Geometria Fractal e alguns exemplos clássicos
Tatiana Miguel Rodrigues
Laís F. Mucheroni*
Depto de Matemática, Faculdade de Ciências, UNESP
Bauru, SP
E-mail: [email protected]
RESUMO
A natureza em geral é constituída por diversas formas nas quais predominam a irregularidade
e o caos. Tentar simplificá-las usando figuras da geometria clássica, como triângulos, círculos,
esferas seria inadequado.
A Geometria Fractal oferece um método para analisar e descrever objetos e formas naturais,
contrapondo-se as limitações da geometria clássica, a Euclidiana. Esta nova geometria permite a
interação de diversos temas da matemática e de outras áreas, desde as ciências naturais às
econômico-sociais e à tecnologia.
Neste trabalho, veremos a necessidade da criação de uma nova geometria, diferente da
Euclidiana. Uma das características da Geometria Euclidiana é que as figuras geométricas, tais
como retângulos, triângulos e círculos tem números reais positivos como medidas de perímetro,
área e volume. Entretanto, para figuras fractais isso muitas vezes não ocorre, pois ao
calcularmos suas áreas ou perímetros, estes podem tender ao infinito ou a zero, por exemplo.
Benöit Mandelbrot foi quem primeiramente utilizou a palavra “fractal” baseando-se no
adjetivo fractus que vem do verbo frangere, em latim, cujo significado é quebrar, fragmentar. O
Fractal de Mandelbrot é o mais famoso fractal gerado através de uma função interativa.
Figura 1: Fractal de Mandelbrot.
Estudamos alguns dos fractais considerados clássicos, tais como Triângulo e Tapete de
Sierpinski, Curva de Koch e Curva de Peano. É possível calcular após um processo iterativo,
nos fractais apresentados, o perímetro e, para alguns, a área também.
No caso do Triângulo de Sierpinski:
Iniciamos o processo a partir de um triângulo equilátero de lado 1 cm. Desse triângulo retirase outro cujos vértices são os pontos médios do inicial obtendo o nível 1 do fractal. Repetindo o
mesmo processo para os três triângulos restantes obteremos o nível 2 do fractal e assim por
diante até o nível n. O limite desse processo gera o Triângulo de Sierpinski.
Figura 2: Triângulo de Sierpinski
* Bolsista de Iniciação Científica FAPESP
576
As tabelas a seguir ilustram o cálculo do perímetro (Tabela 1) e da área (Tabela 2) do
Triângulo de Sierpinski.
Nível
Nº de Triângulos
Medida do lado (cm)
Perímetro (cm)
0
1
1
3
1
3
½
2
3 . (3/2)
2
3 =9
(½) = ¼
3 . (3/2)2
...
...
...
...
N
n
3
2
(½)
n
3 . (3/2)n
Tabela 1: Perímetro do Triângulo de Sierpinski
Percebemos que a cada nível o perímetro será 3/2 do anterior. Como 3/2 > 1, concluímos que
no nível n, quando n tende ao infinito, o perímetro será infinito. De fato,
Nível
Nº de Triângulos
Área de cada triângulo (cm2)
Área Total (cm2)
0
1
A
A
1
3
A/4
2
2
3
A/4
...
...
...
N
n
3
A/4
(3/4) . A
2
(3/4)2 . A
...
n
(3/4)n . A
Concluímos que a área fica 3/4 menor a cada nível. Assim, como 0 < 3/4 < 1 no limite desse
processo a área será zero. De fato,
Verificamos que, após o processo iterativo, o perímetro desse fractal tende a infinito
enquanto a área tende para zero. Como citado no início, este é exemplo de um objeto que não
existiria na Geometria Euclidiana, pois seu perímetro tende a infinito enquanto sua área, a zero.
Analisamos também a construção de alguns fractais através de métodos computacionais, via
softwares como: “Cabri-Geometry”, “Geometricks” e “Nfract”. No desenvolvimento deste
trabalho vimos a possibilidade de utilizar esses softwares para construir os fractais estudados,
criar novos fractais e estudar algumas de suas propriedades como a autossemelhança.
Palavras-chave: Geometria, Geometria Fractal, Fractais.
* Bolsista de Iniciação Científica FAPESP
577
Referências
[1] C. Alves, "Fractais: conceitos básicos, Representações Gráficas e Aplicações ao Ensino não
Universitário", Dissertação de Mestrado, Universidade de Lisboa, 2007.
[2] R. Barbosa, "Descobrindo a Geometria Fractal – para a sala de aula", Coleção Tendências
em Educação Matemática (Editora Autêntica), Belo Horizonte, 2002
* Bolsista de Iniciação Científica FAPESP
578