Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
1. (Ita 2015) Considere as seguintes afirmações sobre números reais:
I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional.

II.
(
n 0
1
n
2  1) 2

2
1 2 2
.
III. ln e2  log3 2 log4 9  é um número racional.
3
É (são) verdadeira(s):
a) nenhuma.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) I, II e III.
2. (Unicamp 2015) Considere a função f(x)  101 x  101x , definida para todo número real x.
a) Mostre que f(log10 (2  3)) é um número inteiro.
b) Sabendo que log10 2  0,3, encontre os valores de x para os quais f(x)  52.
3. (Fgv 2015) Um investidor aplicou certa quantia, em reais, à taxa de juro composto de 1% ao
mês. Neste problema, desprezando qualquer tipo de correção monetária devido à inflação,
responda as perguntas a seguir.
a) Neste investimento, após 2 meses, seria possível resgatar o valor aplicado com lucro de
R$ 4.020,00. Calcule o valor inicialmente aplicado.
b) No investimento indicado, é possível resgatar um montante de 4 vezes o capital inicialmente
aplicado em 139,3 meses. Caso o cálculo fosse feito adotando-se log2  0,301 e
log202  2,305, que são logaritmos com apenas 3 casas decimais de aproximação, seria
obtido um valor aproximado de t anos. Chamando de E  t  139,3 ao erro cometido no
cálculo devido ao uso de apenas 3 casas decimais de aproximação nos logaritmos
indicados, calcule E.
4. (Fuvest 2015) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas
usando o bilhete único. A tarifa é de R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem)
e de R$ 4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar
seu bilhete único, que está com um saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qual
seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é
a) R$ 0,85
b) R$ 1,15
c) R$ 1,45
d) R$ 2,50
e) R$ 2,80
5. (Ita 2014) Considere a equação A(t) X  B (t), t 
2e2t

A(t)   1
 3

1
x

1
1  , X   y  e B(t) 
 z 
1
2 

valores de x, y e z são, respectivamente,
a) 2 2, 0,  3 2.
e2t
, em que
 et 


  2  . Sabendo que det A(t)  1 e t  0, os


 0 
Página 1 de 11
Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
b) 2 2, 0,  3 2.
c) 0, 3 2, 2 2.
d) 0, 2 3,
3.
e) 2 3,  3, 0.
 
6. (Espm 2014) Se 4x
2
2
 16  2x , o valor de x x é:
a) 27
b) 4
1
c)
4
d) 1
1
e) 
27
7. (Ita 2014) Determine as soluções reais da equação em x,
log 16x
 0.
log4 x 3  log4 x4  3 10
log100 16
 
