ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
Teorema de Poynting
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
Equações de Maxwell
  E r,t   
H  r , t 
t
  H r,t   J r,t   
E  r , t 
 .D  r , t     r , t 
 .B  r , t   0
t
E H  E J E
E J  E H E

A B 
E
t
E
t
B   A   A   B 

E  H  
H
  E   E   H 
E
  H  
H
  E     E  H 
E J  H
  E     E  H    E
E
t
E J  H
  E     E  H    E
E J   H
1  E
2
t
2

1 E E
2
t
H
t

1
2
E
t
E  H   E
E
E
E
t
t
H
  E  
H 

E J  H  

t 

E
t


1 E
2 t
E
t
E  H 
E  E
E
t
  H
E J  
 2 t

 E
J dv  



  H

 2 t



  E
2
t
  E
2

2

2
t
2
  H

 2 t

E J dv 
2
2
  E
2




2
t
E J s dv 


dv 

t


E  H 

dv 



   E  H  dv
E J c dv

H

 2
2


2
E
2

 dv



 E  H  dv 

S  EH
E  H ds

E J dv  

t


H

 2
2


2
E
2

dv 


E  H ds
Teorema Complexo de Poynting
j
j t
j t
A  t   R e  A e   R e  A e A e 
j
j t
j t
B  t   R e  B e   R e  B e B e 
j t
j t
j t
A  t  B  t   R e  A e  R e  B e   R e  A B e 
A  t  B  t   A co s   t   A  B co s   t   B 
A t  B t  
AB
2
A t  B t  
 cos   A   B   cos  2  t   A   B  
AB
2
 cos   A   B   
1
*
R e  A B 
2
EH
S  E t   H t  
2
 cos   A   B   
S  EH
1
*
R e  E  H 
2
*
  E   j  H
  H  j  E  J
H
*
  E   j H
*
H
 E   H  j E E  E J
*
H
*
*
  E  E   H   j  H
*

E  H
*

  j  H
2
2
*
 j  E
 j  E
2
2
E J
E J
*
*

 

E  H
E  H
EH
*
1
2
1
2

*
*

2
  j  H

 dv   j   H

ds   j   H
2
2
2

 E
 E
 Im  S  ds   2  W
1
S ds   2 j    H
4
2
 j  E
1
2
2
E J
*
 dv   E
 dv   E
*
J dv
*
J dv
 W e   PR
m
 E
4
2
1

 dv 
2


*
E J dv
Parte Real
1
2

1
1
*


R e  S  ds    R e  E J S  dv 
2
2
1
2
 R e  S  ds  P
S
 PC
 
E
2
dv
Parte Imaginária
1
2

1
Im  S  ds   2     H
4
1
2
2

1
4

2
 E  dv 
 Im  S  ds   2  W

m
1
*

 dv
Im
E
J



2
 W e   PR
Exemplo:
Considere uma onda plana se propagando na direção +z com os campos
ˆ 0 co s   t  kz 
E  r , t   xE
E
H  r , t   yˆ 0 cos   t  kz 

Demonstre o teorema de Poynting num volume retangular com tamanho x=a,
y=b e z=c.
 E
1
2

