Experimentos Fatoriais
Hierárquicos
Alan Birck
Cecília Martins
Introdução
• Experimento Fatorial: as características
(fatores) não dependem entre eles. Todos
fatores estão no mesmo nível.
• Experimento Fatorial Hierárquico: quando
um fator está dentro de outro fator. Os
fatores estão em níveis diferentes.
Fatorial Hierárquico com 2 estágios
• Os níveis do fator B são similares, mas
não idênticos para diferentes níveis de
outro fator A.
• Ou seja, um fator está dentro de outro
fator
Fatorial Hierárquico com 2 estágios
• Exemplo:
Uma companhia compra matéria-prima de
3 fornecedores diferentes. A companhia
deseja determinar se a pureza da matériaprima é a mesma para cada fornecedor.
Existe 4 lotes de matérias-prima
disponível de cada fornecedor e 3
determinação de pureza em cada lote.
Exemplo
Fornecedor 2
Fornecedor 1
Fornecedor 3
Lote1
Lote 2
Lote 3
Lote 4
Lote1
Lote 2
Lote 3
Lote 4
Lote1
Lote 2
Lote 3
Lote 4
Y111
Y112
y113
Y121
Y122
y123
Y131
Y132
y133
Y141
Y142
y143
Y211
Y212
y213
2121
Y222
y223
y231
Y232
y233
Y241
Y242
y243
Y311
Y312
y313
Y321
Y322
y323
Y331
Y332
y333
Y341
Y342
y343
Exemplo
Fornecedor 3
Fornecedor 2
Fornecedor 1
Lote1
Lote 2
Lote 3
Lote 4
Lote5
Lote 6
Lote 7
Lote 8
Lote9
Lote 10
Lote 11
Lote 12
Y111
Y112
y113
Y121
Y122
y123
Y131
Y132
y133
Y141
Y142
y143
Y251
Y252
y253
Y261
Y262
y263
Y271
Y272
y273
Y281
Y282
y283
Y391
Y392
y393
Y3101
Y3102
y3103
Y3111
Y3112
y3113
Y3121
Y3122
y3123
Fatorial Hierárquico com 2 estágios
Modelo linear
yijk = μ + αi + βj(i) + εijk
μ é a média
αi é o ef. do i-ésimo nível do fator A
βj(i) é o ef. do j-ésimo nível do fator B dentro do
i-ésimo nível do fator A
εijk é o erro
i= 1,2,...,a
j= 1,2,...,b
k=1,2,...,r
2 fatores
Fatores
Mod. I ou Mod. II ou
Mod. Misto
Mod. Fixo Mod. Aleat.
A
Fixo
Aleatório
Fixo
B
fixo
Aleatório
Aleatório
Modelo I (A e B fixos)
• Suposições:
εijk ~ N(0,σ2) independentes
yijk ~N(μ + αi + βj(i) ,σ2) independentes
• Restrições:
a
ˆ i  0
i 1
a
;
ˆ 0

 j (i )
j 1
para todo i
Modelo I (A e B fixos)
• Hipóteses
H0: α1= α2= ...=
efeito do fator A)
αa= 0 (não existe
H0: β1(i)= β2(i)=...= βb(i)=0 (não existe
efeito do fator B dentro do i-ésimo nível do
fator A, para todo i )
Modelo II (A e B aleatórios)
• Suposições:
αi~N(0, σ2A) independentes
βj(i)~N(0, σ2B) independentes
εijk ~ N(0,σ2) independentes
αi , βj(i) e εijk são independentes
yijk ~N( μ ; σ2+σ2A+σ2B) e indep. se
estão em caselas diferentes
Modelo II (A e B aleatórios)
• Restrições:
não tem restrições.
• Hipóteses:
H0: σ2A
=0
H0: σ2B = 0
Modelo Misto (A fixo e B aleatório)
• Suposições:
βj(i)~N(0, σ2B) independentes
εijk ~ N(0,σ2) independentes
βj(i) e εijk são independentes
yijk ~N( μ+ αi ; σ2+σ2B) e indep. se
estão em caselas diferentes
Modelo Misto (A fixo e B aleatório)
• Restrições:
a
ˆ
i 1
i
0
• Hipóteses:
H0: α1= α2= ...=
do fator A)
H0: σ2B
=0
αa= 0 (não existe efeito
Análise de Variância para 2 fatores
Causas de
variação
G.L.
SQ
QM
A
a-1
SQA
QMA
B(A)
a(b-1)
SQB(A)
QMB(A)
Erro
ab(r-1)
SQE
QME
Total
abr-1
SQTotal
Análise de Variância para 2 fatores
Quadrados Médios Esperados
C.de
var.
Mod. I
rb a 2
 