8. (Fgv 2014) Um biólogo inicia o cultivo de três populações de bactérias (A, B e C) no mesmo
dia. Os gráficos seguintes mostram a evolução do número de bactérias ao longo dos dias.
Página 2 de 11
Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
A partir da informação dos gráficos, responda:
a) Em que dia o número de bactérias da população C ultrapassou o da população A?
b) Qual foi a porcentagem de aumento da população de bactérias B, entre o final do dia 2 e o
final do dia 6?
c) Qual foi a porcentagem de aumento da população total de bactérias (colônias A, B e C
somadas) entre o final do dia 2 e o final do dia 5?
9. (Espcex (Aman) 2014) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y = Iog x.
Página 3 de 11
Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
Nesta representação, estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a:
a) Iog2 + Iog3 + Iog5
b) log30
c) 1+ Iog30
d) 1 + 2log15
e) 1 + 2Iog30
10. (Fuvest 2014) Sobre a equação (x  3)2x
a) ela não possui raízes reais.
b) sua única raiz real é 3.
c) duas de suas raízes reais são 3 e 3.
d) suas únicas raízes reais são 3 , 0 e 1.
e) ela possui cinco raízes reais distintas.
2
9
log | x2  x  1| 0, é correto afirmar que
11. (Espm 2014) Se logx  logx2  logx3  logx 4  20, o valor de x é:
a) 10
b) 0,1
c) 100
d) 0,01
e) 1
12. (Fgv 2014) Considere a aproximação: log2  0,3. É correto afirmar que a soma das raízes
da equação 22x  6  2x  5  0 é:
7
a)
3
b) 2
5
c)
3
4
d)
3
e) 1
4
13. (Ita 2014) A soma
log1/2 n 32
 log
1
1/2
8n2
é igual a
8
.
9
14
.
b)
15
15
.
c)
16
a)
Página 4 de 11
Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
17
.
18
e) 1.
d)
14. (Fgv 2014) Em uma competição de Matemática, a prova é do tipo múltipla escolha com 25
questões. A pontuação de cada competidor é feita de tal maneira que cada questão
- respondida corretamente vale 6 pontos;
- não respondida vale 1,5 ponto;
- respondida erradamente vale 0 (zero) ponto.
a) É possível um competidor fazer exatamente 100 pontos? Se a resposta for afirmativa,
mostre uma maneira; se não for, justifique a impossibilidade.
b) Márcia fez mais de 100 pontos. Quantas questões, no mínimo, ela respondeu corretamente?
15. (Espm 2014) As moedas de 10 e 25 centavos de real tem, praticamente, a mesma
espessura. 162 moedas de 10 centavos e 90 moedas de 25 centavos serão empilhadas de
modo que, em cada pilha, as moedas sejam do mesmo tipo e todas as pilhas tenham a mesma
altura. O menor número possível de pilhas é:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
16. (Enem 2014) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens
secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado
pela expressão 2x  5y  7z , na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que
N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
O número de divisores de N, diferentes de N, é
a) x  y  z
b) (x  1)  (y  1)
c) x  y  z  1
d) (x  1)  (y  1)  z
e) (x  1)  (y  1)  (z 1)  1
17. (Unicamp 2014) Um investidor dispõe de R$ 200,00 por mês para adquirir o maior número
possível de ações de certa empresa. No primeiro mês, o preço de cada ação era R$ 9,00. No
segundo mês houve uma desvalorização e esse preço caiu para R$ 7,00. No terceiro mês, com
o preço unitário das ações a R$ 8,00, o investidor resolveu vender o total de ações que
possuía. Sabendo que só é permitida a negociação de um número inteiro de ações, podemos
concluir que com a compra e venda de ações o investidor teve
a) lucro de R$ 6,00.
b) nem lucro nem prejuízo.
c) prejuízo de R$ 6,00.
d) lucro de R$ 6,50.
Página 5 de 11
Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
[I] Verdadeira, pois toda dízima periódica admite uma fração geratriz.
[II] Falsa. A soma indicada representa uma P.G infinita com a1 
1
2 1
e a razão q 
1
2
.
Daí,
1


n 0

1

2  1  2n

1
2 1 
1
1
2
2 1 
2 1
2
2


2 1
2

2
32 2
[III] Verdadeira.
2
ln e2  log3 2  log4 9   lne 3  log3 2 
3
log3 9
2

log3 2
2
5
 1  (racional)
3
3
Resposta da questão 2:
a) Com efeito, temos
1

f(x)  10  10x 
10x


.

Logo, sabendo que aloga b  b, com a e b reais positivos e a  1, vem
1


f(log10 (2  3))  10  10log10 (2 3 ) 
log10 (2 3 ) 
10


1 

 10  2  3 

2 3 

 10  2  3  2  3 
 40.
Portanto, segue que f(log10 (2  3))  40  .
b) Tem-se que
1 

f(x)  52  10  10 x 
  52
10 x 

 5  102x  26  10 x  5  0
26  24
10
 x  log10 5 ou x   log10 5.
 10 x 
Dado que log10 2  0,3, vem
 10 
log10 5  log10    log10 10  log10 2  1  0,3  0,7.
 2 
Página 6 de 11
Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
Portanto, os valores de x para os quais f(x)  52 são 0,7 e 0,7.
Resposta da questão 3:
a) Seja C o valor inicialmente aplicado. Tem-se que
4020
1,0201
 C  R$ 3.940,79
4020  C  (1  0,01)2  C 
b) Para M  4C, vem
4C  C  (1  0,01)t  22  (1,01)t
 log22  log(1,01)t
 101 
 2  log2  t  log 

