ROOT LOCUS
CONTROLO
1º semestre – 2011/2012
Transparências de apoio às aulas teóricas
Cap. 7 - Parte I
Root Locus
Todos os direitos reservados
Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos
autores
1/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
ROOT LOCUS
Root Locus: O que é?
• Root Locus = Lugar das Raízes
• Root Locus – método do Lugar Geométrico
das Raízes – diagrama de Evans (Evans –
1948, 1950)
• Que raízes?
– Do polinómio denominador da função de
transferência em cadeia fechada
• Como função dos pólos e dos zeros da função
de transferência em cadeia aberta.
• Sem factorizar o polinómio denominador da
função de transferência em cadeia fechada.
• O que é?
– Representação gráfica da localização dos
pólos de um sistema em cadeia fechada como
função de um parâmetro do sistema
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
• Usualmente, este parâmetro é um ganho da
cadeia aberta
• Para que serve ?
– Para apoio à síntese de controladores
– Suporte à avaliação das características da
resposta no tempo do sistema em cadeia
fechada como função da variação de
parâmetros
2/Cap.7
ROOT LOCUS
Exemplo Motivador
sistema de controlo de temperatura de uma sala
K2 / s
r
+
e
_
K
Gc ( s )  K 1  2
s
Gc ( s ) 
sK 1  K 2
s
K1
+
+
m
c
1
s 1
controlador proporcional integral
Exemplo visto a
propósito de erros
em regime
estacionário
1 pólo na origem e 1 zero
com controlador I
com controlador PI
• Como dimensionar o valor dos ganhos por forma a satisfazer
especificações:
• relativas ao erro em regime estacionário
• e à resposta no tempo do sistema em cadeia fechada?
pólos do sistema em c.f
Qual é a localização dos pólos
da f.t.c.f como função do valor
dos ganhos?
3/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
com controlador P
ROOT LOCUS
Root Locus: Formulação
f.t.cadeia de acção
R(s)
+
G(s)
K
C(s)
_
H(s)
f.t.cadeia de retroacção
f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = KG(s)H(s)
f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) =
KG(s)
1  KG(s)H(s)
Como variam os pólos do sistema em
cadeia fechada como função do ganho K ?
resposta
•
Hipótese 1: Calcular explicitamente a f.t.c.f e
factorizar o polinómio denominador
Dados
Pólos e zeros da f.t.c.a
Root Locus
Pólos da f.t.c.f
Sem factorização do polinómio
denominador da f.t.c.f
E os zeros da f.t.c.f ?
4/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
• Hipótese 2: a partir do conhecimento da f.t.c.a.
usando o Root Locus
ROOT LOCUS
Pólos e Zeros da f.t.c.f
R(s)
+
G(s)
K
C(s)
_
G(s) 
NG (s)
DG ( s)
H(s) 
NH (s)
DH (s)
H(s)
NG (s)
DG ( s)
C(s)
KG(s)


R(s) 1  KG(s)H(s) 1  K NG (s)NH (s)
DG (s)DH (s)
K
KNG (s)DH (s)
C(s)

R(s) DG (s)DH (s)  KNG (s)NH (s)
zerosda f.t.c.f   zerosde G(s) pólos de H(s)
pólos da f.t.c.f. • variam com K
• não podem ser conhecidos imediatamente
• O Root Locus é um método gráfico que permite
avaliar a localização dos pólos da f.t.c.f. sem
factorizar o polinómio denominador dessa f.t.
5/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
não variam com K
ROOT LOCUS
Exemplo
Control Systems Engineering
Norman Nise
CameraMan Presenter Camera System
Faz o seguimento automático de objectos
posição
do
objecto
R(s)
sensores
amplificador
Motor e
camâra
K1
K2
s(s  10)
+
posição
da
câmara
C(s)
_
R(s)
K
s2  10s  K
pólos da f.t.c.f
D(s)  s2  10s  K  0
C(s)
K  K1K 2
jw
s1,2  5  25  K
s1  0, s2  10
K  25
s1  5, s2  5
K  25 s1,2  5  j K  25
K=0
x >
 10
K=25
<
K=0
x
O root-locus é sempre simétrico
relativamente ao eixo real
Como varia a resposta do sistema em c.f.
a uma entrada escalão para valores
crescente de K, com K>25?
6/Cap.7

