Programa de Engenharia química
COPPE / UFRJ
“Implementação de um Método de
Volumes Finitos de Ordem Superior
com Tratamento Multibloco Aplicado
à Simulação de Escoamento de
Fluidos Viscoelásticos”
Aluno: Eduardo Moreira de Lemos
Orientadores: Evaristo Chalbaud Biscaia Jr. (PEQ/COPPE/UFRJ)
Argimiro Resende Secchi (PEQ/COPPE/UFRJ)
20 de Junho de 2011
A Fluidodinâmica Computacional
 Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob
ação de uma tensão de cisalhamento (FOX et al., 2004).
 O movimento do fluido é causado pela ação de forças externas.
 A Fluidodinâmica Computacional (Computational Fluid
Dynamics – CFD) é definida como o conjunto de metodologias que
implementadas em um computador permitem simular o escoamento
de fluidos (HIRSH, 2007).
 A partir da CFD é possível realizar um projeto complexo de
engenharia com segurança e confiabilidade de resultados.
2
A Fluidodinâmica Computacional
Técnicas numéricas mais comumente aplicadas na CFD:
 Método de Diferenças Finitas (MDF)
 Método de Elementos Finitos (MEF)
 Método de Volumes Finitos (MVF)
O MVF é o método mais aplicado na resolução de escoamentos de
fluidos (CEBECI et al., 2005).
Esta preferência está diretamente relacionada às características
conservativas que este método apresenta (MALISKA, 2004).
3
Objetivos
 Desenvolvimento e implementação computacional de uma nova
metodologia numérica para resolução das equações de NavierStokes, com aplicação especial à simulação de escoamentos de
fluidos viscoelásticos.
 Procedimento fundamentado no método de volumes finitos
utilizando malhas estruturadas e arranjos co-localizados das
variáveis do problema.
 A grande potencialidade deste procedimento está no acoplamento
dos esquemas de alta ordem utilizados nas aproximações dos termos
advectivos, difusivos e não lineares e as técnicas de partição
multibloco utilizada no refino da malha do problema.
4
O Método de Volumes Finitos


       
vx   v y      
x
y
x  x  x  x 


 Volume de controle:
5
O Método de Volumes Finitos
 Integrando a equação no volume de controle adotado:
y j 1 xi1
 
yj
xi

u dxdy
x
xi 1 y j 1
 
xi
yj
y j 1 xi 1

v dydx 
y
 
yj
xi
   
  dxdy

x  x 
xi 1 y j 1
 
xi
yj
   
  dydx

y  y 
 Obtém-se a expressão:
y j 1
 v  
x
yj
y j 1

yj
i 1
 vx i dy 
 v  
xi 1
y
j 1

 v y  j dx 
xi
  
   
        dy 
 x i 1  x i 
xi 1

xi
  
   
        dx
 y  j 1  y  j 
6
O Método de Volumes Finitos
 Proposta:
 Literatura:
v  
v  
y j 1
y
i, j
x
 

 x

y
1
2
y 
y
 v   dy
x
yj


y 
 1
i , j 
y j 1

yj
i, j 
x
i
1
2
 vx i , j  1
2
  y 
  


  
 x  1  x i , j  1

i , j 
2
  
   dy
 x i
2
2
 Sistema discretizado:





y
x

 v  y

1
1


v



y


v

vxx ii11,, jj 122 vxx ii,, jj 122  y  vy y



x
 v yy
1
i  1, j 1  v
i 2 , j 1
2

11
ii
2 ,,jj
2

xx




y
y
x
x










   
  
      y    




 x




 
  








