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PORCENTAGEM
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04) Um administrador municipal promoveu uma
consulta à população com o objetivo de obter
É sempre uma regra de três simples, diretamente
subsídios para o projeto do orçamento do próximo
proporcional.
ano. Das pessoas consultadas, 4392 responderam
30
= 0,30
100
3
3% =
= 0,03
100
que a maior prioridade deveria ser dada à segurança
Ex:
05) Em uma turma de alunos que estudam Geometria,
a) Calcule 10% de 20%
há 100 alunos. Dentre estes, 30% foram aprovados
30% =
pública. Sabendo que estas constituíam 24% do total
de pessoas consultadas, calcule esse total.
por média e os demais ficaram em recuperação.
Dentre os que ficaram em recuperação, 70% foram
2
b) Calcule (10%)
aprovados.
Determine
o
percentual
de
alunos
aprovados nessa disciplina.
c) Calcule
100 %
06)
Pedrão
comprou
dois
aparelhos
de
ar
condicionado e, com isso, seu consumo de energia
elétrica, de setembro para outubro, cresceu em 40%.
Se a conta de outubro registra um consumo de
EXERCÍCIOS
210kWh, a conta de setembro registrava um consumo
de:
01) Um comerciante reajustou o preço de determinado
produto em 10%. Observando que as vendas caíram,
07) Segundo dados publicados na revista Istoé
resolveu dar um desconto de 10% sobre o valor
Dinheiro (02/08/06) no ano de 2006 deverão ser
anunciado para o produto. Podemos afirmar que o
investidos no mundo 673 bilhões de dólares em mídia
valor final, em relação ao inicial, será:
e serviços de marketing. Este valor representa um
crescimento de 6,2% em relação a 2005. Com base
02) A população de uma cidade cresceu 25% em um
nesses dados, calcule quanto foi investido no mundo,
ano e, no ano seguinte, teve um decrescimento de
no ano de 2005, em mídia e serviços de marketing.
25%. Em relação à população inicial da cidade,
podemos deduzir corretamente que a população:
08) João, no primeiro trecho de sua caminhada,
percorreu 12% de uma estrada. Ao concluir o segundo
03) Um cliente possui R$ 100,00 (cem reais) em sua
trecho, correspondente a 1.200 metros, o percentual
conta bancária. Sabendo-se que o Governo Federal
percorrido passou a ser 16% da estrada. A extensão
cobra um tributo de 0,38% de CPMF (Contribuição
da estrada é
Provisória sobre a Movimentação Financeira) sobre
cada movimentação financeira, qual o valor máximo
09) Um comerciante comprou uma peça de tecido de
que esse cliente pode sacar sem ficar com a conta
100m por R$ 900,00. Se ele vender 40m com lucro de
negativa?
35%, 50m com lucro de 20% e 10m pelo preço de
custo, então o comerciante terá um lucro na venda da
peça de:
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10) O dono de uma loja sabe que, para não ter
14) Uma empresa comprou três milhões de reais em
prejuízo, o preço de venda de determinado produto
dólares.
deve ser, no mínimo, 30% superior ao preço de custo.
negativamente em 12%, mas no segundo mês a
Visando atender clientes que pedem desconto, o dono
empresa
da loja define o preço de venda, acrescentando 60%
acumulado. Ao final do segundo mês, a perda da
ao preço de custo. Dessa forma, o maior desconto que
empresa em relação ao seu investimento inicial foi de
ele pode conceder, sem ter prejuízo, é de:
aproximadamente:
11) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem
15) Um investidor iniciante investiu R$ 3.000,00 na
que custava R$4200,00,
já incluídos R$120,00
Bolsa de Valores. No primeiro mês ele perdeu 40% do
correspondentes a taxas de embarque em aeroportos.