 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
K 0
ROOT LOCUS
Princípio subjacente
KG(s)
T(s) 
1  KG(s)H(s)
K 
Se s é pólo de T(s)
1 KG(s)H(s)  0
KG(s)H(s)  1
equação característica
KG(s)H(s)  1
arg(KG(s)H(s))  (2k  1)180º ,
kZ
Root-Locus = conjunto dos valores de s que satisfazem
simultaneamente
KG(s)H(s)  1
•condição de argumento
arg(KG(s)H(s))  (2k  1)180º ,
k Z
Comando MATLAB
rlocus
7/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
• condição de módulo
ROOT LOCUS
Princípio subjacente
m
KG(s)H(s) K
 (s  z )
i
i1
n
 (s  p )
i
i1
• condição de argumento
arg(KG(s)H(s))  arg(K ) 
m
n
i1
i1
  arg(s  zi )   arg(s  pi )  (2k  1)
K>0
m
n
i1
i1
m
n
i1
i1
arg(KG(s)H(s))   arg(s  zi )   arg(s  pi )  (2k  1)
K<0
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
arg(KG(s)H(s))   arg(s  zi )   arg(s  pi )  (2k )
A condição de argumento permite determinar os
pontos do plano que pertencem ao root-locus
8/Cap.7
ROOT LOCUS
Princípio subjacente
m
KG(s)H(s) K
 (s  z )
i
i1
n
 (s  p )
i
i1
• condição de módulo
m
 sz
i
 sp
i
i1
n
1
i1
K 
 sp
i
 sz
i
i1
m
i1
A condição de módulo permite calcular o valor de K
correspondente a cada localização particular das
raízes sobre o lugar geométrico
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
K
n
9/Cap.7
ROOT LOCUS
Root Locus - exemplo
O ponto s1=–2+j3 pertence ao root-locus?
Se pertencer satisfaz as
condições do módulo e de
argumento
condição de argumento
arg(KG(s1 )H(s1 ))  arg(K)  [arg(s1  3)  arg(s1  4)] 
arg(KG(s1)H(s1))  arg(K)  [2  1]  [4  3 ]
arg(KG(s1)H(s1))  arg(K)  71.57º56.31º108.43º90º
arg(KG(s1)H(s1 ))  arg(K)  70.55º
Nunca pode ser um
múltiplo impar de 180º
s1=–2+j3 NÃO é pólo do sistema em c.f.
10/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
 [arg(s1  1)  arg(s1  2)]
ROOT LOCUS
Root Locus - exemplo
K( s  3 )
s[(s  2)2  4](s  5)
+
-
K>0
O ponto s1=-1 pertence ao root-locus?
4
arg(KG(s1))=(2k+1) ?
x
2
j2
1
x
-5
o
-2
s1
x
-3
x
3
5
-j2
arg(KG(1))  1  (2  3  4  5 )
Soma = zero
arg(KG(s1 ))  180º
0º
180º
s1  1 pertence ao root-locus
Qual é o valor do ganho K para o qual o sistema
em c.f. tem um pólo em -1?
Para s = -1 a condição de módulo
tem que ser verificada
11/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
0º
ROOT LOCUS
Root Locus - exemplo
K( s  3 )
s[(s  2)2  4](s  5)
+
-
K>0
condição de módulo
aplicada em s = -1
x
KG(1)  1
j2
M4
M2
x
o
M1
-2
s1
-3
-5
x
3
M3
M5  M4
x
M1
2
K
M2M3M4M5
4x1x 12  22


