Equações diferenciais parciais (EDP)
Versão do 15-11-2011
Classificação de EDP
1) Classifique as equações de derivadas parciais em hiperbólica, parabólica, ou elíptica:
a)
b)
c)
∂2 u 2 ∂2 u ∂2 u 6 ∂ u
+
+
−
=0
∂ x2 ∂ x ∂ y ∂ y2 ∂ y
2
2
2
3∂ u 5 ∂ u ∂ u
+
+
=0
2
∂ x ∂ y ∂ y2
∂x
∂2 u
∂2 u
∂2 u
+
+
=0
∂ x2 ∂ x ∂ y ∂ y2
(Arnon L. J. de Lima, parabólica)
(Arnon L. J. de Lima, hiperbólica)
(elíptica)
Equação do Calor
2
∂ u ∂u
=
em uma haste de comprimento L sujeita às condições
2
∂ x ∂t
u(0,t) = u(L,t) =0, u(x,0)=1; 0<x<L/2; u(x,0) = 0; L/2<x<L.
nπ
−cos
+1
2 ∞
2
nπ )
(
−k (n² π / L²)t
u ( x ,t )= π ∑n =1 (
)e
sin
x
n
L
3) Determine a temperatura u(x,t) em uma haste de comprimento L, se a temperatura inicial é f(x) e
se as extremidades x =0 e x=L são isoladas.
L
1 L
2 ∞
nπ
nπ
−k (n π / L )t
x dx)e
cos
x )
( u ( x ,t )= ∫0 f ( x) dx+ ∑n=1 (∫0 f ( x )cos
L
L
L
L
2) Resolva a equação do calor k
2
2
2
2
Equação da Onda
∂2 u ∂2 u
=
4) Resolva a equação da onda a
, 0<x<L, t > 0; sujeita às condições indicadas:
∂ x 2 ∂2 t
2
a) u(0,t)= u(L,t) = 0
1
∂u
u ( x ,0)= x ( L−x) ,
( x ,0)=0
4
∂t
b) u (0, t)=u(π , t)=0
u ( x ,0)=0
∂u
( x ,0)=sin x
∂t
n
L2 ∞ 1−(−1)
nπ a
nπ
cos
t sin
x )
( u (x ,t )= 3 ∑n =1
3
L
L
π
n
1
( u ( x ,t )= sin at sin x )
a
Equação de Laplace
5) Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as condições de
contorno dadas.
a) u(0,y) = 0, u(a,y) = 0
u(x,0) = 0, u(x,b) = f(x)
(
u (x , y )=
b) u(0,y) = 0, u(1,y) = 1-y
∂u
∂u
( x ,0)=0 ;
(x ,1)=0
∂y
∂y
2 ∞
(
a ∑n=1
a
1
nπ
nπ
nπ
f ( x)sin
x dx)sin
y sin
x
∫
0
nπ
a
a
a
)
sinh
b
a
n
1
2 ∞ 1−(−1)
sinh n π x cos n π y )
( u (x , y )= x+ 2 ∑ n=1 2
2
π
n sinh n π
Problemas em coordenadas polares e cilíndricas
6) Determine a temperatura de estado estacionário u (r , θ) em uma chapa circular de raio r = 1,
se a temperatura ma circunferência é u (1, θ)=2 π θ−θ 2 , 0<θ<2 π
∞
2 π2
rn
u
(r
,
θ)=
−4
(
∑n=1 n 2 cos n θ )
3
7) Determine o deslocamento u(r,t) de uma membrana circular de raio c em sua circunferência, se
seu deslocamenti inicial u(r,0) =0 e se imprimimos à membrana uma velocidade unitária inicial na
∞
sin λn at J 0( λ n r )
2
direção para cima.
( u (r , t)= ∑ n=1
)
ac
λ n2 J 1( λ n c)
8) Determine a temperatura de estado estacinário u(r,z) no cilindro circular de raio 2 e altura 4, se as
condições de contorno são u(2,z) = 0, 0<z<4, u(r,4) =0, 0 < r<2.
∞
sinh λ n (4−z ) J 0 (λ n r )
( u (r , z )=u 0 ∑ n=1
)
λn sinh 4 λ n J 1 (2 λn )
Problemas em coordenadas esferícas
9) Determine a temperatura de estado estacionário u (r , θ) na esfera de raio c, se a temperatura
na superfície for igual a f (θ)=cos (θ) ,0<θ<π . Sugestão: P 1 (cos( θ))=cos(θ) , utilize a
r
ortogonalidade.
( u (r , θ)= cos (θ) )
c