valor investido e no segundo mês ele recuperou 30%
Na agência de viagens, foi informado de que, se
do prejuízo do mês anterior. Ao final do segundo mês,
fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de
o montante investido em sua carteira era de:
No
primeiro
conseguiu
mês,
recuperar
o
dólar
8%
do
oscilou
prejuízo
10%, exceto no valor referente às taxas de embarque,
sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu,
16) Jorge trabalha em uma empresa cujo piso salarial
pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então, é
é de R$360,00 e recebe, mensalmente, o triplo desse
CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse
valor. A metade do que ganha fica comprometida com
pacote de viagem:
as despesas de luz, gás, transporte e lazer. Além
disso, o aluguel e o IPTU consomem juntos 20% do
12) Em porcentagem das emissões totais de gases do
seu salário e 1/4 do que recebe é gasto com
efeito estufa, o Brasil é o quarto maior poluidor,
alimentação e a compra de produtos de primeira
conforme a tabela abaixo. É CORRETO afirmar que a
necessidade. Com base nessas informações, é
porcentagem de gases emitidos juntamente por Japão
correto
e Canadá, em relação aos gases emitidos pelo Brasil,
condições de poupar:
afirmar
que,
mensalmente,
Jorge
tem
é aproximadamente:
Classificação
País
Porcentagem
1º
Estados Unidos
15,8
2º
China
11,9
17) Joana, que trabalha como vendedora, teve duas
propostas de emprego:
- a primeira oferece um salário de R$ 600,00, mais
4º
Brasil
5,4
comissão de 1% do seu total de vendas;
7º
9º
Japão
Malásia
3,2
2,1
- a segunda oferece um salário de R$ 700,00, mais
10º
Canadá
1,8
comissão de 0,6% do seu total de vendas.
Acima de qual valor total de vendas efetuadas, a
primeira proposta de emprego de Joana oferece maior
13) Mona verificou que o preço de um televisor era
salário do que a segunda?
R$840,00. Após uma semana, retornou à mesma loja
e constatou que o preço da mesma televisão fora
18) O preço de um carro novo é de R$ 22.000,00 e
reajustado em mais 15%. O desconto que Mona deve
diminui de 10 % a cada ano de uso. Qual será o preço
receber para que o valor da televisão retorne ao preço
com 3 anos de uso?
anterior é, aproximadamente, de:
2
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19) Um vendedor de frutas levava um carregamento
23) Um teatro aumenta o preço do ingresso em 8%.
de caixas de laranjas para vender a seu cliente a
Em conseqüência, o número de ingressos vendidos
R$8,40 cada caixa. Ao chegar para a venda percebeu
diminui em 5%. Qual é a variação, em porcentagem,
que havia doze caixas com frutas impróprias para o
da receita obtida pelo teatro?
consumo, que foram descartadas, e as que sobraram
foram vendidas por ele com acréscimo de 15% em
24) O preço do produto X é 20% menor que o do
seu preço. Com isso, obteve o mesmo montante que
produto Y, e este, por sua vez, tem preço 20% maior
conseguiria caso não tivesse perdido as doze caixas e
que o do produto Z. Se os preços dos três produtos
as tivesse vendido a R$ 8,40. A quantidade de caixas
somam R$ 237,00, quanto custa, em reais, o produto
de laranjas vendidas foi de:
Z?
20) Recentemente o governo autorizou um aumento
25) Consideremos a renda per capita de um país
de 10% no preço da gasolina e, logo em seguida, um
como a razão entre o Produto Interno Bruto (PIB) e
aumento de 8% no preço do álcool. Como, na
sua população. Em 2004, a razão entre o PIB da
composição da gasolina, o álcool contribui com 25%, o
China e o Brasil, nesta ordem, era 2,8; e a razão entre
preço da gasolina teve, então, um novo reajuste
suas populações, também nesta ordem, era 7. Com
correspondente ao aumento do preço do álcool. O
base
aumento da gasolina, levando em conta os dois
corretamente que, em 2004, a renda per capita do
reajustes, foi de:
Brasil superou a da China em:
21) A tabela abaixo descreve os valores gastos, no
26) Com o reajuste de 10% no preço da mercadoria A,
primeiro ano de vida, com cachorros e gatos. De
seu novo preço ultrapassará o da mercadoria B em
acordo com a tabela, para um cachorro e um gato, o
R$9,99. Dando um desconto de 5% no preço da
gasto com ração, no primeiro ano, representa em
mercadoria B, o novo preço dessa mercadoria se
relação ao custo total, incluindo o preço dos animais, a
igualará ao preço da mercadoria A antes do reajuste
porcentagem de:
de 10%. Assim, o preço da mercadoria B, sem o
nessas
informações,
pode–se
afirmar
desconto de 5%, em R$, é:
27) De acordo com diagnóstico do Banco Central a
respeito de meios de pagamento de varejo no Brasil,
no
ano
de
2006,
constata-se
que
24%
dos
pagamentos foram feitos com cheque e 46%, com
cartão. O valor médio desses pagamentos foi de
R$623,00 para os cheques e de R$65,00 para os
cartões. O valor médio, quando se consideram todos
22) Quando foi admitido em uma empresa, José
contratou um plano de saúde, cujo valor correspondia
os pagamentos efetuados com cheque e cartão, é,
aproximadamente:
a 5% do seu salário. Hoje, José tem um salário 30%
maior e o plano de saúde teve, desde a admissão de
José,
um
aumento
de
82%,
representando,
atualmente, K% do salário de José. O valor de K é:
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28) O senhor Pitágoras contrata um advogado; esse
JUROS SIMPLES
consegue receber 90% do valor da questão avaliada
em R$ 30 000,00 e cobra, a título de honorários, 15%
j = c.i.t
da quantia recebida. Qual a importância que resta
para o senhor Pitágoras?