x
x
y
y
1
1
 x i i 11, ,jj212  x i ,i1,212 
 y ii1212, j 1  y ii1212,,jj 
7
Esquemas de Interpolação
CDS:
+
2
QUICK:
UDS:
vx > 0
-1
vx < 0
3
+6
+3
vx > 0
-1
vx > 0
8
+6
8
8
Esquemas de Interpolação
Funções de interpolação mais comumente aplicadas na
literatura*:
• Aproximação dos termos advectivos – 1ª, 2ª ou 3ª Ordem
• Aproximação dos termos difusivos – 2ª Ordem
• Aproximação dos termos não lineares – 1ª ou 2ª Ordem
• Ordem global da aproximação – 1ª ou 2ª Ordem
 Metodologia de alta ordem proposta:
• Aproximação dos termos advectivos
• Aproximação dos termos difusivos
• Aproximação dos termos não lineares
• Ordem global da aproximação
4ª Ordem
*PATANKAR,
1980; MALISKA, 2004; VERSTEEG e MALALASEKERA,
1995; FERZIGER e PERIC, 2002; TANNEHILL et al., 1997; HIRSCH, 2007
9
Esquemas de Alta Ordem
 Esquemas de alta ordem são assim chamados devido ao grau
mais elevado de acurácia obtido por sua aplicação.
 Apresentam ordem de aproximação superior a dois.
 A utilização de tais esquemas permite a obtenção de uma
solução com melhor acurácia utilizando-se malhas menos
refinadas.
 Promove redução de recursos computacionais empregados na
simulação.
10
Esquemas de Alta Ordem
ANO
AUTOR
PERIÓDICO
TÍTULO
1992
HYMAN et al.
"High Order Finite Volume Approximation of Differential
Physica D: Nonlinear Phenomena
Operators on Nonuniform Grids"
1995
LEONARD et al.
"Order of Accuracy of QUICK and Related ConvectionApplied Mathematical Modelling
Diffusion Schemes"
1999
HOBAYASHI
Computational
Physic
"On aJournal
Class ofofPadé
Finite Volume
Method"
2001
PEREIRA et al.
"A Fourth-Order-Accuracy Finite Volume Compact Method for
Journal of Computational Physics
the Incompressible Navier-Stokes Solutions"
2004
LACOR et al.
"A Finite Volume Formulation of Compact Central Schemes on
Journal of Computational Physics
Arbitrary Structured Grids"
11
Técnica Multibloco
A utilização do tratamento multibloco permite refinar regiões
específicas do domínio do problema sem que este refinamento seja
estendido a outras regiões desnecessariamente.
12
Técnica Multibloco
Blocos coincidentes Blocos sobrepostos
Blocos não coincidentes
13
Técnica Multibloco
ANO
AUTOR
PERIÓDICO
TÍTULO
1987
BERGER
SIAM
Journal on Numerical
Analysis
"On Conservation
at Grid Interfaces"
1996
LIU e SHYY
"Assessment of Grid Interface Treatments for Multi-block
Computers and Fluids
Incompressible Viscous Flow Computation"
1997
CHEN et al.
"Local Mesh Refinement within a Multi-block Structured-grid
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
Scheme for General Flows"
1999
TANG e ZHOU
SIAM JournalAlgorithms
on Numerical
"On Nonconservative
for Analysis
Grid Interfaces"
2003
DJOMEHRI e
BISWAS
"Performance Enhancement Strategies for Multi-block Overset
Parallel Computing
Grid CFD Applications"
2006
CAI et al.
Computer
Fluids
"A parallel Viscous Flow
Solverand
on Multi-block
Overset Grids"
14
Características Principais de
Fluidos Viscoelásticos
 Associação
de
(viscoelasticidade).
características
elásticas
e
viscosas
 Possuem viscosidade dependente da taxa de deformação aplicada
sobre o material.
 Presença de tensões normais em escoamento por cisalhamento.
 Somadas as tensões originadas pelo cisalhamento, estes fluidos
apresentam tensões extras ao longo das linhas de corrente.
 Este comportamento reológico deve-se basicamente à sua
constituição química.
15
Equações Constitutivas para
Fluidos Viscoelásticos
• Equação do Movimento

U     UU   p   
 t

• Taxa de Deformação: • Fluido Newtoniano: • Fluidos Viscoelásticos:
 
D

1
U  U T
2

   N  2D
   S  P
 Não é possível representar as propriedades físicas através de uma
constante material.
 O tensor tensão é descrito utilizando funções materiais.
 Não é possível, na maioria dos casos, a obtenção de uma relação
explícita entre o tensor tensão e os componentes da velocidade.
16
Equações Constitutivas para
Fluidos Viscoelásticos
 Existe um grande quantidade de equações constitutivas.
 Estas equações podem ser enquadradas em diferentes grupos,
de acordo com sua forma, natureza matemática e capacidade de
predição de funções materiais.
 Fluido Newtoniano Generalizado
 Fluido Viscoelástico Linear
 Fluido Viscoelástico Não Linear – Modelos Diferenciais
 Teoria Cinética
 Teoria de Redes
 Teoria de Molécula Individual
 Teoria da Reptação
 Fluido Viscoelástico Não Linear – Modelos Integrais
17
Equações Constitutivas
(Teoria de Redes)
 Considera uma rede em mutação contínua no qual os pontos de
junção são temporários, formados por segmentos adjacentes que se
movem juntos por um determinado tempo e então gradualmente se
afastam (BIRD et al. 2004).
 Modelo de Phan-Thien-Tanner (PTT)
 Simplified PTT (SPPT)
 Linear PTT (LPPT)
Porção de uma rede polimérica
formada por junções temporárias
(○) (BIRD et al., 2004)
 Exponential PTT (EPTT)
 Fixed eta PTT (Feta-PTT)
18
Equações Constitutivas
(Teoria de Molécula Individual)
 A molécula é usualmente representada por meio de um modelo do
tipo “esfera-mola”.
Representação
do
modelo “esfera-mola”
 UCM
 Oldroyd-B
 White-Metzer
Modelo de moléculas individuais esfera-mola: (a)
Solução polimérica diluída e (b) Solução
concentrada ou correspondente a um polímero
fundido (BIRD et al., 2004)
19
Modelo Matemático para o
Escoamento de Fluidos Viscoelásticos
 Equação da continuidade:
  U   0
 Equações da conservação da quantidade de movimento:

U     UU    p     
t
 Equações constitutivas:
   N  P
 Modelo de Oldroyd-B:
 
f  PK  0
τ N  2D
 P  K  P   P f  P   2 P D

K
K
K
K
K
 Modelo de SPTT:
k 
f  P  
tr  P 
P
K
K
K
20
Números Adimensionais Característicos
 Reynolds:
 Deborah:
Weissenberg:
UL
Re 


De 
tc
We   c
 O número de Weissenberg é apropriado para descrever os
escoamentos que apresentam um estiramento constante ao longo do
tempo.
 O número de Deborah é apropriado para descrever os
escoamentos que apresentam estiramentos variáveis ao longo do
tempo.
(DEALY 2010; BIRD et al., 1987)
21
Fluidos Viscoelásticos
ANO
AUTOR
PERIÓDICO
TÍTULO
1992
KEILLER
Journal ofInstability
Non-Newtonian
Fluid Mechanics
"Numerical
of Time-dependent
flows"
2004
ABOUBACAR
et al.
Journal
Computational
Physics Flow Problems"
"High-Order Finite
VolumeofMethods
for Viscoelastic
2004
XUE et al.
Journal Modeling
of Non-Newtonian
Mechanics
"Numerical
TransientFluid
Viscoelastic
Flows”
2004
FIÉTER e
DEVILLE
"Time-dependent Algorithms for the Simulation of Viscoelastic Flows
Journal of Computational Physics
with Spectral Element Methods: Applications and Stability"
2004
VAN OS e
PHILLIPS
Computational
Physics Flow Problems "
"Spectral Element Journal
Methodsoffor
Transient Viscoelastic
2008
MUNIZ et al.
Brazilian
Journal
of Chemical
Engineering
"High-Order Finite
Volume
Method
for Solving
Viscoelastic Fluid Flows"
2008
DUARTE et al.
"Numerical and Analytical Modeling of Unsteady Viscoelastic Flows: The
Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics
Start-up and Pulsating Test Case Problems"
2010
FAVERO et al.
"Viscoelastic Flow Analysis Using the Software OpenFOAM and
Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics
Differential Constitutive Equations"
22
Modelo Matemático para o
Escoamento de Fluidos Viscoelásticos

vx    v y   0
x
y
Termos Não Lineares
Termos com
na Parede
no
Centro do Volume
1ª Ordem
Derivada de 2ª
de Controle
 2
 





2

Re  vx   vx  vx   v y  vx     p   1   E    2 vx   2 vx    xx    xy 
x
y
y
y
 t
 x
 x
 x
 2
 





2

Re  v y   vx  v y   v y  v y     p   1   E    2 v y   2 v y    xy    yy 
x
y
y
y
 t
 y
 x
 x
  We








1 
  xx   yy   xx  We    xx   vx  xx   v y  xx   2  xx  vx   2  xy  vx   2  E  vx 
x
y
x
y 
x
 t
 E

  We








1 
  xx   yy   yy  We    yy   vx  yy   v y  yy   2  xy  v y   2  yy  v y   2  E  v y 
x
y
x
y 
y
 t
 E

  We










1 
  xx   yy   xy  We    xy   vx  xy   v y  xy   2  xx  v y   2  yy  vx    E   v y   vx 
x
y
x
y 
y 
 t
 x
 E

23
Esquema de Interpolação de Lagrange
 Esquema de interpolação de Lagrange:
    a  
m
y
n
i
k 0
k
 
xy

b

k
1
xy

i  k  
 2
k 0
 1
i  k  
 2
em que:
 
y
i
1

y
y j 1
  x, y dy
yj
 
xy
1
1
i , j
2
2
1

yx
xi 1 yi 1
   x, y dxdy
xi
yi
24
Esquema de Interpolação de Lagrange
 Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para o valor médios na interface:
 
y
i
 
1 xy
 
12
3
i
2
 
7 xy
 
12
1
i
2
 
7 xy
 
12
1
i
2
 
1 xy
 
12
i
3
2
 Aproximação
Aproximação de
de Lagrange
Lagrange de
de 4ª
4ª ordem
ordem para
para as
as regiões
regiões próximas
do contorno:

ao contorno:
  