i

a  1 i 1
2
A
Mod. II
Mod. Misto
 2  r 2 B   2  r 2 B 
rb 2 A
rb a


a 1
i 1
a b
r
2
2




j (i )
B(A)
a(b  1) i 1 j 1
Erro
Total

2
 2  r 2 B

2
2
i
 2  r 2 B

2
Análise de Variância para 2 fatores
Causas de
Variação
A
B(A)
Erro
Mod.I
QMA
QME
QMB(A)
QME
QME
F
Mod.II e Misto
QMA
QMB(A)
QMB(A)
QME
QME
Regra para construção dos QM Esperados: o
fator (A) terá o componente do subfator (B) se
o subfator (B) for aleatório.
Estimação dos componentes de
Variância
QMA  QMB( A)
ˆ
ˆ


r
B  brˆ A  QMA  ˆ A 

br
QMB ( A)
2
2
2
2
QMB ( A)  QME
ˆ  rˆ B  QMB ( A)  ˆ B 
r
2
2
2
ˆ  QME
2
Soma de quadrados
• As expressões são calculadas de forma
usual:
2
SQTotal  y  FC
2
ijk
i , j ,k
a
y...
FC 
rab
2
i ..
y
SQA  
 FC
i 1 rb
2
yij.
SQB( A)  
 FC  SQA
i, j r
SQE  SQTotal SQA SQB(A)
exemplo(continuando o anterior)
• Companhia compra matéria-prima, em
lotes, de 3 diferentes fornecedores. A
companhia deseja determinar se a pureza
de matéria-prima é a mesma para cada
fornecedor. Dos lotes existentes de cada
fornecedor, selecionou-se aleatoriamente
4 lotes para cada um dos 3 fornecedores,
e dos lotes selecionados foram tomadas 3
determinações de pureza. Os dados foram
codificados: yijk= pureza – 93 .
exemplo (dados já codificados)
Fornecedor 1
Fornecedor 2
lote1 lote2 lote3 lote4 lote1 lote2 lote3 lote4
1 -2 -2 1
1
0 -1 0
-1 -3 0
4 -2 4
0
3
0 -4 1
0 -3 2 -2 2
r=3; a=3; b=4
Fornecedor 3
lote1 lote2 lote3 lote4
2 -2 1
3
4
0 -1 2
0
2
2
1
exemplo
• No SAS(Analyst):
• Statistcs/ANOVA/mixed model/
dep: resposta
class:A,B
MODEL: Fixed effects: A;Random effects: B(A)
OPTION: type 1
TE exemplo ST: type 1 e “test of variance
components”
PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including
random effects)
1-plot residuals x predicted
2-plot residuals x independents
exemplo (resultados)
c.v.
g.l
SQ
fornec.
2
lotes/fornec.
9
p
15,06
2
2
2


3

B

6


i
7,53
F
0,97
0,41
69,92
7,77  2  3 2 B
2,94
0,01
Erro
24
63,33
Total
35 148,31
QM
2,64
E(QM)