j = juros; c = capital; i = taxa; t = tempo
29) Uma mercadoria foi vendida a uma pessoa com o
MONTANTE
lucro de 20%; esta vendeu-a com o lucro de 10%, e
por fim, esta terceira vendeu-a com lucro de 5%. Qual
M=c+j
a taxa única, que representa o valor final da
mercadoria, após o último aumento.
M = montante; j = juros; c = capital
30) Durante sua viagem ao país das Maravilhas a
EXERCÍCIOS
altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da
seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um
01) A que taxa mensal de juros simples um capital de
líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia:
R$ 500,00, aplicado durante 10 meses, produz R$
“beba-me e fique 25% mais alta”. A seguir, comeu um
150,00 de juros?
pedaço de uma torta onde estava escrito: “prove-me e
fique 10% mais baixa”; logo após tomou um gole do
02) Chiquinho aplicou a quantia de R$ 500,00 a juros
líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a
simples durante 6 meses. A taxa de aplicação foi de
mensagem: “beba-me e fique 10% mais alta”.
5% ao mês. O montante obtido foi:
Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual
estava escrito:”prove-me e fique 20% mais baixa”.
03) Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 a
Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela:
juros simples de 5% ao mês. Dois meses depois,
Mário pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês
após esse pagamento, liquidou todo o seu débito. O
GABARITO – PORCENTAGEM
01) 99% do valor inicial
valor do último pagamento foi de:
02) diminuiu 6,25%
04) José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses,
05) 79%
no sistema de juros simples, a uma taxa de juros fixa e
03) R$99,62
04) 18.300
06) 150kWh
07) 633,71 bilhões de dólares
mensal. Se no final dos 5 meses José recebeu um
08) 30km
09) 24%
10) 18,75%
total de R$ 600,00, então a taxa fixa mensal aplicada
11) R$3792,00
12) 92,6%
13) 13%
foi de:
14) 11%
15) R$2160,00
16) R$54,00
17) R$25000,00
18) R$ 16.038,00 19) 80
05) João abriu uma caderneta de poupança e, em 1º
20) 12,2%
21) 24%
de janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma taxa
23) 2,6%
24) R$75,00
25) exatos 150%
de juros simples, nesse ano, de 20%. Em 1º de janeiro
26) R$222,00
27) R$ 256,00
28) R$22950,00
de 2007, depositou mais R$ 1.000,00. Para que João
29) 38,6%
30) ficou 1% mais baixa
22) 7%
tenha, nessa poupança, em 1º de janeiro de 2008, um
montante de R$ 1.824,00, a taxa de juros simples do
segundo ano deve corresponder a:
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06) Determinado capital, acrescido dos juros simples
13) Uma pessoa aplicou uma parte de um capital a 4%
de 4 meses, resulta em R$672,00. O mesmo capital,
ao ano e a outra parte a 5%, também ao ano. No final
acrescido dos juros simples de 10 meses, resulta em
de um ano, ela recebeu de juros um total de
R$780,00. A taxa de juros simples mensal é de:
R$220,00. Se os montantes aplicados tivessem sido
invertidos, o que foi aplicado a 4% fosse aplicado a
07) Bento emprestou R$ 10000,00 a Carlos, pelo
5% e vice-versa, os juros recebidos teriam sofrido
prazo de 10 meses, à taxa de 6,9% ao mês, no regime
acréscimo de R$10,00. Qual foi o capital total aplicado
de juro simples. No entanto, 4 meses antes do
por essa pessoa?
