1.3 COMBINAÇÃO LINEAR
Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a obtenção de “novos
vetores” a partir de um conjunto pré-fixado de vetores desse espaço. Por exemplo, ao fixarmos
em R3 o vetor u = (2, – 1, 3), podemos obter a partir de u qualquer vetor v do tipo v = a.u, onde
a ∈ R. Assim, o vetor w = (– 4, 2, – 6) é obtido de u quando a = – 2. Na verdade, qualquer vetor
da reta que contém u é “criado” por u, ou, equivalentemente, podemos dizer que u “gera” a reta
que o contém.
Revisando e, ao mesmo tempo, ilustrando um pouco mais a definição que segue, sabemos
que todo vetor v = (a, b, c) em R3 pode ser escrito na forma
v = ai + bj + ck
onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1), ou seja, v é uma combinação linear dos vetores i, j,
k. Esse conceito, como veremos a seguir, não se restringe ao R2 ou R3.
1.3.1 Definição.
Sejam v1, v2,..., vn vetores quaisquer de um espaço vetorial V e a1, a2,..., an números reais. Então todo vetor v∈V da forma
v = a1v1 + a2v2 + ... + an vn
é um elemento de V ao que chamamos combinação linear de v1, v2, ..., vn.
1.3.2 Exemplo. Em R3, o vetor v = (– 7, 7, 7) é uma combinação linear dos vetores u1 = (– 1, 2,
4) e u2 = (5, – 3, 1), pois:
(– 7, 7, 7) = 2(– 1, 2, 4) – 1(5, – 3, 1).♦
1.3.3 Exemplo. Em M23,
⎛ − 3 2 8⎞
⎛ −1 0 4⎞ ⎛ 0 1 − 2⎞
⎟⎟
⎟⎟ + 2⎜⎜
⎟⎟ = 3⎜⎜
⎜⎜
⎝ − 1 9 3⎠
⎝ 1 1 5⎠ ⎝ − 2 3 − 6⎠
ou
8 − 10 ⎞
⎛ 1 5 − 1⎞ ⎛ 5
⎛ − 3 2 8⎞
⎟
⎟⎟ − 1⎜⎜
⎟⎟ = 2⎜⎜
⎜⎜
7
7
1⎟⎠
3
1
2
1
9
3
−
−
⎠ ⎝
⎝
⎠
⎝
De forma que o vetor
⎛ - 3 2 8⎞
⎜
⎟
⎝ -1 9 3⎠
⎧⎛ − 1 0 4 ⎞ ⎛ 0 1 − 2 ⎞⎫⎪
⎟⎬ e
⎟,⎜
⎪⎩⎝ 1 1 5 ⎟⎠ ⎜⎝ − 2 3 − 6 ⎟⎠⎪⎭
é uma combinação linear dos vetores do conjunto α = ⎪⎨⎜⎜
⎧⎛ 1 5 − 1⎞ ⎛ 5
8 − 10 ⎞⎫⎪
⎟⎬ .♦
⎟⎟,⎜⎜
1⎟⎠⎪⎭
⎪⎩⎝ 3 1 2 ⎠ ⎝ 7 − 7
também de β = ⎪⎨⎜⎜
Esse exemplo mostra que um mesmo vetor pode ser escrito como combinação linear de
diferentes conjuntos de vetores.
1.3.4 Exemplo. Em Pn, qualquer polinômio pode ser escrito como combinação linear dos monômios 1, x, x2, ..., xn. Esclarecendo e particularizando: em P3, o polinômio p(x) = – 3 + 4x2 é
uma combinação de 1, x, x2, x3, pois:
– 3 + 4x2 = – 3.1 + 0.x + 4.x2 + 0.x3
Observamos aqui que qualquer polinômio p(x) = a + bx + cx2 + dx3 em P3 é obtido atra16
vés de uma combinação linear dos vetores do conjunto {1, x, x2, x3} pois:
a + bx + cx2 + dx3 = a.1 + b.x + c.x2 + d.x3
Já o polinômio q(x) = 2 + 3x + x2 + 2x3 + 4x4 não é uma combinação linear dos vetores 1, x, x2,
x3. Dizemos, neste caso, que o polinômio q(x) não pertence ao subespaço gerado pelos vetores 1,
x, x2 e x3. Isto nos leva à seguinte definição.
1.3.5 Definição.
Um conjunto de vetores {v1, v2,..., vn} de um espaço vetorial V é dito gerador de V se
todo vetor em V pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ou seja, para
todo v ∈ V, existem escalares a1, a2,..., an, tais que
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
Usa-se a notação V = [v1, v2,..., vn], que se lê "V é gerado pelos vetores v1, v2,..., vn”.
Uma vez que todo subespaço de um espaço vetorial V é também um espaço vetorial, a
definição acima se estende a todos os subespaços vetoriais de V.
