complexidade
operacional, mas também à complexidade de elementos.
Geometria fractal
Foi da necessidade de se calcular e descrever certos fenômenos da natureza ou
objetos intricados que não possui forma definida, que surgiu a Geometria Fractal,
uma
geometria
que
apresenta
estruturas
geometricamente
complexas
e
infinitamente variadas. Sua nomenclatura se origina do adjetivo em latim fractus. O
8
verbo latino corresponde frangere que significa “quebrado” ou “fraturado”: criar
fragmentos irregulares. Caracterizam-se por repetir um determinado padrão com
ligeiras e constantes variações. Como conseqüência dessa auto-similaridade, as
diferentes partes de um fractal se mostram similares ao todo. Assim, os fractais têm
cópias aproximadas de si em seu interior.
Ainda podemos dizer que “os fractais são conjuntos cuja forma é extremamente
irregular ou fragmentada e que têm essencialmente a mesma estrutura em todas as
escalas”.
Porém
somente
há
poucos
anos,
com
o
desenvolvimento
e
aperfeiçoamento dos computadores, a Geometria Fractal vem se consolidando.
O matemático francês, Benoit Mandelbrot, escolheu a palavra fractal para nomear os
estudos que ele se dedicou e trouxe mais conhecimento a nós. Pois na verdade os
fractais não foram descobertos nem criados por Mandelbrot, ele apenas os nomeou,
visto que estes já eram conhecidos antes de sua descoberta. Existem indicações de
que os fractais já existiam antes do século XX. Na época eram conhecidos como
“monstros matemáticos”, na Grécia Homérica, Índia e China. Até mesmo Euclides, a
mais de dois mil anos, observou que a areia da praia se assemelhava a uma espécie
que é bidimensional, embora fosse constituída por pequenas partes tridimensionais.
Mandelbrot ao definir os fractais se apoiou muito em matemáticos, cientistas, que já
haviam se dedicado a este estudo sistemático dos fractais, mas não chegaram a ter
uma conclusão exata dos seus estudos. Podemos citar: o Georg Cantor (18451918), David Hilbert (1862-1943), Giusepe Peano (1858-1932), Helge von Koch
(1870-1924), Waclaw Sierpinski (1882-1969), entre outros.
Fractais como metodologia de ensino
A sociedade em que vivemos está passando por muitas transformações, a
globalização e as tecnologias têm mudado o nosso cotidiano. Estas evoluções têm
provocado algumas mudanças também na educação. Atualmente, muito se tem
discutido sobre a abordagem dos conteúdos em sala de aula e o uso das novas
tecnologias no ensino. Nesta esteira de discussões é que o ensino de matemática se
insere, tendo em vista que a preocupação é crescente no que diz respeito a
9
adaptação dos profissionais aos aparatos que a tecnologia disponibiliza. Estas
novas abordagens vão de encontro ao perfil “moderno” do educando, que está cada
vez interagindo mais com as novas tecnologias.
As tecnologias no ensino são novas ferramentas que auxiliam tanto professores
quanto alunos nas aulas de matemática, porém não são únicas. A prática escolar
nos permite acreditar que a apresentação de novas formas de abordar conteúdos
torna as aulas da disciplina de Matemática mais atraentes e produtivas. Nesse
sentido, entendemos que as pessoas precisam sair das escolas, não sabendo
somente calcular e escrever, tão pouco sabendo a capital de algum país do outro
lado do mundo, precisam sair das salas de aula sabendo questionar, sabendo
reconhecer, relacionar, criar.
Para Barbosa (2002), a própria matemática
[...] fornece ao matemático, ao professor, e é bom que ofereça ao
educando, prazeres oriundos de várias formas de pensar e ver, ou de suas
próprias ações. Muitas vezes eles emergem de superação de dificuldades;
assim é, por exemplo, o estado prazeroso emergente da simples busca com
sucesso das raízes na resolução de uma equação ou de uma situaçãoproblema numérica ou geométrica cuja solução leva a encontrar apenas
alguns números ou determinados pontos de um plano. (BARBOSA, p. 13,
2002)
Seguindo estes princípios, a geometria fractal possui um vasto campo de aplicação
dos conceitos matemáticos em suas diversas áreas, tais como álgebra, cálculo,
geometria plana e espacial, e progressões. Cabe ao educador utilizar dos recursos
dispostos pela escola, bem como dos conteúdos curriculares, para inserir este tema
em suas aulas e cativar o aluno no aprendizado de conceitos.
Segundo Nunes (2010):
A exploração da geometria fractal, em contexto de sala de aula, proporciona
o desenvolvimento das atitudes, dos valores e das competências dos
alunos, na medida em que promove a curiosidade e o gosto de aprender, de
pesquisar e de investigar; impulsiona a utilização da matemática na
interpretação do real, reconhecendo formas e processos que envolvem
conceitos matemáticos; ajuda na compreensão dos conceitos de perímetro,
área e volume; promove a pesquisa de padrões e regularidades formulando
em seguida generalizações em situações diversas, nomeadamente em
contextos numéricos e geométricos. (Ibidem, 74)
10
Nesse sentido, podemos afirmar que esta área da geometria passa a ser uma
importante e eficaz metodologia de ensino, visto que possibilita a abordagem e
aplicação de vários conceitos, diversificando assim a prática do professor. Propor
uma aula com situações novas, onde o educando possa descobrir e fazer relações
entre o que visualiza e o que estuda, torna o acontecimento em sala de aula
favorável a aprendizagem. Esta abordagem possibilitará ao educando a visualização
do conteúdo trabalhado, não ficando apenas na formalidade que é própria da
disciplina de matemática. Cremos que
[...] para os fractais, em especial para a geometria fractal, faz-se necessário
ao educador conseguir captar o educando com o transparecer de sua
própria vibração, e talvez evidenciando o êxtase na complementação na
beleza de seus visuais, conduzindo-o ao prazer pelas informações e
conhecimentos culturais da vasta variedade de fractais. (BARBOSA, p. 14,
2002)
Além do campo extenso de aplicações dos fractais é necessário que o professor
perceba a potencialidade que existe nesta área da geometria, podendo assim
trabalhar conceitos de simetria, relacionando arte com matemática.
Triângulo de Sierpinski
O Triângulo de Sierpinski foi descoberto pelo matemático Waclav Sierpinski (18821969). É obtido através de um processo iterativo de divisão de um triângulo
equilátero em quatro triângulos semelhantes, visto que um destes triângulos está
invertido, em relação ao original e é retirado do triângulo original sobrando apenas
os outros três. Assim, repete-se no passo seguinte o mesmo procedimento em cada
um dos três novos triângulos com a orientação original, e assim sucessivamente.
O fractal obtido é estritamente auto-semelhante, ou seja, as partes da figura são
cópias reduzidas de toda a figura. Pode-se generalizar o triângulo de Sierpinski para
uma terceira dimensão, obtendo assim a Pirâmide de Sierpinski.
11
Figura1. Triângulo de Sierpinski e suas interações. Fonte: Internet, 2010.
O triângulo de Sierpinski e as séries geométricas
Os fractais podem ser explorados no desenvolvimento de diversos conteúdos; como
na álgebra, geometria, cálculo, modelagem matemática e números complexos, com
o propósito de despertar o interesse dos educandos, pelas formas, cores e
luminosidade que os mesmos apresentam ao serem criados tanto no computador
como manualmente.
Fazendo uso dos conceitos oriundos do cálculo mais especificamente, as séries
geométricas, buscamos construir fórmulas para encontrar as áreas do Triângulo e do
Tapete de Sierpinsky para n interações.
Partindo primeiramente da análise do triângulo e sua primeira interação, vimos que a
cada interação cada triângulo que compunha o Triângulo de Sierpinsky dava origem
a quatro novos triângulos, sendo que destes quatro o do centro é removido.
12
Figura 2. Triângulo de Sierpinski após várias interações. Fonte: Internet, 2010.
Área do triangulo de Sierpinski
O cálculo da área vazada do Triângulo de Sierpinski se dará pelo somatório das
áreas dos triângulos para n interações, obtidas através de uma série geométrica
convergente.
Área do triangulo inicial:
Área do triangulo da 1ª interação:
Área do triangulo da 2ª interação:
Área do triangulo da 3ª interação:
Interações
0
Nº de Triângulos
Área de um novo
retirados
Triângulo
1
13
1
3
2
9
3
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
Tabela 1. Cálculo da área do triangulo de Sierpinski após as interações.
Logo, para descobrirmos a área que resta do triângulo original realizamos o seguinte
cálculo: faremos a área do triângulo original pela fórmula da área do triângulo
equilátero menos o somatório das áreas vazadas obtidas através da série
geométrica.
Série geométrica
l2 3 l2 3n

