Tópicos Especiais em Controle
de Conversores Estáticos
Prof. Cassiano Rech
[email protected]
Prof. Cassiano Rech
1
Sumário
• Controle clássico de conversores estáticos
 Ferramentas de análise e projeto de sistemas de controle
 Efeitos da realimentação
 Ações básicas de controle
 Projeto de compensadores
Prof. Cassiano Rech
2
Controle clássico de conversores:
Introdução
• Definição das especificações
• Proposição de um circuito/conversor
• Modelagem do circuito/conversor
• Análise orientada ao projeto
• Verificação prática
• Análise sob situações críticas
• Iteração
Prof. Cassiano Rech
3
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
• Existem diversas ferramentas clássicas para a análise
e o projeto de compensadores, destacando-se:
 Análise transitória e em regime permanente
 Método do lugar das raízes
 Diagrama de Bode
 Diagrama de Nyquist
Prof. Cassiano Rech
4
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
• Análise transitória e em regime permanente
 A resposta temporal de um sistema de controle é constituída de
duas partes: a resposta transitória e a resposta em regime
permanente.
 Por resposta transitória, entende-se aquela que vai do estado
inicial ao estado final. Por resposta em regime permanente,
entende-se o comportamento do sinal de saída quando t tende ao
infinito.
 A análise e o projeto de sistemas de controle no domínio tempo
usualmente utiliza sinais de teste, tal como a função degrau.
Prof. Cassiano Rech
5
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Teorema do valor final
O teorema do valor final estabelece que o comportamento em regime
permanente de f(t) é o mesmo comportamento de sF(s) nas proximidades de s = 0.
Assim, é possível obter o valor de f(t) em t = .
f     lim f  t   lim sF  s 
t 
s 0
Este teorema é aplicável se e somente se a função f(t) tende para um valor
constante quanto t tende ao infinito.
Caso o sistema seja instável, ou f(t) seja, por exemplo, uma função senoidal,
este teorema não se aplica.
Prof. Cassiano Rech
6
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Especificações de resposta transitória
1) Tempo de subida: é o tempo
requerido para que a resposta passe
de 0% a 100% do valor final. Para
sistemas de segunda ordem o tempo
de subida depende tanto do coeficiente
de amortecimento quanto da
freqüência natural. Quanto maior a
freqüência natural e menor o
coeficiente de amortecimento, menor
será o tempo de subida.
Prof. Cassiano Rech
7
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Especificações de resposta transitória
2) Tempo de acomodação: é o tempo
necessário para que a curva de
resposta alcance valores em um faixa
(usualmente 2% ou 5%) em torno do
valor final, permanecendo
indefinidamente. Está relacionado com
a maior constante de tempo do sistema
de controle.
ts  4T 
4
 n
(2%)
ts  3T 
3
 n
(5%)
Prof. Cassiano Rech
8
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Especificações de resposta transitória
3) Máximo sobre-sinal: é o valor
máximo de pico da curva de resposta,
medido a partir da unidade. Para um
sistema de segunda ordem, seu valor
depende somente do coeficiente de
amortecimento.
Mp
Prof. Cassiano Rech

e


12 
9
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
• Método do lugar das raízes
 A característica básica da resposta transitória de um sistema em
malha fechada depende essencialmente da localização dos pólos
de malha fechada
 O lugar das raízes é o lugar das raízes da equação característica
do sistema em malha fechada quando um parâmetro específico
(normalmente um ganho K) varia de zero a infinito.
 O gráfico obtido mostra claramente as contribuições de cada pólo
ou zero de malha aberta nas localizações dos pólos de malha
fechada.
Prof. Cassiano Rech
10
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Considere o sistema em malha fechada mostrado abaixo:
R(s)
+
K
G(s)
C(s)
_
H(s)
A função de transferência em malha fechada (FTMF) é:
C s 
R s 
Prof. Cassiano Rech

K G s 
1 K G s  H s 
11
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Os pólos do sistema em malha fechada são as raízes da equação
característica, dada por:
1 KG s  H s   0
s  z1  s  z2  ...  s  zm 