O conjunto de vetores gerados por v1, v2,..., vn, isto é,
W = {v ∈ V / v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn}
é um subespaço vetorial de V. (A prova é feita em 1.2.6).
1.3.6 Exemplo. Vimos, no item 1.3.4, que o espaço vetorial P3 é gerado pelos vetores 1, x, x2,
x3, pois
P3 = {p(x) / p(x) = a.1 + b.x + c.x2 + d.x3}.
Podemos, então, escrever P3 da seguinte forma:
P3 = [1, x, x2, x3].♦
1.3.7 Exemplo. Consideremos em R2 o vetor v = (1, 1) e determinemos o subespaço W gerado
por v, ou seja,
W = [v] = {u ∈ R2 / u = a.v}
Facilmente se percebe que W ≠ R2, pois tomando t = (1, 2) vemos que t ≠ a.v, ∀a ∈ R,
ou seja, t ∉ W. Voltando a definição de W, temos:
W = {(x, y) ∈ R2 / (x, y) = a(1, 1)}
⎧x = a
de forma que ⎨
, isto é, y = x.
⎩y = a
Assim, W = {(x, y) ∈ R2 / y = x} ou W = {(x, x) / x ∈ R}. Geometricamente, W é a reta
bissetriz dos quadrantes ímpares.
y
W
v
x
17
Observe que se tomarmos w = (2, 2), o subespaço gerado por w é o mesmo que o gerado
por v, e que pode ser gerado por ambos, isto é,
W = [v] = [w] = [v, w]
Isto vale porque w = 2.v, ou seja, v e w estão sobre a mesma reta.
Na verdade, se tivermos n vetores v1, v2,..., vn, todos não nulos e sobre a mesma reta suporte, podemos dizer que a reta é gerada por cada um dos vetores ou por “k” deles, onde k pode
variar de 1 a n.♦
1.3.8 Exemplo. Para encontrarmos um conjunto de geradores do R2 e do R3, basta lembrar que:
a) todo vetor v = (x, y) ∈ R2 pode ser escrito na forma
v = xi + yj,
onde i = (1, 0) e j = (0, 1). Assim, R = [i, j].
2
b) todo vetor v = (x, y, z) ∈ R3 pode ser escrito na forma
v = xi + yj + zk
de forma que R3 = [i, j, k].♦
1.3.9 Exemplo. Seja W = [(1, 1, 2), (2, – 1, 1)]. Vimos, seguindo a definição 1.3.5, que W é um
subespaço vetorial do R3. De posse do que dispomos até o momento podemos determinar W das
seguintes formas:
a) Aplicando a definição e resolvendo o sistema resultante.
W = {(x, y, z) ∈ R2 / (x, y, z) = a(1, 1, 2) + b(2, – 1, 1)}
Então
⎧ x = a + 2b
⎪
⎨ y = a −b .
⎪ z = 2a + b
⎩
x ⎞
x
⎛ 1 2 x⎞
⎛1 2
⎛1 2
⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
y−x ⎟.
⎜ 1 − 1 y ⎟ l2 ← l2 − l1 ⎜ 0 − 3 y − x ⎟ l3 ← l3 − l2 ⎜ 0 − 3
⎜2
⎜0 0 − x − y + z⎟
1 z ⎟⎠ l3 ← l3 − 2l 1 ⎜⎝ 0 − 3 z − 2 x ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
O sistema tem solução somente se – x – y + z = 0 ou x + y – z = 0. Assim:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / x + y – z = 0}
ou seja, W é o plano definido pela equação x + y – z = 0.
b) Utilizando 1.2.5:
1o) W não é a origem pois quem gera a origem é o vetor nulo.
2o) W não é uma reta pois os vetores que geram W não são múltiplos, isto é, (1, 1, 2) ≠ a(2, – 1,
1) para todo a ∈R.
3o) Como os dois vetores não são múltiplos, eles determinam um plano. Assim, qualquer outro
vetor (x, y, z) do plano deve satisfazer:
18
x
y
z
1 1 2 = 0⇒ x+ y−z = 0
2 −1 1
Logo, o subespaço W gerado pelos vetores (1, 1, 2) e (2, – 1, 1) é o plano que passa pela
origem definido pela equação x + y – z = 0, ou seja, W = {(x, y, z) ∈ R3 / x + y – z = 0}.♦
⎧⎛ a
a ⎞
⎫
1.3.10 Exemplo. Para gerar o espaço M22 = ⎨⎜ 11 12 ⎟ / aij ∈ R ⎬ são necessários, no mínimo, 4
⎩⎝ a 21 a 22 ⎠
⎭
vetores, pois os vetores de M22 são formados por 4 elementos (aij) de valores quaisquer. Uma
maneira simples de encontrar geradores de um espaço é buscar uma combinação linear de vetores que resulte na forma genérica apresentada.
