Estudo da interacção de um campo magnético com uma partícula confinada a um
poço de potencial esférico.
David Tavares 62818
Marta Farracho 62845
Física Quântica da Matéria
Instituto Superior Técnico
Abril, 2010
Resumo
Neste trabalho foi estudada a perturbação causada por um campo magnético uniforme, numa
partícula sem spin, de massa m e carga e, confinada a um poço de potencial esférico. O efeito foi estudado
em duas condições: supondo o campo fraco e supondo o campo forte. Utilizando a teoria das perturbações
independente do tempo, foi obtida a energia do estado fundamental para um campo fraco e para o campo
magnético de forte intensidade foi feita uma analogia com um potencial de oscilador harmónico
bidimensional.
Dos resultados obtidos concluiu-se que a presença do campo magnético eleva a energia do estado
fundamental da partícula e que para campos magnéticos de forte intensidade o comportamente do sistema
apresenta fortes semelhanças a um oscilador.
Introdução
O objectivo deste trabalho é analisar os
efeitos da aplicação de um campo magnético
Ψ 𝑟, 𝑡 = 𝜓𝑛 (𝑟)𝑒 −𝑖
𝐸𝑛 𝑡
ℏ
(2)
𝐻𝜓 = 𝐸𝜓
(3)
fraco e de um campo magnético forte a uma
partícula sem spin, de massa m e carga e,
confinada a uma esfera de potencial
0, 𝑟 < 𝑅
𝑉 𝑟 =
,
∞, 𝑟 > 𝑅
Para uma partícula normal, o hamiltoneano
é dado por:
(1)
𝑝2
ℏ2 2
𝐻=
+𝑉=−
∇ +𝑉
2𝑚
2𝑚
calculando a energia do estado fundamental em
ambos os casos.
O interesse do problema resulta da
ℏ2
− 2𝑚 ∇2 𝜓 + 𝑉 𝜓 = 𝐸𝜓
(4)
utilização de diversas componentes da matéria
Que em coordenadas esféricas (𝜓(𝑟, 𝜃, 𝜙))
deste curso, servindo como paradigma que pode
ser utilizado na resolução de muitos outros
se escreve:
exercícios.
ℏ2
− 2𝑚
Desenvolvimento do Problema
Partindo da equação de Schröedinger
1 𝜕
𝑟 2 𝜕𝑟
𝜕 2𝜓
1
𝑟 2 sin
𝜃2
𝜕𝜙 2
𝑟2
𝜕𝜓
𝜕𝑟
1
𝜕
𝜕𝜓
+ 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 +
+ 𝑉 𝜓 = 𝐸𝜓
independente do tempo, tem-se que:
uma vez que o Laplaciano é dado por:
(5)
1 𝜕
𝜕
1
𝜕
𝜕
∇2 = 𝑟 2 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝑟 + 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 +
1
𝜕2
𝑟 2 sin 𝜃 2
𝜕𝜙 2
𝑘≡
No estado fundamental, 𝑛 = 1 e 𝑙 = 0.
angular, temos:
Substituindo:
𝑑2 𝑢
𝑑𝑥2
𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙 = 𝑅 𝑟 𝑌(𝜃, 𝜙)
ℏ2
𝑌 𝑑
𝜕𝑅
𝑅
𝜕 2𝑌
𝑟 2 sin 𝜃 2
𝜕𝜙 2
1 𝑑
𝑅
𝜕
𝜕𝑌
+𝑉𝑅𝑌 =𝐸𝑅𝑌
𝑑𝑅
𝑟 2 𝑑𝑟 −
1
1
+𝑌
𝜕
𝑟 2 sin
(13)
(7)
(8)
Dividindo por 𝑌 𝑅 e multiplicando por −
𝑅 𝑑𝑟
= −𝑘 2 𝑢 ⇒ 𝑢 𝑟 = 𝐴 sin 𝑘𝑟 + 𝐵 cos(𝑘𝑟)
𝑟 2 𝜕𝑟 + 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 +
𝑟 2 𝑑𝑟
(12)
ℏ
(6)
Separando as variáveis na parte radial e
− 2𝑚
2𝑚𝐸
2𝑚
ℏ2
ℏ2
𝑟2 :
𝑟2 𝑉 𝑟 − 𝐸
𝜕𝑌
𝜃 𝜕𝜃
2𝑚
1
sin 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑟 2 sin 𝜃 2
No entanto 𝑅 𝑟 =
𝑢 𝑟
𝑟
e lim𝑟⟶0
𝜕𝜙 2
=0
𝑟
=
∞, ou seja, B terá que ser igual a 0.
