ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória é uma parte da Matemática que estuda e desenvolve
métodos para a resolução de problemas que envolvem contagem.
A origem dos problemas de contagem está ligada a jogos de loterias, ainda no
século XVII. As primeiras publicações a respeito pareceram com Blaise
Pascal e Pierre de Fermat. Alem desses ilustres personagem, muitos outros
posteriormente desenvolveram estudos, com destaque para os suíços Jaques
Bernoulli e Leonhard Euler e para o alemão Gottfried W. Leibniz. Esta nossa
primeira aula não consiste, em dar absolutamente uma maneira formal para a
resolução de problemas de contagem por meio de fórmulas, mas sim algumas
técnicas de contagem de todos os casos possíveis de um acontecimento, como
a árvore das possibilidades e o princípio fundamental da contagem. Vejamos
alguns problemas.
Ex: 1) Para a eleição da associação de Pais e Mestres da Escola, há três
candidatos a presidente e dois a vice-presidente .
Arnaldo (A)

Candidatos a presidente  Fábio (F)
 Carmem (C)

Beatriz (B)
Candidatos a vice - presidente 
 Dárcio (D)
Quais e quantos são os possíveis resultados dessa eleição ?
Vamos fazer um esquema de resolução para representar os possíveis
resultados, ao qual daremos o nome de árvore das possibilidades.
Ex: 2) Uma moeda tem duas faces: cara(K) e coroa(C). Lança-se a moeda três
vezes consecutivas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quais e
quantos são os resultado possíveis ?
Construindo a árvore das possibilidades , temos:
São possíveis 8 resultados.
Ex: 3) Quais e quantos são os números de três algarismos distintos que
podemos formar usando os algarismos 2, 5 e 7 ?
Construindo a árvores das possibilidades, temos:
São 6 os possíveis resultados.
Ex: 4) Fabíola, Gerson, Hélio, Ivelise e Jacira disputam 2 vagas no conselho
da escola. Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com os 5
alunos.
Construindo a árvore das possibilidades, temos:
São 10 comissões de dois alunos, pois as comissões FG = GF, FH = HF,
HG = GH, FI = IF, GI =IG, IH = HI, FJ = JF, GJ = JG, HJ = JH e IJ = JI
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Vamos aprender agora a determinar o número de possibilidades de ocorrência
de evento , sem a necessidade de descrever todas as possibilidades.
Considere a seguinte situação:
André tem 2 Bermudas ( preta e cinza) e 4 camisetas (branca, verde, amarela e
roxa).
De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir usando uma bermuda e
uma camiseta ?
Construindo a árvore das possibilidades, temos:
Observe que :
ACONTECIMENTO
Escolha da bermuda
Escolha da camiseta
DESCRIÇÃO DAS
POSSIBILIDADES
P, C
B, V, A , R
NÚMERO DE
POSSIBILIDADES
2
4
Há duas possibilidades de escolher uma bermuda. Para cada uma delas, quatro
possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número total de maneiras
diferentes de André se vestir é 2 . 4 = 8.
Como o número de resultados foi obtido por meio de multiplicação, dizemos
que foi aplicado o princípio multiplicativo. Vamos enunciá-lo:
Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independente, de
tal modo que:
p1 é o número de possibilidade da 1ª etapa, p2 o número de possibilidades da
segunda etapa, ...., pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa, então:
p1.p2....pk é o número de possibilidades total de um acontecimento
ocorrer.
EXEMPLOS
Ex: 1) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de
carne, 5 variedades de bebida e 3 de sobremesa diferentes. Uma pessoa deseja
comer uma salada, uma carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas
maneiras distintas ela pode fazer o pedido ?
Acontecimentos
Escolha de uma salada
Escolha de um prato de carne
Escolha de uma bebida
Escolha de uma sobremesa
Descrição das
possibilidades
S1, S2
C1, C2, C3, C4
B1, B2, B3, B4, B5
So1, So2, So3
Número das
possibilidades
2
4
5
3
Usando o princípio multiplicativo, o número de maneiras de o pedido ser feito
é igual a:
2. 4. 5. 3 = 120 maneiras
Ex: 2) Os números de telefones de uma cidade têm 8 algarismos. Determine a
quantidade de telefones a serem instalados, sabendo que os números não
devem começar com zeros.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
9
10
10
10
10
10
10
10
Usando o princípio multiplicativo, o número máximo de telefones é:
9. 10.10.10.10.10.10.10 = 90 000 000
Vamos estudar agora problemas de contagem relacionados a algumas formas
de organizar ou agrupar elementos de um conjunto.
Arranjo Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de
outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
Fórmula do arranjo simples: An, p =
n!
(n − p )!
Ex: Quatro pessoas ( Arnaldo, Bento, Carlos, Daniel) disputam uma corrida.
Supondo que todas terminem a prova, quantas são as possibilidades de
chegada para os três primeiros lugares ?
Resolução: n = 4 e p = 3
An, p =
n!
4!
4!
=
= = 24
(n − p )! (4 − 3)! 1!
Existem 24 possibilidades diferentes de chegada para os três primeiros
lugares.
Combinação Simples: É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente
de outro apenas pela natureza dos seus elementos componentes.
Fórmula da Combinação Simples: C n; p =
n!
p!(n − p )!
Ex: Quatro pessoas ( Arnaldo, Bento, Carlos, Daniel) disputam 3 vagas no
conselho da escola. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com
os 4 alunos ?
Resolução: n= 4 e p = 3
C n; p =
n!
4!
4!
=
=
=4
p!(n − p)! 3!(4 − 3)! 3!.1!
Podemos formar 4 comissões.
Permutação Simples: É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente
de outro apenas pela ordem de seus elementos.
Fórmula da permutação simples: Pn = n!
Ex: Determine quantos são os anagramas da palavra ROMA ?
Resolução: Pn = n! = 4! = 24
Portanto existem 24 anagramas.
Permutação com elementos repetidos: Se tivermos n elementos dos quais, α
são iguais A, β são iguais B ,δ são iguais a C e etc....
O número de permutações distintas dos n elementos será:
Pn
α , β ,δ ...
=
n!
α !. β !. δ !....
Ex: Quantos anagramas tem a palavra ARITMÉTICA ?
Resolução: n = 10, a letra A, repete 2 vezes (α = 2), a letra I repete 2 vezes
(β = 2) e a letra T repete 2 vezes ( δ = 2 ), portanto:
P102, 2, 2 =
10!
= 453600 anagramas
2!. 2!. 2!
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
UNITAU
APOSTILA
NOÇÕES DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
PROF. CARLINHOS