25
1 xyxy
   
0 1 12
4
y y
 

 
13
23 xy
 
11
12
22
 
 
13
5 xy

 
3
12
2
 
11 xyxy

  7
5
12
4
2
2
 
 
11 xy xy
135 xy xy
2313 xy xy
251 xyxy
     7 7    5 5    3 
 
3
N N 1 4
12 N N2 2 1212 N N2 2 1212 N N2 2 124
yy
11
NN
22
25
Esquema de Interpolação de Lagrange
 Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para o valor médio da derivada na interface:
 
  y 


  1  1  xy
 12
 x 

x


i
 
5 xy


3
i
4
2
 
5 xy


1
i
4
2
i
1
2
 
1
  xy
12


3
i
2
 Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para as regiões próximas
do contorno:
ao contorno:
                  
 y  y  1 1 255 y y 415
 
23
161xy xy 4 55
xy
xy
xy 1 1xy xy 
          1  xy
 1 1    3 3   5  5   7 7
 
 x x  xx  6 3 0 1 72
2
9
72
9
72
18
8
2 2
2 2
2
2
2 2 
   0 1  
     
  
 
  y 
  xy xy 55 4xy xy 16123xy xy
415
1

 1 1 1  1
 7  7   5  5    3 3   xyxy
 8 18 N  N 72 9 N  N  72 9 N  N  722
 x 


x
x
2
2
2
2
2 2


 N 1

525 y y 
 
11
N
N
36 N N1 
22
26
Esquema de Interpolação de Lagrange
 Aproximação de
deLagrange
Lagrangepara
de os
4ª termos
ordemnão
para
lineares
os termos
na parede
não
do
lineares
volume
na de
parede
controle:
do volume de controle:
        
y
2  2
   

  1 

y


O
h



  O h4
2





12   y   x , y    y   x , y  
0 0 
0 0 

 
y
y
y
y
1
2
1 i, j 2
i, j
i
i
y
1 2
1 2 i, j
i
 Aproximação de Lagrange de 4ª ordem para os termos não
 Aproximação de Lagrange para os termos não lineares no centro
lineares no centro do volume de controle:
do volume de controle:
 
xy
xy
11 22
11 11
i i 2, ,j j 2
2
2
y 2  1

12  y

   
 
xy
xy
11
11 11
i i 2, ,j j 2
2
2
 
 2

 x0 , y0   y
xy
xy
22
2 
2 1

x

O
h

1 11 
1
 x
12
ii 2, ,jj 2

2
2
 
 2


 x0 , y0   x



 x0 , y 0  

  O h4

 x0 , y 0  
 
27
O Tratamento Multibloco
Esquema de interpolação de Lagrange de 4a ordem
aplicado ao tratamento multibloco, utilizando grau de
A ORDEM DE
refinamento par.
APROXIMAÇÃO
NÃO É
MANTIDA
Esquema de interpolação de Lagrange de 4a ordem
aplicado ao tratamento multibloco, utilizando grau de
refinamento impar.
28
O Tratamento Multibloco
Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem
aplicado ao tratamento multibloco, para interface onde o
bloco apresenta índice de refinamento inferior.
Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª
Esquema
de aplicado
interpolação
de Lagrange
de 4ª para
ordem
ordem
ao tratamento
multibloco,
aplicado
ao tratamento
para interface
interface
onde omultibloco,
bloco apresenta
índice onde
de o
bloco apresenta
índice
de refinamento
superior.
refinamento
superior
para os
volumes não
coincidentes.
29
O Tratamento Multibloco
Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem
aplicado ao tratamento multibloco, para parede próxima
à interface onde o bloco apresenta índice de refinamento
inferior.
Esquema de interpolação de Lagrange de 4ª ordem
aplicado ao tratamento multibloco, para parede próxima
à interface onde o bloco apresenta índice de refinamento
superior.
30
Avaliação da Técnica de Partição Multibloco
Escoamento entre placas planas e paralelas
31
Avaliação da Técnica de Partição Multibloco
Maior refinamento aplicado próximo
a entrada – Arranjo 1.
Corte em x=5,0
Maior refinamento aplicado próximo
vx
a saída – Arranjo
2.
Corte em y=0,5
Pressão
Estrutura de refinamento homogêneo – Solução de
Referência.
Maior refinamento aplicado próximo
a parede – Arranjo 3.
Maior refinamento aplicado próximo
a simetria – Arranjo 4.
32
Avaliação da Técnica de Partição Multibloco
20
1.0
20
1.0
4,7681×
10--45
Pvrefxref Pv x  6,8182
×10
16
0.8
16
0.8
14
0.7
14
0.7
12
0.6
0.6
N12
v
10
0.5
8
0.4
ref
x
v x  4,7690
×10 -4-3
Pvref
4,0621×
x P
18
0.9