Considerando
a
condição
fronteira
𝑢(𝑅) = 0, obtém-se para a energia:
sin 𝑘𝑅 = 0 ⇒ 𝑘𝑅 = 𝑛𝜋 ⟺ 𝑘 =
𝜕 2𝑌
cos 𝑘𝑟
𝐸𝑛 =
𝑛 2 𝜋 2 ℏ2
2𝑚 𝑅 2
𝑛𝜋
(14)
𝑅
𝜋 2 ℏ2
, 𝑛 = 1,2,3, …
𝐸1 = 2𝑚 𝑅 2
(15)
(9)
Para a
Uma vez que o primeiro termo só depende
função
de onda do
estado
fundamental (𝑛 = 1, 𝑙 = 0, 𝑚 = 0):
de r e o segundo só depende de 𝜃 e de 𝜙, têm que
ser constantes. Igualando ambos a 𝑙(𝑙 + 1), da
𝑅1 𝑟 =
𝐴 sin
𝜋𝑟
𝑅
𝑒 𝑌0 0 =
𝑟
dependência angular obtêm-se as harmónicas
1
(16)
4𝜋
esféricas já estudadas e da equação radial obtémQue normalizando (𝐴 =
se, fazendo 𝑢 𝑟 ≡ 𝑟𝑅(𝑟) e simplificando:
ℏ2
𝑑2 𝑢
ℏ2
− 2𝑚 𝑑 𝑥 2 + 𝑉 + 2𝑚
𝑙(𝑙+1)
𝑟2
𝑢=𝐸𝑢
(10)
Para 𝑟 > 𝑅 tem-se 𝑉 = ∞ logo, 𝑢(𝑟) = 0.
No caso de 𝑟 < 𝑅, tem-se 𝑉 = 0 logo,
ℏ2 𝑑 2 𝑢
ℏ2 𝑙(𝑙+1)
− 2𝑚 𝑑 𝑥 2 + 2𝑚
𝑑2 𝑢
𝑑𝑥2
=
𝑙(𝑙+1)
𝑟2
onde
𝑟2
−𝑘
2
1
𝜓1 =
𝑢
(17)
𝑟
Na presença de um campo magnético, o
Hamiltoniano passa a ser dado pela expressão [2]:
1
𝑢=𝐸𝑢
):
𝜋𝑟
𝑅
sin
2𝜋𝑅
2
𝑅
(11)
𝐻 = 2𝑚
(13)
𝑝𝑧 −
𝑝𝑥 −
𝑒 𝐴𝑧 2
𝐶
𝑒 𝐴𝑥 2
𝐶
+𝑉
+ 𝑝𝑦 −
𝑒 𝐴𝑦 2
𝐶
+
(18)
Em que 𝐴𝑖 é a componente do potencial
vector do campo magnético segundo a direcção i.
Obtém-se assim o Hamiltoneano:
1
2
2
𝐻 = 2𝑚 𝑝2 + 𝑒 𝐵2
4𝐶
𝑥2 + 𝑦2
+𝑉
(27)
Dado que:
𝐵 = 𝐵 𝑒𝑧
Sendo B um campo fraco, é possível usar o
𝑒 𝐵 = ∇×𝐴
(19)
Hamiltoneano normal considerando a parcela
𝑒 2 𝐵2
Calula-se o potencial vector (por questão
4𝐶 2
𝑥 2 + 𝑦 2 como uma perturbação. Assim:
se simplicidade foi escolhido o potencial vector tal
𝐻 = 𝐻0 + 𝐻′
que ∇. 𝐴 = 0):
(28)
𝑝2
𝐻0 = 2𝑚 + 𝑉
𝐵
𝐴𝑥 = − 2 𝑦
𝐻′ =
𝐵
(20)
𝐴𝑦 = 2 𝑥
𝐴𝑧 = 0
de
𝐻 = 2𝑚
𝑝𝑥 +
𝑥2 + 𝑦2
8𝑚 𝐶 2
(30)
De acordo com a teoria das perturbações
Substituindo em (18):
1
𝑒 2 𝐵2
(29)
𝑒𝐵𝑦 2
2𝐶
+ 𝑝𝑦 −
𝑒𝐵𝑥 2
2𝐶
primeira
ordem,
aplicada
ao
estado
fundamental:
+ 𝑝𝑧 2 + 𝑉
(21)
𝐸1 = 𝐸10 + 𝐸11
(31)
𝐸11 = 𝜓10 𝐻′ 𝜓10
(32)
Recuperando as fórmulas (15) e (17), e
Dado que 𝑝𝑥 , 𝑦 = 𝑝𝑦 , 𝑥 = 0,
transformando 𝑥 e 𝑦 em coordenadas esféricas:
1
𝐻 = 2𝑚
𝑒𝐵
𝑝𝑥 2 + 𝑦 𝑝𝑥
2
𝑝𝑦 − 𝑥 𝑝𝑦
𝐶
𝑒𝐵
𝐶
+
+
𝑒 2 𝐵2
𝑦2 +
4𝐶 2
2
𝑒 𝐵2 2
𝑥
4𝐶 2
+ 𝑝𝑧
2
+𝑉
𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 , 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃
(33)
(22)
𝐻′ =
Sabendo que
𝑝 = 𝑝𝑥 2 + 𝑝𝑦 2 + 𝑝𝑧 2
𝐻′ =
𝑙𝑧 = 𝑥 𝑝𝑦 − 𝑦 𝑝𝑥
𝐻 = 2𝑚 𝑝2 −
𝑟 2 sin2 𝜃 cos 2 𝜙 + 𝑟 2 sin2 𝜃 sin2 𝜙
𝑒 2 𝐵2
8𝑚 𝐶 2
𝑟 2 sin2 𝜃
(35)
(24)
Assim:
tem-se:
1
8𝑚 𝐶 2
(34)
(23)
e
𝑒 2 𝐵2
𝑒𝐵
𝐶
𝑙𝑧 +
𝑒 2 𝐵2
4𝐶 2
𝑥2 + 𝑦2
+𝑉
(25)
𝐸11 =
∗
𝜓10 𝐻′ 𝜓10 𝑟 2 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝑟
𝑅 2𝜋 𝜋
0 0
0
𝐴 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝑟
(36)
(37)
em que
No nível fundamental:
𝑙𝑧 𝑙 𝑚 = ℏ𝑚 𝑙 𝑚 ⇒ 𝑙𝑧 0 0 = 0
∞
0
𝐸11 =
(26)
𝐴=
1
2𝜋𝑅
sin
𝜋𝑟
𝑅
𝑟
𝑒2 𝐵2 2 2
𝑟 sin 𝜃
8𝑚𝐶 2
1
2𝜋𝑅
sin
𝜋𝑟
𝑅
𝑟
𝑟 2 sin 𝜃
(38)
𝐸11 =
Analisando
1 𝑒 2 𝐵 2 𝑅 2𝜋 𝜋
0
2𝜋𝑅 8𝑚 𝐶 2 0 0
1 𝑒 2 𝐵2
2
⇔ 𝐸11 = 2𝜋𝑅 8𝑚 𝐶 2
𝑒2
𝐵2 𝑅2
72𝑚 𝐶 2
2−
𝜋𝑟
sin2
é
possível
maior do que zero, conclui-se que a presença de
3
2 − 𝜋 2 𝜋𝑅3 =
9
resultado,
observar o efeito do campo magnético. Como 𝐸11 é
𝑟 2 sin3 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝑟
𝑅
o
um campo magnético leva ao aumento da energia
3
(39)
𝜋2
do estado fundamental da partícula. É de notar
ainda que o efeito do campo é proporcional ao
No caso de um campo magnético forte, o
quadrado da sua intensidade.
Observando agora o resultado obtido em
seu efeito já não poderá ser considerado uma
(44),
perturbação:
1
2
2
𝐻 = 2𝑚 𝑝2 + 𝑒 𝐵2
4𝐶
𝑥2 + 𝑦2
No
é
𝑒2
𝐵2
8𝑚 𝐶 2
entanto,
𝑥2 + 𝑦2
+𝑉
possível
(40)
como
aproximação
para
a
energia
fundamental da partícula sob o efeito de um
campo forte, é possível concluir que a energia é
notar
que
tem a forma do potencial do
directamente proporcional a B multiplicado por
uma constante.
oscilador harmónico bidimensional segundo x e y
1
Conclusões
(𝑉 = 2 𝑚𝜔2 𝑥 2 + 𝑦 2 ), cuja solução é:
Podemos assim concluir que é possível
𝐸𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 = ℏ𝜔 𝑛𝑥 +𝑛𝑦 + 1
(41)
obter boas aproximações para o efeito de campos
magnéticos fortes e fracos. No entanto, este
resultado
Em que a energia do estado fundamental é
dado com 𝑛𝑥 = 𝑛𝑦 = 0,
não
pode
ser
generalizado
para
intensidades intermédias uma vez que, nesse caso,
seria necessário recorrer a outras aproximações.
𝐸0 0 = ℏ𝜔
(42)
Este estudo é de grande importância no
Fazendo a analogia entre o oscilador
âmbito do programa da disciplina já que faz a
harmónico e o Hamiltoneano obtém-se a equação:
síntese de vários tópicos importantes e pode servir
𝑒2
𝐵2
8𝑚 𝐶 2
𝑒2
1
𝐵2
𝑒𝐵
= 2 𝑚𝜔2 ⇔ 𝜔2 = 4𝑚 2 𝐶 2 ⇔ 𝜔 = 2𝑚𝐶
de base para a elaboração de outro tipo de
(43)
Finalmente
a
energia
do
exercícios.
estado
Bibliografia
fundamental será:
𝑒𝐵ℏ
𝐸0 0 = 2𝑚𝐶
(44)
[1] Introduction to Quantum Mechanics, 2nd
Edition, David Griffiths, 2005, Pearson
International Edition, Pearson Prentice Hall
Resultados e Discussão
[2] Classical Mechanics, 20th Edition, Herbert
Utilizando os resultados das equações (15),
(31) e (39) obtemos a expressão final para a
energia perturbada:
𝜋 2 ℏ2
𝐸1 = 2𝑚 𝑅 2 +
𝑒 2 𝐵2 𝑅2
72𝑚 𝐶 2
3
2 − 𝜋2
(45)
Goldstein, 1950, Addison Wesley