Escola Secundária de Aljustrel
11.o Ano de Escolaridade (Turma 3A)
Duração da prova: 50 minutos
9 de Abril de 2003
Versão 1
2002/2003
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA
ESCRITA DE MATEMÁTICA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
C
A
Versão 1
Versão 2
2 3 4
B A D
A B D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
O domínio de h é
Dh = {x ∈ R : f (x) ≥ 0} =] − ∞, −4] ∪ [−2, 1] ∪ [3, +∞[.
y
y = f (x)
4
2
x
−4 −2 0 2 4
Figura 1: Parte do gráfico de f em que f (x) ≥ 0
Os zeros da função f são −4, −2, 1 e 3, pelo que
Dj = {x ∈ R : f (x) 6= 0} = {x ∈ R : x 6= −4∧x 6= −2∧x 6= 1∧x 6= 3} = R\{−4, −2, 1, 3}.
Um livro vai ser impresso em páginas rectangulares. A zona de impressão ocupa a
parte central do papel de área 240 cm2 . São deixadas margens, como se mostra na
figura. Seja x o comprimento da folha e y a sua altura.
2 cm
1.5 cm
240 cm2
1.5 cm
y
6.
2 cm
x
Página 1 de 3
V.S.F.F.
Proposta de Resolução - Matemática (11.o Ano )
(6.1)
3A, 9 de Abril de 2003
A área total da folha é dada por A = xy. A partir do conhecimento de que
(x − 2 × 1.5)(y − 2 × 2) = 240
vamos exprimir y em função de x:
(x−3)(y−4) = 240 ⇔ xy−4x−3y+12 = 240 ⇔ y(x−3) = 228+4x ⇔ y =
Substituindo na expressão da área, temos
µ
¶
228 + 4x
228x + 4x2
A = xy = x
=
x−3
x−3
228 + 4x
.
x−3
Logo, a área total da página é dada, em função de x, por
A(x) =
(6.2)
228x + 4x2
.
x−3
Atendendo ao contexto do problema, x − 3 ≥ 0 e x ≥ 0, por representarem
medidas de uma página. Por outro lado, a função A tem denominador x − 3,
donde x − 3 6= 0. Assim,
DA = {x ∈ R : x ≥ 0 ∧ x − 3 ≥ 0 ∧ x − 3 6= 0} = {x ∈ R : x > 3} =]3, +∞[.
(6.3)
Através da calculadora gráfica verificamos que a área total mínima é aproximadamente 359.3312626, que é atingida quando x ≈ 16.41640786 e y = 228+4x
≈
x−3
21.88854382. Portanto, os comprimentos da página que dão origem a uma maior
poupança de papel são, com a aproximação pedida, x = 16.42 cm e y = 21.89 cm.
(6.4)
Pretende-se resolver a inequação A(x) ≥ 550.
228x + 4x2
228x + 4x2
≥ 550 ⇔
− 550 ≥ 0
x−3
x−3
228x + 4x2 550(x − 3)
⇔
−
≥0
x−3
x−3
228x + 4x2 − 550x + 1650
⇔
≥0
x−3
4x2 − 322x + 1650
⇔
≥0
x−3
Resolvamos a equação 4x2 − 322x +
√ 1650 = 0 através
√ da fórmula resolvente.
322+ 77284
322− 77284
2
4x − 322x + 1650 = 0 ⇔ x =
∨x=
⇔ x = 75 ∨ x = 11
.
8
8
2
Finalmente, resolvemos a inequação com a ajuda de um quadro de sinais.
x
2
4x − 322x + 1650
x−3
4x2 −322x+1650
x−3
3
720
0
n.d.
Página 2 de 3
11
2
+
+
+
0
5
2
0
75
− 0
+ 72
− 0
+∞
+
+
+
V.S.F.F.
Proposta de Resolução - Matemática (11.o Ano )
3A, 9 de Abril de 2003
Para que a área total da página seja de pelo menos 550 cm2 , o seu comprimento
terá que pertencer ao intervalo ]3, 11/2], ou então ser maior ou igual a 75 cm.
(6.5)
A recta de equação x = 3 é uma assimptota vertical ao gráfico da função, pois
à medida que x se aproxima de 3, por valores superiores a 3, as imagens aumentam cada vez mais, não existindo qualquer estabilização do seu valor. Assim, lim+ A(x) = +∞. Por outro lado, a aplicação do algoritmo da divisão de
x→3
polinómios (ou a regra de Ruffini) permite deduzir que
A(x) = (4x + 240) +
720
x−3
À medida que x tende para +∞, a diferença A(x) − (4x + 240) aproxima-se de
zero:
lim [A(x) − (4x + 240)] = 0.
x→+∞
A recta de equação y = 4x + 240 é uma assimptota oblíqua ao gráfico de A.
7.
O triângulo está inscrito numa semi-circunferência de centro C. Os dois lados menores
do triângulo medem x e y unidades de medida (u.m.) A semi-circunferência tem raio
r.
(7.1)
O triângulo é rectângulo porque está inscrito numa semi-circunferência.
(7.2)
A área do triângulo é dada por A =
do teorema de Pitágoras.
xy
.
2
Vamos exprimir y à custa de x através
(2r)2 = x2 + y 2 ⇔ y 2 = 4r2 − x2 ⇐ y =
√
4r2 − x2 .
Assim, a área do triângulo é dada por
√
x 4r2 − x2
.
A=
2
(7.3)
Se o raio for igual a 5, temos 4r2 = 4 × 25 = 100 e
√
x 100 − x2
A(x) =
.
2
Utilizando a calculadora gráfica, conclui-se que o máximo desta função é 25,
atingido quando x ≈ 7.07. Logo, a área máxima do triângulo é de 25 u.m.2 ,
quando o raio da circunferência for igual a 5 u.m.
Página 3 de 3
FIM