2
1
K  10
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
K G( 1)  K
-j2
12/Cap.7
ROOT LOCUS
Regras para a construção
REGRA 1 – Número de ramos
KG(s)H(s)  K
N(s)
D(s)
grau de N(s) = m
grau de D(s) = n
assume-se n  m
1 KG(s)H(s)  0
D(s)  KN(s)  0
Ramo = lugar geométrico definido por um pólo do
sistema em c.f. quando K varia
Nº de Ramos = n = número de pólos do sistema em
cadeia fechada
REGRA 2 – Simetria
Os pólos de sistemas realizáveis (sistemas físicos) são,
 Reais, ou
 Complexos – ocorrendo aos pares complexos
conjugados
O root-locus é simétrico relativamente ao
eixo real
13/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
•
ROOT LOCUS
Regras para a construção
REGRA 3 – Troços sobre o eixo real
K>0
São troços do root-locus os pontos do eixo real
que tenham à sua direita um número ímpar de
pólos e/ou zeros da f.t.c.a.
condição de argumento
m
KG(s)H(s)  K
 (s  z )
i
i1
n
K>0
 (s  p )
i
i1
Se s  Root Locus
m
n
i1
i1
arg(KG(s)H(s))   arg(s  zi )  arg(s  pi )  (2k  1)
1
-zi
0º
-zi
2
para pólos é
idêntico
1  2  0
180º
x
-pi
1
0º
x
-pi
2
1  2  0
para pólos é
idêntico
14/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
180º
ROOT LOCUS
Regras para a construção
continuação
•
REGRA 3 – Troços sobre o eixo real
s1  Root Locus
• Pólos e zeros (f.t.c.a.) à esquerda de s1 contribuem com 0º
• Pólos e zeros (f.t.c.a.) à direita de s1 contribuem com 180º
• A contribuição de um par de pólos e ou de zeros complexos
conjugados é nula
Exemplos
troços do eixo real
x
x
x
x
x
x
só estão indicados os troços
do eixo real
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
só estão indicados os
troços do eixo real
Não tem troços no
eixo real
15/Cap.7
ROOT LOCUS
Regras para a construção
•
REGRA 4 – Ponto de partida dos ramos
• onde se inicia cada ramo do root-locus (K=0) ?
G(s) 
NG (s)
DG ( s)
f.t.c.a.
KG(s)H(s)  K
f.t.c.f.
T(s) 
H(s) 
NH (s)
DH (s)
NG (s)NH (s)
DG (s)DH (s)
KNG (s)DH (s)
KG(s)

1  KG(s)H(s) DG (s)DH (s)  KNG (s)NH (s)
pólos da f.t.c.f.  s : DG (s)DH(s)  KNG (s)NH(s)  0
grau(NG(s)NH(s))=m
grau(DG(s)DH(s)+KNG(s)NH(s))=n  m
lim pólos da f .t.c.f .  s : DG (s)DH (s)  0
pólos da f.t.c.a.
os pontos de partida (K=0) dos ramos do rootlocus coincidem com os pólos da f.t.c.a.
16/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
K 0 
ROOT LOCUS
Regras para a construção
•
REGRA 5 – Ponto de chegada dos ramos
• n ramos
• onde termina cada ramo do root-locus (K=) ?
T(s) 
KNG (s)DH (s)
KG(s)

1  KG(s)H(s) DG (s)DH (s)  KNG (s)NH (s)
Quando K  
G(s)H(s)  0
para ser satisfeita a condição
1 KG(s)H(s)  0
G(s)H(s) 
NG (s)NH (s)
0
DG (s)DH (s)
s  zeros de NG (s)NH (s)
• m zeros
• m ramos do root-locus tendem
para os zeros da f.t.c.a.
s 
• m ramos tendem para os zeros da f.t.c.a.
• n-m ramos tendem para infinito
Estes n-m ramos tendem para infinito segundo assímptotas
Regra 8 – ângulo que as assímptotas fazem com o eixo real
17/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
n-m ramos do root-locus
tendem para infinito
ROOT LOCUS
Regras para a construção
KG(s)H(s) 
Exemplos
K
s(s  1)(s  2)
num=[0 0 0 1];
den=[1 3 2 0];
sys=tf(num,den);
rlocus(sys)
Algumas conclusões:
• Para 0  K  K1 o sistema em cadeia fechada tem todos os seus
pólos reais
• Qual é o valor de K1?
• Para 0  K  K2
Regra – pontos de entrada e saída do eixo real
o sistema em cadeia fechada é estável
• Para K=K2 o sistema é marginalmente estável
• Usar o root-locus
• Usar o critério de Routh-Hurwitz
• Para K>K1 o sistema apresenta uma sobreelevação na
resposta ao escalão.
•
Qual é o valor aproximado de K que conduz a uma sobreelevação
de 20% ?
18/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
• Qual é o valor de K2 ?
ROOT LOCUS
Regras para a construção
KG(s)H(s) 
K
s(s  1)(s  2)
Exemplos
s2  j
K2
x
3
x
2
x
1
• seja s2 o ponto de cruzamento com o eixo imaginário

s2 pertence ao root-locus

a condição de argumento é satisfeita para s2
arg(KG(s2 )H(s2 ))  (2k  1)

 2
s2  j 2
a condição de módulo é satisfeita para s2
KG( j)H( j)  1
K2 
1
G( j 2 ) H ( j 2 )

