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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL REI
1a Lista de Exercícios de Equações Diferenciais
Professor Silvio Salgado
1) Para cada uma das equações diferenciais a seguir, classifique-as em lineares ou não lineares e determine sua
ordem.
a)
d2 y
+ 9y = 2
dx2
00
0
b) x3 y (4) − x2 y + 4xy − 3y = 0
c) t2
dy
d2 y
+t
+ 2y = sin t
2
dt
dt
0
d) xx + 2x = 1 + x2
r
dx
d2 x
e)
= 1 + ( 2 )2
dt
dt
dx
f)
+ tx2 = 0
dt
2) Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial. Considere c1 e c2 constantes.
0
a) 2y + y = 0; y = e
b)
−x2
2
dy
− 2y = e3x ; y = e3x + 10e2x
dx
0
0
c) y = 2xy + y(y )2 ; y 2 = c1 (x + 41 c1 )
Z x
2
2
−x2
0
et dt + c1 e−x
d) y + 2xy = 1; y = e 2
0
00
2
0
e) t x − tx + 2x = 0; x = t cos(ln t)
000
00
0
f) x − x + 9x − 9x = 0; x = c1 sin 3t + c2 t ln t + 4t2
00
3) Determine os valores de r de modo que a equação y − y = 0 admita uma solução da forma y = ert .
4) Verifique que cada função dada é solução da equação diferencial parcial.
a)
∂2u ∂2u
+ 2 = 0; u1 (x, y) = cos x cosh y, u2 (x, y) = ln(x2 + y 2 )
∂x2
∂y
b) α2
∂ 2 u ∂u
2
2 2
−
= 0; u1 (x, t) = e−α t sin x, u2 (x, t) = e−α λ t sin λx
2
∂x
∂t
5) Argumente a respeito da existência e unicidade de soluções da equação diferencial
dy
= x2 + y 2 .
dx
6) Determine uma região do plano xy para o qual a equação diferencial dada tenha uma única solução passando
por um ponto (x0 , y0 ) na região.
0
a) xy = y
0
b) (x2 + y 2 )y = y 2
2
7) Resolva as equações diferenciais a seguir, utilizando o método de separação de variáveis.
a)
dy
= sin 5x
dx
b) dx + e3x dy = 0
dy
=x+6
dx
x2 y 2
dy
=
d)
dx
1+x
c) (x + 1)
e) ey sin 2xdx + cos x(e2y − y)dy = 0
f)
dy
xy + 3x − y − 3
=
dx
xy − 2x + 4y − 8
8) Resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada.


 (e−y + 1) sin xdx = (1 + cos x)dy
a)

 y(0) = 0


 dx = 4(x2 + 1)
dt
b)

 x( π ) = 1
4
9) A uma pequena mudança (perturbação) na condição inicial ou na própia equação diferencial, frequentemente
corresponde a uma mudança radical na solução da nova equação. Compare as soluções dos problemas de valor inicial
dados.


 dy = (y − 1)2
dx
a)

 y(0) = 1


 dy = (y − 1)2
dx
b)

 y(0) = 1, 01
10) Uma classe importante de equações diferenciais de primeira ordem consiste naquelas nas quais a variável
independente não aparece explicitamente. Tais equações são ditas autônomas e têm a forma
dy
= f (y)
dt
Esssas equações se aplicam no crescimento ou declínio populacional de uma espécie dada. As raizes da equação f (y) = 0 são denominadas de pontos críticos ou pontos estacionários ou singularidades da equação diferencial
autônoma. Determine os pontos críticos das equações a seguir.
dy
= a − y2
dt
dy
b)
= ay − y 2
dt
a)