RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
2o ANO DO ENSINO MÉDIO
DATA: 05/04/14
PROFESSOR: MALTEZ
QUESTÃO 01
A
São dados os triângulos retângulos ABE e CTE conforme a figura ao lado;
AE
se AB = CE =
= 60 cm, então:
3
T
B
C
E
Os triângulos ABC e CTE são semelhantes, pois B̂  T̂  90º e Ê  Ê (comum ).
CT CE
Logo

, e dado do problema AB = CE = 60 e AE = 180, teremos:
AB AE
CT
60


60 180
CT= 20 cm
QUESTÃO 02
Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isso fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura.
Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com 2 m de altura. Nessa nova sala,
a distância do projetor em relação à tela era de:
3m
P
12 m
T
2m
P
x
T
Vê-se, portanto, que a situação envolve dois triângulos semelhantes, logo
x 2
  3x  24 
12 3
x=8m
1
QUESTÃO 03
Em polígono convexo, a soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais multiplicado por
180º.
Então o número de lados desse polígono é:
O problema afirma: Si = d . 180º, gera então a equação
n(n  3)
. 180
2
180 (n – 2) =
2n – 4 = n2 – 3n
n2 – 5n + 4 = 0
n=4
n = 1 (impossível)
Resp.: n = 4
A
QUESTÃO 04
B
No trapézio ABCD ao lado, a diagonal AC é perpendicular ao
lado oblíquo AD . Sendo CD = 25 cm e AD = 15 cm, a medida
da altura do trapézio, em cm, é:
D
A
No triângulo retângulo ADC,
AC2 = 252 – 152
15
D
h
25
AC2 = 625 – 225
C
AC2 = 400
logo AC = 20
Sabemos que a . h = b. c
25 . h = 20 . 15 
2
h = 12 cm
C
QUESTÃO 05
O terreno, representado na figura pelo quadrilátero ABCD,
deve ser dividido em dois sítios de áreas equivalentes por
meio da cerca MN que é paralela ao lado CD. Sabe-se que
AB = 4 km, AD = 6 km e med (BÂD) = 60º. Além disso, o
segmento CD é perpendicular aos segmentos AD e BC.
Então, é correto afirmar que o comprimento do segmento
MC, em quilômetros, é:
B
M
C
N
D
4
60º
A
E
Como AB̂E  30º  AE = 2 km
Sendo AD = 6 km então ED = 4 km
Por Pitágoras BE = 2 3
As áreas são equivalentes
x
4–x
2 3
2 3
6–x
x
(6  x  4  x ) . 2 3
2 3 x
2
10 – 2x = 2x  4x = 10  x = 2,5
3
B
A
M
C
N
D
4
QUESTÃO 06
B
A figura ao lado representa o quadrilátero ABCD.
C
120º
Sabe-se que: AB = 1 cm e AD = 2 cm
AB̂C  120 º
CD  AD e CD  BC
A
D
Então o comprimento do segmento BD é:
Aplicação da Lei dos Cossenos
B
C
x=
60º
A
2
1
2
x2 = 3
x
1
x2 = 12 + 22 – 2 . 1 . 2 .
3 cm
D
A
QUESTÃO 07
Na figura ao lado, o triângulo ABC é equilátero de lado 10 cm. O valor
N
do segmento NA, em cm, é:
B
O triângulo AMC é retângulo cuja hipotenusa é o lado do triângulo
AC = 10 cm. MN é altura relativa à hipotenusa, logo NA é a projeção
do cateto AM (altura do triângulo equilátero).
Então AM =
10 3
5 3
2
AM2 = AC . NA
(5 3 ) 2 = 10 . NA  75 = 10 . NA logo
NA = 7,5 cm
5
M
C
QUESTÃO 08
Sejam AB e AC cordas da mesma medida em uma circunferência e D um ponto no arco maior BC, conforme ilustração abaixo. Se o ângulo BÂC mede 150º, assinale a medida, em graus, do ângulo BD̂A .
C
A
B
150º
75º
Em relação ao centro, os triângulos AOC e AOB são isósceles e
congruentes e cada ângulo do centro vale 30º.
Então cada arco, AB e AC vale 30º. O ângulo inscrito BD̂A está
o
também subtendido por AB logo BD̂A = 15º.
D
QUESTÃO 09
Se a área de um círculo é igual a 9  cm2, então a área do quadrado nele inscrito vale:
área do círculo: R2
R2 = 9  R = 3 cm
no quadrado:  = R 2
=3 2
S' = 2 = ( 3 2 )2 = 18 cm2
6
QUESTÃO 10
Uma casa tem cômodo retangular de 5 metros de comprimento por 4 metros de largura e 3 metros de
altura. O cômodo tem uma porta de 0,9 metro de largura por 2 metros de altura e uma janela de 1,8
metro de largura por 1 metro de altura. Pretende-se pintar suas paredes e o teto. A porta e a janela não
serão pintadas. A tinta escolhida pode ser comprada em latas com três quantidades distingas: 1 litro, ao
custo de R$ 12,00; 5 litros, ao custo de R$ 50,00 e 15 litros, ao custo de R$ 140,00. Sabendo-se que o
rendimento da tinta é de 1 litro para cada 6 m2, o menor custo possível é:
São 4 paredes e o teto
2
3 x 4 = 12,
12 x 2 = 24 m
5 x 3 = 15,
15 x 2 = 30 m2
5 x 4 = 20,
20 x 1 = 20 m2
74 m2
menos 3,6 m2 da
porta e janela
70,4 m2
Como usa-se 1 litro para cada 6 m 2o total é aproximadamente 12 litros. Para se obter o menor custo
pode-se comprar 2 latas de 5 litros e duas de 1 litro.
50 x 2 = 100,00
12 x 2 = 24,00
124,00
Resp: R$ 124,00
QUESTÃO 11
Para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura, serão utilizadas lajotas
de 25 cm x 25 cm. Cada caixa contém 20 lajotas. Supondo que nenhuma lajota se quebrará durante o
serviço, o número de caixas necessárias para cobrir o piso da cozinha será:
25 cm x 25 cm = 625 cm 2 (área de uma lajota)
5 m x 4 m = 20 m2 (área do piso) = 200000 cm2
200 000 : 625 = 320 lajotas
cada caixa possui 20 lajotas
320 : 20 = 16 caixas
7
QUESTÃO 12
Num triângulo ABC com 18 cm de base e 12 cm de altura, é inscrito um retângulo com a sua base sobre o lado AB, conforme figura abaixo.
Se o retângulo tiver a medida da altura igual a um terço da medida da base, a sua área é:
Por semelhança de triângulos
12 cm
12 
x
3
x
x
3
18 cm
18
12