1
1
  1  2 4   2
 1  2 4   2
19/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
arg(KG(s2 )H(s2 ))  1  2  3 
  90º arctg()  arctg(  ) 
2 

 (2k  1)
ROOT LOCUS
Regras para a construção
Exemplos
KG(s)H(s) 
num=[1 7 12];
den=[1 3 2];
rlocus(num,den);
axis([-5 1 -1.5 1.5]);
o
x
o
K(s  3)(s  4)
(s  1)(s  2)
x
K1=?
K2=?
x
K( s  3 )
s(s  1)(s  2)(s  4)
o
x
x
x
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
KG(s)H(s) 
20/Cap.7
ROOT LOCUS
Regras para a construção
•
REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real
Ponto de entrada no eixo real = break-in point
Ponto de saída do eixo real = breakaway point
o
o
x
x
break-in point
x
o
x
x
x
breakaway point
• O ponto de saída do eixo real ocorre para um máximo
relativo do ganho
menor valor de K que já
conduz a pólos reais
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
• O ponto de entrada no eixo real ocorre para um
mínimo relativo do ganho
maior valor de K que ainda
conduz a pólos reais
21/Cap.7
ROOT LOCUS
Regras para a construção
REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real
K
s(s  1)
K  K1
>
KG(s)H(s) 
K  K1  ?
>
•
x >
máximo relativo
x
-1
>
todos os s   do root-locus satisfazem
1 K
1
0
s(s  1)
K  s(s  1)
dK
 2s  1  0
ds
s1
2
K 1
4
breakaway point
valor do ganho
correspondente
ao breakaway
point
• equidistante dos dois pólos da f.t.c.a.
• analogia com um sistema de cargas eléctricas
• repulsão pelos pólos
• atracção pelos zeros
22/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
cálculo do máximo relativo
ROOT LOCUS
Regras para a construção
•
REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real
equação característica
1 KG(s)H(s)  0
Para s     e s  Root  Locus
1  KG()H()  0
K
1
G()H()
cáculo de máximos
e mínimos relativos
dK
0
d

todos os pontos de saída/entrada no
eixo real satisfazem esta relação

nem todas as soluções desta equação
são sempre pontos de saída ou de
entrada no eixo real

é preciso confirmar se as soluções
encontradas estão sobre troços que
pertencem ao root-locus
Valores (do eixo real) dos pontos do
root-locus que são breakaway e
break-in points
Os valores correspondentes de K
23/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
condição necessária mas não suficiente
ROOT LOCUS
Regras para a construção
REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real
KG(s)H(s) 
Exemplos
x
s2
1  KG(s)H(s)  1  K
x
o
K(s  3)(s  5)
(s  1)(s  2)
s1
o
(s  3)(s  5)
0
(s  1)(s  2)
(s  1)(s  2)  K(s  3)(s  5)  0
K
(s  1)(s  2)
(s  3)(s  5)
break-in point
dK (11s2  26s  61)

0
ds
(s  8s  15)2
s1  3.81
s2  1.45
K1  ?
K2  ?
breakaway point
24/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
•
ROOT LOCUS
Regras para a construção
REGRA 7 – Ângulos de partida e de chegada ao eixo real
a = nº de ramos que se cruzam num ponto do eixo real
•
O ângulo entre dois ramos adjacentes que se aproximam
(ou que se afastam) do mesmo ponto do eixo real é dado
por:
360º

a
•
O ângulo entre dois ramos adjacentes, um chegando e
outro partindo do mesmo ponto do eixo real é dado por:

Exemplos
o
o
x
x
180º
a
x
o
x
x
x
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
•
25/Cap.7
ROOT LOCUS
Regras para a construção
REGRA 7 – Ângulos de partida e de chegada ao eixo real
Exemplos
x
>
>
x
>
x
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
x
>
•
26/Cap.7
ROOT LOCUS
Regras para a construção
•
REGRA 8 – Comportamento assimptótico
ângulo das assímptotas com o eixo real
centro assimptótico
• Quando K  
n-m ramos tendem para infinito
ao longo de assímptotas
n-m assímptotas
• As assímptotas cruzam-se num ponto do eixo real
(centro assimptótico)
a 
n
m
i1
i1
 pólos de G(s)H(s)   zeros de G(s)H(s)
nm
• O ângulo das assímptotas com o eixo real é dado por
 (2k  1)
, k  0, 1, 2,..., n  m  1
nm
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
a 
27/Cap.7
ROOT LOCUS
Regras para a construção
•
REGRA 8 – Comportamento assimptótico
ângulo das assímptotas com o eixo real - demonstração
• O ângulo das assímptotas com o eixo real é dado por
a 
Demonstração:
 (2k  1)
, k  0, 1, 2,..., n  m  1
nm
Para referência. Leitura opcional
m
KG(s)H(s)  KK
 (s  z )
i
i1
1 n
 (s  p )
i
i1
KG(s)H(s) 
Como s pertence ao Root-Locus
condição de módulo
condição de argumento
K K1
s n m
KG(s)H(s) 
K K1
 1
s n m
 KK 1  snm
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
s 
arg(KK1)  arg(snm )
arg(KK1 )  (n  m) arg(s)
Para K>0 e K1>0
(2k  1)  (n  m) arg(s)
arg(s) 
(2k  1)
(n  m)
28/Cap.7
ROOT LOCUS
Regras para a construção
•
REGRA 8 – Comportamento assimptótico
ângulo das assímptotas com o eixo real
centro assimptótico
Exemplos
KG(s)H(s) 
K
s(s  1)(s  2)
3 ramos, todos a terminar em infinito
3 assímptotas
ângulos das assímptotas com o eixo real
a 
 (2k  1)
, k  0, 1, 2,..., n  m  1
nm
60º ,180º ,60º
centro assímptótico
m
i1
i1
 pólos de G(s)H(s)   zeros de G(s)H(s)
nm
 1
60º
x
x
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
a 
n
x
29/Cap.7
ROOT LOCUS
Root-Locus - Exemplo
KG(s)H(s) 
•
•
•
•
K(s  1)
s(s  1)(s  6)
3 ramos
2 ramos a terminar no infinito = 2 assímptotas
Ângulo das assímptotas com o eixo real= 90º, -90º
Centro assimptótico
a 
(0  1  6)  ( 1)
 2
3 1
?
?
•
x
x
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
o
x
Ponto de saída do eixo real
s(s - 1)(s  6)
s 1
3
2
dK
2s  8s  10s  6

0
ds
(s  1)2
1  KG(s)H(s)  0  K  -
30/Cap.7
ROOT LOCUS
Root-Locus – Exemplo (cont)
•
Ponto de saída do eixo real
1  KG(s)H(s)  0  K  -
s(s - 1)(s  6)
s 1
dK
2s3  8s2  10s  6

0
ds
(s  1)2
s1,2  2.22  j1.42
s3  0.43
breakaway point
Não pertencem ao root-locus
Não podem ser pontos de
saída de ramos do eixo
real
Calcule o ganho correspondente
Ponto de cruzamento com o eixo imaginário e ganho
correspondente
•
•
Método 1 – critério de Routh-Hurwitz
Método 2 – Root-Locus
•
•
Ponto de cruzamento - Condição de ângulo
Ganho correspondente – Condição de módulo
eq.característica
s3  5s2  (K  6)s  K  0
s(s  1)(s  6)  K(s  1)  0
a
K
K  5(K  6)
5
30
 a0
4
linha de zeros
s  j
3
2
s3
1 K6
s2
5
K
s1
a
0
s0
K
Q(s)  5s2 
30
0
4
31/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
•
ROOT LOCUS
Root-Locus – Exemplo (cont)
•
Ponto de cruzamento com o eixo imaginário e ganho
correspondente
•
•
Método 1 – critério de Routh-Hurwitz
Método 2 – Root-Locus
•
•
Ponto de cruzamento - Condição de ângulo
Ganho correspondente – Condição de módulo
KG(s)H(s) 
K(s  1)
s(s  1)(s  6)
s1  ja1
o
x
x
x
condição de argumento
a1 
3
2
s1  j
3
2
condição de módulo
tg(α  β) 
tga  tg
1 tga .tg
K?
E para este valor de K qual é o pólo real em cadeia fechada?
32/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
arg(G(s1 )H(s1 ))  arctg(a1 )  180  arctg(a1 )  90º arctg(a1 )

