Matemática
com professor Iketani
LISTA N° 01 = FUVEST 2012 (1ª FASE)
QUESTÃO 01
QUESTÃO 03
Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher.
Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e
restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas
presentes inicialmente na festa era igual a
a) 100
b) 105
c) 115
d) 130
e) 135
O número real x, com 0 < x < π, satisfaz a equação log3(1 – cosx) + log3(1 + cosx) = –2. Então,
cos2x + senx vale
1
2
7
8
10
b)
c)
d)
e)
a)
3
3
9
9
9
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA D
Sejam h e m as quantidades iniciais de homens e
mulheres presentes na festa.
Sobram m – 31 mulheres e h-55 homens após a
retirada de 31 mulheres e 55 homens, respectivamente.
Assim:
h = 2(m – 31)
h = 66
⇒
m – 31 = 3(h – 55)
m =64
Logo: havia inicialmente 66 + 64 = 130 pessoas
na festa
QUESTÃO 02
3 . O ponto P pertence à mediatriz de
AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale
2 . Então, a distância de P ao segmento AB é
igual a
a)
b) 2 2
2
d)
c) 3 2
3
e) 2 3
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA E
Sendo  = AB a medida do lado
do hexágono regular de área
P
3 , tem-se que:
S6 = 6.
h
A
M
6 /3
B

2
Como cos2x = 1 – 2sen2x, então
cos2x + senx = 1 – 2sen2x + senx
1
1
10
cos2x + senx = 1 – 2.
+
=
9
3
9
QUESTÃO 04
Considere a função
4x
4
3
=
3 ou  =
isósceles de base AB =
2 eh=2 3
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA B
Para x ≠ ± 1, tem-se que
4x
x 2 − 2x + 1
=
e
f(x) = 1 –
( x + 1) 2
( x + 1) 2
f(–x) = 1 –
4( − x )
=
(− x + 1) 2
x 2 + 2x + 1
(1 − x ) 2
 x 2 − 2x + 1   x 2 + 2x + 1 
.
f(x).f(–x) = 
2  
2 
 ( x + 1)   (1 − x ) 
6
3
Com P é um ponto da mediatriz
de AB, então o triângulo APB é
6
.h
3
=
2
( x + 1) 2
a qual está definida para x ≠ –1. Então, para todo
x ≠ 1 e x ≠ –1, o produto f(x)f(-x) é igual a
a) -1
c) x + 1
e) (x – 1)²
b) 1
d) x² + 1
Logo:
6
3
portanto, a distância de P até AB é igual a h.
Daí: S3 =
log3(1 – cosx) + log3(1 + cosx) = –2
log3[(1 – cosx).(1 + cosx)] = –2
log3(1 – cos2x) = –2
1
log3(sen2x) = – 2 ⇔ sen2x =
9
1
0 < x < π ⇒ senx =
3
f(x) = 1 –
O segmento AB é lado de um hexágono regular
de área
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA E
e,
f(x).f(–x) =
( x − 1) 2
( x + 1) 2
f(x).f(–x) = 1
.
( x + 1) 2
( x − 1) 2
QUESTÃO 05
Em um plano, é dado um polígono convexo de
seis lados, cujas medidas dos ângulos internos,
dispostas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior ângulo é
igual a 11 vezes a medida do menor. A soma das
medidas dos quatro menores ângulos internos
desse polígono, em graus, é igual a
a) 315
b) 320
c) 325
d) 330
e) 335
NULA
QUESTÃO 06
Na figura, tem-se AE paralelo a CD , BC , paralelo
a DE , AE = 2, α = 45º, β = 75º. Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento AB é
igual a:
a)
3
b)
2
c)
3
2
d)
2
2
e)
2
4
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA A
Prolongando-se DE até AB, obtém-se F.
AE // CD
BC // DE
m( EF̂A ) = m( CB̂A ) = 45º e
⇒
m( AÊF ) = m( DĈB ) = 75º
Como no triângulo AEF, Ê = 75º e F̂ = 45º, então
2a − 1 x 
–1
Sendo A–1 = 
 e A.A = I, tem-se que:
−
1
y