1 K
0
 s  p1  s  p2 ...  s  pn 
Quando K = 0, os pólos do sistema em malha fechada são iguais aos pólos do
sistema em malha aberta.
Quando K  , os pólos do sistema em malha fechada são iguais aos zeros
do sistema em malha aberta.
Então, variando K de zero até infinito obtém-se o lugar das raízes do sistema
em malha fechada, a partir dos pólos e zeros do sistema em malha aberta.
Prof. Cassiano Rech
12
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Regiões de interesse
do plano complexo
1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Axis
1) Linhas de coeficiente de
amortecimento  constante
são linhas radiais que
passam pela origem. No
eixo imaginário tem-se que
 = 0. No eixo real,   1.
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Prof. Cassiano Rech
13
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Regiões de interesse
do plano complexo
1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Axis
2) No semi-plano direito  < 0.
Logo, o sistema não pode
apresentar pólos em malha
fechada no semi-plano
direito, pois será
INSTÁVEL.
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Prof. Cassiano Rech
14
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Regiões de interesse
do plano complexo
1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Axis
3) Os lugares de freqüência
natural n constantes são
círculos com centro na
origem do plano complexo.
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Prof. Cassiano Rech
15
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Regiões de interesse
do plano complexo
1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Axis
4) Os lugares de tempo de
acomodação constantes
são linhas paralelas ao eixo
imaginário.
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Prof. Cassiano Rech
16
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
• Exemplo
 Conversor BUCK em malha fechada com controle proporcional
Vin = 100 V
L = 250 mH
C = 220 mF
R=2W
1
vˆo  s 
LC
 Vin
1
1
dˆ  s 
s2 
s
RC
LC
f = 50 kHz
Vo = 50 V
Prof. Cassiano Rech
17
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
2
x 10
4
0.115
0.085
0.056
0.17
0.036 1.75e+004
0.016
1.5
1.25e+004
1
0.26
7.5e+003
Imaginary Axis
0.5 0.5
2.5e+003
0
2.5e+003
-0.5 0.5
7.5e+003
-1
0.26
1.25e+004
-1.5
0.17
0.115
-2
-3000
Prof. Cassiano Rech
-2500
-2000
0.085
-1500
0.056
0.036 1.75e+004
0.016
-1000
Real Axis
-500
0
500
1000
18
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
100
90
80
70
Tensão (V)
60
K=1
50
K = 0,1
40
30
K = 0,01
20
10
0
Prof. Cassiano Rech
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
Tempo (s)
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
19
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
• Diagrama de Bode
 O termo resposta em freqüência significa a resposta em regime
permanente de um sistema a uma entrada senoidal.
 Nos métodos de resposta em freqüência, variamos a freqüência do
sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estudamos a
resposta resultante.
 A informação que obtemos com base nessa ferramenta é diferente
da que é obtida na análise baseada no lugar das raízes. Em muitos
projetos práticos de sistemas de controle, ambos os métodos são
empregados.
 Um diagrama de Bode é constituído de dois gráficos: gráfico do
módulo em dB de uma função de transferência e gráfico do ângulo
de fase. Ambos são traçados em relação à freqüência em escala
logarítmica.
Prof. Cassiano Rech
20
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
Informações relevantes
• Freqüência de cruzamento do ganho (crossover frequency): é definida como
a freqüência em que o ganho é unitário ou 0 dB. Quanto maior é a freqüência de
cruzamento maior será a capacidade do conversor sintetizar sinais de
freqüência elevada e sua resposta transitória poderá ser mais rápida.
• Margem de fase: é o atraso de fase adicional na freqüência de cruzamento de
ganho da função de transferência em malha aberta (FTMA), necessária para
que o sistema atinja o limiar de instabilidade. Quanto menor a margem de fase,
mais próximo da instabilidade o sistema em malha fechada se encontra.
• Margem de ganho: a margem de ganho é o recíproco do módulo na freqüência
em que o ângulo é -180º. Para um sistema de fase mínima estável, a margem
de ganho indica em quanto pode ser aumentado o ganho antes que o sistema
se torne instável. Para um sistema instável, a margem de ganho indica o quanto
o ganho deve decrescer para estabilizar o sistema em malha fechada.
• Erro estático: quanto maior for o módulo da FTMA na freqüência de interesse,
menor será o erro estático.
Prof. Cassiano Rech
21
Controle clássico de conversores:
Ferramentas de análise e projeto
60
K=1
40
Magnitude (dB)
K = 0,1
20
0
K = 0,01
-20
-40
-60
0
Phase (deg)
-45
-90
System: ftma
Phase Margin (deg): 10.1
Delay Margin (sec): 1.26e-005
At frequency (rad/sec): 1.4e+004
Closed Loop Stable? Yes
-135
-180
2
10
System: ftma
Phase Margin (deg): 44.3
Delay Margin (sec): 0.000138
At frequency (rad/sec): 5.59e+003
3
10 Closed Loop Stable? Yes
Frequency (rad/sec)
Prof. Cassiano Rech
4
10
System: ftma 105
Phase Margin (deg): 3.07
Delay Margin (sec): 1.25e-006
At frequency (rad/sec): 4.28e+004