vencimento, necessitando de dinheiro, Bento propôs
que Carlos antecipasse o pagamento da dívida,
14) André aplicou parte de seus R$ 10.000,00 a 1,6%
utilizando para tal a taxa de 7,5% ao mês, ainda no
ao mês, e o restante a 2% ao mês. No final de um
regime de juro simples. Caso Carlos aceite a proposta
mês, recebeu um total de R$ 194,00 de juros das duas
de Bento, quanto deverá desembolsar para saldar a
aplicações. O valor absoluto da diferença entre os
dívida?
valores aplicados a 1,6% e a 2% é:
08) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de
15) Um capital de R$ 30.000,00 foi dividido em duas
2,5% ao mês, triplica em:
aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros
anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa de
09) Em 05 de agosto de 2004, aproveitando a
12% de juros anuais. Ao término de um ano,
possibilidade
certo
observou-se que os lucros obtidos em ambas as
aposentado contraiu um empréstimo de R$ 12.000,00
aplicações foram iguais. Assim sendo, a diferença dos
à taxa de juros simples de 2% ao mês. Se nenhuma
capitais aplicados foi de:
de
desconto
no
benefício,
parcela desse empréstimo foi descontada, o saldo
devedor em 5 de dezembro de 2005 era de,
16) Uma loja de eletrodomésticos anuncia a seguinte
aproximadamente:
promoção: "Televisor 29", à vista, por apenas R$
702,00, ou a prazo, em duas prestações mensais
10) Uma mercadoria no valor de R$ 400,00 é vendida
iguais de R$ 390,00, sendo a primeira paga no ato da
à vista ou em duas parcelas iguais de R$ 210,00,
compra". Nestas condições, a taxa mensal de juros
sendo uma no ato da compra e outra 30 dias depois. A
embutida na venda a prazo é igual a:
taxa mensal de juros, na compra parcelada é,
aproximadamente, igual a:
17) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$
48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$ 25,00
11) Um objeto pode ser comprado, à vista, por R$
cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um
110,00, ou a prazo, em duas parcelas de R$ 60,00. Se
mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento
a primeira for paga no ato da compra e a segunda, 30
é aproximadamente igual a:
dias após, a taxa de juros cobrada na venda a prazo é
de:
18) Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00 em
dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º
12) José colocou 2/3 de meu capital a 36% a.a., e o
como entrada e o 2º um mês após a compra. Se o
restante a 18% a.a., recebendo juro anual de R$117.000,00.
pagamento for feito à vista, há um desconto de 4%
Qual é o meu capital?
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sobre o preço de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros
JUROS COMPOSTOS
simples do financiamento é aproximadamente igual a:
MONTANTE
19) Um total de R$ 6.000,00 será investido, parte a
3,5% e parte a 6%. Se o rendimento total esperado é,
M=c+j
no mínimo, de R$ 300,00, o valor máximo que pode
M = c.(1+i)
t
ser investido a 3,5% é
M = montante
20) Luiz Carlos investiu R$ 10.000,00 no mercado
j = juros;c = capital; i = taxa; t = tempo
financeiro da seguinte forma: parte no fundo de ações,
parte no fundo de renda fixa e parte na poupança.
EXERCÍCIOS
Após um ano ele recebeu R$ 1.018,00 em juros
simples dos três investimentos. Nesse período de um
01)
ano, o fundo de ações rendeu 15%, o fundo de renda
poupança a quantia de R$ 100 000,00, no dia primeiro
fixa rendeu 10% e a poupança rendeu 8%.
de março. Sabendo que a taxa de remuneração é
Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo de ações
constante e igual a um por cento ao mês, e que o
apenas metade do que ele investiu na poupança, os
resultado
=
poupador
final
0
i0
1
1
P
foram:
V
juros que ele obteve em cada um dos investimentos
Um

⋅ +

depositou
obtido
é
na
dado
caderneta
pela
de
fórmula
 em que P é o valor inicial


a) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo
depositado, i é a taxa de remuneração e t é o tempo,
de renda fixa e R$ 288,00 na poupança.
então o valor V, após 5 meses, é:
b) R$ 300,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo
de renda fixa e R$ 258,00 na poupança.
02) Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juros fixos de
c) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 470,00 no fundo
1% ao mês, sem qualquer tipo de desconto. Ao final
de renda fixa e R$ 288,00 na poupança.
de dois anos, este investidor terá, nesta aplicação, em
d) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 480,00 no fundo
reais:
de renda fixa e R$ 278,00 na poupança.
e) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 430,00 no fundo
03) Suponha uma inflação mensal de 4% durante um
de renda fixa e R$ 318,00 na poupança.
ano. De quanto será a inflação acumulada neste ano?