 100 
 t  (log101  log102 )  2  log2
 t  (log202  log2  2  log10)  2  log2
2  0,301
2,305  0,301  2
0,301
t
0,002
 t  150,5.
t
Portanto, temos E  150,5  139,3  11,2 meses.
Resposta da questão 4:
[B]
Sejam t, m e n, respectivamente, o total gasto, o número de viagens simples e o número de
viagens de integração. Logo, devemos calcular o valor mínimo de t que satisfaça
t  3  m  4,65  n e t  12,5.
Observando que 4,65  3  12,5, basta tomarmos n  3 e um valor conveniente de m para
obtermos o resultado desejado. Com efeito, vejamos:
se n  3 e m  0, temos t  3  4,65  13,95;
se n  2 e m  2, temos t  3  2  4,65  2  15,30;
se n  1 e m  3, temos t  3  3  4,65  1  13,65;
se n  0 e m  5, temos t  3  5  15,00.
Portanto, segue que o menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do
bilhete após algumas utilizações é 13,65  12,5  R$ 1,15.
Resposta da questão 5:
[B]
Como det A(t)  1, temos
Página 7 de 11
Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
2e2t
e2t 1
1
1
1  1  4e2t  3e2t  1  3  2e 2t  2e2t  1
3
1
2
 2e2t  e2t  3  0
 e4t  3e2t  2  0
 e2t  1 ou e2t  2.
Porém, t  0 implica em e2t  2 e, portanto,
 1 2 1   x   2 


A(t)X  B(t)   1 1 1   y     2  .


 3 1 2   z   0 
Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes,
vem
 1 2 1
2


 1 1 1  2 


1 2
0
 3
1 2 1
2


0 
0 1 0


0 5 1 3 2 
L'2  1 L1  L2
L'3  3  L1  L3
1 2 1
2


0 .
0 1 0


0 0 1 3 2 
L''3  ( 5)  L'2  L' 3
Por conseguinte, x  2 2, y  0 e z  3 2.
Resposta da questão 6:
[B]
Como
2
2
(4 x )2  16  2x  24x  2x  4
 x 2  4  4x
 (x  2)2  0
 x  2,
segue-se que x x  22  4.
Resposta da questão 7:
log4 16x
log10 16x
log4 10
Calculando, inicialmente, o valor de

 log4 16x   2  log4 x
log4 16
log100 16
log4 100
Página 8 de 11
Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
Substituindo o resultado acima na equação pedida, temos:
log4 x 3  log4
x 4  3  2  log4 x   0
log4 x 3  4log4
x  6  3log4 x  0
log4 x 3  7log4
x6  0
Fazendo log4 x  y, temos:
y3  7y  6  0  y3  y  6y  6  0  y(y 2  1)  6(y  1)  0  y(y  1)(y  1)  6(y  1)  0 
 (y  1)(y2  y  6)  0  y  1 ou y  2 ou y  3.
Logo:
1
4
1
log4 x  2  x 
16
log4 x  3  x  64
log4 x  1  x 
1 1

S   , ,64 
16
4


Resposta da questão 8:
a) O número de bactérias da população C cresce com o tempo. Logo, do gráfico sabemos
que a população C de bactérias atingiu 103  1.000 indivíduos, superando, portanto, a
população A no quarto dia, com exatamente 104  10.000 indivíduos.
b) A variação percentual pedida é dada por
210  26
26
 100%  1500%.
c) O resultado é igual a
2500  29  105  (1200  26  102 )
6
2
1200  2  10
103012  1364
1364
 7452,20%.
 100% 
Resposta da questão 9:
[D]