i
2
• Não se evidencia diferença entre os fornec.
quanto à pureza da matéria-prima fornecida;
• A pureza da matéria-prima difere de lote a lote
para um mesmo fornecedor, ou seja, existe
variabilidade na pureza de lote a lote para cada
fornecedor.
Gráfico dos resíduos x preditos
Gráfico dos resíduos x fornecedores
Observação
• Interação → não podemos fazer interação pois
se fizéssemos, estaríamos comparando, além
de:
Se há diferença entre os fornec. 1, 2 e 3(correto)
• Compararíamos:
Se há diferença entre os lotes 1, 2, 3 e 4 de cada
fornecedor e se o fornecedor está na
dependência do lote e vice-versa
Essa comparação não pode ser feita pois cada
lote pertence a um único fornecedor.
Fatorial Hierárquico com m
estágios
• É o mesmo raciocínio que o delineamento
fatorial hierárquico com 2 fatores, com
uma diferença que tem um fator C a mais,
e esse fator C está dentro de um outro
fator B, que por sua vez, está dentro de
um fator A.
Fatorial Hierárquico com m
estágios
• Exemplo:
Desejamos investigar a dureza de duas
diferentes formulação de liga. Três calores
de cada liga é preparado, duas barras de
metal fundido são selecionada
aleatoriamente dentro de cada calor
testado, e duas medidas de dureza são
medida em cada barra. (Delineamento
fatorial Hierárquico em 3 estágios com 2
repetições).
exemplo
Formulação da liga 1
calor1
Barra 1
Formulação da liga 2
calor 2
Barra 2
Y1111
y1112
Barra 1
Y1121
y1122
calor 3
Barra 2
Y1211
y1212
Barra 1
Y1221
y1222
calor1
Barra 2
Y1311
y1312
Y1321
y1322
Barra 1
calor 2
Barra 2
Y2111
y2112
Barra 1
Y2121
y2122
calor 3
Barra 2
Y2211
y2212
Barra 1
Y2221
y2222
Barra 2
Y2311
y2312
Y2321
y2322
Fatorial Hierárquico com 3 estágios
Modelo linear (DCC)
yijkl = μ + αi + βj(i) + ck(j)+ εijkl
μ é a média
αi é o ef. do i-ésimo nível do fator A
βj(i) é o ef. do j-ésimo nível do fator B dentro do i-ésimo
nível do fator A
ck(j) é o ef. do k-ésimo nível do fator C dentro do j-ésimo
nível do fator B(e do i-ésimo nível do fator A-Montgomery)
εijkl é o erro
i= 1,2,...,a j= 1,2,...,b k=1,2,...,c
l=1,2,...,r
3 fatores
Fatores
Mod. I ou
Mod. Fixo
Mod. II ou
Mod. Aleat.
A
Fixo
Aleatório
Fixo
Fixo
B
Fixo
Aleatório
Aleatório
Fixo
C
Fixo
Aleatório
Aleatório
Aleatório
Mod. Misto
Modelo I (A,B e C fixos)
• Suposições:
εijkl ~ N(0,σ2) independentes
yijkl ~N(μ + αi + βj(i)+ck(j) ,σ2) independ.
• Restrições:
a
a
ˆ j (i )  0 para todo i ;
ˆ  0 ;

i 1

i
j 1
a
 cˆ
j 1
k( j)
0
para todo j
Modelo I (A,B e C fixos)
• Hipóteses:
H0: α1= α2= ...=
αa= 0
H0: β1(i)= β2(i)=...= βb(i)=0;para todo i
H0: c1(j)= c2(j)=...= cc(j)=0;para todo j
Modelo II (A,B e C aleatórios)
•
•
•
•
•
•
•
Suposições:
αi~N(0, σ2A) independentes
βj(i)~N(0, σ2B) independentes
c k(j) ~N(0, σ2C) independentes
εijkl ~ N(0,σ2) independentes
αi , βj(i) ,c k(j) e εijkl são independentes
yijkl ~N( μ ; σ2+σ2A+σ2B+ σ2C) e indep. se
estão em caselas diferentes
Modelo II (A,B e C aleatórios)
•
•
•
•
•
•
Restrições:
não tem restrições.
Hipóteses:
H0: σ2A = 0
H0: σ2B = 0
H0: σ2B = 0
Modelo Misto(A fixo, B e C
aleatórios)
•
•
•
•
•
•
Suposições:
βj(i)~N(0, σ2B) independentes
ck(j)~N(0, σ2C) independentes
εijkl ~ N(0,σ2) independentes
βj(i) ck(j) e εijkl são independentes
yijkl ~N( μ+ αi ; σ2+σ2B+ σ2C) e indep. se
estão em caselas diferentes
Modelo Misto(A fixo, B e C
aleatórios)
• Restrições:
a
ˆ
i 1
i
0
• Hipóteses:
• H0: α1= α2= ...= αa= 0 (não existe efeito do
fator A)
• H0: σ2B = 0
• H0: σ2C = 0
Análise de Variância para 3 fatores
Causas de
variação
G.L.
SQ
QM
A
a-1
SQA
QMA
B(A)
a(b-1)
SQB(A)
QMB(A)
C(B)
ab(c-1)
SQC(B)
QMC(B)
Erro
abc(r-1)
SQE
QME
Total
abcr-1
SQTotal
Análise de Variância para 3 fatores
Quadrados médios esperados
c.v.
A
B(A)
C(B)
Erro
Total
Modelo I
a
rbc
2
2 


