Física I - Lista de Exercícios II
CEFET-BA / UE - VITÓRIA DA CONQUISTA
COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Vetores
Ref.: Fundamentos de Física Vol.1 Halliday, Resnick e Walker, Cap.3.
G
G
1. Considere dois deslocamentos, em modulo, dados por: a = a = 3 m e b = b = 4 m.
G
G
Mostre como os vetores a e b poderiam ser combinados de forma que o
deslocamento resultante tenha modulo: (a) 7 m, (b) 1 m e (c) 5 m.
G
G
a e b devem apresentar tal que seja
2. Quais as propriedades de dois
vetores
G
G
G
G
obedecida a condição (b) a + b = a - b .
3. Um viajante parte de Vitória da Conquista com destino a Salvador via o percurso
indicado no mapa abaixo. Supondo que o percurso entre cada cidade indicada seja
uma linha reta, determine: (a) o caminho total percorrido e (b) o deslocamento total.
Use a escala de distancias em km indicada neste mapa.
G
G
4. O vetor a tem modulo de 5.2 unidades e encontre-se dirigido para leste. O vetor b
tem modulo 4.3 unidade, dirigido a 35° a oeste do norte. Construa
o diagrama
de
G G
G G
vetores e determine os módulos, direções e sentido de: (a) a + b e (b) a - b .
5. Uma peça de maquinário é levantada ao longo de um plano inclinado de 22° com a
horizontal por uma distancia de 13 m. (a) Qual o seu deslocamento vertical a partir
da base do plano inclinado? (b) Quanto ela se move horizontalmente?
1
6. Uma moça deseja alcançar um ponto que está a 3.42 km de sua presente posição e na
direção 35° ao norte do leste. Entretanto ela tem de viajar ao longo de ruas que estão
orientadas tanto de leste a oeste como de norte a sul. Qual é a distancia mínima que
ela pode viajar para alcançar o seu destino?
G
G
7. Qual é o resultado da soma dos vetores a = 5xˆ + 3yˆ e b = -3xˆ + 2yˆ ? Qual é o modulo,
direção e sentido de tal vetor soma?
G
G
8. DoisG vetores são
especificados por: a = 4xˆ G- 3yˆ + zˆ e b = -xˆ + yˆ + 4zˆ . Encontre: (a)
G
G
G
G
G
G
a + b , (b) a - b e (c) um vetor c tal que a - b + c .
G
9. Lembrado da definição do produto escalar entre dois vetores, a = a x xˆ + a y yˆ + a z zˆ e
G
G
G
G
G
b = b x xˆ + b y yˆ + b z zˆ , demonstre que a ⋅ b = a . b .cos ( θ ) , onde θ é o menor ângulo
formado por tais vetores.
G
10. Lembrado da definição do produto vetorial entre dois vetores, a = a x xˆ + a y yˆ + a z zˆ e
G
G
G
G
G
b = b x xˆ + b y yˆ + b z zˆ , demonstre que a × b = a . b .sen ( θ ) , onde θ é o menor ângulo
formado por tais vetores.
IMPORTANTE: Estude o apêndice abaixo para uma revisão sobre vetores e operações com vetores !!!
Respostas
1. Por exemplo as combinações: (a) soma 3xˆ +4xˆ , (b) diferença 4xˆ - 3xˆ e (c) soma 3xˆ +4yˆ
2. b deve ser nulo.
3. 554.72 km e 339.62 km
4. (a) modulo 4.46 unidades com inclinação de 52° nordeste e
(b) modulo 8.43 unidades com inclinação de 24.5° sudeste.
5. (a) ∆y = 4.87 m e (b) ∆x = 12.05 m
6. 4.76 km
G G
7. a + b = 2xˆ + 5yˆ , 5.38 e 68.18°
G G
G G
G
8. a + b = 3xˆ - 2yˆ + 5zˆ , a - b = 5xˆ - 4yˆ - 3zˆ e c = -5xˆ + 4yˆ + 3zˆ
Conferir as respostas durante as aulas de exercícios.
Apêndice: Operações com Vetores
(i) Vetores, suas componentes e a soma de dois vetores.
G
a = a = a 2x + a 2y + a 2z
G
G
a = a x xˆ + a y yˆ + a z zˆ b = b x xˆ + b y yˆ + b z zˆ
G
⇒ c = ( a x + b x ) xˆ + a y + b y yˆ + ( a z + b z ) zˆ
az = a.sen(θ)
(
ay = a.cos(θ).cos(α) ax = a.cos(θ).sen(α)
2
)
(ii) Subtração de dois vetores e o vetor deslocamento.
G
G
Considerando a = a x xˆ + a y yˆ + a z zˆ como sendo o vetor posição inicial e b = b x xˆ + b y yˆ + b z zˆ
G
o vetor posição final, então o vetor deslocamento será: c = ( b x -a x ) xˆ + b y -a y yˆ + ( b z -a z ) zˆ
(
(iii) Produto entre um escalar e um vetor.
G
G
)
G
Sendo a = a x xˆ + a y yˆ + a z zˆ um vetor e k um escalar então b = k.a = k.a x xˆ + k.a y yˆ + k.a z zˆ .
(iv) Produto escalar entre dois vetores.
G
G
Sendo a = a x xˆ + a y yˆ + a z zˆ e b = b x xˆ + b y yˆ + b z zˆ , o produto escalar entre esses dois vetores
G G
será um escalar k dado por: k = a ⋅ b = a x .b x + a y .b y + a z .b z = a.b.cos(θ) .
(v) Produto vetorial entre dois vetores.
G
G
Sendo a = a x xˆ + a y yˆ + a z zˆ e b = b x xˆ + b y yˆ + b z zˆ , o produto vetorial entre esses dois vetores
será um vetor perpendicular ao plano definido por eles, podendo ser calculado via:
xˆ
G
G G
c = a × b = ax
yˆ
ay
zˆ
az
bx
by
bz
onde cabe salientar que, em modulo, temos:
G G
c = a × b = a.b.sen(θ)
3