Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Resolução da questão 1:
a) Da potência do ponto P em relação à circunferência, temos que:
PA⋅PD = PB⋅PC ⇔ PA⋅(PA + AD) = PB⋅(PB + BC)
Substituindo-se as medidas PA, PB e PD, temos a equação:
8 cm⋅(8 cm+10 cm) = 3 cm⋅(3 cm + BC) ⇔ BC = 45 cm
b) O triângulo PQR é equilátero, logo o ângulo P mede 60º.
Assim, do teorema dos cossenos no triângulo PAB, temos que:
AB2 = PA2 + PB2 − 2⋅PA⋅PB⋅cos(60º)
AB2 = (8 cm)2 + (3 cm)2 − 2⋅(8 cm)⋅(3 cm)⋅½
AB2 = 64 cm2 + 9 cm2 − 24 cm2 = 49 cm2 ⇔ AB = 7 cm
Da semelhança entre os triângulos PCD e PAB temos que:
CD PD
CD 18 cm
⇔
⇔ CD = 42 cm
=
=
AB PB
7 cm 3cm
Logo o perímetro do quadrilátero ABCD é:
AB+BC+CD+AD = 7 cm + 45 cm + 42 cm + 10 cm = 104 cm
c) A área deste quadrilátero é igual á área do triângulo PCD menos a área do triângulo PAB:
1
1
AQUAD = ⋅ PC⋅PD⋅sen(60º) − ⋅ PA⋅PB⋅sen(60º)
2
2
AQUAD =
1
2
⋅ 48 cm ⋅ 18 cm ⋅
3
2
−
1
2
⋅ 8 cm ⋅ 3 cm ⋅
3
2
= 210 3 cm2