(Pode deixar indicado o resultado)
GABARITO – JUROS SIMPLES
04) Uma instituição bancária oferece um rendimento
de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa
01) 3%
02) R$650,00
04) 4%
05) 14%
03) R$3990,00
06) 3%
modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste
banco deposita 1.000 reais nessa aplicação. Ao final
07) R$11830,00
08) 6 anos e 8 meses
de n anos, o capital que esse cliente terá em reais,
09) R$12960,00
10) 10,53%
relativo a esse depósito, é:
12) R$390.000,00
14)R$7000,00
17) 9%
6
13) R$500,00
15) R$6000,00
18) 9%
2009
11) 20%
19)R$2400,00
16) 25%
20) a)
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05) Um pai combinou que pagaria a mesada de seu
após a compra. A taxa mensal de juros compostos do
filho no dia 10 de cada mês, começando no dia 10 de
financiamento é:
janeiro de 2003, com R$ 100,00, sendo que o valor
seria corrigido mensalmente em 1%. Em 10 de janeiro
12) Fábio recebeu um empréstimo bancário de
de 2004, o valor a ser pago pelo pai será, em reais:
R$10.000,00, para ser pago em duas parcelas anuais,
a serem pagas respectivamente no final do primeiro
06) Uma carteira de investimento rende 2% ao mês.
ano e do segundo ano, sendo cobrados juros
Depois
de
três
cumulativamente
meses,
R$1.500,00
aplicados
compostos à taxa de 20% ao ano. Sabendo que o
nesta
carteira
valem
valor da 1ª parcela foi R$ 4.000,00, podemos concluir
aproximadamente:
que o valor da 2ª foi de:
07) Um banco pratica sobre o seu serviço de cheque
13) O Sr. Alfredo costuma aplicar seu dinheiro num
especial a taxa de juros de 11% ao mês. Para cada
fundo de investimento que rende juros compostos.
100 reais de cheque especial, o banco cobra 111 no
primeiro mês, 123,21 no segundo, e assim por diante.
a) Quanto deverá aplicar hoje, para ter um montante
Sobre um montante de 100 reais, ao final de um ano o
de R$13310,00 daqui a 3 anos, se a taxa de juros for
banco irá cobrar aproximadamente:
de 10% ao ano?
08) Cássia aplicou o capital de R$15.000,00 a juros
b) Se ele aplicar hoje R$ 8000,00, qual a taxa anual
compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2%
de juros (constante) que o fundo deverá render para
5
a.m. (ao mês). Considerando a aproximação (1,02) =
que ele possa sacar R$ 6000,00 daqui a 1 ano e R$
1,1, Cássia computou o valor aproximado do montante
9000,00 daqui a 2 anos, esgotando seu saldo?
a ser recebido ao final da aplicação. Esse valor é:
09) O preço de venda de um automóvel é de R$
GABARITO – JUROS COMPOSTOS
20.000,00. Este valor pode ser dividido em 40
prestações iguais calculadas da seguinte maneira:
01) R$105100,00
adiciona-se ao valor do automóvel juros mensais e
03) (0,04)
cumulativos de 1% durante 40 meses e divide-se o
05) R$100.(1,01)
montante por 40. Determine o valor da prestação, em
07) R$100.(1,11)
reais. (Use as aproximações 1,01
40
≅ 1,5)
12
02) R$1000.(1,01)24
n
04) R$ 1000.(1,15)
09) R$750,00
12) R$9600,00
12
06) R$1500.(1,02)
12
08) R$18150,00
10) 18%
3
11) 10%
13) a) R$10000,00
b) 50%
10) Um produto, cujo preço à vista é R$ 61,00, foi
comprado com uma entrada à vista de R$ 25,00 e
mais duas prestações mensais iguais de R$ 25,00
cada uma. A taxa percentual mensal de juros
compostos praticada na venda do produto é:
11) Uma máquina de lavar roupa é vendida à vista por
R$1200,00 ou, então, a prazo com R$ 300,00 de
entrada mais uma parcela de R$ 1089,00, dois meses
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
ARRANJO SIMPLES
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
Importa a ordem dos elementos (PFC)
A pn =
n1.n2.n3...= total de possibilidades
n!
(n − p)!