x 12  x
3
12x = 216 – 6x
18x = 216
x = 12
A base do retângulo é 12 e a altura 4
S = 12 . 4 = 48 cm2
8
QUESTÃO 13
Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de
comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar a se erguer. Em um
desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras eram os pontos médios dos
lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura abaixo, em que as estacas foram indicadas por
letras.
B
M
P
A
C
N
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a
área a ser calçada corresponde:
Chamemos de x e y os catetos AB e AC. Ressalta-se que MN =
1
AB. Logo
2
B
x
2
M
x
P
x
2
x
2
A
x.y
2
y x
.
xy
MNC = 2 2 
2
8
x
.x
xy
BNC = 2

2
4
x
y.
2  xy
AMC =
2
4
xy xy 4xy  xy 3xy



ABMN =
2
8
8
8
y
2
y
2
N
y
ABC =
logo SABMN = 3 . SMNC
9
C
10
QUESTÃO 14
Na figura ao lado, ABCDEF é um hexágono regular de lado 5 cm e a diagonal FB mede 8 cm.
A área do triângulo AFB, em cm 2, é:
Se a figura é um hexágono regular basta calcular a área de 2 triângulos retân-
5
h
4
gulos
5
8
4
h = 3 cm
logo S' =
8.3
 12 cm2
2
QUESTÃO 15
Na figura ao lado, têm-se um quadrado de lado 8 cm e dois semicírculos
iguais tangentes no centro do quadrado. A área da região hachurada, em
cm2, é:
8
A área pedida é:
S – 2 . Ssemicírculo
82 – 2 .
8
 . 42
 64  16
2
S = 16 (4 – ) cm2
11
QUESTÃO 01
Calcule x e y na figura:
x+8
6
8
4
y+2
y
x 8 y2 6


y
8
4
x8 6

10
4
4y + 8 = 48
4x + 32 = 60
4y = 40
4x = 28
y = 10
x=7
QUESTÃO 02
Calcule o raio do círculo de centro o na figura.
(x –4)(x + 4) = 3 . 8
x2 – 16 = 24
3
4
x2 = 40
x=
40
x = 2 10
o
x
8
x–4
12
QUESTÃO 03
Calcule o valor de x na figura ao lado, sabendo que AB = 15 e a reta CD é tangente aos dois círculos
nos pontos C e D.
Obs.: A e B são centros.
15
x
6
9
3
x
Teorema de Pitágoras:
152 = 92 + x2  x2 = 225 – 81
x2 = 144
x = 12
QUESTÃO 04
B
Na figura ao lado, os raios dos círculos são iguais e ABCD é um quadrado
de área 16 cm2. Calcule a área da região riscada.
A
C
Se SQ = 16  e = 4 cm e cada raio = 2 cm.
S = SQ – 4 . Ssetor 90º
S = 16 – 4 .
D
 . 22
4
S = (16 – 4) cm2
13
QUESTÃO 05
A
Determine a área sombreada da figura ao lado, sabendo que a hipotenusa do triângulo retângulo ABC mede 10 cm e ED e BD são arcos de circunferência de centro A
E
e C, respectivamente.
D
A
Como Ĉ = 60º então  = 30º, logo BC = 5.
30º
E
Então AD = 5 e CD = 5
D 10
AB2 = 100 – 25
AB = 75  AB = 5 3
60º
B
5
C
S=
S=
=
5 . 5 3   . 52  . 52 

 


2
12
6




setor 30º setor 60º
25 3  25  50  25 3 75




2
12
2
12


150 3  75 75(2 3  ) cm2

12
12
.
14
60º
B
C