Análise Combinatória
Prof. PH
Princípio Fundamental da Contagem – P.F.C
Problema 1: Uma moça tem 2 saias e 3 blusas.
Durante quantos dias poderá sair usando saia e
blusa sem repetir o mesmo conjunto?
6 conjuntos = 6 dias
Princípio Fundamental da Contagem – P.F.C
e pelo
P.F.C …
2 etapas :
Saia
Blusa
2
3
Possibilidades
Possibilidades
=
6
Problema 2: Quantos automóveis podem ser licenciados
se cada placa contém 3 letras e 4 dígitos?
7 etapas :
letras
26 26
26
dígitos
10 10 10
10 = 17.576.000
Problema 3: Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 quantos
números de 3 algarismos podemos formar?
3 etapas :
5
6
6 = 180
Problema 4: Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 quantos
números de 3 algarismos distintos podemos formar?
3 etapas :
5
5
4 = 100
Fatorial
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
n! =
n.(n-1).(n-2) … 2.1
Obs:
0! = 1
1! = 1
Arranjos
An , p
Combinações
n!
(n p )!
Ex: Com 5 letras A,B,C,D e E
quantas senhas de 3 letras
distintas podemos formar?


&
Objetos distintos
Mudando a ordem
criamos um novo grupo
Cn , p
n!
p !(n p )!
Ex: Com 5 frutas A,B,C,D e E
quantas vitaminhas de 3 frutas
distintas podemos formar?


Objetos distintos
Mudando a ordem NÃO
criamos um novo grupo
Exercícios
1) (Ufsc/2007) Quando sete pessoas se encontram e todas se cumprimentam, o
número de apertos de mão possível, sem que os cumprimentos se repitam, é 42.
V ou F?
2) (Ufsc/2007)Se cinco atletas disputam uma prova de corrida de 800 metros, então
o número de resulta-dos possíveis para os dois primeiros lugares, sem que haja
empates, é 10. V ou F?
3) (Ufsc/2008)Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI) será formada por
cinco parlamentares indicados pelos três partidos A, B e C, de acordo com o
tamanho de sua representação no Congresso Nacional. O partido A tem 10
parlamentares e deve indicar 2 membros, o partido B tem 8 parlamentares e deve
indicar 2 membros, e o partido C tem 4 parlamentares e deve indicar 1 membro. O
número de CPIs diferentes que podem ser formadas é 5040. V ou F?
4) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 quantos números pares de 3 algarismos
distintos podemos formar?
5) Quantos cartões com 6 números são necessários para ganhar na Mega-Sena?
Permutações Simples
Pn
n!
&
com Repetição
Pn
, , ,
n!
! !
!
Ex: Quantos são os anagramas Ex: Quantos são os anagramas
da palavra BATATA?
da palavra SONHAR?
Exercícios
1) Quantos são os anagramas da palavra SONHAR que começam por vogal?
2) Quantos são os anagramas da palavra SONHAR que começam e terminam por
vogal?
3) Quantos são os anagramas da palavra SONHAR que têm as vogais juntas?
4) Quantos são os anagramas da palavra SONHAR que têm as letras S, N e R
juntas?
5) Quantos são os anagramas da palavra BATATA que começam e terminam por A?
6) Quantos são os anagramas da palavra BATATA que têm as duas letras T´s
juntas?
7) Quantos são os anagramas da palavra ECONOMIA que não começam nem
terminam pela letra O?
R: 10.800
Exercícios
8) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem
alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 80 a palavra
nessa lista é
a) PROVA.
b) VAPOR.
c) RAPOV.
d) ROVAP.
e) ROPVA.
9) No desenho ao lado, as linhas horizontais e
verticais representam ruas, e os quadrados
representam quarteirões. A quantidade de trajetos
de comprimento mínimo ligando A e B que passam
por C é
a) 12
b) 13
c) 15
d) 24
e) 30