 n.3
4 n016
.
4
Para calcular a soma de uma série geométrica usamos:
Neste caso temos:
14
Como verificamos ao montar a série geométrica que ela convergia, pois sua razão
era menor que um, ao fazermos o cálculo da área restante no Triângulo de
Sierpinsky provamos essa convergência para zero. Portanto, quando tivermos n
interações no Triângulo de Sierpinsky a área restante converge para zero.
Portanto a soma das áreas das n interações do Triângulo de Sierpinsky resultam na
mesma área do triângulo inicial. Isso quer dizer que, se tivéssemos um triângulo e
fossemos retirando os novos triângulos gerados pelas interações deste fractal a área
resultante seria zero.
Volume da pirâmide de Sierpinski
O cálculo do volume restante da Pirâmide de Sierpinski se dará pelo somatório dos
volumes dos octaedros para n interações, obtidas através de uma série geométrica
convergente.
Volume do tetraedro inicial:
Volume do octaedro da 1ª interação:
Volume do octaedro da 2ª interação:
Volume do octaedro da 3ª interação:
Interações
0
Nº de Tetraedros
Nº de Octaedros
Volume de um novo
Gerados
Retirados
Octaedro
4
1
15
1
16
4
2
64
16
3
256
64
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
Tabela 2. Cálculo do volume do triângulo de Sierpinski após as interações.
Série Geométrica
3
3
a
2 a
2n