Closed Loop Stable? Yes
22
Controle clássico de conversores:
Efeitos da realimentação
Os sinais de saída dos conversores estáticos são uma função das fontes de
energia, das razões cíclicas dos interruptores e da carga, assim como dos
parâmetros do conversor.
Então, não podemos esperar que os sinais de saída se manterão ajustados
nos valores de interesse para todas as condições de operação, apenas mantendo
a razão cíclica fixa.
Prof. Cassiano Rech
23
Controle clássico de conversores:
Efeitos da realimentação
O objetivo da realimentação é construir um circuito que ajuste, quando
necessário, a razão cíclica automaticamente para obter os sinais de saída
desejados, mesmo com distúrbios nas fontes de energia e na carga, ou com
variações paramétricas.
Prof. Cassiano Rech
24
Controle clássico de conversores:
Efeitos da realimentação
Para analisar os efeitos da realimentação no desempenho do sistema em
malha fechada, iremos utilizar o seguinte diagrama de blocos que representa o
modelo de pequenos sinais do sistema em malha fechada.
Prof. Cassiano Rech
25
Controle clássico de conversores:
Efeitos da realimentação
Uma vez que existem três sinais de entrada, a tensão de saída pode ser obtida
por superposição:
Prof. Cassiano Rech
26
Controle clássico de conversores:
Efeitos da realimentação
Função de transferência entre a tensão de saída e a tensão de referência
Prof. Cassiano Rech
27
Controle clássico de conversores:
Efeitos da realimentação
Função de transferência entre a tensão de saída e a tensão de entrada
Prof. Cassiano Rech
28
Controle clássico de conversores:
Efeitos da realimentação
Função de transferência entre a tensão de saída e a corrente na carga
Prof. Cassiano Rech
29
Controle clássico de conversores:
Efeitos da realimentação
Relação entre margem de fase e coeficiente de amortecimento em malha fechada
• Qual a margem de fase (jm) necessária?
• Uma pequena margem de fase resulta em FTMF com reduzido coeficiente de
amortecimento.
Q
1
2
Prof. Cassiano Rech
30
Controle clássico de conversores:
Ações básicas de controle
• Proporcional: para um controlador com ação de controle proporcional, a saída
do compensador é proporcional ao sinal de erro.
up t   e t 
Up s   E s 
• Integral: no controle integral, o sinal de saída do compensador em qualquer
instante é a área sob a curva do sinal de erro, até aquele momento.
t
ui  t    e  t  dt
0
Ui  s  
E s 
s
O sinal de controle pode ter um valor não-nulo mesmo quando o sinal de erro
for zero. Isso é impossível para o controlador proporcional.
Embora a ação de controle integral remova o erro em regime permanente,
para entradas do tipo degrau, pode conduzir a uma resposta oscilatória ou até
mesmo instável.
Prof. Cassiano Rech
31
Controle clássico de conversores:
Ações básicas de controle
• Derivativo: A ação de controle derivativo responde a uma taxa de variação do
erro e pode produzir uma correção significativa antes que o valor do erro atuante
se torne muito elevado.
ud  t  
de  t 
dt
Ud s   sE s 
Portanto, o controle derivativo prevê o erro, inicia uma correção antecipada e
tende a aumentar a estabilidade do sistema.
Embora o controle derivativo não afete diretamente o erro estacionário, ele
aumenta o amortecimento do sistema, permitindo o uso de ganho proporcional
mais elevado, o que vai resultar em maior precisão em regime permanente.
Prof. Cassiano Rech
32
Controle clássico de conversores:
Projeto de compensadores
Especificações
• As variáveis controladas devem permanecer dentro de uma faixa especificada
mesmo com variações na carga (ganho em malha aberta elevado).
• As variáveis controladas devem permanecer dentro de uma faixa especificada
mesmo com variações nas fontes de energia (ganho em malha aberta
elevado).
• O sistema deve responder a distúrbios com uma resposta transitória
satisfatória. Tipicamente, o tempo de resposta pode ser diminuído ao aumentar
a freqüência de cruzamento do sistema realimentado.
• As variáveis controladas usualmente devem apresentar sobre-sinal e
oscilações reduzidas. Isto implica que a margem de fase deve ser
suficientemente grande.
Prof. Cassiano Rech
33
Controle clássico de conversores:
Projeto de compensadores
Compensador em avanço (Proporcional-Derivativo – PD)
• Empregado para aumentar a margem de fase.
• A freqüência de cruzamento do sistema realimentado também pode ser
aumentada, mantendo uma margem de fase adequada.
• Um zero é adicionado na FTMA, em uma freqüência fz suficientemente menor
que a freqüência de cruzamento fc, tal que a margem de fase de T(s) é
aumentada de um valor desejado.
• Devido à inclusão do zero, o ganho do compensador aumenta com a freqüência
em uma taxa de +20 db/dec. Caso o ganho do compensador seja elevado na
freqüência de comutação, os harmônicos produzidos pelas comutações serão
amplificados pelo compensador e podem prejudicar a operação do PWM.
• Assim, é usual adicionar pólo(s) em freqüência(s) menor(es) que a freqüência
de comutação.
• Normalmente, a freqüência de cruzamento é limitada em torno de 10% da
freqüência de comutação.
Prof. Cassiano Rech
34
Controle clássico de conversores:
Projeto de compensadores