2
A1  A 2  A3  1 log 2  2  log 3  3  log5  log2  log32  log53  log 2  32  53  log  2  5    3  5   


log10  log152  1  2  log15.
Resposta da questão 10:
[E]
2
Como 2x 9  0 para todo x real, vem
Página 9 de 11
Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
(x  3)2x
2
9
log | x 2  x  1|  0  (x  3)log | x 2  x  1|  0
x3 0

ou
2
| x  x  1|  1
x  3

ou
x 2  x  1  1 ou x 2  x  1  1
x  3

.
ou
(x  1 ou x  2) ou (x  0 ou x  1)
Portanto, a equação dada possui 5 raízes reais distintas.
Resposta da questão 11:
[D]
Sabendo que logab  b  loga, para todo a real positivo, vem
log x  log x 2  log x3  log x 4  20  10  log x  20
 log x  2
 x  102
 x  0,01.
Resposta da questão 12:
[A]
Completando os quadrados, obtemos
22x  6  2x  5  0  (2x  3)2  4
 2x  3  2
 x  0 ou x 
log5
.
log2
log5 0,7 7
 10 
Daí, como log5  log    log10  log2  1  0,3  0,7, segue-se que

 .
log2 0,3 3
 2 
Portanto, a soma das raízes da equação 22x  6  2x  5  0 é
7
.
3
Resposta da questão 13:
[D]
4
log1/2 n 32
 log
1
n 2
1/2 8
4

 log
1
n
log1/2 25
3(n2)
1/2 2
4


1
5
n

3(n  2)

4
5 1
1 
 3  n  (n  2)  3   3  8  15  24   18 .
5
1
1
1
17
1
Resposta da questão 14:
a) Sejam a, b e c, respectivamente, o número de questões respondidas corretamente, o
Página 10 de 11
Exercícios de Aprofundamento – 2015 – Mat – Log/Exp/Teo. Num.
número de questões não respondidas e o número de questões respondidas erradamente.
Tem-se que
a  b  c  25
6a  1,5b  100

a  b  c  25
3  (4a  b)  200
.
Daí, sendo a e b inteiros não negativos, segue-se que 4a  b é um inteiro e, portanto,
3  (4a  b) é um múltiplo de 3. Por outro lado, como 200 não é um múltiplo de 3, segue-se
que é impossível um competidor fazer exatamente 100 pontos.
b) Se Márcia fez mais de 100 pontos, então
a  b  c  25
6a  1,5b  100

b  25  a  c
12a  3  (25  a  c)  200
b  25  a  c

a
125 c .

9
3
Portanto, sendo c um inteiro não negativo, o valor mínimo de a é o menor inteiro positivo que
125
supera
 13,89, ou seja, amín  14.
9
Resposta da questão 15:
[C]
Sendo 162  2  34 e 90  2  32  5, temos mdc(162, 90)  2  32  18. Desse modo, o resultado
pedido é dado por
162  90 252

 14.
18
18
Resposta da questão 16:
[E]
O número de divisores positivos de N, diferentes de N, é dado por (x  1)(y  1)(z  1)  1, com
x  0, y  0 e z  0.
Observação: Considerando o enunciado rigorosamente, a resposta seria 2  (x  1)  (y  1)  1,
com x  1 e y  1.
Resposta da questão 17:
[A]
a
a
Seja   o quociente da divisão de a por b, com a, b e    .
b 
b 
200

  200 

 22  28  50 ações, ao custo
Nos dois primeiros meses, o investidor comprou 
 9   7 
total de 22  9  28  7  198  196  R$ 394,00. Portanto, vendendo essas ações ao preço
unitário de R$ 8,00, segue-se que o investidor teve um lucro de 8  50  394  R$ 6,00.
Observação: Note que é indiferente o fato do investidor comprar ou não ações no terceiro
mês.
Página 11 de 11