Por exemplo:
⎛ a11
⎜
⎝ a 21
a12 ⎞
⎛ 0 0⎞
⎛ 0 0⎞
⎛ 0 1⎞
⎛ 1 0⎞
⎟
⎟ + a 22 ⎜
⎟ + a 21 ⎜
⎟ + a12 ⎜
⎟ = a11 ⎜
a 22 ⎠
⎝ 0 1⎠
⎝ 1 0⎠
⎝ 0 0⎠
⎝ 0 0⎠
ou
⎛ a11
⎜
⎝ a 21
a12 ⎞ a11 ⎛ 2 0⎞ a12 ⎛ 0 3⎞
⎛ 0 0⎞
⎛0 0 ⎞
⎟=
⎜
⎟+
⎜
⎟ + a 21 ⎜
⎟ − a 22 ⎜
⎟
a 22 ⎠
2 ⎝ 0 0⎠
3 ⎝ 0 0⎠
⎝ 1 0⎠
⎝ 0 −1⎠
etc...
Assim podemos dizer que
⎡⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎤
⎟⎥
⎟ ,⎜
⎟,⎜
⎟ ,⎜
⎣⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 1 0⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎦
M22 = ⎢⎜
ou
⎡⎛ 2 0⎞ ⎛ 0 3⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎤
⎟⎥
⎟ ,⎜
⎟,⎜
⎟ ,⎜
⎣⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 1 0⎠ ⎝ 0 −1⎠ ⎦
M22 = ⎢⎜
Observemos que existem infinitas possibilidades para a combinação linear acima. Além
disso, é também verdadeiro afirmar que:
⎡⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎤
M22 = ⎢⎜
⎟⎥
⎟ ,⎜
⎟ ,⎜
⎟ ,⎜
⎟ ,⎜
⎣⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 1 0⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 3 2⎠ ⎦
pois, uma vez identificado um conjunto mínimo de geradores de um espaço, podemos a ele acrescentar quantos vetores quisermos, desde que sejam do mesmo espaço.
⎛ 2 1⎞
⎟
⎝ 3 2⎠
Veja que o vetor ⎜
é uma combinação linear dos outros vetores, pois
⎛ 2 1⎞
⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞
⎛ 0 0⎞
⎛ 0 0⎞
⎜
⎟ = 2⎜
⎟ + 1⎜
⎟ + 3⎜
⎟ + 2⎜
⎟
⎝ 3 2⎠
⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠
⎝ 1 0⎠
⎝ 0 1⎠
,
de forma que ele é "criado" por estes. Essa observação foi também explorada no exemplo do item 1.3.7.♦
No estudo da Álgebra Linear, muitos conceitos estão estreitamente ligados à obtenção de
um conjunto com um número mínimo de vetores que geram um espaço vetorial V. Na verdade,
não é uma tarefa muito difícil encontrar um conjunto de geradores de um espaço que satisfaça
essa condição. No entanto, quando é solicitado mais de um conjunto ou quando é necessário que
identifiquemos, numa coleção de vetores, quais e quantos são suficientes e necessários para gerar
um determinado espaço, o trabalho (braçal) pode se tornar cansativo e complicado. Se, por outro
lado, conhecemos como os vetores se relacionam entre si, a tarefa torna-se mais simples e a com19
preensão da teoria mais rica.
Com este propósito, seguimos com os conceitos de dependência e independência linear
de vetores.
Consideremos, apenas para introduzir os conceitos citados, V = R2 e os vetores u = (1, 1)
e v = (2, 2). Como já visto no exemplo 1.3.7, o subespaço W gerado por u ou v ou ambos é
W = {(x, y) ∈ R2 / y = x}
que representa a reta bissetriz dos quadrantes ímpares.
Geometricamente os vetores u e v encontram-se sobre a mesma reta suporte,
e v = 2u ⇒ v – 2u = 0.
Tomemos agora os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1). Sabemos, por 1.3.8, que eles geram o R2
e que não são múltiplos. Isto é,
bi ≠ aj para todo a, b ∈ R*,
de forma que
bi – aj ≠ 0
ou
bi + cj ≠ 0 se b ≠ 0 e c ≠ 0.
No primeiro caso, v – 2u = 0, é possível obter o vetor nulo através de uma combinação
linear, com escalares não todos nulos, dos vetores v e u. No segundo, bi + cj = 0 somente se b =
c = 0. Dizemos, então, que os vetores v e u são linearmente dependentes e que os vetores i e j
são linearmente independentes, significando que u e v estão relacionados entre si através de uma
combinação linear, e que i e j não se relacionam por uma combinação linear.
Consideremos agora V = R3 e os vetores u = (1, 2, 3), v = (– 4, 1, 5) e w = (– 5, 8, 19).
