Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
5
Potênci
Potência de Expoente
Fracci
Fraccioná
onário
Objectivos de aprendizagem:
No final desta lição, você será capaz de:
Determinar potências com expoente fraccionário.
Aplicar as regras práticas da multiplicação e divisão de
potências.
Material necessário de apoio
Módulo 2 da 9ª classe.
Tábua de raizes quadrados e quadrados
perfeitos.
Módulo 1 e 3 da 8ª classe.
Tempo necessário para completar a lição:
60 minutos
INTRODUÇÃO
Caro aluno, na 8ª classe estudou o conceito de potência com expoente
natural incluindo o zero ℕ 0 . Nesta lição vai estudar o conceito de potência
de expoente fraccionário.
Nesta lição terá oportunidade de estudar potências de expoente
fraccionário, transformação de uma potência de expoente fraccionário em
radical; calcular potências aplicando regras de potenciação. Mas antes de
iniciar este estudo vamos recordar lhe alguns conceitos, para facilitar a
comprensão desta matéria é o caso da definição de fracção e algumas
regras de potenciação.
Acompanhe atentamente os exemplos que lhe apresentamos.
Matemática - Módulo 3
49
49
Lição 5- Potência de Expoente Fraccionário
Exemplo 1
Caro aluno, você está lembrado, uma fracção é um quociente de dois
números. Dados pela fórma:
Por exemplo:
a
; b ≠ 0 ∧ a, b∈ℕ .
b
1 1 2 3 7
; ; ; ; ;...
2 3 3 5 2
Preste muita atênção as explicações que se seguem porque esta matéria é
fundamental no estudo das operações com radicais e de potência de
expoente fraccionário.
Recorde-se que na 8ª classe no módulo 1
de Matemática aprendeu as regras de
potenciação. A tabela seguinte ajuda-lhe a
lembrar esta matéria. Estude-a com
atênção.
Regras de potenciação
a p i b p = ( ab )
p
p
a
a ÷b =  
b
a p : a q = a p −q
m n
(a )
50
= a mn
2 2
2
2
3 . 5 = (3 . 5) = 15
2 3 i 25 = 23 + 5 = 2 7
a p i aq = a p + q
p
Exemplos
p
2
2
 16 
16 :4 =   = 4
 4
2
2
5
3
8 ÷ 8 = 8 5 − 3 = 82
2 3
(3 )
= 36
Matemática - Módulo 3
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
Definição
Potência de expoente fraccionário é toda potência cujo expoente é uma
fracção de termos inteiros.
E podemos indicar esta definição através de símbolos matemáticos, como
segue:
p
q
a ;"aÎR;pÙqÎZÙq¹0 Que se lê a elevado a p sobre q; para qualquer
número a que pertence ao conjunto dos números reais ; p e q
pertencem ao conjunto dos números inteiros e q deve ser um número
diferente de zero porque a divisão por zero não é possível.
Exemplo 2
3
4
2 - Lê-se dois elevado a três quartos ou (três sobre quatro).
5
2
3,1 - Lê-se três vírgula um elevado a cinco meios ou (cinco sobre dois).
−6
5
π - Lê-se pi elevado a menos seis quintos ou (menos seis sobre cinco).
1
2
9 - Lê-se nove elevado a um meio ou (um sobre dois).
Transformação de uma potência de expoente fraccionário em radical.
≠
∧
∈
∀
p q p
+
q
a = a , a R 0 q 0 Que se lê, a elevado a p sobre q é igual a
raiz quadrada de índice q de a elevado a p; regra válida para qualquer
número real positivo incluindo o zero, e q não pode tomar valor zero
(porque a divisão por zero não é possível).
Exemplo 3
1
2
1
3 = 3 - Onde a base 3 seria o a e o expoente a fracção 2
correspondente a
p
(expoente da potência), igual a 3 , onde o índice q é
q
2 (que por convensão omite-se, segundo o que já se explicou na introdução
da raiz quadrada) e o expoente do radicando é 1 , pois p = 1
Matemática - Módulo 3
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51
Lição 5- Potência de Expoente Fraccionário
1
1
Sabe que a 2 = a e do mesmo modo a = a 2 ; o
1
mesmo aplica-se para 3 2 = 3 , onde se omite o
índice tal como vimos na lição 3. E veja que para o
2
caso 2 3 = 3 22 = 3 4 .
Em geral temos
1
1
a 2 = a , ∀ a∈ℝ +0 - Que significa: a elevado a 2 , e qualquer a pertencente
ao conjunto dos números reais positivos incluindo o zero.
Exemplo 4
1
2
25 = 25 = 5
5
2 2 = 2 25 = 2i2i2i2i2 = 32
1
2
3i6,25 = 3 6, 25
Transformando a potência em radical,
sabe-se que 25 é um quadrado perfeito,
então raiz quadrada de 25 é igual a 5.
Tranformando a potência em radical,
onde 2 é índice (que por convensão
omite-se) e dois elevado a cinco é igual
a 32.
Três é coeficiente da potência e o
expoente do radicando é
1
. Na forma
2
do radical, o 3 continua coeficiente, o
denominador 2 fica índice, e o 1 o
expoente do radicando 6,25.
52
Matemática - Módulo 3
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
Saibas que:
Regras de potenciação
1
a − p = a− p =  
a
Exemplos
1
-1  1  1
3 =  =
3 3
p
ou
2
-2  1   1   1  1
5 =   =  i  =
 5   5   5  25
(a )
p
q
2
(3 )
= q pq
3
= 32 i3 = 36 = 729
a1 = a
3241= 324
a0 = 1
20060 = 1
Exemplo 5
Caro aluno, siga antentamente o
exemplo a seguir e anote os
diferentes passos da resolução de
cada exercício.
1
a) 16 2 = 16
3
b) 3 2 = 33 = 3i3i3 = 27
2
1
2
4
c) 9 = 9 = 9 = 3
5
5
5 5
5
1
d) 1690,5 = 16910 = 169 2 = 169
Matemática - Módulo 3
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53
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
TOME NOTA...
1
Sejam as expressões 16 2 e 16 elevando ambas expressões ao
2
 12 
expoente 2 teremos o mesmo resultado: 16  =


