CONTEúDO
PREFÁCIO'
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I. QUE É UM PARADOXO?
Três pessoas sendo dois pais e dois filhos. A traça dos
livros. Mentira ou não? Ilha ou lago? Implicações matemáticas.
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li. PARADOXOS PARA TODA A GENTE
Algumas peculiaridades geográficas. Escolha dum relógio.
As dificuldades do joalheiro. 30 libras por ma. Os sete
caixeiros viajantes. Os três jantares. Um câmbio extraordinário. Dezassete corséis árabes. Aumentos semestrais de
ordenado ou aumentos anuais. A média entre quinze e
quarenta e cinco nem' sempre é trinta. Dois problemas
mais sobre médias. Quatro instantâneos. MeiIJ ovo sem
partir. Leite e água. O grande índio e~o pequeno Indic.
«Irmãos ou irmãs é coisa que não tenho ...» Reunião familiar. O noivo fantasma. Irmãos sem sangue comum. Legítimo ou ilegítimo? Tio e sobrinho ao mesmo tempo.
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m.
PARADOXOS DA ARITMÉTICA
De que tamanho é um bilião? Abreviaturas simples para
números grandes. Quatro 2's e como se desenvolvem. Um
milhão de antepassados em vinte gerações. A cadeia das
cartas. Uma pilha de papel bem alta. A torre de Hanói
e a profecia do fim do mundo. Uma quantidade de trigo.
O maior número primo conhecido. Os números de Fermato Divisão do círculo. Números perfeitos. Notação
posicional. O sistema numérico binário. Métodos simples
de multiplicação. Um jogo em que não se perde. Nove
processos de ler o pensamento.
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IV. PARADOXOS NA GEOMETRIA
Ilusões de óptica. Diminuir um quadrado para lhe aumentar a área. A série de Fibonacci. Disposições das folhas.
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CURIOSIDADES
DA
MATEMATICA
A secção de ouro. Espirais logaritmicas. Uma cabeça de
girassol. Simetria dinâmica. Os discos que giram. Traves
e rolos. Curvas de largura constante. Serão iguais os perímetros de duas circunferências desiguais? A espantosa família das ciclóides; O problema de Koenisberg. Dentro
ou fora? A garrafa de Klein. As faixas de Mõbius. Com
nós ou sem nós? Dois processos para fugir estando amarrado. O problema das quatro cores.
V. SOFISMAS ALGÉBRICOS
Utilização errada dos axiomas. Conclusão ilegal. A aumentar ou a diminuir? Menos um é maior do que mais
um? Divisão por zero. Quaisquer números desiguais são
iguais. Todos os números inteiros e positivos são iguais.
Divisão por zero disfarçada. Proporções peculiares. Contradições das equações. Mais e menos. Qualquer número
é superior a si próprio em uma unidade. Desigualdades.
Qualquer número é superior a si próprio na quantidade
que quisermos. Números imaginários. Dois casos em que
menos um é igual a mais, um.
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VI. SOFISMAS GEOMÉTRICOS
Todos os triângulos são isósceles. Duas perpendiculares
baixadas do mesmo ponto sobre uma recta. Um ângulo
recto superior a si próprio. 45° = 60·. A igualdade implica paralelismo. Dentro do circulo ou sobre ele? De
novo a divisão por zero. Uma linha igual a parte de si
própria. Dois comprimentos cuja soma dá zero. Raciocínio
por analogia. A soma dos ângulos dum triângulo esférico
é 180·. Qualquer número de perpendiculares baixadas do
mesmo ponto sobre um plano.
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VII. PARADOXOS DO INFINITO
O infinito na aritmética. Classes infinitas. Será impossível o movimento? Aquiles contra a tartaruga. Convergência e divergência das séries infinitas. Somas oscilantes.
Convergência simples e convergência absoluta. Somar
uma série de forma a obter um número determinado qual"
quer. O infinito em geometria. Um ponto é igual a uma
linha. Provas do postulado das paralelas. Curvas patológicas. Três .curvas-límites enganadoras. Área finita e comprimento infinito. Uma curva que ocupa área. Todos os
pontos são pontos de intersecção. Três países realmente
vízinhos. A aritmética do infinito. Comparação de classes
infinitas. Contar. Correspondência um a um. A" número
dos números naturais. O todo igual a uma parte de si
próprio. O número dos números racionais é também A,.
e, o número dos números reais. Uma polegada igual a
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CONTEtJDO
20 000 léguas ou mais. Tantos pontos numa linha unitária quantos os dum plano; ou em todo o espaço. Um
sistema aritmético especial.
VIII. PARADOXOS COM AS PROBABILIDADES
Nascimento das probabilidades num problema de jogo.
Caras, cunhos ou de esquina. A medida das probabilidades. Alguns exemplos ilustrativos. O erro de D' Alembert.
Um problema semelhante. Jogo de dados. O paradoxo da
caixa de Bertrand. Escolher um ponto ao acaso. Não há
números primos conhecidos? Mais pontos ao acaso. Casos
igualmente prováveis. Volume e massa. A corda traçada
ao acaso num círculo. Planos ao acaso no espaço e pontos
da esfera. O paradoxo da vida em Marte. Previsores de
tempo. O paradoxo de S. Petersburgo. Dois conselhos
para ganhar à roleta. Preto ou branco?
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IX. PARADOXOS DA LóGICA
Russell a respeito da lógica e da matemática. Epiménides
e os mentirosos. Todas as regras têm excepção. Um
assunto legal complicado. Definição do barbeiro. O problema do mais pequeno inteiro. Autológico e heterológico.
Natureza do círculo vicioso. A teoria dos tipos. O maior
dos transfinitos ou não? A classe das classes que não se
contêm a si próprias. O paradoxo de Richard. Tendências
recentes nos fundamentos das matemáticas.
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X. PARADOXOS DAS MATEMATICAS SUPERIORES
Geometria e trigonometria. Geometria analítica. Cálculo
diferencial. Cálculo integral. Números complexos.
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A~NDICE
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NOTAS E REFEMNCIAS
259
íNDICE
266
REMISSIVO
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