(n ≥ p )
Ex: Supondo que 5 colegas vão sair de carro,
sentados nos 5 lugares disponíveis. De quantos
Ex:
modos podemos fazer isso, se:
Oito atletas disputarão a final dos 100m rasos na
Olimpíada.
a) Todos souberem dirigir?
Desconsiderada
a
possibilidade
de
empate, então o número de maneiras diferentes de
compor o podium, é de:
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336
b) Apenas três souberem dirigir?
Ou então:
3 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 72
A 38 =
FATORIAL(!)
PERMUTAÇÃO SIMPLES (anagramas)
n! = n.(n – 1).(n – 2)...1
n ∈N
8!
8! 8.7.6.5!
= =
= 8.7.6 = 336
(8 − 3 )! 5!
5!
e n≥2
Importa a ordem dos elementos (PFC)
=
!
n
n
P
Obs: 0! = 1 e 1! = 1
Ex:
Ex:
2! = 2.1 = 2
01) Serão distribuídos 5 prêmios entre 5 pessoas, mas
3! = 3.2.1 = 6
elas deverão se organizar em fila para recebê-los. De
4! = 4.3.2.1 = 24
quantas maneiras distintas isto pode ser feito?
5! = 5.4.3.2.1 = 120
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
Simplificação
Ou então:
Ex:
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
a)
6! 6.5.4!
=
= 30
4!
4!
02) Quantos anagramas podem ser formados com as
letras da palavra PEDRÃO?
b)
8!
8.7.6.5!
=
= 56
3!.5! 3.2.1.5!
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720
Ou então:
c)
10!+9! 10.9!+9! 10.1+ 1
=
=
= 11
9!
9!
1
2009
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
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PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
(anagramas)
PROF PEDRÃO
Ou então:
A 220 =
20!
(20 − 2)!
=
20! 20.19.18!
=
= 20.19 = 380
18!
18!
“Importa” a ordem dos elementos
(FÓRMULA)
Pnα,β... =
n!
α!⋅β!...
Ou então:
20 ⋅ 19 = 380
ANÁ
ANÁLISE COMBINATÓ
COMBINATÓRIA
Ex:
Macetão do Pedrão
01) Quantos anagramas podem ser formados com as
Não importa
a ordem
letras da palavra AMAR?
P42 =
4! 4.3.2!
=
= 12
2!
2!
Cpn =
n!
p!⋅(n − p)!
PFC, ARRANJO,PERMUTAÇ
ARRANJO,PERMUTAÇÃO SIMPLES
(não precisa fórmula)
Importa
a ordem
02) Quantos anagramas podem ser formados com as
PERMUTAÇ
PERMUTAÇÃO
COM
REPETIÇ
REPETIÇÃO
letras da palavra APROVAÇÃO?
P93,2 =
COMBINAÇ
COMBINAÇÃO
9!
9.8.7.6.5.4.3!
=
= 30240
3!⋅2!
2.1⋅ 3!
Pnα,β... =
n!
α!⋅β!...
PEDRÃO
COMBINAÇÃO SIMPLES
EXERCÍCIOS
Não importa a ordem dos elementos
01) Três amigos irão ao teatro e seus ingressos
(FÓRMULA)
permitem que escolham três poltronas, entre cinco
Cpn =
n!
p!⋅(n − p )!
pré-determinadas de uma mesma fila, para sentar-se.
Nessas condições, de quantas maneiras distintas eles
poderão se acomodar para assistir ao espetáculo?
(n ≥ p)
Ex:
02) Um cientista recebeu 5 cobaias para usar em seu
Considerando 20 times disputam o Campeonato
estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos
Brasileiro da série A, calcule:
indicaram que o número de maneiras possíveis de
escolher pelo menos 3 cobaias é:
a) Quantos jogos “de ida” são disputados em uma
03) Com o objetivo de manter a democracia, realizou-
única rodada?
C220 =
20!
20!
20.19.18!
=
=
= 190
2!⋅(20 − 2)! 2!⋅18!
2.1⋅ 18!
se uma eleição para compor a equipe diretiva de um
clube. Essa equipe deve ser composta por um diretor,
um vice-diretor e um coordenador. Considerando que
b) Quantos jogos são disputados, considerando as
um grupo composto por
partidas “de ida” e “de volta”?
participar desse processo e que qualquer uma delas
2.C 220 = 2.190 = 380
10
pessoas resolveu
pode ocupar qualquer cargo, é correto afirmar que o
número de equipes que se pode formar com esse
grupo é:
2
2009
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04) Considere todos os números inteiros positivos que
13) Considere um grupo formado por 7 homens e 5
podem ser escritos permutando-se os algarismos do
mulheres do qual se quer extrair uma comissão
número 2341. Quantos dos números considerados
constituída por 4 pessoas. Quantas são as comissões
são menores que 2341?
formadas por 2 homens e 2 mulheres?