2
( 16 )
( 16 )
16 = ( 16 )
16 2 =
1
2
2
2
16 =16
1
Então: 16 2 = 16 pois, potências de expoentes iguais serão iguais se
tiverem bases também iguais.
Exemplo 6
Caro aluno, as regras de operações com potências de expoente natural são
todas válidas na operação com potências de expoente fraccionário ( ℚ ).
Preste atênção ao exemplo 6:
Seja:
1
1
a) 12 2 :2 2 .
Para resolver este exercício, aplicam-se as mesmas regras que as
aprendidas na 8ª classe assim como nas lições anteriores.
Assim temos, divisão de potências com expoentes iguais e bases
diferentes.
1
1
1
12 2 :2 2 = (12:2 ) 2
(12:2 )
Matemática - Módulo 3
1
2
=6
1
2
Dividem-se as bases e matem-se o expoente.
54
54
Lição 5- Potência de Expoente Fraccionário
1
b) 6:6 2
Na divisão de potências de bases iguais e expoentes diferentes.
1
1
6:6 2 = 61 :6 2
1−
=6
Mantêm-se as bases e subtraem-se os expoentes.
1
2
1
= 62
1
1
c) 3 2 i 4 2
Na multiplicação de potências de bases diferentes e expoentes iguais.
1
1
Multiplicam-se as bases e mantem-se
os expoentes.
1
3 2 i 4 2 =12 2
1
1
d) 5 6 i 5 3
Na multiplicação de potências de bases iguais e expoentes diferentes.
1
6
1 1
+
6 3
1
3
5 i 5 = 5 (1)
=5
=5
3
6
( 2)
Matêm-se as bases e adicionam-se os
expoentes.
1
2
Caro aluno, depois de ter acompanhado os exemplos,
resolve os exercícios que se seguem.
55
Matemática - Módulo 3
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
EXERCÍCIOS
1. Transforme em potência de expoente fraccionário, como no exemplo
1
6 = 62 .
a) 3
b) 15
c)
29
d) 3 5
e) 2 11
3
7
f)
g)
2
1, 2
3
h)
5 7
2 6
1
2
( )
2. Calcule como no exemplo 16
( )
a) 2,4
1
2
1
(
43
)
Matemática - Módulo 3
(
1, 4
2
1
2
2
 2
d)  2 3 