J dv  

 t 

H

 2
1
S ds   2 j    H
4
2


E
2
2

1
4
 E
2

dv 

2
 E  H
1

 dv 
2


ds
*
E J dv
 E
J dv  
S  EH
 t 
We 
2

2
Wm 

E

2

2

ˆ 0 cos   t  kz   yˆ
S  xE
S  zˆ


H

 2

H
2

2
E J dv  0
E0
2
cos

2
E 0 cos
 E0
2 
2
2
2

E
2
E0

2

dv 

 E  H
ds
cos   t  kz 
  t  kz 
  t  kz 
2
cos
2
  t  kz  

2
2
E 0 cos
2
  t  kz   W e

a b

H

 2
2


E
2
2

dv 

a b
c
Wm


0 0 0
c

c
 E 0 cos
2
2
  t  kz  dxdydz
 ab  E 0
0 0 0
ab 
2
E0

2

cos
2
  t  kz  dz
0
c
2
 W e  dxdydz
1  cos 2   t  kz   dz 
0
ab 
2
E0
2

sin  2  t  sin 2   t  kc  

c 

2k
2k


Aplicando d/dt
ab 
2

t


H

 2
2

E0
2
 cos  2  t  cos 2   t  kc  



k
k


ab

2

E dv 
E 0  cos  2  t   cos 2   t  kc  
2
2

2
S  zˆ
a b
 E  H
ds  
E0

E0
2
cos

  t  kz 
a b
2

2
cos
2
  t  dz   
0 0

E0
2

cos
2
  t  kc  dz
0 0
E  H ds  
ab
2
E 0  cos  2 t   cos 2   t  kc  
2
Teorema de Poynting
 E
J dv  

 t 

H

 2
2


2
E
2

dv 

 E  H
ds
1
2

1
S ds   2 j    H
4
2
1

 E
2
4
1

 dv 
2


*
E J dv
ˆ 0 e  jkz
E  r   xE
H  r   yˆ
S  EH
*
E0

ˆ 0 e  jkz  yˆ
 xE
e
 jkz
E0

e
jkz
 zˆ
E0
2

Como os fasores E e H estão em fase, S será puramente real., como não temos
perdas, devemos demonstrar que:
1
2
 R e  S  ds  P
S
 PC  0
1
2
 a b E02
R e  S  ds  R e    
dz 
2
 0 0 
1

a b

0 0

dz   0


E0
2
Como não temos potencia reativa, devemos demonstrar que Wm=We
1
 Im  S  ds   2  W
2
1
2
We 
Wm 

1
Im  S  ds   2     H
4
1
 4
1
 4
a b c
2
 E dv    
0 0 0
1
4
a b c
 H
2
dv 

1
2
1

E0

 E
abc
4
2
2
 W e   PR
2
4
 E 0 dxdydz 
 4
0 0 0
2
m
dxdydz 
1

 dv 
2

 E0
abc
4
*

 dv
Im
E
J
 

2

E0

2
2

abc
4
 E0
2
ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
Propagação em Meios com Perda
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
Considere um meio com perdas, caracterizado pela sua condutividade ,
porem sem cargas livres.
As equações de Maxwell para campos harmônicos são escritos da
seguinte forma:
Aplicando o rotacional na Eq (10.13)
Fazendo uso da identidade vetorial
e da Eq. (10.14)
Obtem-se
Ou
Onde
 é conhecida como constante de propagação, e será uma variável complexa,
Podendo ser expressa na forma,
de forma similar pode ser obtida uma equação para o campo magnético,
Para obtermos os valores de a e b na Eq. (10.20) faremos o seguinte:
Resolvendo o sistema de equações (10.21) e (10.22) obtem-se
Consideremos um campo propagando na direção +z, com apenas uma
componente em x,
Substituindo na Eq. (10.17), obtem-se
Colocando em evidencia o operador laplaciano, lembrando que não existe
variação na direção x e y
Obtem-se a equação diferencial,
Cuja solução tem a forma,
Como o campo deve ser finito em z=infinito, considera-se apenas a
exponencial negativa, o campo E(r,t) pode ser então escrito como,
Resultando em ,
E  z, t   E0e
a z
cos   t  b z  xˆ
De forma analoga, pode ser obtida a solução da Eq. (10.19)
Onde
é conhecida como impedância do meio e será complexa
Onde
O ângulo q varia entre 0 e 45 graus.
Substituindo (10.31) e (10.32) em (10.30)
H  z, t  
E0

e
a z
cos   t  b z  q   yˆ
Observe a defasagem entre os campos,
E  z, t   E0e
a z
cos   t  b z  xˆ
As propriedades de propagação são calculadas usando
Podemos também re-escrever a Eq (10.14)
onde
Ou
onde