GEOMETRIA PLANA E DESENHO GEOMÉTRICO
Primeiro semestre de 2003
Profa. Sandra Augusta Santos
MA520Z
Sala IM111
Atividade 5
Propriedades dos Triângulos Isósceles
Introdução e objetivos
Nesta atividade, algumas propriedades dos triângulos isósceles comporão o cenário para a
prática do raciocínio lógico em geometria. Retomaremos as noções de proposição recíproca
e de proposição equivalente, e trabalharemos com o recurso computacional para auxiliar a
organização e a sistematização das idéias. Nosso objetivo é demonstrar, por meio da
congruência de triângulos, duas proposições que envolvem propriedades dos triângulos
isósceles.
Palavras-chave: triângulo isósceles; proposição recíproca; proposição equivalente;
congruência; bissetriz; mediana; perpendicularismo.
Preparação
Teorema do Triângulo Isósceles (TTI)
Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.
i.
Reveja a definição de triângulo isósceles, reescreva o TTI na forma se-então e
refaça a sua prova (Teo. 2.2 no livro-texto, ref. [1]).
ii.
Enuncie a recíproca do TTI.
iii.
Usando o caso A. L. A. de congruência de triângulos, prove a proposição enunciada
em ii.
iv.
Reveja as definições de bissetriz e de mediana de um triângulo (definições 2.6 e
2.12 de [1]).
No laboratório
Proposição 1
A bissetriz em  de um triângulo ABC é perpendicular ao lado
BC se, e somente se, o triângulo ABC é isósceles, com base BC .
Se o triângulo ABC é isósceles então a bissetriz em  é perpendicular à base BC .
1. Utilizando o Tabulæ, construa dois segmentos, PQ e BC . Selecione o vértice B e o
segmento PQ para traçar a circunferência por centro e segmento (observe que o
programa chama a curva de ‘círculo’...). Repita a construção com o vértice C e o
segmento PQ . As extremidades dos segmentos PQ e BC estão livres. Faça com
que PQ > BC , de tal forma que as duas circunferências traçadas se interceptem.
Escolha um dos pontos interseção como o vértice A e crie os segmentos AB e AC ,
lados do triângulo ABC. Qual a natureza deste triângulo?
2. Selecione os pontos B, A e C, nesta ordem, e construa a bissetriz do ângulo  (uma
semi-reta). Para obter a bissetriz do triângulo (um segmento), crie o ponto D,
interseção da semi reta traçada com o segmento BC , e então trace o segmento AD .
Sugestão: Para facilitar a visualização, deixe as circunferências e a semi-reta,
bissetriz do ângulo, tracejadas, e reforce a espessura dos lados do triângulo ABC,
bem como do segmento AD .
3. Analise os triângulos ABD e ACD sob o ponto de vista da congruência. O que você
pode concluir sobre os ângulos BDˆ A e CDˆ A ?
Se a bissetriz em  é perpendicular à base BC , então o triângulo ABC é isósceles.
→
→
4. Trace duas semi retas com origem comum: AX e AY . Selecione os pontos X, A e Y,
nesta ordem e construa a bissetriz do ângulo XAˆ Y . Crie um ponto sobre a bissetriz,
distinto de A, e denote-o por T.
5. Construa agora uma reta r perpendicular à bissetriz, passando por T. Crie os pontos
→
de interseção da reta r com as semi-retas
respectivamente.
→
AX e AY , denotando-os por B e C,
6. Analise os triângulos ABT e ACT sob o ponto de vista da congruência. O que você
pode concluir sobre AB e AC?
Proposição 2
Dado um triângulo isósceles ABC com base BC , a
mediana desde o vértice A deste triângulo coincide com a
bissetriz do triângulo correspondente ao ângulo Â.
Se o ponto está na mediana, então ele está na bissetriz.
7. Construa um triângulo isósceles ABC, de base BC , utilizando o roteiro do item 1.
8. Trace a mediana desde o vértice A: crie M, ponto médio de BC , e trace o segmento
AM .
9. Analise os triângulos ABM e ACM sob o ponto de vista da congruência. O que você
pode concluir sobre os ângulos BMˆ A e CMˆ A ? E sobre o segmento AM ?
Se o ponto está na bissetriz, então ele está na mediana.
10. Retome a construção dos itens 1 e 2, que produz o triângulo isósceles ABC, de base
BC e o segmento AD , bissetriz do triângulo em Â. Retome também a análise sobre
a congruência dos triângulos ABD e ACD, feita em 3.
11. O que você pode concluir sobre BD e CD? E sobre o segmento AD ?
Para entregar
I. Sistematize suas conclusões para os itens 1-6 para escrever, com todos os detalhes e
justificando cada passagem, a prova da Proposição 1. Separe os dois sentidos da
implicação, da mesma forma que foi feito no laboratório, para organizar
cuidadosamente a hipótese e a tese em cada etapa da prova desta proposição
equivalente.
II. Idem para os itens 7-11: apóie-se na seqüência da construção para organizar os
resultados obtidos e escreva, com todos os detalhes e justificando cada passagem, a
prova da Proposição 2. Observe que a demonstração da coincidência entre a mediana
e a bissetriz também precisa ser feita em duas etapas, como foi encaminhado no
laboratório.
Referências
[1] E. Q. F. Rezende & M. L. B. Queiroz, Geometria Euclidiana Plana e construções
geométricas. Campinas, SP: Editora da Unicamp; São Paulo: Imprensa Oficial, 2000.