ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL
Quatro Vetores do IR3, são sempre Linearmente Dependentes
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Sejam 4 vetores u1, u2, u3 e v.
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a) Se u1, u2, u3 forem complanares, serão LD e, portanto, o conjunto u1, u2, u3 e v, será LD.
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b) Se u1, u2, u3 não forem complanares, então somaremos todos os vetores a um ponto O
como segue:
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v = A-O; u1= B-O; u2= C-O e u3 = D-O
E
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u1
B
A
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v
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u3
O
F
G
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u2
D
C
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Pelo ponto A tracemos um plano paralelo ao plano ODC (que contem os vetores u2 e u3).
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Este plano interceptará a reta OB (que contem o vetor u1), no ponto E.
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Neste caso teremos que E-O= x u1 (são paralelos e x é real).
Pelo ponto A tracemos a reta AG paralela à OB, que interceptará o plano ODC no ponto F.
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Considerando que u2 e u3 são LI e que F-O é complanar com u2 e u3, teremos:
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F-O = y u2 + z u3 (y e z reais).
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Porem v = (E-O) + ( F-O) (diagonal do paralelogramo AEOF). Assim podemos concluir que:
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V = x u1 + y u2 + z u3, isto é, V é uma Combinação Linear de u1, u2, u3, isto é, os vetores
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u1, u2, u3 e v, são LD, independentemente de qualquer direção que os mesmos tenham.
Prof.: Anastassios H.Kambourakis