.
4

n

1

03
12n
.
8
3
n
a
2 3 2
4

a
.n

0
12 n
3
.
8
8
Como vimos anteriormente calculamos a soma de uma série geométrica a partir de:
Neste caso temos:
r<1
a série converge
16
Como verificamos ao montar a série geométrica que ela convergia, pois sua razão
era menor que um, ao fazermos o cálculo do volume restante da Pirâmide de
Sierpinsky provamos essa convergência para zero. Portanto, quando tivermos n
interações na Pirâmide de Sierpinsky o volume restante converge para zero.
Portanto a soma dos volumes das n interações da Pirâmide de Sierpinsky resultam
no mesmo volume da pirâmide inicial.
Isso quer dizer que, se tivéssemos uma
pirâmide e fossemos retirando as novas pirâmides geradas pelas interações deste
fractal o volume resultante seria zero.
Tapete de Sierpinski
Neste partimos de um quadrado, dividindo-o em nove pequenos quadrados
congruentes, e eliminando o central. Em seguida, vamos aplicando esse mesmo
procedimento em cada um dos oito quadrados restantes, e assim sucessivamente, o
resultado é conhecido como Tapete de Sierpinski.
Figura 3. Tapete de Sierpinski após a segunda interação. Fonte: Internet,
2010.
Agora fazendo a verificação da área do Tapete de Sierpinski, começamos
analisando como se formava esse fractal, o Tapete de Sierpinski é formado por um
quadrado que posteriormente é dividido em nove quadrados menores onde
retiramos o quadrado do centro.
17
Figura 4. Tapete de Sierpinski após as interações. Fonte: Internet, 2010.
Assim, com o intuito de demonstrarmos a área que restava após n interações para o
Tapete de Sierpinski, realizamos o cálculo da área de um quadrado menos o
somatório das áreas dos quadrados retirados para n interações obtidos através de
uma série geométrica convergente, pois tal série para o Tapete de Sierpinski tem
razão menor que um logo é convergente.
Portanto, ao fazermos o cálculo da área que resta verificamos que tal área convergia
para zero quando tivermos n interações, fato também verificado para o Triângulo de
Sierpinski.
Área do tapete de Sierpinski
O cálculo da área vazada do Tapete de Sierpinski se dará pelo somatório das áreas
dos quadrados para n interações, obtidas através de uma série geométrica
convergente.
Área do quadrado inicial =
18
Área do quadrado da 1ª interação =
Área do quadrado da 2ª interação =
Área do quadrado da 3ª interação =
Interações
0
Nº de quadrados
retirados
1
1
8
2
64
.
.
.
n
.
.
.
Área de um novo
quadrado
.
.
.
Tabela 3. Cálculo da área do Tapete de Sierpinski após as interações.
Série Geométrica
Para calcular a soma de uma série geométrica usamos:
Neste caso temos:
19
Portanto a soma das áreas das n interações do quadrado de Sierpinski resultam na
mesma área do quadrado inicial. Isso quer dizer que, se pegarmos um quadrado e
retirarmos os novos quadrados gerados pelas interações deste fractal, a área
resultante seria zero.
Intervalos do conjunto de cantor
___________________________
1____________
____________
2_____
_____
_____
_____
3__ __
__ __
__ __
__ __
4_ _ _ _ _ _ _ _
__ __
__ __
A construção do Conjunto se faz por indução matemática.
Indução matemática
Indução Matemática é um método de prova matemática usado para demonstrar a
verdade de um número infinito de proposições. Efeito dominó.
Parte-se do intervalo
No passo 1, retira-se o terço do meio do intervalo:
2
1
 