s 
1


z 
Gc  s   Gc 0 

s 
 1 

 p 
Prof. Cassiano Rech
35
Controle clássico de conversores:
Projeto de compensadores
A máxima defasagem introduzida pelo compensador ocorre na freqüência fjmax,
dada pela média geométrica das freqüências do zero e do pólo:
fj max  fz fp
Para obter o máxima acréscimo na margem de fase, o compensador deve ser
projetado para que a freqüência fjmax coincida com a freqüência de cruzamento
desejada. Esta especificação é alcançada quando:
fz  fc
1  sen   
1  sen   
fp  fc
1  sen   
1  sen   
onde  é o avanço de fase introduzido pelo compensador para atingir a margem de
fase desejada.
O ganho do compensador deve ser selecionado para selecionar a freqüência
de cruzamento desejada.
Prof. Cassiano Rech
36
Controle clássico de conversores:
Projeto de compensadores
Prof. Cassiano Rech
37
Controle clássico de conversores:
Projeto de compensadores
Compensador em atraso (Proporcional-Integral – PI)
• Empregado para aumentar o ganho em malha aberta em baixas freqüências,
de tal forma que a saída apresenta melhor regulação em freqüências bem
abaixo da freqüência de cruzamento do ganho.
• Um pólo é adicionado na origem para aumentar o ganho CC da FTMA.
• Com a inclusão do pólo na origem, o erro em regime permanente é nulo para
entradas do tipo degrau. Além disso, a função de transferência da saída em
relação a um distúrbio é zero para corrente contínua.
• Um zero é adicionado em uma freqüência fL suficientemente menor que a
freqüência do cruzamento do ganho (usualmente uma década abaixo), de tal
forma que a margem de fase não se modifique.
• O ganho do compensador deve ser selecionado para selecionar a freqüência
de cruzamento desejada.
Prof. Cassiano Rech
38
Controle clássico de conversores:
Projeto de compensadores
 L 
Gc  s   Gc 1 

s


Prof. Cassiano Rech
39
Controle clássico de conversores:
Projeto de compensadores
Compensador Proporcional-Integral-Derivativo – PID)
• As vantagens dos compensadores PD e PI podem ser combinadas para obter
uma larga banda passante e para eliminar o erro em regime permanente
• Em baixas freqüências, o compensador integra o sinal de erro, aumentando o
ganho CC da FTMA e melhorando a regulação em baixa freqüência das
variáveis a serem controladas.
• Em altas freqüências, em torno da freqüência de cruzamento, o compensador
introduz um avanço de fase na FTMA, melhorando a margem de fase.
Prof. Cassiano Rech
40
Controle clássico de conversores:
Projeto de compensadores
s 
 L  
1 s  1  


z 
Gc  s   Gcm

s 
 1 


p 

Prof. Cassiano Rech
41
Bibliografia
• R. W. Erickson, D. Maksimovic, “Fundamentals of
Power Electronics”, Second edition.
• J. G. Kassakian, M. F. Schlecht, G. C. Verghese,
“Principles of Power Electronics”.
• K. Ogata, “Engenharia de Controle Moderno”, 4ª edição.
Prof. Cassiano Rech
42