Procedendo como no exemplo 1.3.9 e conhecendo os subespaços de R3, temos que estes vetores
geram um plano que passa pela origem ou o próprio R3 (pense no por que disso). Tomando apenas 2 dos 3 vetores, por exemplo, u e v, obtemos o subespaço que estes dois geram:
1 2 3
−4
x
1 5 =0
y z
⇒
7 x − 17 y + 9 z = 0,
ou seja, o subespaço gerado por u e v é o plano de equação 7x – 17y + 9z = 0. Substituindo as
componentes de w na equação obtida temos: 7(– 5) – 17(8) + 9(19) = 0, ou seja, w também pertence a este plano. Isto significa que w é "criado" por u e v, ou melhor, existem escalares a e b
tais que
w = a.u + b.v
Ao resolvermos o sistema obtemos:
w = 3u + 2v,
de forma que
20
w – 3u – 2v = 0.
Desta maneira, é possível obter o vetor nulo através de uma combinação linear dos vetores u, v e w sem que tenhamos que multiplicá-los todos por zero. De acordo com o anteriormente
exposto, dizemos que os vetores u, v e w são linearmente dependentes.
Generalizando temos a seguinte definição:
1.3.11 Definição.
Sejam v1, v2,..., vn, vetores de um espaço vetorial V. Diz-se que o conjunto {v1, v2,..., vn}
é linearmente independente (l.i.), ou que os vetores v1, v2,..., vn são l.i., se a equação
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
implica que a1 = a2 = ... = an = 0. No caso em que a igualdade se verifique para algum ai
≠ 0 diz-se que {v1, v2,..., vn} é linearmente dependente (l.d.), ou que os vetores v1, v2,...,
vn são l.d.
1.3.12 Propriedades da dependência e independência linear
Propriedade 1. Um único vetor v é l.d. se, e somente se, v = 0.
Prova.
De fato, λ.v = 0, ∀λ ≠ 0. ♦
Propriedade 2. Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é l.d. se e somente se um destes
vetores for uma combinação linear dos outros.
Prova.
(⇒) Sejam v1, v2,..., vn l.d. e consideremos a equação
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0.
Segundo a definição dada, ao menos um dos coeficientes é diferente de zero. Suponhamos aj ≠ 0 para algum j.
Então
vj = −
1
( a1 v 1 +...+ a j −1 v j −1 + a j +1 v j +1 +...+ a n v n )
aj
e portanto
vj = −
a1
a
v 1 + ... + ... − n v n ,
aj
aj
ou seja, vj é uma combinação linear dos outros (n – 1) vetores.
(⇐) Consideremos, para algum j, que vj é uma combinação linear dos outros (n – 1) vetores do conjunto {v1,..., vj,..., vn}. Então
vj = b1v1 + ... + bj-1vj-1 + bj+1 vj+1 + ... + bnvn.
Daí,
b1v1 + ... – 1vj + ... + bnvn = 0 com bj = – 1 ≠ 0 e,
{v1, v2,..., vn} é l.d.♦
21
Observações. Decorre dessa propriedade o que segue:
← Dois vetores u e v são l.d. se e somente se um é múltiplo escalar do outro.
Por exemplo, os vetores (– 1, 1, 2) e (2, – 2, 4) são l.d. pois
(2, – 2, – 4) = – 2(– 1, 1, 2).
↑ Três vetores em R3 são l.d. se e somente se são coplanares.
Prova.
(⇒) Sejam u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3) vetores l.d. Então, pela propriedade 2, podemos
escrever
w = au + bv,
ou seja, w = (ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2). Daí, utilizando propriedades de determinante,
temos:
x1
x2
x3
y1
y2
y3
z1
x1
z2 =
x2
z3
ax1 + bx2
x1
= x2
ax1
y1
y2
ay1
y1
y2
ay1 + by2
z1
z2
az1 + bz 2
z1
x1
z2 + x2
az1
bx2
y1
y2
by2
z1
z2
bz2
= 0+ 0
=0
Ou seja,
x1
(u, v, w) = x2
x3
y1
y2
y3
z1
z 2 = 0,
z3
o que prova que os vetores u, v e w são coplanares (propriedade de produto misto).
(⇐) u, v e w são coplanares (hipótese), então (u, v, w) = 0.
Tomemos a equação
a1u + a2v + a3w = 0.
Devemos provar que ai ≠ 0 para algum i = 1, 2, 3.