e)
i2
= 16 2 = 16 2 = 16 = 16 .
2
2

 3  
b)   
 7  
c)
1
2
)
2
2
56
56
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
f) 3 23, 2
(
)
3
g)  2

2
3

4 
2
3. Marque com um V as afirmações verdadeiras e um F as falsas em
relação as potências de expoente fraccionário.
V/F
( ) = 2, 4
b) ( 2,4 ) = 5, 76
a) 2,4
1
2
2
1
2
2
2
2

9
 3  
c)    = 49
 7  
1
2
2

3
 3  
d)    = 7
 7  
1
e)
(
43
f)
(
43
)
)
2
2
= 43
= 1849
2
 2 8
g)  2 3  = 3


2
 2  16
h)  2 3  = 9


i)
(
1, 4
)
j)
(
1, 4
)
(
2
2
= 1, 96
= 1, 4
l) 3 23, 2
(
)
2
m) 3 23, 2
Matemática - Módulo 3
)
= 208,8
2
= 20,88
57
57
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
V/F
2
3 3
6
n)  2 4  = 12


3
o)  2

2
3  27
 =
4  16
4. Complete as expressões de modo que sejam verdadeiras em
relação a potências de expoente fraccionário.
a) 6 = 6 __
1
b) 17 = __ 2
c) 3 27 = 3i __
__
2
3 1
1
=
__
i
d) 11 2
 
2
___
 
5. Calcule o valor de cada uma das expressões.
1
a) 49 2
b)
( 11)
 1
c)  5 


2
2

5
d) 10 2 


Matemática - Módulo 3
2
58
58
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
6. Marque com V as afirmações verdadeiras e um F as falsas. E
justifique as afirmações verdadeiras, em relação a
multiplicação e divisão de potências de expoente fraccionário.
1
1
1
1
1
 1 6  1 3  1  2
a)   i   =  
 2 2  2
 1 6  1 3
b)   i   =
2  2
1
1
1
1
V/F
2
 1 3  1 6  1 
 =1
c)   i   :
2 2  2 
 1 3  1 6  1  1
=
d)   i   :
2 2  2  2
 12
 50
e)  1
 22


1
 i  4 2  =10
  
  

 12
 50
f)  1
 22


1
 i  4 2  =100
  
  

Caro aluno, após a resolução dos
exercícios propostos confira as
suas respostas na chave de
correcção que lhe apresentamos a
seguir.
Matemática - Módulo 3
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Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
CHAVE DE CORRECÇÃO
1.
1
2
a) 3 =
3
1
b) 15 = 15 2
1
c)
29 = 29 2
1
d) 3 5 = 3i5 2
1
e) 2 11 = 2i112
1
3  3 2
=
7  7 
f)
g)
1
2
2
1, 2 = i 1,2 2
3
3
1
5 7 5  7 2
= i
h)
2 6 2  6 
2.
2
( )
a) 2,4
1
2
2
= 2, 4 2 = 2, 4
2
2
2

2
 3   =  3  = 3
b)      7
 7    7 
1
c)
(
)

