LISTA 2 - GEOMETRIA QUANTITATIVA II
MTM 7112
DR. CELSO M. DORIA
? - o problema esta resolvido no livro.
* - o problema não está no livro.
Problema 1 ?: Seja 4ABC um triângulo cujos lados medem
BC = a, AC = b e AB = c. Calcule as medianas ma , mb
e mc em função dos lados do triângulo.
Problema 2 *: Utilize as expressões obtidas no problema 1 para
determinar as medianas de um triângulo pitagórico.
Problema 3 ?: Prove que o baricentro de um triângulo divide
cada uma das medianas em 2 segmentos cujos comprimentos
estão na razão 1 : 2.
Problema 4 *: Na figura 1, 4ABC é um triângulo equilátero
de lado igual a 6 cm, e M é o ponto médio de AB e C ponto
médio de BD. Calcule N C.
A
M
N
B
C
D
Figure 1. problema 4
Problema 5: Num triângulo qualquer de lados medindo a, b e
c, sejam D o pé da mediana relativa ao lado BC e E o ponto
obtido pela projeção da mediana AD sobre o lado BC. Fazendo
n = DE, mostre que
c2 − b2 = 2amn.
Date: 05/04/2011.
Key words and phrases. Relações Métricas em Triângulos.
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Problema 6: Determine os lados de um triângulo em função das
medianas.
Problema 7: Mostre que num retângulo ABCD a soma dos quadrados das distâncias de um ponto M a dois vértices opostos A e
C é igual à soma dos quadrados das distâncias de M aos dois
outros vértices opostos B e D.
M
C
D
O
B
A
Figure 2. problema 7
Problema 8: Mostre que em todo triângulo retângulo. a soma
dos quadrados das três medianas é igual a três vêzes a metade
do quadrado da hipotenusa.
Problema 9 ?: Se os lados de um triângulo isósceles medem a,
a e b calcule suas alturas.
Problema 10: Determine os lados de um triângulo em função
das alturas.
Problema 11: Num triângulo retângulo 4ABC, Â = 90o , traçamse a altura AD e, em seguida, DE e DF perpendiculares a AB
e AC respectivamente. Se BE = m, CF = n e AD = h, mostre
que
(1)
√
3
m2 +
√
3
√
3
n2 =
(2) 3h2 + m2 + n2 = a2
a2 ,
(3) h2 = amn
A
F
n
E
m
c’
B
b’
D
C
Figure 3. problema 11
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Problema 12 ?: Seja C um cı́rculo de raio R e centro em O com
três cı́rculos C1 , C2 e C3 dentro dele. C1 tem raio R1 e centro
em O1 , enquanto C2 tem raio R2 e centro em O2 . Vejamos
que a relação de Stewart determina o raio x de C3 sabendo que
OO1 = 1 e OO2 = 2.
Problema 13: Um triângulo 4ABC, retângulo em A, tem lados
AB = 24, BC = 25 e AC = 7. Calcule a bissetriz do ângulo Ĉ.
Problema 14: Mostre que as bissetrizes externas são determinadas pelas expressões
2 p
bcp(p − b)(p − c),
|b−c|
2 p
s0C =
abp(p − a)(p − b)
|a−b|
s0A =
s0B =
2 p
acp(p − a)(p − c),
|a−c|
Problema 15 *: Os lados de um triângulo medem 11 cm, 22 cm
e 30 cm. Calcule a medida do maior segmento que a bissetriz
interna determina sobre o lado maior.
Problema 16 *: Encontre o ângulo AM̂ B do triângulo retângulo
na figura 4 sabendo que AD é a mediana, BE a bissetriz e
AD̂C = 72o .
C
72
E
D
M
A
B
Figure 4. problema 16
Problema 17 *: Os lados de um triângulo medem 8 cm, 10 cm
e 12 cm. O menor lado é prolongado até encontrar a bissetriz
externa do ângulo oposto a este lado. Qual é a medida, em cm,
deste prolongamento ?
Problema 18 *: O perı́metro de um triângulo 4ABC é 100 cm.
Sabendo que a bissetriz do ângulo interno  divide o lado oposto
BC em dois segmentos de 13, 5 cm e 22, 5 cm, determine as
medidas dos lados do triângulo.
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Problema 19 *: Seja 4ABC um triângulo equilátero de lado
medindo l. Calcule a distância do baricentro de 4ABC a um
dos seus vértices.
*** FIM ***
Departamento de Matemática - UFSC