DINÂMICA DA CORDA
VIBRANTE
A equação da onda unidimensional:
por que deveríamos estudar o
deslocamento de uma corda
Considere uma corda de comprimento L, levemente
esticada:
Na figura o deslocamento u tem sido propositalmente
exagerado... α e β são próximos de zero.
T2
dl
β
α
u
T1
x
L
Hipóteses simplificadoras
• i) a corda tem um comprimento fixo L;
• ii) a tensão é constante ao longo da corda e do
tempo;
• iii) a densidade da corda é constante ao longo
da corda e do tempo;
• iv) os pontos da corda movimentam-se num
plano
• v) a corda só está sujeita à força de reação nos
seus extremos;
• vi) a velocidade de cada ponto é perpendicular
a reta que passa pelos seus pontos extremos
(eixo das abscissas),
=T2
β
α
=T2
u
α
T1
T
1
dl
Q
P
β
u+ du
u
x
T2
Δx
A equação da onda 1-D
A equação da onda unidimensional envolve apenas uma
única variável espacial.
Desde que assumimos que o deslocamento é vertical as
componentes horizontais são constantes e então iguais.
T1 cos α = T2 cos β = T = const .
As componentes da tensão na direção vertical são:
- T1 sen α e T2 sen β
∂ u
Usando a Lei de Newton: F = m a = ( ρΔx )
2
∂t
∂ 2u
T2 sin β − T1 sin α = ρ Δx 2
∂t
2
Dividindo pela componente horizontal obtemos a inclinação
local da corda:
T 2 sin β
T1 sin α
ρΔx ∂ 2u
ρΔx ∂ 2u
−
=
= tan β − tan α =
2
T 2 cos β T1 cos α
T ∂t
T ∂t 2
1 ⎡ ∂u
⎢
Δx ⎣ ∂x
∂ 2u ρ ∂ 2u
=
2
2
T
∂x
∂t
x+Δx
ou
∂u
−
∂x
x
⎤
ρ ∂ 2u
⎥ =
2
T
∂
t
⎦
∂u 2∂u
=c 2
2
∂t
∂x
2
2
com
c2 =
T
ρ
Resolução da Equação de Onda the 1-D
Condições de Fronteira:
u(0,t) = 0 e u(L,t) = 0 para todo t desde que
os extremos são fixos em 0 e em L
Condições Iniciais:
Deslocamento inicial,
u ( x ,0 ) = f ( x )
Velocidade inicial,
∂u
∂t
= g ( x)
t =0
2
∂ 2u
∂
u
2
=c
2
∂t
∂x 2
onde c =
2
T
ρ
1: Separação de variáveis → duas EDOs.
Propomos uma solução como sendo o produto de duas funções:
u ( x , t ) = F ( x ) G (t )
Diferenciando:
∂ u
(t )
=
F
(
x
)
G
∂t 2
2
∂ u
= F ′′( x)G (t )
2
∂x
2
e
Assim de
2
∂ 2u
∂
u
2
=c
2
∂t
∂x 2
(t ) = c 2 F ′′( x)G (t )
F ( x)G
temos (substituindo)
(t )
F ( x)G
c 2 F ′′( x)G (t )
= 2
2
c G (t ) F ( x) c G (t ) F ( x)
e
(t )
G
F ′′( x)
=
=k
2
c G (t ) F ( x)
Ambos lados devem ser igual a uma constante porque variando apenas
x ou apenas t não mudam ambos lados simultaneamente.