1
ref
v

xi  v xi
N i 1
 vx 
VPx
VPx
18
0.9
10
0.5
8
0.4

2
6
0.3
6
0.3
Referência
Referência
Bloco mais refinado
Bloco mais refinado
4
0.2
2
0.1
4
0.2
Referência
Referência
Bloco
mais
refinado
Bloco
mais
refinado
2
0.1
0
0.0
0
0.0
0
0.0
1
0.1
2
0.2
3
0.3
4
0.4
5
0.5
6
0.6
7
0.7
8
0.8
9
0.9
10
1.0
xy
Perfil de
develocidade
pressão vna
interface de
x nainterface
conexão aplicando o arranjo 3.
1.
0
0.0
1
0.1
2
0.2
3
0.3
4
0.4
5
0.5
6
0.6
7
0.7
8
0.8
9
0.9
10
1.0
xy
Perfil de
develocidade
pressão vna
interface de
x nainterface
conexão aplicando o arranjo 4.
2.
33
Avaliação da Técnica de Partição Multibloco
1.0
16.5
0.9
15.0
Diferença entre as soluções de referência e
13.5
aplicando o procedimento multibloco.
0.8
0.7
12.0
10.5
0.5
P
Vx
0.6
0.4
9.0
0.3
7.5
0.2
6.0
0.1
4.5
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
y
x=2.0
x=2.0
x=4.0
x=4.0
x=6.0
x=8.0 Referência
1.0
0.0
0.1
0.2
x=2.0
0.3
0.4
x=4.0
0.5
y
x=6.0
x=6.0
TEMPO
OBTENÇÃO DASx=2.0
SOLUÇÕES
:
x=8.0 Multibloco
x=6.0 PARA
x=4.0
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x=8.0 Referência
x=8.0 Multibloco
Comparação dos perfis de velocidade Comparação dos perfis de pressão
LAG4 (Homogêneo – 3600 Volumes): 770 Segundos
vx para diferentes cortes em x para diferentes cortes em x aplicando
aplicando a técnica multibloco com a técnica multibloco com arranjo 3 e a
LAG4 (Multibloco – 2000 Volumes): 492 Segundos
solução de referência.
arranjo 3 e a solução de referência.
34
Aplicação da Metodologia ao
Escoamento de Fluidos Newtonianos
Escoamento “Slip-stick”
35
Resultados
(Re=10)
Perfil de velocidade vx obtidos para
posição y=0,90 pela aplicação do
esquema LAG4.
Perfil de velocidade vy obtidos para
posição y=0,90 pela aplicação do
esquema LAG4.
36
Resultados
(Re=10)
Diferença entre as soluções obtidas pelo esquema LAG4 e para o esquema
CDS aplicando diferentes malhas.
TEMPO PARA OBTENÇÃO DE SOLUÇÕES :
CDS (120X80): 1135 Segundos
LAG4 (60X40): 480 Segundos
37
Resultados
(Re=10)
Estrutura dadamalha
computacional
malha
aplicando
aplicando
o procedimento
multibloco.
refinamento
homogêneo 120x60.
Curva de nível
nível para
para pressão
velocidade
vyx
obtida
obtida
pela doaplicação
do
pela aplicação
procedimento
procedimento
multibloco. multibloco.
38
Resultados
(Re=10)
Comparação entre os perfis de
velocidade vx obtidos para diferentes
cortes em y utilizando a malha de
refinamento homogêneo (linhas) e
malha multibloco (pontos).
Comparação entre os perfis de
velocidade vy obtidos para diferentes
cortes em y utilizando a malha de
refinamento homogêneo (linhas) e
malha multibloco (pontos).
39
Resultados
(Re=10)
Diferença entre as soluções obtidas pela aplicação da técnica multibloco e as
soluções obtidas utilizando o grau de refinamento homogêneo.
TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES :
LAG4 (Homogêneo – 7200 Volumes): 1770 Segundos
LAG4 (Multibloco – 3600 Volumes): 851 Segundos
40
Aplicação da Metodologia ao
Escoamento de Fluidos Viscoelásticos
Escoamento “Slip-stick”
41
Resultados
(Re=0,1, We=0,1 e ηE=0,9)
1.0
1.8
0.00
1.2
0.9
CDS-120x80
LAG4-30x10
LAG4-30x20
LAG4-60x10
LAG4-60x20
LAG4-60x40
0.9
0.8
CDS-120x80
LAG4-30x10
LAG4-30x20
LAG4-60x10
LAG4-60x20
LAG4-60x40
CDS-120x80
LAG4-30x10
LAG4-30x20
LAG4-60x10
LAG4-60x20
LAG4-60x40
-0.04DE SOLUÇÕES:
TEMPO PARA OBTENÇÃO
1.2
0.6
0.7
0.3
-0.06
0.9
CDS (120X80): 3557 Segundos
-0.08
Vy
Tyy
Txx
Vx
-0.02
1.5
0.6
0.0
CDS-120x80
LAG4-30x10
LAG4-30x20
LAG4-60x10
LAG4-60x20
LAG4-60x40
0.5
-0.3
0.6
-0.10
LAG4 (60X40): 1242 Segundos
0.4
-0.6
0.3
-0.9
-0.12
0.3
-0.14
0.0
3.5
3.5
4.0
4.0
4.5
4.5
5.0
5.0
5.5
5.5
6.0
6.0
x
obtidos para
Perfil de
de velocidade
tensão τxxvx obtidos
posição y=0,90 pela aplicação do
esquema LAG4.
3.0
3.5
3.5
4.0
4.0 4.5
4.5
5.0
5.0
5.55.5
6.0
6.0
xx
Perfil de
obtidos para
de velocidade
tensão τyyvy obtidos
posição y=0,90 pela aplicação do
esquema LAG4.
42
Resultados
(Re=0,1, We=0,1 e ηE=0,5)
1.2
0.8
1.5
1.4
1.0
0.6
1.3
1.2
0.8
0.4
1.1
Tyy
Txx
Vx
0.6
1.0
0.2
0.9
0.4
0.0
0.8
0.7
0.2
-0.2
0.6
0.0
0.5
-0.4
0.4
-0.2
0.3
-0.6
0.2
-0.4
00
1
2
y=0.1
y=0.1
y=0.1
y=0.1
y=0.1
y=0.1
Estrutura da
da malha
malhaaplicando
aplicandoo
refinamento homogêneo
procedimento
multibloco.60x60.
3
4
y=0.3
y=0.3
y=0.3
y=0.3
y=0.3
y=0.3
5
x
y=0.5
y=0.5
y=0.5
y=0.5
y=0.5
y=0.5
6
7
y=0.7
y=0.7
y=0.7
y=0.7
y=0.7
y=0.7
8
99
10
10
y=0.9
y=0.9
y=0.9
y=0.9
y=0.9
y=0.9
Comparação entre
entreos perfis
os perfis
de tensão
de
τvelocidade
diferentes
para cortes
diferentes
em
xx obtidos vpara
yy
x obtidos
ycortes
utilizando
em y autilizando
malha de arefinamento
malha de
refinamento homogêneo
homogêneo
(linhas)
e(linhas)
malhae
malha multibloco
multibloco
(pontos).
(pontos).
43
Resultados
(Re=0,1, We=0,1 e ηE=0,5)
Diferença entre as soluções obtidas pela aplicação da técnica multibloco e
as soluções obtidas utilizando o grau de refinamento homogêneo.
TEMPO PARA OBTENÇÃO DAS SOLUÇÕES :
LAG4 (Homogêneo – 3600 Volumes): 1753 Segundos
LAG4 (Multibloco – 2000 Volumes): 941 Segundos
44
Resultados
(Re=0,1 e We=0,1)
0.0
1.2
0.9
0.6
ne=0.1
ne=0.3
ne=0.5
ne=0.7
ne=0.9
-1.0
Txy
0.3
Txx
-0.5
ne=0.1
ne=0.3
ne=0.5
ne=0.7
ne=0.9
0.0
-1.5
-2.0
-0.3
-0.6
-2.5
-0.9
-3.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Perfil de tensão τxx obtidos pela
aplicação do esquema LAG4 para
diferentes valores de ηE, usando o
modelo de Oldroyd-B.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Perfil de tensão τxy obtidos pela
aplicação do esquema LAG4 para
diferentes valores de ηE, usando o
modelo de Oldroyd-B.
45
Resultados
(Re=0,1, We=0,1 e ηE=0,5)
0.8
1.0
0.6
0.2
0.6
Tyy
Txx





