matA10 – geometria no plano e no espaço I
vetores no plano e no espaço – ficha 02
1.
Considere o trapézio  ABCD  e os pontos M e N que correspondem aos pontos médios dos
lados não paralelos, tal como ilustra a figura.
Mostre que AB  DC  2 MN .
2.
Na figura está representado um triângulo  ABC  . Os pontos D, E e F são os pontos médios
dos lados do triângulo. A área do triângulo  ABC  é igual a 16 u. a. Sejam X, Y e Z três
pontos, tais que:
X B
1
AD
2
Y  C  DF 
1
FA
2
3


Z  A  2  CF  DF 
4


Determine a área do triângulo  XYZ  .
3.
Considere o cubo  ABCDEFGH  .
Suponha que a origem do referencial coincide com o ponto de interseção das diagonais da
face  ADHE  , que o eixo dos xx é paralelo à reta AD, que o eixo dos yy é paralelo à reta
HG e que o volume do cubo é 64.
Indique as coordenadas dos vetores:
3.1.
AD
3.2.
DB
3.3.
GE
3.4.
HA
3.5.
AC
3.6.
AG
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vetores no plano e no espaço – ficha 02
4. Verifique se são colineares os vetores com as coordenadas indicadas.
4.1.
 28 
u   3, 4  e v   7, 
 3 
4.2.
u
4.3.
u   ,   1 e v  1,1
5.


1

2,6 e v   , 2 
3

Na figura ao lado encontra-se representado um cone e sabe-se
que:

 AB  é um diâmetro da base

A
e
B
têm
8 5
4 5
, 2,


5 
 5
coordenadas
e
 8 5
4 5
, 2, 
 
 , respetivamente
5
5 



V é o vértice do cone
P é um ponto pertencente à circunferência da base do cone

PV  1,8,  15


Determine o volume do cone.
6.

2
Sendo u  6, 3  , A  2,
 e B 0, 2 , então os vetores AB e u :

2 



(A)
têm o mesmo comprimento
(B)
não são colineares
(C)
são colineares e têm o mesmo sentido
(D)
são colineares e têm sentidos diferentes
7.
Num referencial ortogonal Oxyz, o ponto A  k  1, k  3,5  pertence ao 1º octante se o
valor de k pertence ao intervalo
(A)
1,3
(B)
1,3
(C)
1,3
(D)
1,3
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vetores no plano e no espaço – ficha 02
8.
Considere a figura representada no referencial o. n. Oxyz, que é constituida por um prisma
quadrangular e uma priâmide triângular.


O prisma e a priâmide têm três faces contidas nos planos coordenados
Uma das arestas da pirâmide coincide com uma diagonal de uma das faces do prisma

A face retangular do prisma tem 18 cm 2

A face  BIG  é um triângulo equilátero
Responda às seguintes questões sabendo que I  0,3,0 
8.1.
Indique as coordenadas do ponto E e do vetor AG .
8.2.
Defina analiticamente os planos EFG e ADH.
8.3.
Defina analiticamente a reta AD.
8.4.
Determine as coordenadas do ponto P pertencente ao plano xOz de forma a que os vetores
IG e AP sejam colineares.
8.5.
9.
Seja J o ponto médio de  DC  . Mostre que AJ e BI são retas paralelas.
Num prisma quadrangular o vetor AB   4, 6, 4  representa uma diagonal espacial e o
vetor BC   4, 0, 4  uma diagonal de uma das bases.
9.1.
Calcule o volume do prisma.
9.2.
A figura seguinte representa o prisma do enunciado. Sabendo que o vértice A tem de
coordenadas  1, 2, 4  e que AD   4,0,0  , indique as restantes coordenadas dos vértices
do prisma.
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vetores no plano e no espaço – ficha 02
9.3.
Considerando a representação da alínea anterior, indique:
9.3.1. a expressão analítica do plano ACE
9.3.2. a expressão analítica do plano ECG
10. Na figura abaixo encontra-se representado um quadrilátero  ABCD  em que:

os lados  AD  e  BC  pertencem às retas de equação y  4 e y  2

M é o ponto médio de  AB 

C e D pertencem à reta de equação y  3 x  11

MA  1,3
10.1. Mostre que o quadrilátero  ABCD  é um paralelogramo.
10.2. Sabendo que as coordenadas do ponto A são  3, 4  , determine a área colorida da figura.
Bom trabalho!!
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vetores no plano e no espaço – ficha 02
Principais Soluções
1.
2.
3.
3.1.
3.2.
10.2.
3.5.
3.6.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
São colineares
São colineares
Não são colineares
5.
128
u. a.
3
6.
(D)
7.
(B)
8.
8.1.
64
u. a.
3
1 u. a.
 4,0,0 
 4, 4, 0
 4, 4,0 
 4,0, 4 
 4, 4,0 
 4, 4, 4
3.3.
3.4.
10.
10.1.
E  3, 6,3
AG  3, 6,3 
8.2.
z 3
y  6
8.3.
8.4.
8.5.
y  6  z  0
9.
9.1.
9.2.
P  3, 0, 6 
96 u. v.
B  3,8, 0  ; C  1,8, 4  ; D  3,2,4  ;
E  3,8,4  ; F  3,2,0  ; G  1,8,0  ;
H  1, 2,0 
9.3.
9.3.1. z  4
9.3.2. y  8
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