2
1

2
2
43 = ( 43) 2  = 432 = 43


2
2

2
2 8
2  2 2
 = 2 i  = 4i =
d)  2
3
3 3
3

e)
Matemática - Módulo 3
(
1, 4
)
2
2
1
2


= (1, 4 ) 2  = (1, 2 ) 2 =1, 4


60
60
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
f) 3 23, 2
(
)
3
g) 
2
2
2
2
2
= 3 i( 23, 2 ) 2 = 9i23, 2 = 208,8
3  3
 =
4   2 
2
2
 3  2 9 3 27
i  = i =
4 4 16
4
3. a) V; b) F; c) F; d) V; e) V; f) F; g) V; h) F; i) F; j) V; l) V;
m) F; n) F; o) V
1
4. a) 6 = 6 2
1
b) 17 = 17 2
1
c) 3 27 = 3i27 2
3 1 3 1
d) 11 2 = 11 i  
2
1
2
 
1
5. a) 49 2 = 49 = 7
b)
( 11)
2
= 11
2
 1 1
c)  5  = 5


2
2
1

5
5 500
2  5 2
5
10
=
i
=
100
i
= 250
 10  
d) 
  = 100 i =
2
2
2
 2
2

6.
a) V
1
1
1 1
+
3
 1 6  1 3  1 6
Porque:   i   =  
2 2
2
1
16
=   (1)
2
+
1
3
( 2)
3
1
 1 6  1 2
=   =   ou
2 2
1
 
2
Matemática - Módulo 3
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61
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
b) F;
1
1
1 1
c) V
+
 1 3  1 6 1
 1 3 6 1
Porque:   i   :
=   :
2
2
2 2
2
1
13
=  ( 2)
2
+
1
6
(1)
:
1
2
3
1
1
1
 1 6  1 2
=   : 
2 2
 1 2  1 2
=   : 
2 2
1 1
−
2
 1 2
=  
2
1
=  
2
=1
d) F;
e) V
Porque:
1
50 2
2
1
2
1
1
1
0
1
i 42 = 2 2 2
50 :2 i 4
1
1
= ( 50:2 ) 2 i 4 2
1
1
= 25 2 i 4 2
1
= ( 25 i 4 ) 2
1
= 100 2
= 100
= 10
f) F
Matemática - Módulo 3
62
62
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
Caro aluno, você acabou de resolver os
exercícios propostos. Acertou em todos? Se
sim, está de parabéns! Prossiga o seu estudo
passando para a lição seguinte.
Se não acertou algum dos exercícios reestude
esta lição ou procure estudar com um colega.
Depois resolve novamente os exercícios. Já
CAA
para esclarecer as suas dúvidas.
s a
b
e
q
u
e
o
T
u
t o
r
s e
e
n
c
o
n
t r a
d
i s p
o
n
í v
e
l
n
o
Empenhemo-nos no combate e
Por uma
geração livre da SIDA!
p
Matemática - Módulo 3
r
e
v
e
n
ç
ã
o
d
a
S
I D
A
.
63
63
Lição 5 - Potência de Expoente Fraccionário
AS dts
O que são as DTS?
As DTS são as Doenças de Transmissão Sexual. Ou
seja, as DTS são doenças que se transmitem pelo
contacto sexual vulgarmente dito: fazer amor.
Antigamente estas doenças eram chamadas de doenças
venéreas, pois “Vénus” era o nome de uma deusa grega
que era conhecida como a “deusa do amor”.
Quando suspeitar de uma DTS?
Nas meninas e mulheres
Líquidos vaginais brancos e mal cheirosos.
Comichão ou queimaduras na vulva, vagina
ou no ânus.
Ardor ao urinar.
Feridas nos órgãos sexuais.
Nos rapazes e nos homens
Um corrimento de pus (sujidade) a sair do pénis.
Feridas no pénis e nos outros órgãos genitais.
Ardor ao urinar.
Matemática - Módulo 3
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