0.8
0.4





0.0
-0.2
-0.4
0.4
0.2
-0.6
0.0
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
x
Perfil de tensão τxx obtidos pela
aplicação do esquema LAG4 para
diferentes valores de ε, usando o
modelo de SPTT.
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
x
Perfil de tensão τyy obtidos pela
aplicação do esquema LAG4 para
diferentes valores de ε, usando o
modelo de SPTT.
46
Resultados
(Re=0,1 e ηE=0,5)
1.4
2.0
We=0.10-60x10
We=0.10-60x20
We=0.15-60x10
We=0.15-60x20
We=0.20-60x10
We=0.20-60x20
1.2
1.5
We=0.10-60x10
We=0.10-60x20
We=0.15-60x10
We=0.15-60x20
We=0.20-60x10
We=0.20-60x20
0.5
0.8
Tyy
Txx
1.0
1.0
0.6
0.4
0.0
0.2
-0.5
0.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
x
Perfis de tensão τxx obtidos para
posição y=0,9 pela aplicação do
esquema LAG4 usando malha 60x10 e
60x20 utilizando o modelo de
Oldroyd-B.
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
x
Perfis de tensão τyy obtidos para
posição y=0,9 pela aplicação do
esquema LAG4 usando malha 60x10 e
60x20 utilizando o modelo de
Oldroyd-B.
47
Resultados
(Re=0,1 e ηE=0,5)
2.5
2.5
We=0.10
We=0.15
We=0.20
We=0.25
We=0.30
2.0
1.5
Txx
Txx
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
-0.5
-0.5
3.5
4.0
We=0.10
We=0.15
We=0.20
We=0.25
We=0.30
2.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
x
Perfil de tensão τxx obtidos para
posição y=0,9 pela aplicação do
esquema LAG4 com malha 60x10
utilizando o modelo de Oldroyd-B.
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
x
Perfil de
obtidos para
de velocidade
tensão τxxvy obtidos
posição y=0,90
pela aplicação
aplicação do
y=0,9 pela
esquema LAG4.
LAG4 com malha 30x40
utilizando o modelo de Oldroyd-B.
48
Escoamento de Fluidos Viscoelásticos
Escoamento em Cavidade
49
Resultados
(We=0,1, Re=100 e ηE=0,7)
Valores das velocidades mínimas e máximas em
x=0,5 e y=0,5 para o escoamento em cavidade
viscoelástico.
50
Resultados
(We=0,1, Re=100 e ηE=0,7)
1.0
0.8
0.05
0.15
0.9
0.7
0.10
0.00
0.8
0.6
0.7
0.05
YAPICI et al., 2009
LAG4-M20x20
YAPICI et al., 2009
LAG4-M40x40
LAG4-M20x20
LAG4-M40x40
0.5
0.4
YAPICI et al., 2009
LAG4-M20x20
LAG4-M40x40
-0.05
0.00
VVyy
yy
0.5
0.6
-0.05
-0.10
0.4
0.3
-0.15
0.1
0.1
0.0
-0.20
-0.2
YAPICI et al., 2009
LAG4-M20x20
LAG4-M40x40
-0.10
-0.15
0.3
0.2
0.2
-0.20
-0.20
0.0-0.15
0.2
-0.10
0.4
0.6 -0.05
0.8
0.00
1.0
V
Vxx
Comparação entre os perfil de
velocidade vx na linha vertical central
(x=0,5) obtidos pela aplicação do
esquema LAG4 e os resultados
obtidos por YAPICI et al. (2009).
0.0
0.5
0.1
0.2
0.6
0.3
0.4
0.7
0.5
0.6
0.8
0.7
0.8
0.9
0.9
1.0
x
Comparação entre os perfil de
velocidade vy na linha horizontal
central (y=0,5) obtidos pela aplicação
do esquema LAG4 e os resultados
obtidos por YAPICI et al. (2009).
51
Conclusões
 Uma nova metodologia numérica para resolução das equações de
Navier-Stokes, com aplicação especial à simulação de escoamentos
de fluidos viscoelásticos foi desenvolvida.
 A metodologia numérica desenvolvida é baseada no método de
volumes finitos, utilizando uma malha estruturada e um arranjo colocalizado das variáveis do problema.
 Os valores médios lineares e não lineares das variáveis nas
interfaces dos volumes de controle são aproximados através de
esquemas de Lagrange de 4ª ordem.
 A utilização de esquemas de alta ordem permitiu a obtenção de
uma solução com melhor acurácia utilizando malhas menos
refinadas.
52
Conclusões
 A técnica de conexão multibloco desenvolvida foi capaz de
conectar adequadamente os blocos de diferentes refinamentos de
forma simples e eficiente.
 O aspecto mais importante deste procedimento é a utilização
direta das fórmulas de interpolação, garantindo assim que a ordem
global da aproximação seja mantida. Permitindo também que o
procedimento possa ser facilmente estendido a outros esquemas.
 A utilização em conjunto destas duas técnicas permitiu o
desenvolvimento de um código computacional associando a melhor
acurácia dos esquemas de alta ordem à flexibilidade do tratamento
multibloco.
53
Sugestões
 Implementação de técnicas de tratamento de oscilações
numéricas.
 Implementação de metodologias para resolver escoamento com
elevados valores do número de Weissenberg.
 Estudar a relação entre o número Weissenberg e o grau de
refinamento da malha.
 Testar novas ferramentas numéricas na resolução do sistema
discretizado.
54
Agradecimentos
 Meus pais Noberto e Diomarina
 Meus orientadores Evaristo e Argimiro
 A minha namorada Cristiane
 Aos grande amigos do LMSCP: João, André, Kese, Fabrício, Pedro e Cauê
 Aos Amigos de longa data: Leonardo, Renata, Paulo, Thiago, Henrique, Luciana,
e Bruno
 Aos amigos Rogério, Fabiano, José, Márcio, Eduardo, Heloisa, Marcelo e Diego
 Ao Jovani e a Thais do LTFD
 Aos professores e funcionários do PEQ
 A meus professores da PUC-Rio
 Aos membros da banca
 Ao CNPq pelo suporte financeiro
55
Acoplamento Pressão-Velocidade
(Pseudo-Compressibilidade)
Escoamento bidimensional, incompressível,
transiente, com viscosidade constante
isotérmico
e
Pseudo-Compressibilidade