Obtemos duas EDOs:
F ′′( x ) − kF ( x ) = 0 e
2
G (t ) − c kG (t ) = 0
F ′′( x ) − kF ( x ) = 0
e
(t ) − c 2 kG (t ) = 0
G
2: Obter as soluções das EDOs que satisfaçam
as condições iniciais e de fronteira:
u(0,t) = 0 e u(L,t) = 0
u(0,t) = F(0)G(t) = 0 e u(L,t) = F(L)G(t) = 0
As soluções triviais são ignoradas:
• G(t) = 0
• F(x) = 0 que é verdadeiro para
k≥0
F ′′( x ) − kF ( x ) = 0
para k = –ρ2:
F ′′( x) + ρp 2 F ( x) = 0
cuja solução é
F ( x ) = A cos ρ x + B sin ρ x
Aplicando as condições de fronteira obtemos
F(0) = A = 0 e F(L) = B sin(ρL) = 0
∴ ρL = nπ e escolhemos B = 1
nπ
Fn ( x) = sin
x
L
para
n = 1, 2, …
(t ) − c 2 kG (t ) = 0
G
Já que
k = –ρ2 = -(nπ/L)2
(t ) + λ2 G (t ) = 0
G
n
cnπ
λn =
L
A solução obtida analiticamente é:
Gn (t ) = Bn cos(λn t ) + Bn* sin( λn t )
Assim as soluções da equação de Onda 1-D são:
u n ( x, t ) = Fn ( x)Gn (t )
nπ
u n ( x, t ) = ( Bn cos λn t + B sin λn t ) sin
x
L
*
n
para n = 1, 2, …
Gráficos da equação de Onda 1-D
instantâneas
Normal Modes of the Vibrating String: n = 2
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
u(x,t)
1
0.8
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
x
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
u(x,t)
1
0.8
0
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
-1
2
6
7
0
-0.2
1
5
Normal Modes of the Vibrating String: n = 4
1
0
4
x
Normal Modes of the Vibrating String: n = 3
u(x,t)
u(x,t)
Normal Modes of the Vibrating String: n = 1
3
4
x
5
6
7
0
1
2
3
4
x
5
6
7
Para cada instante temos uma sinusóide;
a seta mostra o sentido do deslocamento
Modos normais de vibração, n = 4, para vários instantes de tempo
Normal Modes of the Vibrating String: n = 4
1
Each sinusoid
represents a
different instant in time.
The arrows show the
direction of motion
starting at t = 0
0.8
0.6
0.4
u(x,t)
0.2
0
L
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
x
5
6
7
3 O Princípio de Superposição
nπ
u ( x, t ) = ∑ u n ( x, t ) = ∑ ( Bn cos λn t + B sin λn t ) sin
x
L
n =1
n =1
∞
∞
*
n
precisamos de uma soma convergente que satisfaça as
condições iniciais:
u( x,0) = f ( x)
e
∂u
( x,0) = g ( x)
∂t
Considerando a primeira condição inicial: Deslocamento
nπ
u ( x, 0) = ∑ Bn sin
x = f ( x)
L
n =1
∞
f(x) está dada por uma soma infinita de senos
Determinar Bn de tal forma que u(x,0) seja a Série de
Fourier de f(x) (dada como a condição inicial do
deslocamento)
nπx
2
Bn = ∫ f ( x) sin
dx
L0
L
L
Para satisfazer a segunda condição inicial: a velocidade,
derivamos
nπ
u ( x, t ) = ∑ un ( x, t ) = ∑ ( Bn cos λnt + B sin λnt ) sin
x
L
n =1
n =1
∞
∞
*
n
∂u
em relação a t, e calculamos
( x,0)
∂t
, temos
∞
∂u
nπ x
∗
=g ( x )
( x , 0) = ∑ B n λn sin
∂t
L
n =1
g(x) está dada por uma soma infinita de senos
Obter os coeficientes B*n
equivale a obter as Série
de Fourier de g(x)
2
B =
cn π
*
n
nπx
∫0 g ( x ) sin L dx
L
Temos um bom motivo para
estudar como representar funções
com séries infinitas de funções
trigonométricas
As Séries de Fourier
Resolvendo a Equação de Onda