i
a  1 i 1
Modelo II
 2  r 2C  rc 2 B  rbc 2 A
a
b
rb
2
2
2
2
2 


j (i )
  r C  rc B
a(b  1) i 1 j 1
a
b
c
r
2
2
2
2
 
ck ( j )

  r C
ab(c  1) i 1 j 1 k 1

2

2
Análise de Variância para 3 fatores
c.v.
A
B(A)
Quadrado Médio esperado
Modelo Misto
a
rbc
2
2
2
2
  r C  rc B 
i

a  1 i 1
  r C  rc B
2
2
2
C(B)
  r C
Erro

Total
2
2
2
Análise de Variância para 3 fatores
Causas de
Variação
A
B(A)
C(B)
Erro
F
Mod.I
QMA
QME
QMB(A)
QME
QMC(B)
QME
QME
Mod.II e Misto
QMA
QMB(A)
QMB(A)
QMC(B)
QMC(B)
QME
QME
• Regra para construção dos QM Esperados:o fator (A) terá o
componente do subfator (B) e do subsubfator C, se o subfator e o
subsubfator forem aleatórios. O subfator (B) terá componente do
subsubfator(C) se o subsubfator for aleatório.
Soma de quadrados
• As expressões são calculadas de forma
usual:
2
SQTotal
y
2
ijkl
i , j , k ,l
2
i ...
 FC
y....
FC 
rabc
2
ij..
y
y
SQA  
 FC SQB( A)  
 FC  SQA
i , j rbc
i , j rc
2
yijk.
SQC( B)  
 FC  SQB( A)  SQA
i , j ,k r
SQE  SQTotal SQA SQB( A)  SQC( B)
exemplo (super fictício)
• 2 fazendas, uma em cada região
• escolhidas, aleatoriamente, 3 árvores em cada
fazenda
• dentro de cada árvore, foram escolhidas 3
folhas, aleatoriamente
• de cada folha foi medida, em 2 lugares
diferentes, a quantidade de fungo
• var. resposta: quantidade de fungos
• fator fixo: fazendas
• fatores aleatórios: árvores e folhas
exemplo
Fazenda 1
árvore 1
árvore 2
árvore 3
Folha 1 Folha 2 Folha 3 Folha 1 Folha 2 Folha 3 Folha 1 Folha 2 Folha 3
Fazenda 2
Y1111
y1112
Y1121
y1122
Y1211
y1212
Y1221
y1222
Y1311
y1312
Y1321
y1322
árvore 1
árvore 2
árvore 3
Folha 1 Folha 2 folha 3 Folha 1 Folha 2 folha 3 Folha 1 Folha 2 folha 3
Y1111
y1112
Y1121
y1122
Y1211
y1212
Y1221
y1222
Y1311
y1312
Y1321
y1322
exemplo
•
•
•
•
•
•
•
No SAS(Analyst):
Statistcs/ANOVA/mixed model/
dep: resposta
class:A,B,C
MODEL: Fixed effects: A;Random effects: B(A),C(B)
OPTION: type 1
TE exemplo ST: type 1 e “test of variance
components”
• PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random
effects)
•
1-plot residuals x predicted
•
2-plot residuals x independents
Experimento Fatorial Hierárquico
Cruzado
• Esse delineamento é usado quando temos
um fator dentro de outro e também temos
dois fatores que podem ser cruzados (pois
estão no mesmo nível).
Experimento Fatorial Hierárquico
Cruzado
• Exemplo:
fatorA
fatorB
cruzados fixos
fatorC hierárquico a B  aleatório
Experimento Fatorial Hierárquico
Cruzado
Modelo linear
yijkl    Ai  B j  ABij  Ck ( j )  ACik ( j )   ijkl