05) Uma prova de matemática consta 8 questões das
14)
quais o aluno deve escolher 6. De quantas formas ele
franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha
poderá escolher as 6 questões?
reta)
Três ingleses,
de
modo
quatro
que
as
americanos e cinco
pessoas
de
mesma
nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas
06) Com os algarismos 2, 3, 4, 6, 7 e 8, quantos
maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo
números pares de 4 algarismos distintos podemos
que o primeiro da fila seja um francês?
formar?
15) A prova de um concurso é composta somente de
07) Utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, quantos
10 questões de múltipla escolha, com as alternativas
números ímpares de 3 algarismos distintos podem ser
A, B, C e D por questão. Sabendo-se que, no gabarito
formados?
da prova, não aparece a letra A e que a letra D
aparece apenas uma vez, quantos são os gabaritos
08) A Copa do Mundo de Futebol, que foi realizada na
possíveis de ocorrer?
Alemanha a partir de junho de 2006, contou com a
participação de 32 seleções divididas em 8 grupos
16) Para colocar preço em seus produtos, uma
com 4 equipes cada, na primeira fase. Dado que, em
empresa desenvolveu um sistema simplificado de
cada grupo, as seleções jogaram entre si uma única
código de barras formado por cinco linhas separadas
vez, qual o total de jogos realizados na primeira fase?
por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três
larguras possíveis e espaços de duas larguras
09) A senha de acesso a um jogo de computador
possíveis. O número total de preços que podem ser
consiste
representados por esse código é:
em
numéricos,
quatro
sendo
o
caracteres
primeiro
alfabéticos
ou
necessariamente
alfabético. O número de senhas possíveis será:
17) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e
3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses
10) De quantas formas podemos permutar as letras da
nutrientes para obter um composto químico. O número
palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem
de compostos que poderão ser preparados usando-se,
juntas em qualquer ordem?
no máximo, 2 tipos de sais minerais é:
11) Calcule o número de anagramas da palavra
18) O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é
CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta
composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados
ordem.
para atuação junto a crianças que apresentam necessidades
educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser
12) O número de permutações da palavra ECONOMIA
que não começam nem terminam com a letra O é
2009
criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que
1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas
comissões distintas podem ser formadas nestas condições?
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19) A boa e velha Loteria Federal é a que dá ao
23) De um grupo de 10 pessoas, entre as quais,
apostador as maiores chances de ganhar, mas por
Maria, Marta e Mércia, deseja-se escolher uma
não pagar grandes fortunas não está entre as loterias
comissão com 4 componentes. Quantas comissões
que mais recebe apostas. As mais populares são
podem ser formadas, das quais participem Maria e
Mega-Sena, Quina, Loto-fácil e Lotomania. Na Loto-
Marta, mas Mércia não participe?
fácil, o apostador marca 15 dos 25 números que
constam na cartela e tem uma em 3.268.760 chances,
24) De quantas maneiras podemos classificar os 4
de acertar. Se fosse criada uma nova loteria, em que o
empregados de uma micro-empresa nas categorias A
apostador marcasse 10 dos 16 números disponíveis
ou B, se um mesmo empregado pode pertencer às
numa cartela, a chance de acertar uma aposta
duas categorias?
passaria a ser de uma em:
25) Um jornalista foi designado para cobrir uma
20) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel
reunião de ministros de estado. Ao chegar ao local da
onde Pafúncio marcou o telefone de Emingarda e
reunião, descobriu que havia terminado. Ao perguntar
apagou os três últimos algarismos. Restaram apenas
ao porteiro o número de ministros presentes, ele
os dígitos 58347. Observador, Pafúncio lembrou que o
disse:
número do telefone da linda garota era um número
cumprimentaram mutuamente, num total de 15
par, não divisível por 5 e que não havia algarismos
apertos de mão". Com base nessa informação, qual
repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as
foi o número de ministros presentes ao encontro?
"Ao
saírem,
todos
os
ministros
se
combinações numéricas possíveis. Azarado! Restava
apenas uma possibilidade, quando se esgotaram os
26) Num avião, uma fila tem sete poltronas dispostas
créditos do seu telefone celular. Até então, Pafúncio
como na figura abaixo:
havia feito quantas ligações?