Unidimensional
Consideremos primeiro a equação de onda com velocidade
inicial nula, g(x) =0
L
2
nπx
B =
g( x ) sin
dx = 0
cnπ 0
L
*
n
u(x, t) =
∫
∞
∑u
n
(x, t) =
n =1
∞
∑
n =1
sendo
assim
nπ
B n cos λ n t sin
x
L
2
Bn =
L
L
∫
0
n πx
f ( x ) sin
dx
L
Exemplo Ache a solução da equação de onda se o deslocamento
inicial tem forma triangular e a velocidade é 0:
⎧ 2k
⎪⎪ L x
f ( x) = ⎨
⎪ 2k ( L − x )
⎪⎩ L
for 0 < x < L/2
for L/2 < x < L
Como g(x) = 0, então Bn* = 0 e
8k
nπ
Bn = 2 2 sin
2
nπ
Assim, a solução tem a forma:
π
πc
8k ⎡ 1
1
3π
3πc
⎤
u ( x, t ) = 2 ⎢ 2 sin x cos t − 2 sin x cos
t + −...⎥
L
L
L
L
π ⎣1
3
⎦
A solução da equação u(x,t)de onda é uma
função de x e de t
Qualquer solução da equação de onda pode ser escrita
como u(x,t)= f*(x-ct) que representa uma onda que se
desloca para a direita com velocidade c no trasocorrer
do tempo e f*(x + ct) representa uma onda que se
desloca para esquerda. Pelo Princípio de Superposição
temos que u(x,t) pode ser escrita em uma forma
compacta como:
1 *
*
u(x, t) = [f (x − ct) + f (x + ct)]
2
Onde f* é uma extensão periódica impar de f com período 2L
Exemplo
⎧x −1 −1≤ x ≤ 0
⎪
f (x) = ⎨1− x
0 ≤ x ≤1
⎪0 nosotherwis
outros casos
⎩
g(x) = 0 para
alltodo
x x
time, t
t
t=0
ct=1
ct = 2
ct = 3
x+ct
x+ct
x-ct
x-ct
-5
-4
-3
-2
-1
0
x
distance, x
1
2
3
4
5
Solução da equação de onda: D’Alembert
2
u
∂ 2u
∂
2
c
=
∂t 2
∂x 2
c2 =
T
ρ
Introduzimos novas coordenadas: v e z
v = x + ct
z = x - ct
Assim, u é uma função de v e z. E as derivadas são:
ux = uvvx + uzzx = uv + uz
uxx = (uv +uz)x = (uv + uz)vvx + (uv + uz)zzx = uvv + 2uvz + uzz
e
utt = c2(uvv - 2uvz + uzz)
Substituindo utt = c2uxx temos:
c2(uvv - 2uvz + uzz) = c2(uvv + 2uvz + uzx)
2
∂
u
4uvz = 0 ⇒ uvz = 0
uvz =
∂z∂v
=0
∂ 2u
uvz =
=0
∂z∂v
Integrando em relação a z obtemos:
Integrando em relação a v temos:
∂u
= h(v)
∂v
∫
u = h(v) dv + ψ ( z )
logo: u = φ(v ) + ψ ( z )
que leva a solução:
e
u ( x, t ) = φ( x + ct ) + ψ ( x − ct )
ut ( x, t ) = cφ' ( x + ct ) − cψ ' ( x − ct )
D’Alembert’s satisfazendo as
condições iniciais
Temos que: u(x,0) = f(x) e ut(x,0) = g(x)
u ( x, t ) t =0 = φ( x) + ψ ( x) = f ( x)
ut ( x, t ) t =0 = cφ' ( x) − cψ ' ( x) = g ( x)
Dividindo por c e integrando em relação a x temos:
x
φ( x) − ψ ( x) = k ( x0 ) +
1
g ( s )ds onde
cx
∫
0
k ( x0 ) = φ( x0 ) − ψ ( x0 )
x
+
1
φ( x) − ψ ( x) = k ( x0 ) +
g ( s )ds
cx
φ( x) + ψ ( x) = f ( x)
∫
0
x
Dividindo por 2: φ( x) =
1
1
1
f ( x) +
g ( s )ds + k ( x0 )
2
2c x
2
∫
0
φ( x) + ψ ( x) = f ( x)
x
1
- φ( x) − ψ( x) = k ( x ) + g ( s)ds
0
cx
x
1
1
1
ψ
x
=
f
x
−
g
s
ds
−
k ( x0 )
(
)
(
)
(
)
Dividindo por 2:
∫
2
2c x
2
∫
0
0
A solução de D’Alembert
u ( x, t ) = φ( x + ct ) + ψ ( x − ct )
φ( x + ct ) =
1
1
f ( x + ct ) +
2c
2
1
1
ψ ( x − ct ) = f ( x − ct ) −
2
2c
x + ct
∫
x0
1
g ( s )ds + k ( x0 )
2
x −ct
∫
x0
1
g ( s )ds − k ( x0 )
2
Resultados
anteriores
x0
=
1
1
1
f ( x − ct ) +
g ( s )ds − k ( x0 )
2
2c x−ct
2
∫
x + ct
1
1
u ( x, t ) = [ f ( x + Ct ) + f ( x − ct )] +
g ( s )ds
2
2c x−ct
∫