⎧ a1 x1 + a 2 x2 + a 3 x3 = 0
Da equação resulta o sistema homogêneo ⎪⎨a1 y1 + a 2 y2 + a 3 y3 = 0
⎪a z + a z + a z = 0
2 2
3 3
⎩ 1 1
que tem a representação matricial
⎡ x1
⎢y
⎢ 1
⎢⎣ z1
x2
y2
z2
x3 ⎤
y3 ⎥⎥
z 3 ⎥⎦
⎡ a1 ⎤
⎢a ⎥ =
⎢ 2⎥
⎢⎣ a 3 ⎥⎦
⎡0⎤
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎢⎣0⎥⎦
Observemos que a matriz A dos coeficientes é tal que
det (A) = (u, v, w)t = 0
Assim o sistema é compatível e indeterminado, o que significa que tem infinitas soluções.
22
Portanto os escalares ai não são obrigatoriamente todos nulos e os vetores u, v e w são l.d. ♦
→ Para verificar a dependência ou independência linear de 3 vetores em R3 podemos utilizar o
enunciado anterior na forma:
•(u, v, w ) = 0⇔u, v, w sao l.d
•(u, v, w ) ≠ 0⇔u, v, w sao l.i.
Exemplo. Os vetores u = (2, – 1, 3), v = (– 2, 1 ,– 3) e w = (1, 0, 1) são l.d. pois
2 −1
3
(u, v, w ) = − 2
1 − 3 = 0.
1 0
1
Também podemos pensar da seguinte forma: u e v são colineares (pois são múltiplos). Então,
não importa como seja definido w, pela propriedade 2 sendo um dos vetores combinação linear
dos outros, no caso, u = – 1v + 0w, temos que o conjunto {u, v, w} é l.d. ♦
↓ Consideremos a matriz K, cujas linhas são formadas pelos vetores v1, v2,..., vn, ou seja,
⎡ − v1
⎢− v
2
⎢
⎢
K=⎢
⎢− v j
⎢
⎢
⎣⎢ − v n
−⎤
− ⎥⎥
⎥
⎥,
−⎥
⎥
⎥
− ⎦⎥
e suponhamos que vj = a1v1 + a2v2 + ... + aj-1vj-1 + aj+1vj+1 + ... + anvn.
Então pela propriedade 2, os n vetores dados são l.d. Vamos ver, neste caso, o que acontece com
as linhas da matriz K.
v1
⎡
⎤
⎢
⎥
v
2
⎢
⎥
⎢
⎥
K=⎢
⎥
⎢ a1 v 1 + a 2 v 2 +...+ a n v n ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
vn
⎢⎣
⎥⎦
Apliquemos sobre as linhas de K a seguinte sequência de operações elementares:
v1
v1
⎤
⎡
⎤
⎡
⎥
⎢
⎥
⎢
v
v
2
2
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
l j ← l j − a1l1 ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢a2 v 2 + ... + an v n ⎥ l j ← l j − a2l2 ⎢a3 v 3 + ... + an v n ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
vn
vn
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎡ v1 ⎤
⎢v ⎥
⎢ 2⎥
⎢ ⎥
l j ← l j − aili ⎢ ⎥
0
…i ≠ j ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ v n ⎦⎥
Observe que a linha ocupada pelo vetor vj foi toda anulada.
Isto aconteceu porque a linha j da matriz K é uma combinação linear das outras linhas.
Assim, para mostrarmos que um conjunto é l.d. basta anularmos, através de operações elementares, ao menos uma linha de K. Ainda, o número de vetores l.i. corresponde ao número de linhas
que não se anulam em K.
23
Exemplo. Os vetores u = (2, – 1, 1, 3), v = (1, 0, – 1, 2), w = (1, 3, – 1, 1) e t = (– 1, 2, 1,
0) são l.i. pois nenhuma linha de K pode ser anulada:
⎡ 1 0 − 1 2⎤
⎢ 2 −1
1 3⎥⎥ l2 ← l2 − 2l
K=⎢
⎢ 1 3 − 1 1⎥ l3 ← l3 − l1
⎢
⎥
1 0⎦ l4 ← l4 + l1
⎣− 1 2
⎡ 1 0 − 1 2⎤
⎢0 − 1 3 − 1⎥
⎢
⎥
⎢0
3 0 − 1⎥ l3 ← l3 + 3l2
⎢
⎥
2
0
2⎦ l4 ← l4 + 2l2
⎣0
⎡1 0 − 1 2 ⎤
⎢0 − 1 3 − 1 ⎥
⎢
⎥
⎢0 0 9 − 4 ⎥
⎢
⎥
6
0 ⎦
⎣0 0
≈
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0 0 0⎤
1 0 0⎥⎥
0 1 0⎥
⎥
0 0 1⎦
Nota. Não é necessário realizar operações elementares sobre as linhas de K até chegar
(ou tentar chegar) na matriz identidade, pois isto é válido somente para matrizes quadradas. As
operações podem ser suspensas quando for possível garantir que nenhuma linha se anula ou que
mais nenhuma se anula. No exemplo da observação ↓, a terceira matriz já garante isso, pois os
elementos k11, k22, k34 e k43 não podem ser anulados.
