Universidade do Rio de Janeiro
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia - C.C.E.T.
Departamento de Matemática e Estatı́stica
Álgebra Linear
- Escola de Informática Aplicada
a Lista de Exercı́cios
2¯
1. Mostre que os polinômios 1 − t3 , (1 − t)2 , 1 − t e 1 geram o espaço dos polinômios de
grau ≤ 3.
2. Mostre que os polinômios 1, t − 1, t2 − 3t + 1 formam uma base de P2 . Exprima o polinômio
2t2 − 5t + 6 como combinação linear dos elementos desta base.
3. Verifique que β = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0, −1)} é uma base para R3 e determine as coordenadas
do vetor u = (2, 1, 4) em relação a essa base.
4. Quais são as coordenadas de v = (−1, 2, 0) em relação a base β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0, 1)}?
5. Determine as coordenadas do polinômio 1 + 2t − t3 ∈ P3 em relação às seguintes bases:
(i) {1, t, t2 , t3 }, que é a base canônica desse espaço;
(ii) {1, 1 − t, 1 − t2 , 1 − t3 }.
6. Seja W o subespaço de R3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que x + 2y + 4z = 0.
Obtenha uma base {v1 , v2 , v3 } de R3 tal que v1 e v2 pertençam a W.
7. Seja W o subespaço de R4 gerado pelos vetores w1 = (2, 3, 0, 1), w2 = (3, 3, −1, −3),
w3 = (−1, 0, 1, 4) e w4 = (5, 6, −1, −2). Verifique se {w1 , w2 , w3 , w4 } é uma base para
W. Caso {w1 , w2 , w3 , w4 } não seja uma base para W, determine uma base para W a partir
desse conjunto de geradores.
1
8. Considere o espaço C 0 ([−π, π]) das funções definidas e contı́nuas em [−π, π]. Encontre a
dimensão do subespaço gerado por 1, cos 2t, cos2 t.
9. Seja W1 o subespaço de P3 que consiste de todos os polinômios p(t) tais que p(0) = 0, e seja
W2 o subespaço de P3 dos polinômios q(t) tais que q(1) = 0. Encontre bases para os seguintes
subespaços:
i) W1 ;
ii) W2 ;
iii) W1 ∩ W2 .
10. Dados v1 = (1, 1, 1) e v2 = (3, −1, 4):
a) Os vetores v1 e v2 geram o R3 ? Justifique.
b) Seja v3 um terceiro vetor do R3 . Quais são as condições sobre v3 , para que {v1 , v2 , v3 }
seja uma base de R3 ?
c) Encontre um vetor v3 que complete junto com v1 e v2 uma base do R3 .
11. Seja V o espaço das matrizes 2 × 2 sobre R, e seja W o subespaço gerado por

 
 
 

1 −5
1 1
2 −4
1 −7

, 
, 
, 
. Encontre uma base, e a dimensão
−4
2
−1 5
−5
7
−5
1
de W.
©
ª
12. Sejam W1 = (x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y = 0 e z − t = 0 e
©
ª
W2 = (x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y − z + t = 0 subespaços de R4 .
a) Determine W1 ∩ W2 .
b) Exiba uma base para W1 ∩ W2 .
c) W1 + W2 = R4 .
2
13. Seja W o subespaço de R3 gerado pelos vetores w1 = (1, 2, −1), w2 = (3, 4, 1) e w3 = (4, 4, 4).
Verifique se {w1 , w2 , w3 } é um conjunto de vetores linearmente independentes. Determine
uma base para W.
14. Considere o espaço vetorial V com uma base dada por {v1 , v2 , . . . , vn }. Mostre que todo vetor
v ∈ V é escrito de maneira única como combinação linear de {v1 , v2 , . . . , vn }.
15. Encontre uma base para os seguintes subespaços do R3 :
i) todos os vetores da forma (a, b, c), onde b = a;
ii) todos os vetores da forma (a, b, c), onde a = 0;
iii) todos os vetores da forma (a − b, b + c, 2a − b + c).
16. Encontre uma base e a dimensão para os seguintes subespaços do R4 :
(a) formada pelos vetores da forma (a, b, c, d), onde d = a + b;
(b) formada pelos vetores da forma (a, b, c, d), onde c = a − b; e d = a + b;
(c) formada pelos vetores da forma (a + c, a − b, b + c, −a + b).




 a b


tais que a = d, b = c
17. Sejam W1 =
 c d

e

 a
W2 = 
 c


b
 tais que a = c, b = d subespaços de M2×2 . Determine W1 ∩ W2 e

d

exiba uma base.
Professor Luiz Pedro - Setembro de 2005
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