6 
ROOT LOCUS
Regras para a construção
REGRA 9 – Soma dos pólos
G(s)H(s) 
grau N(s) = m
grau D(s) = n
n
n
i1
i1
 pólos da f.t.c.a   pólos da f.t.c.f,
Se n-m  2
Se n-m  2
N(s)
D(s)
K
Soma dos pólos em cadeia aberta = Soma dos pólos em cadeia fechada
Demonstração:
Para referência. Leitura Opcional
cadeia aberta
G(s)H(s) 
N(s)
N(s)
 n
n1
D(s) s  r1s  r2sn2  ....  rn
n1
s  r1s
n
n2
 r2s
n
 ....  rn   (s  i )
i1
n
r1   i
 i
i1
pólo da f.t.c.a.
cadeia fechada
1 K
1 KG(s)H(s)  0
N(s)
0
sn  r1sn1  r2sn2  ....  rn
sn  r1sn1  r2sn2  ....  rn  K N(s)  0
n1
s  d1s
n
n2
 d2s
n
 ....  dn  0   (s  pi )
i1
n
d1   pi
i1
 pi
pólo da f.t.c.f.
n
Se n-m  2
d1  r1
n
p   
i1
i
i1
i
33/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
•
ROOT LOCUS
Regras para a construção
•
REGRA 9 – Soma dos pólos
Exemplos
KG(s)H(s) 
K(s  1)
s(s  1)(s  6)
s j 3
2
K  7 .5
?
x
o
x
x
x
Para K=7.5 onde está o outro pólo da f.t.c.f ?
3
i1
i1
 pólos da f.t.c.a   pólos da f.t.c.f,
K
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
3
(0  1  6)   j 3  j 3  p3 
2
2


p3  5
34/Cap.7
ROOT LOCUS
Regras para a construção
REGRA 10 – Ângulo de partida de um pólo e de
chegada a um zero
Exemplos
KG(s)H(s) 
K(s  2)
s(s  4)[(s  4)2  42 ]
só troços do eixo real
x
x
o
x
x
centro assimptótico
(0  4  4  4 j  4  4 j)  ( 2)
  10
3
4 1
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
a 
ângulos das assimptotas com o eixo real = 60º, 180º,-60º
Como saem os ramos dos pólos complexos conjugados?
usar a condição de argumento
35/Cap.7
ROOT LOCUS
Regras para a construção
REGRA 10 – Ângulo de partida de um pólo
e de chegada a um zero
Exemplos
K(s  2)
s(s  4)[(s  4)2  42 ]
s1 – que se admite pertencente
ao root-locus
só troços do eixo real
Circunferência de raio e
e0
5
x
x
x
3
o
1
x
2
4
arg(G(s1)H(s1))  1  (2  3  4  5 )
arg(G(s1)H(s1))  (180  arctg2)  (135º90º90º5 )  (2k  1)
incógnita
5  18.4º
36/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
KG(s)H(s) 
ROOT LOCUS
Regras para a construção
REGRA 10 – Ângulo de partida de um pólo e de
chegada a um zero
Exemplos
K(s  2)
s(s  4)[(s  4)2  42 ]
-18.5º
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
KG(s)H(s) 
37/Cap.7
ROOT LOCUS
Root-Locus – Exemplo 1
KG(s)H(s) 
K
s(s  2)[(s  1)2  4]
centro assimptótico
0  2  1 2j  1 2 j
a 
 1
4
ângulo das assímptotas com o eixo real
ass 
 (2k  1)
4
ass  45º ,135º ,225º ,45º
breakaway points
K  (s4  4s3  9s2  10s)
dK
 ( 4s3  12s2  18s  10)  0
ds
s  1
s  1  j1.25
K?
s  1  j1.25
x
>
>
breakaway point
>
x
>
>
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
>
x
x
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
38/Cap.7
ROOT LOCUS
Root-Locus – Exemplo 1
KG(s)H(s) 
K
s(s  2)[(s  1)2  4]
breakaway points
K  (s4  4s3  9s2  10s)
dK
 ( 4s3  12s2  18s  10)  0
ds
s  1
s  1  j1.25
K=4
K=?
s  1  j1.25
K=4
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
breakaway point
39/Cap.7
ROOT LOCUS
Root-Locus – Exemplo 2
KG(s)H(s) 
K
s(s  8)[(s  4)2  1]
centro assimptótico
084 j4 j
a 
 4
4
ângulo das assímptotas com o eixo real
ass 
 (2k  1)
4
ass  45º ,135º ,225º ,45º
breakaway points
K  (s4  16s3  81s2  136s)
s  6.74
s  4
s  1.26
K?
K  16
K?
<
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
<
<
<
<
dK
 ( 4s3  48s2  162s  136)  0
ds
40/Cap.7
<
ROOT LOCUS
Root-Locus – Exemplo 2
KG(s)H(s) 
K
s(s  8)[(s  4)2  1]
breakaway points
K  (s4  16s3  81s2  136s)
breakaway point
s  6.74
s  4
s  1.26
K?
K  16
K?
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
dK
 ( 4s3  48s2  162s  136)  0
ds
breakaway point
break-in point
41/Cap.7
ROOT LOCUS
Root-Locus – Exemplo 3
K[(s  1.5)2  12 ]
KG(s)H(s)  2
s (s  0.5)(s  8)(s  9)
centro assimptótico
(0  0.5  8  9)  ( 1.5  j  1.5  j)
a 
 4.83
52
ângulo das assímptotas com o eixo real
ass 
 (2k  1)
3
ass  60º ,180º ,60º
estabilidade
0  K  K1  instável
K  K1, K  K 2  marginalme nte estável
K1  K  K 2  estável
K  K 2  instável
K2
K1
o
x
x xx
o
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
x
42/Cap.7
ROOT LOCUS
Root-Locus vs qualquer parâmetro
R(s)
+
-
K
1
s 1
1
s
C(s)
k2
+
+
Pergunta: Para K fixo, como é que os pólos da
f.t.c.f. variam com k2 ?
K5
5
C(s)
s(s  1)