Exemplo. Retomemos o enunciado do exemplo 1.3.9. Podemos utilizar a última observação para determinar o plano W gerado pelos vetores (1, 1, 2) e (2, – 1, 1). Seja u = (x, y, z) um
vetor qualquer do plano W. Então u é uma combinação linear dos vetores dados, de forma que a
⎡ 1 1 2⎤
última linha da matriz K = ⎢⎢ 2 − 1 1⎥⎥ , após serem aplicadas operações elementares convenientes,
⎢⎣ x
y z ⎥⎦
deve se anular. Vejamos como fazer isto:
⎡1 1 2⎤
⎢2 − 1 1 ⎥ l ← l − 2l
2
1
⎢
⎥ 2
⎢⎣ x y z ⎥⎦ l 3← l3 − xl1
1
2 ⎤
⎡1
⎛−x+ y⎞
⎢0
−3
− 3 ⎥⎥ l3 ← l3 + ⎜
⎟l2
⎢
2 ⎠
⎝
⎢⎣0 − x + y − 2 x + z ⎥⎦
2
⎡1 1
⎤
⎢0 − 3
⎥
−
3
⎢
⎥
⎢⎣0 0 − x − y + z ⎥⎦
Aqui, – x – y + z = 0, ou seja,
W = {(x, y, z) ∈ R3 / x + y – z = 0}. ♦
Propriedade 3. Um conjunto de n vetores em Rm é sempre l.d. se n > m.
Prova.
Sejam v1, v2,..., vn vetores em Rm e consideremos escalares a1, a2,..., an, tal que
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
(A)
Tomemos vi = (x1i, x2i,..., xmi), i = 1, 2,..., n. A equação anterior resulta no sistema linear homogêneo
⎧ x11a1 + x12a2 + ... + x1n an = 0
⎪ x a + x a + ... + x a = 0
⎪ 21 1 22 2
2n n
⎨
⎪
⎪⎩ xm1a1 + xm 2a2 + ... + xmn an = 0
que tem m equações e n incógnitas. Se n > m, temos um sistema compatível e indeterminado, ou
seja, ele admite infinitas soluções. Assim, a equação (A) é válida com ai ≠ 0 para algum i = 1,
24
2,..., n, o que prova que os vetores v1, v2,..., vn são l.d. ♦
Exemplo. Quatro vetores em R3 são l.d. Tomemos u = (2, – 3, 4), v = (4, 7, – 6), w = (18,
– 11, 4) e
t = (2, – 7, 3). A equação
a.u + b.v + c.w + d.t = 0
origina o sistema
⎧ 2a + 4b + 18c + 2d = 0
⎪
⎨− 3a + 7b − 11c − 7d = 0
⎪ 4a − 6b + 4c + 3d = 0
⎩
que é compatível e indeterminado. Assim os escalares a, b, c e d não são todos nulos (obrigatoriamente) e os vetores u, v, w e t são l.d. (refaça este exemplo usando a matriz K da observação ↓
acima). ♦
Propriedade 4. Um conjunto de vetores l.i. em Rn contém, no máximo, n vetores.
Essa propriedade é uma conseqüência imediata da propriedade anterior (Propriedade 3).
Exemplo. Consideremos aqui os vetores do exemplo anterior.
Tomando os conjuntos unitários {u}, {v}, {w} e {t}, todos são l.i. (Propriedade 1).
Tomando o conjunto {u, v}, que contém 2 vetores, ele é l.i. pois u e v não são múltiplos.
O conjunto {u, v, t}, de 3 vetores, é tal que
2 −3
4
(u, v, t ) = 4
7 −6 ≠ 0
2 −7
3
ou seja, é l.i.
O conjunto {u, v, w, t}, como já vimos, é l.d.♦
Propriedade 5. Qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é l.d.
Prova.
Seja β = {v1, v2,..., vk, 0} um conjunto de vetores. Aqui não interessa se os k primeiros
vetores são l.i. ou l.d. Independentemente disso a equação
a1v1 + a2v2 + ... + akvk + λ.0 = 0
é verdadeira para a1 = a2 = ... = ak = 0 e λ um número real qualquer. Assim, pela definição 3, o
conjunto β é l.d.♦
Propriedade 6. Seja A uma matriz quadrada e β o conjunto formado pelos vetores que
compõem as linhas (ou colunas) de A. β é l.i. se, e somente se, det(A) ≠ 0.
Prova.
β é l.i ⇔ Ax = 0 tem apenas a solução trivial x = 0
⇔ det (A) ≠ 0. ♦
Observação. Na prática a propriedade acima é utilizada para o caso de três vetores em R3.