A
2

0
,

,
1


3
3
 

No passo 2, retira-se o terço do meio de cada um dos dois intervalos criados pelo
passo 1.
1
2
3
6
7
8








A
2

0
,

,

,

,
1








9
9
9
9
9
9








No passo 3, retira-se o terço do meio de cada um dos intervalos criados pelo passo
2. Portanto,
Interações
Nº de segmentos
Comprimento do
retirados
segmento retirado
20
0
1
1
2
2
4
3
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
Tabela 4. Cálculo dos Intervalos do Conjunto de Cantor.
Série Geométrica
Para calcular a soma de uma série geométrica usamos:
Neste caso temos:
21
Podemos concluir que a soma dos intervalos gerados pelas n interações do
Conjunto de Cantor, resultam no mesmo tamanho do intervalo inicial. Isso quer dizer
que, se tivéssemos um segmento de reta e fossemos retirando novos intervalos
gerados pelas interações deste fractal, o intervalo resultante seria zero.
Curva de Koch
A Curva de Koch recebeu esse nome devido ao fato de ser criada por Helge Von
Koch, matemático polonês, por volta dos anos de 1904 a 1906. Essa curva é um
belo exemplo de curva sem tangente, ela pode ser modificada com outras
construções análogas e deve ter influenciado bastante Mandelbrot.
A Curva de Koch tem seu início de construção a partir de uma reta, já para fazermos
a construção das Ilhas de Koch partimos de um triângulo equilátero em vez de um
segmento de reta.
Figura 5. Formação da Curva de Koch. Fonte: Internet, 2010.
22
Figura 6. Formação da Ilha de Koch. Fonte: Internet, 2010.
Uso do software Shapari na construção de fractais
Shafari é uma ferramenta com uma linguagem de programação de fácil
compreensão e que possibilita que o aluno desenvolva o raciocínio. É muito bom
para o ensino de geometria e pode ser usado em todos os níveis escolares.
Shapari é uma exploração do computador das formas e dos testes padrões. Fornece
as ferramentas simples que podem ser usadas pelas crianças a partir dos 4 anos até
os alunos de nível universitário para produzir uma variedade rica de testes padrões
abstratos e fractal. Em vez de oferecer uma disposição larga das ferramentas que
permitem que você crie o desenho, oferece um jogo limitado das ferramentas
simples que podem ser usadas produzir uma escala simples diversa dos testes
padrões. Pretende-se promover pensar abstrato e a exploração de conceitos
matemáticos.
Shapari oferece 5 níveis da operação. Os níveis são distinguidos primeiramente pela
complexidade das manipulações da forma disponíveis. O Shapari armazena
seleções niveladas individuais para todo o usuário e também fornece o
armazenamento para os desenhos criados pelo usuário.
Shapari é projetado para mentes curiosas de todas as idades. Os controles simples,
diretamente acessíveis e permitem que os usuários os mais novos, usando o mouse,
sintam um a possibilidade da coloração da alteração das formas. Os usuários
avançados podem projetar seus próprios manipuladores da forma usando um editor
gráfico e/ou umas descrições Matemáticas. Estes manipuladores podem então ser
23
aplicados iterativos para criar testes padrões fractal. Shapari oferece algo para
apenas aproximadamente todos. Uma exploração clara de muitos conceitos
matemáticos incluindo a forma, o tamanho, a contagem, a multiplicação, a simetria,
as transformações, a periodicidade, a convergência, o crescimento exponencial, a
recursividade e a geometria fractal.
Figura 7. Imagem Software Shapari. Fonte: Shapari, 2010.
Referências :
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal – para a sala de aula.
Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2002.
NUNES, Raquel Sofia Rabelo. Geometria Fractal e Aplicações. Dissertação de
Mestrado. Departamento de Matemática Pura - Faculdade de Ciências da
Universidade
do
Porto,
2006.
Disponível
em:
24
http://www.fc.up.pt/pessoas/jfalves/Teses/Raquel.pdf. Acesso em: 6 de junho de
2010.
SALLUM, Élvia Mureb. Fractais no ensino médio. Revista do Professor de
Matemática. Nº 57, 2ºquadrimestre de 2005.
25