 

fixos
aleatórios
i=1,2,...,a ; j=1,2,...,b ; k=1,2,...,c ; l=1,2,...,r
Experimento Fatorial Hierárquico
Cruzado
• Hipóteses:
H0:A1= A2 =...=Aa =0
H0:B1= B2 =...=Bb =0
H0:AB11=...=ABab =0
H0: σ2C = 0
H0: σ2AC = 0
Análise de variância para experm.
fatorial hierárquicos cruzados
c.v.
A
B
AXB
C(B)
AxC(B)
Erro
Total
g.l.
a-1
b-1
(a-1)(b-1)
b(c-1)
b(a-1)(c-1)
abc(r-1)
abcr-1
SQ
SQA
SQB
SQAxB
SQC(B)
SQAxC(B)
SQE
QM
QMA
QMB
QMAxB
QMC(B)
QMAxC(B)
QME
Análise de variância para experm.
fatorial hierárquicos cruzados
c.v.
Quadrado Médio esperado
a
rbc
2
 2  r 2 AC 
A
A

i
a  1 i 1
a
rac
2
2
2


ar

C

B
B

j
b  1 i 1
a
rc
2
2
2


r

AC

AB
AxB

ij
(a  1)(b  1) i 1
C(B)
  ar C
AxC(B)
  r AC
2
2
2
2
F
QMA
QMAxC(B)
QMB
QMC(B)
QMAxB
QMAxC(B)
QMC(B)
QME
QMAxC(B)
QME
Análise de variância para experm.
fatorial hierárquicos cruzados
• Regras para obtenção dos expressões de soma
de quadrados e graus de liberdade:
Regra 1: subtrai-se uma das letras que não
aparecem
dentro dos parênteses no índice dos efeitos;
Regra 2: desenvolve-se algebricamente as
expressões
obtidas pela regra 1;
• g.l.:substituindo-se os índices pelas suas
dimensões na regra 1 obtém-se os g.l.;
• SQ: considerando-se G e os índices de
operação da regra 2 obtem-se as expressões
das SQ.
exemplo
fatorA
fatorB
cruzados fixos
fatorC hierárquico a B  aleatório
Fator A: fixture (1,2 e 3)
Fator B: layouts (1 e 2)
Fator C: operadores (4 para cada layout)
2 repetições
exemplo
layout 1
layout 2
oper.
1
2
3
4
1
2
3
4
Fix.1
22
23
28
25
26
27
28
24
24
24
29
23
28
25
25
23
30
29
30
27
29
30
24
28
27
28
32
25
28
27
23
30
25
24
27
26
27
26
24
28
21
22
25
23
25
24
27
27
Fix.2
Fix.3
exemplo
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
No SAS(Analyst):
Statistcs/ANOVA/mixed model/
dep: resposta
class:A,B
MODEL: Fixed effects: A, B, A*B
Random effects: C(B), A*C(B) A*C+A*B*C
OPTION: type 1
TE exemplo ST: type 1 e “test of variance components”
PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random
effects)
1-plot residuals x predicted
2-plot residuals x independents
exemplo
c.v.
g.l. SQ
QM
F
fixture
2
82,80
41,40
7,54 0,01
layout
1
4,08
4,09
0,34 0,58
operator(layout)
6
71,91
11,99
5,15 <0,01
fixture*layout
2
19,04
9,52
1,73 0,22
fixture*oper(layout) 12
[F*O + F*L*O]
Erro
24
65,84
5,49
2,36 0,04
56,00
2,33
Total
299,67
47
p
exemplo
• Conclusões:
• Olhando nos totais das fix. podemos notar
que as fix. 1 e 3 são menores que a 2.
• Um operador é melhor se ele usar um tipo
de fixação
• Pode ser que esses oper*fix pode sumir
se nós treinarmos os operadores.