25
Propriedade 7. Qualquer conjunto de n vetores l.i. em Rn gera o Rn.
Prova.
Seja β = {v1, v2,..., vn} um conjunto de n vetores l.i. em Rn, onde vi = (x1i, x2i,..., xni). Para
mostrar que β gera o Rn devemos provar que todo vetor v = (y1, y2,..., yn) de Rn se escreve como
combinação linear dos vetores de β. Isto é, que existem escalares a1, a2,..., an tais que
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn.
Substituindo os vetores nessa equação temos:
(y1, y2, ..., yn) = a1( x11, x21, ..., xn1) + ... + an( x1n, x2n, ..., xnn),
que resulta no sistema
⎧ x11 a1 + x12 a 2 + ... + x1n a n = y1
⎪ x a + x a + ... + x a = y
⎪ 21 1
22 2
2n n
2
⎨
⎪
⎪⎩ x n1 a1 + x n 2 a 2 + ... + x nn a n = y n
A representação matricial do sistema é Ax = b, onde
⎡ x11
⎢x
A = ⎢ 21
⎢
⎢
⎣ x n1
x12
x 22
xn2
x1n ⎤
⎡ y1 ⎤
⎡ a1 ⎤
⎢y ⎥
⎢a ⎥
x 2n ⎥
⎥, x = ⎢ 2 ⎥ e b = ⎢ 2 ⎥.
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎥
x nn ⎦
⎣ yn ⎦
⎣a n ⎦
Observemos que as colunas de A são formadas pelos vetores de β que, por hipótese, são
l.i. Então pela Propriedade 6, det(A) ≠ 0. Assim, o sistema Ax = b é compatível e determinado,
⎡ a1 ⎤
⎢a ⎥
isto é, tem uma única solução x = ⎢ 2 ⎥ . Isto mostra que v é uma combinação linear dos vetores de
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣a n ⎦
β.
Observação. Além de provarmos a propriedade também mostramos que os escalares a1, a2,..., an
são únicos. Isto será útil futuramente.
1.3.13 Exemplo. Três vetores l.i em R3 geram o R3. Sejam v1 = (2, – 1, 4), v2 = (1, 0, 2) e v3 =
(3, – 1, 5). Então:
2 −1 4
( v 1 , v 2 , v 3 ) = 1 0 2 = −1 ≠ 0
3 −1 5
de forma que β = {v1, v2, v3} é um conjunto l.i. Assim, β gera o R3, ou seja, todo vetor v = (x, y,
z) ∈ R3 se escreve (de forma única) como combinação linear dos vetores de β (mostre isso como
exercício).
Convém lembrar o que isto significa: que o R3 é “criado” por estes três vetores. Na verdade, quaisquer três vetores l.i. do R3 “criam” o R3. Isto é o que afirma a Propriedade 7.
26
1.3.14 Exemplo. O conjunto α = {( 1, 3, – 1), ( 2, 1, 0), ( 1, 2, – 1), ( 3, 2, 1)} gera o R3 mas não
é l.i., pois 4 vetores em R3 são l.d. (Propriedade 3). No entanto, se três vetores de α são l.i. então
estes geram o R3 (Propriedade 7).
Podemos utilizar o procedimento dado na observação ↓ para obtermos de α os vetores l.i.
que ali estão.
⎡1
⎢2
K=⎢
⎢1
⎢
⎣3
3 − 1⎤
1 0⎥⎥ l2 ← l2 − 2l1
2 − 1⎥ l 3← l3 − l1
⎥
2
1⎦ l4 ← l4 − 3l1
3 − 1⎤
⎡1
⎢0 − 5 2⎥ l ← l − 5l
2
3
⎢
⎥ 2
⎢0 − 1 0 ⎥
⎢
⎥
4⎦ l4 ← l4 − 7l3
⎣0 − 7
⎡ 1 3 − 1⎤
⎢0
0
2⎥⎥
⎢
⎢0 − 1 0 ⎥
⎢
⎥
0
4⎦ l4 ← l4 − 2l2
⎣0
⎡ 1 3 − 1⎤
⎢0
0
2⎥⎥
⎢
.
⎢0 − 1 0 ⎥
⎢
⎥
0
0⎦
⎣0
Observemos que os elementos k11, k23 e k32 não podem ser zerados, de forma que as linhas 1, 2 e
3 não se anulam. Estas linhas correspondem, respectivamente, aos vetores ( 1, 3, – 1), ( 2, 1, 0) e
( 1, 2, – 1) de α. Assim
α1 = {( 1, 3, – 1), ( 2, 1, 0), ( 1, 2, – 1)}
é um conjunto l.i. de 3 vetores que geram o R3. Podemos tomar os vetores resultantes, de modo
que
α2 = {(1, 3, – 1), (0, 0, 2), (0, – 1, 0)}
também é um conjunto l.i. de 3 vetores que geram o R3.