p

    vx   v y   0
t
y
 x

   vx    vx 




p

   vx   vx  vx   v y  vx        
  
x
y
x
 t

 x  x  y  y 
   v y    v y 




p
  

   v y   vx  v y   v y  v y        
x
y
y
 t

 x  x  y  y 
56
Acoplamento Pressão-Velocidade
(Pseudo-Compressibilidade)
Escoamento entre placas paralelas
(Água na temperatura de 296K e Re=250)
Solução numérica utilizando LAG4 e
a
pseudo-compressibilidade
com
Nx=Ny=40.
Solução Numérica utilizando o pacote
CFX com malha formada por 20945
elementos.
57
Acoplamento Pressão-Velocidade
(Compressibilidade Artificial)
Escoamento bidimensional, incompressível,
transiente, com viscosidade constante
isotérmico
e


 t
     1  exp 

 t




Compressibilidade Artificial

p a 2  

     vx     v y   0
t   x
y

  p

  p
 x 
 x 
 t




   2  exp       1  exp   ou    2  exp 
  x 
  x 
 t
 a

 a



p   vx    vx 
  vx     vx  vx     vy  vx             
t
x
y
x x  x  y  y 



p   v y    v y 
  vy    vx  vy    vy  vy             
t
x
y
y x  x  y  y 
58
Acoplamento Pressão-Velocidade
(Compressibilidade Artificial)
Escoamento entre placas paralelas
(Água na temperatura de 296K e Re=250)
Solução numérica utilizando LAG4 e
a compressibilidade artificial com
γ=1, τx=10-2 e p0/(a2 ρ)=1 Nx=Ny=40.
Solução numérica utilizando LAG4 e
a compressibilidade artificial com
γ=1, τt=10-2 e p0/(a2 ρ)=1 Nx=Ny=40.
59
Escoamento de Fluidos Viscoelásticos
Escoamento em Contração 2:1
60
Resultados
(Re=0,1, We=0,1 e ηE=0,5)
Estrutura da malha computacional
aplicando o procedimento CDS,
utilizando 6000 volumes de controle.
Estrutura da malha computacional
aplicando o procedimento LAG4
multibloco, utilizando 3400 volumes
de controle.
61
Resultados
(Re=0,1, We=0,1 e ηE=0,5)
1.6
0.00
1.8
5
-0.05
1.2
1.6
GRAU DE REFINO NA REGIÃO
PRÓXIMA A
-0.10
CONTRAÇÃO:
-0.15
4
1.4
0.8
1.2
3
Vy
Tyy
Vx
Txx
1.0
0.4
-0.20
CDS (9000 Volumes): Δx=0,1667
e Δy=0,0125
-0.25
2
0.8
0.0
0.6
1
0.4
-0.30
-0.4
LAG4 (3400 Volumes): Δx=0,1667 e Δy=0,0083
0
0.2
-0.35
-0.8
0.0
-1
8.5
8.5
9.0
9.0
0.15
0.15
0.15
0.15
9.5
9.5
xx
10.0
10.0
10.5
10.5
11.0
-0.40
8.5
8.5
9.0
9.0
9.5
9.5
TEMPO
PARA0.75OBTENÇÃO
DAS SOLUÇÕES:
0.45
0.60
0.90
0.30
0.30
0.30
0.30
0.45
0.45
0.45
0.60
0.60
0.60
0.75
0.75
0.75
0.90
0.90
0.15
0.15
0.15
0.15
0.30
0.30
0.30
0.30
xx
0.45
0.45
0.45
0.45
10.0
10.0
0.60
0.60
0.60
0.60
10.5
10.5
0.75
0.75
0.75
0.75
11.0
0.90
0.90
CDS
Volumes):
Segundos entre
Comparação entre
perfis
de tensão
entreos perfis
os perfis
de
entreos (9000
os perfis
de 2394
Comparação
de tensão
vy outilizando
o esquema
τvelocidade
esquema oCDS
(6000 τvelocidade
vx outilizando
esquema
esquema CDS
(6000
xx utilizando
yy utilizando
LAG4 (3400
Segundos
volumes
– volumes
linhas)
e– linhas)
o Volumes):
esquema
CDS
(6000
e o
CDS (6000
e o 1556
volumes
– volumes
linhas) e– linhas)
o esquema
multibloco
(3400 volumes
esquema multibloco
(3400– pontos).
volumes –
esquema multibloco
(3400– pontos).
volumes – multibloco
(3400 volumes
pontos).
pontos).
62