L1 →
a
2
a
+
1

 2a − 1 x 
1 0

.
= 

y
a − 1 a + 1   − 1
0 1
L2 →
L1
L1
L2
L2
x
x
x
x
↑
↑
C1 C2
C1 = a.(2a – 1) + (2a + 1).(–1) = 1 (I)
C2 = a.x + (2a + 1).y = 0 (II)
C1 = (a – 1).(2a – 1) + (a + 1).(–1) = 0 (III)
C2 = (a – 1).x + (a + 1).y = 1(IV)
(I) 2a2 – 3a – 2 = 0 ⇒ (a = 2 ou a = –1/2)
(II) ax + (2a + 1)y = 0
(III) 2a2 – 4a = 0 ⇒ (a = 2 ou a = 0)
(IV) (a – 1)x + (a + 1)y = 1
a = 2 é o único valor que atende as expressões
(I) e (III)
Assim, substituindo a por 2 em (II) e (IV), teremos:
(II) 2x + 5y = 0
x = –5
⇒
(IV) x + 3y = 1
y=2
Logo a soma dos elementos da diagonal principal
de A–1 é:
S = 2a – 1 + y = 2 . 2 – 1 + 2 ou S = 5
QUESTÃO 08
No plano cartesiano 0xy, a circunferência C é
tangente ao eixo 0x no ponto de abscissa 5 e
contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio
de C vale:
c) 5
e) 10
a) 5
b) 2 5
d) 3 5
 = 60º ( = 180º – Ê – F̂ )
Logo, do triângulo AEG tem-se que:
3
h
=
eh= 3
sen60º =
2
2
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA C
A figura ilustra o que diz o
enunciado.
C(5,b)
Como CA = CB = R tem-
y
G
R
2
0 1
se que
R=b
B(1,2)
A(5,0)
x
(5 − 1) 2 + (b − 2) 2 = b
16 + b2 – 4b + 4 = b2
4b = 20 ⇒ b = 5
QUESTÃO 09
QUESTÃO 07
Considere a matriz
2a + 1
 a
A= 
,
a
−
1
a
+1 

em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A–1 cuja primeira coluna é
2a − 1

,
 −1 
a soma dos elementos da diagonal principal de
A–1 é igual a
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA A
Considere todos os pares ordenados de números
naturais (a, b), em que 11 ≤ a ≤ 22 e 43 ≤ b ≤ 51.
Cada um desses pares ordenados está escrito em
um cartão diferente. Sorteando-se um desses
cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que
se obtenha um par ordenado (a, b) de tal forma
que a fração a/b seja irredutível e com denominador par?
7
13
6
11
5
b)
c)
d)
e)
a)
27
54
27
54
27
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA E
Como a e b são naturais e a pode assumir 12
valores (11 ≤ a ≤ 22) e b pode assumir 9 valores
(43 ≤ b ≤ 51) então o total de pares ordenados
(a,b) é igual a 12x9 = 108.
a
tenha
b
denominador par (b = 44, b = 46, b = 48 ou
b = 50)
São 4 possibilidades para que a fração
a
tenha
b
numerador ímpar (a = 11, a = 13, a = 15, a = 17
a = 19 ou a = 21)
São 6 possibilidades para que a fração
O total de frações com denominador par e numerador ímpar é 4 x 6 = 24
Dessas
24
frações,
4
são
 11 15 21 15 
,
,
e
 e 20 são irredutíveis

 44 48 48 50 
Portanto, a probabilidade de
com b par, é igual a
redutíveis
a
ser irredutível,
b
20
5
.
=
108 27
QUESTÃO 10
Em um tetraedro regular de lado a, a distância
entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a
a) a 3
c)
b) a 2
a 3
2
d)
a 2
2
e)
a 2
4
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA D
Consideremos o tetraedro regular ABCD da figura
abaixo.
D
tância em gramas e c, k são constantes positivas.
Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram
reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem
de m0 ficará reduzida a massa da substância, em
20 anos?
a) 10% b) 5%
c) 4%
d) 3%
e) 2%
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA C
Se m0 é a massa no instante t = 0, teremos:
m(0) = C.a–k.0 = m0 ⇒ C = m0
A função então assume a forma m(t) = m0.a–k.t
20
Após 10 anos tem-se que m(10) =
.m0
100
Logo:
m(10) = m0.a–k.10 = 0,2 m0
a–10.k = 0,2
Daí, em 20 anos, a massa da substância é
m(20) = m0.a–k.20 = m0.(a–10.k)2
Portanto:
4
.m0, ou seja, a
m(20) = m0.0,22 = 0,04.m0 =
100
massa é reduzida a 4% da massa inicial.
QUESTÃO 12
Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois
artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao
acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto.
Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não
sejam insetos?
14
49
7
5
15
b)
c)
d)
e)
a)
33
144
22
22
144
RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA C
Escolha de dois artrópodes:
12 
12.11
  =
= 66
2
2
Como DM é a altura do triângulo equilátero DBC,
então DM =
a
a 3
e DN =
(metade da aresta
2
2
do tetraedro)
Do triângulo DNM (retângulo em N) tem-se que:
a
d +  
2
2
d2 =
2
a 3 

= 
 2 


2
(Pitágoras) ou
3a 2
a2
2a 2
a 2
–
∴ d2 =
ed=
4
4
4
2
QUESTÃO 11
Uma substância radioativa sofre desintegração ao
longo do tempo, de acordo com a relação
m(t) = ca–kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da subs-
Escolha de dois que NÃO SEJAM insetos:
Eliminando-se os 5 insetos (besouro, barata, formiga, abelha e gafanhoto) restam 7.
12 − 5 
7
7.6
 =   =
= 21 maneiHá, portanto, 
2
 2 
2
ras de que ambos os escolhidos NÃO sejam insetos.
Logo, a probabilidade pretendida é
21
7
=
.
P=
66
22