1.3.15 Exemplo. Quando o espaço em questão não é o Rn, como no caso das matrizes e de polinômios, para verificar a dependência linear (ou independência) de vetores nestes espaços, utilizamos dos recursos exibidos nos itens seguintes:
⎛ 1 0 2⎞
⎛ −1 1 4⎞
⎛ − 1 0 1⎞
⎟⎟, A 2 = ⎜⎜
⎟⎟, A 3 = ⎜⎜
⎟⎟ vetores de M23.
⎝ 3 1 − 1⎠
⎝ 2 3 0⎠
⎝ 1 2 1⎠
a) Sejam A1 = ⎜⎜
1a Possibilidade: (definição)
Escrevemos a equação
a1A1 + a2A2 + a3A3 = 0
E procuramos os valores de a1, a2 e a3:
⎛ 1 0 2⎞
⎛ −1 1 4⎞
⎛ − 1 0 1⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞
⎟⎟ + a2 ⎜⎜
⎟⎟ + a3 ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
a1⎜⎜
3
1
−
1
2
3
0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ 1 2 1⎠ ⎝ 0 0 0 ⎠
⎧ a1 − a2 − a3
⎪
a2
⎪
⎪
⎨2a1 + 4a2 + a3
⎪ a + 3a + a
2
3
⎪ 1
⎪⎩
− a1 + a3
=0
=0
=0
é equivalente ao sistema
=0
⎧a1 − a2 − a3 = 0
⎪
a2 = 0
⎨
⎪
3
a3 = 0
⎩
=0
cuja única solução é a1 = a2 = a3 = 0 (façam como exercício).
Assim o conjunto {A1, A2, A3} é l.i.
2a Possibilidade: Seja
27
⎡ 1 0 2 3 1 − 1⎤
K = ⎢⎢− 1 1 4 2 3 0⎥⎥
⎢⎣− 1 0 1 1 2
1⎥⎦
a matriz cujas linhas são formadas por A1, A2 e A3. Tentemos, através de operações elementares sobre as linhas de K, zerar uma linha da matriz:
⎡ 1 0 2 3 1 − 1⎤
l2 ← l2 + l1 ⎢⎢0 1 6 5 4 − 1⎥⎥ .
l3 ← l3 + l1 ⎢⎣0 0 3 4 3 0⎥⎦
Observemos que nenhuma linha pode ser zerada. Assim {A1,
A2, A3} é l.i.
Ainda, ao colocarmos os vetores nas linhas de K estamos relacionando cada vetor de M23 com
sêxtuplas ordenadas do R6. Sabemos que 6 vetores l.i. do R6 geram o R6, de forma que os 3
vetores, se considerados como sêxtuplas, (1, 0, 2, 3, 1, – 1), (– 1, 1, 4, 2, 3, 0), (– 1, 0, 1, 1, 2,
1) não geram o R6. Da mesma forma podemos dizer que A1, A2 e A3 não geram M23 e que são
necessários 6 vetores l.i. de M23 para gerar M23.
b) Podemos representar qualquer polinômio p(x) ∈ Pn por uma (n + 1)-upla de Rn+1 da seguinte
forma:
p(x) = a0 + a1x + ... + anxn ⇔ p(x) = (a0, a1, ..., an).
Assim, os polinômios
p1(x) = 2 + 3x
p2(x) = – 1 + 2x – x3
p3(x) = 3x2 + 2x3
p4(x) = 3 – 4x3
podem ser representados pelas quádruplas ordenadas
v1 = (2, 3, 0, 0)
v2 = (– 1, 2, 0, – 1)
v3 = (0, 0, 3, 2)
v4 = (3, 0, 0, – 4).
Para verificar se os polinômios são l.i. ou l.d. trabalhamos em R4:
⎡ 2
⎢− 1
K=⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 3
0⎤
1
2 0 − 1⎥⎥ l2 ← l2 + 2 l1
0 3
2⎥
⎥
3
0 0 − 4⎦ l4 ← l4 − l1
2
3 0
3
⎡2
⎢0 7 / 2
⎢
⎢0
0
⎢
⎣0 − 9 / 2
0⎤
0 − 1⎥⎥
3 2⎥
9
⎥
0 − 4 ⎦ l4 ← l4 + l2
7
0
⎡2 3
⎢0 7 / 2
⎢
⎢0 0
⎢
⎣0 0
⎤
− 1 ⎥⎥
0
3
2 ⎥
⎥
0 − 37 / 7⎦
0
0
Observemos que os elementos da diagonal principal não podem ser zerados garantindo
que nenhuma linha de K é zerada. Assim, os polinômios p1(x), p2(x), p3(x) e p4(x) são l.i. e,
portanto, geram P3. ♦
28