Matemática- 2009/10
26
112. Considere uma função f (x) tal que
Z1
f (x) dx = 4;
4
Z1
(a) O valor de
Z4
f (x) dx = 2
1
2f (x) dx é
4
5
6
Z4
(a) O valor de
7
8
7
8
f (x) dx é
4
5
6
113. Considere funções f (x) e g (x) tais que
Z4
f (x) dx = 2;
4
O valor de
Z1
Z4
f (x) dx = 3 e
1
Z1
(f (x) + g (x)) dx = 5:
4
(5f (x) + g (x)) dx é
4
25
0
114. Considere funções f (x) e g (x) tais que
1
Z1
f (x) dx = 2 e
0
(a) O valor de
Z1
Z0
5
g (x) dx = 3.
1
(f (x) + g (x)) dx é
0
0
(b) O valor de
5
Z1
1
depende de f e g
2
3
depende de f e g
f (x)
dx é
g (x)
0
0
115.
Z2
2
3
(2x + 1) dx =
1
4
5
6
7
Matemática- 2009/10
27
116. Calcule:
Z20
(a)
0 dx
(b)
10
Z5
(c)
(d)
1
(f)
(9x) dx
1
(i)
3t2 dt
(h)
3t2 dt
(j)
2x
dx
1 + x2
(l)
Z2
p
0
Z5
3
1
x2
dx
(n)
3x dx
(p)
Z3
(2 sin x
1
p
dx
3
x4
(r)
2x
dx
1 + x2
Z4
1
(w)
(t)
x
p
dx
2 + 4x2
(v)
Ze
ln2 x
dx
x
Z
jcos xj dx
Z1
arcsin x dx
0
(x)
(tan x) dx
0
(y)
x2
dx
x2 + 1
1
4
Ze
Z1
0
1
Z
3 cos x) dx
0
1
(u)
dx
Z1
1
(s)
3x
e
0
1
dx
x7
Z8
Z8
1
dx
1 + x2
1
3
1
(q)
3t2 dt
0
Z0
0
(o)
(9x + 4) dx
Z8
Z1
1
(m)
Z2
1
Z5
(k)
a dx
1
1
Zx
Z5
1
Z2
(g)
2 dx
1
3 dx
Z2
(e)
Z5
0
(z)
ln xdx
1
Z2
2xe
x2
dx
1
1
117. A expressão geral de ' (x) =
Z3
e3t dt é
x
e
1
e
3x
e
3
e3x
3
1
e
3
+
e
3x
3
e
e3x
Matemática- 2009/10
28
118. Em cada alínea determine a área da região limitada pelo eixo das abcissas e por:
(a) y =
x2 + 4x:
(b) y = x2
4:
(c) y = x3 , x = 2 e x = 1:
1
(d) y = ; x = 1 e x = e:
x
119. Em cada alínea determine a área da …gura limitada por:
x2 :
(a) x + y + 2 = 0 e y =
(b) y = cos x; y =
cos x e
x
120. Determine as áreas dos seguintes conjuntos:
(a) f(x; y) 2 R2 : 0
2e0
x
(b) f(x; y) 2 R2 : x
0 e x2
(c) f(x; y) 2 R2 : x2
y
y
y
2xg :
2xg :
jxjg :
121. Determine a expressão geral (sem o sinal de integral) de cada uma das seguintes
funções
Zx
Z1
(a) ' (x) = 4 dt
(b) ' (x) = 4 dt
1
(c) ' (x) =
Zx
(d) ' (x) =
4 dt
x
(e) ' (x) =
Z2
(f) ' (x) =
t dt
Zx
(i) ' (x) =
1
3
Zx
3t
e
x
(m) ' (x) =
p
(h) ' (x) =
dt
t
2t2
1
p
Zx
1
1
dt
1 + t2
Zx
2t
dt
1 + t2
0
1
x
2
(k) ' (x) =
Z2x
x
0
Z
(2t + 4) dt
1
x
(g) ' (x) =
x
Z2 x
3
1
t2
dt
dt
1
p dt
t3
(j) ' (x) =
(l) ' (x) =
(b) Usando o teorema fundamental do cálculo integral.
ln t
dt
t
x
Z1
1
dt
t
x
(n) ' (x) =
122. Determine a derivada de cada função de…nida no exercício anterior:
(a) Usando a expressão da função.
5x
Z 2
Zx
0
(2 sin t
3 cos t) dt
Matemática- 2009/10
29
123. Determine a e b pertencentes a R, tais que a área da região limitada pelo eixo das
1
abcissas, pela curva y = e pelas rectas x = a e x = b seja 1.
x
124. Determine a e b pertencentes a R tais que
Zb
1
dx = 1
sin2 x
a
125. A área da região do plano limitada pelo eixo das abcissas e pelas linhas x = 0; x = 5
e y = 3x2 12x é:
25
39
39
25
126. A área da região do plano limitada pelas curvas y = 2x3 e y = x pode ser calculada
por:
R0
p
p
(2x3
x) dx +
(x
R0
2x3 ) dx
p
0
2
R0
R2
(2x3
x) dx +
p1
2
p1
R2
(x
Rx
(2x3
2x3 ) dx
x) dx +
R2
(2x3
x) dx
(2x3
x) dx
0
2
R0
(2x3
x) dx +
p1
2
0
127. Se ' (x) =
p
p1
R2
0
3t2 dt então '0 (x) =
2
6x
3
128. Se ' (x) =
x3
Z1
p
3x2
8
3x2
12
t
dt então '0 (x) =
1 + 4t
cos x
x
p
1 + 4x
sin x cos x
p
1 + 4 sin x
129. Ao efectuar a substituição t =
se:
Z5
4
p
sin x cos x
p
1 + 4 cos x
1 + 3x para calcular o integral
sin x
p
1 + 4x
Z8
p
x
dx obtém1 + 3x
5
t2
1
3t
dt
Z8
5
2t2
2
9
dt
Z8
5
t2
1
3t
dt
Z5
4
2t2
2
9
dt
Matemática- 2009/10
30
x
130. Ao efectuar a substituição t = e para calcular o integral
Z3
(e2x + 1) ex
dx obtém-se:
e2x ex + 1
1
e3
Z
t2 + 1
dt
t2 t + 1
e
Z3
t2 + 1
dt
t2 t + 1
e3
Z
Z3
(t2 + 1) t
dt
t2 t + 1
e
1
(t2 + 1) t
dt
t2 t + 1
1
131. Ao efectuar a substituição t = sin x, para calcular o integral
Z2
cos x
sin x + sin x
2
dx
0
obtém-se:
Z2
1
dt
t2 + t
Z2 p
1 t2
dt
t2 + t
0
0
Z1
Z1 p
1 t2
dt
t2 + t
1
dt
t2 + t
0
0
132. Calcule, por partes, os seguintes integrais:
(a)
Z1
x sin x dx
(b)
(c)
Z1
x ln x dx
1
0
(a)
Ze
x arctan x dx
(d)
Z1
arccot x dx
0
0
133. Calcule, utilizando o método de decomposição, os seguintes integrais:
(a)
Z1
x2
1
dx
2x + 8
0
Z4
(b)
x2
x
dx
6x + 5
2
134. Calcule, utilizando o método de substituição (e, possivelmente, o método de decomposição), os seguintes integrais:
(a)
Ze2
2
dx
x ln x + 2 ln x
Z4
p
2
e
(b)
x
dx
2 + 4x
1
(c)
Z5 p
x 1
dx
x
1
(d)
Z2
0
6
cos x
dx
5 sin x + sin2 x