R(s) 1  5 (1  k s)
2
s(s  1)
C(s)
5
 2
R(s) s  s(1  5k 2 )  5
Pergunta: Pode usar-se o Root-Locus ?
s2  s(1 5k 2 )  5  0
(s2  s  5)  k 2 5s  0
Root-locus como função de k2
1 k 2
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
x
5s
0
s2  s  5
o
x
43/Cap.7
ROOT LOCUS
Root-Locus para Ganhos Negativos
R(s)
+
G(s)
K
C(s)
K0
_
H(s)
Equação característica
1 KG(s)H(s)  0
KG(s)H(s)  1
Condição de módulo
KG(s)H(s)  1
é independente do sinal de K
Condição de argumento
arg(G(s)H(s))  2k, k  Z
Apenas são alteradas as regras nas quais
intervém a condição de argumento
• troços do eixo real pertencem ao root-locus se tiverem à
direita um número par de pólos e/ou zeros da f.t.c.a.
 2k
• ângulo das assímptotas com eixo real=  a  n  m , k  0,1,...,n  m  1
• os ângulos de partida e chegada satisfazem a nova
condição de argumento e diferem, portanto, de 180º dos
calculados para K positivo.
44/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Regras que são alteradas
ROOT LOCUS
Root-Locus para K negativo
Exemplo
R(s)
+
C(s)
K
2
s(s  2s  2)
_
retroacção negativa
Root-locus
Root-locus
• retroacção negativa
• K>0
• retroacção positiva
• K<0
K<0
K>0
>
>
x
x
>
>
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
x
45/Cap.7
Cancelamento pólo-zero no
Root-Locus
R(s)
+
-
s2
s 1
K
ROOT LOCUS
C(s)
1
s
a
+
+
Root-Locus como função de K
R(s)
+
-
K
G(s)
s2
s 1
1
s
C(s)
1  sa
H(s)
KG(s)H(s)  K
s2
(as  1)
s(s  1)
Para a  1 H(s) tem um zero igual a um pólo de G(s)
Se houver cancelamento
KG(s)H(s)  K
s2
s
Root-Locus tem um único ramo
o
x
46/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
Pode cancelar-se ?
Cancelamento pólo-zero
no Root-Locus
f.t.c.a.
f.t.c.f.
KG(s)H(s)  K
ROOT LOCUS
s2
(as  1)
s(s  1)
s2
C(s)
KG(s)
s(s  1)


R(s) 1  KG(s)H(s) 1  K s  2 (s  1)
s(s  1)
K
K
(s  2)
C(s)
K(s  2)

 1 K
2K 
R(s) (s  1)[(1  K )s  2K ]

(s  1) s 

1 K 

Pólo fixo independente de K
não é zero da f.t.c.f
o
x
x
x
Pólo da f.t.c.f. independente de K
x
Pólo da f.t.c.f.
Para a  1 H(s) tem um zero igual a um pólo de G(s)
Pode cancelar-se ?
NÃO
47/Cap.7
 M. Isabel Ribeiro, António Pascoal
o
-2