21) Antônio e Bruno são membros atuantes do Grêmio
Estudantil e estão se formando numa turma de 28
alunos. Uma comissão de formatura, com 5 membros,
deve ser formada para a organização dos festejos.
Quantas comissões podem ser formadas de modo que
Antônio e Bruno sejam membros?
22) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se
formar
uma
comissão
constituída
de
quatro
integrantes. Nesse grupo, incluem-se Arthur e Felipe,
que, sabe-se, não se relacionam um com o outro.
Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses
dois, juntos, não deveriam participar da comissão a
ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras
distintas se pode formar essa comissão?
4
2009
Os modos de Pedro e Ana ocuparem duas poltronas
dessa fila, de modo que não haja um corredor entre
eles, são em número de
27)
Existem
quantos
números
pares,
de
três
algarismos, maiores do que 500?
28) Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre
uma outra reta, paralela à primeira, 3 pontos. O
número de triângulos, com vértices em três desses
pontos, é:
29) Num camping existem 2 barracas disponíveis. O
número de modos como se pode alojar
6 turistas,
ficando 3 em cada uma, é:
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30) Um campeonato de futebol de salão é disputado
por várias equipes, jogando entre si, turno e returno.
Sabendo-se que foram disputadas 272 partidas,
determine o número de equipes participantes.
GABARITO – ANÁLISE COMBINATÓRIA
01) 60
02) 16
03) 720
04) 09
06) 240
07) 48
08) 48
09) 26.36
10) 1440
11) 24
12) 10800
13) 210
14) 34560
15) 5120
16) 3888
17) 34
18) 136
19) 8008
20) 23
21) 2600
22) 55
23) 21
24) 81
25) 06
26) 10
27) 249
28) 84
29) 20
30) 17
05) 28
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PROBABILIDADES
Espaço amostral = tudo que pode ocorrer
PROF PEDRÃO
e) Um número primo?
p=
3 1
= = 0,5 = 50%
6 2
Evento = o que quer
o que quer
p=
tudo que pode ocorrer
Evento impossível
p=
f) Um número par ou um número ímpar?
p=
g) Um número par ou um número primo?
0
= 0 = 0%
n
p=
Evento certo
p=
3 3 6
+ = = 1 = 100%
6 6 6
n
= 1 = 100%
n
3 3 1 5
+ − =
6 6 6 6
02) No arremesso de dois dados comuns, qual a
probabilidade de obtermos nas duas faces voltadas
Conseqüência:
0 ≤ p ≤ 1 ou 0% ≤ p ≤ 100 %
para cima valores múltiplos de 3?
p=
2 2 1
⋅ =
6 6 9
Eventos complementares
∑ p = 1 = 100%
03) No arremesso de dois dados comuns, qual a
probabilidade de obtermos nas duas faces voltadas
Importantíssimo:
para cima valores cuja soma seja igual a 10?
e = multiplica
4
6
5
5
6
4
e ou
e
ou
e
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
ou = soma
Ex:
01) Arremessa-se um dado comum e observa-se a
face voltada para cima. Qual a probabilidade do valor
1 1 1 1 1 1
⋅ + ⋅ + ⋅ =
6 6 6 6 6 6
1
1
1
3
1
=
+
+
=
=
36 36 36 36 12
obtido ser:
a) Um número maior que 6?
04) No arremesso de uma moeda
0
p = = 0 = 0%
6
probabilidade de se obter cara é igual ao dobro da
6
= 1 = 100%
6
a
probabilidade de se obter coroa. Qual a probabilidade
b) Um número menor ou igual a 6?
p=
viciada,
de se obter cada um dos casos?
p(ca ) = 2p(co)

p(ca ) + p( co) = 1
2p( co) + p(co) = 1
c) Um número par?
p=
3 1
= = 0,5 = 50%
6 2
d) Um número ímpar?
p=
3p( co) = 1
1
3
2
p(ca ) =
3
p(co ) =
3 1
= = 0,5 = 50%
6 2
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Árvore das possibilidades
EXERCÍCIOS
Considere a seguinte situação:
Um casal deseja ter três filhos e pretende saber qual a
01) Num sorteio com os números de 1 a 25, a
probabilidade de nascerem no mínimo dois meninos,
probabilidade de ser sorteado um número múltiplo de
sendo que a probabilidade de ser menino ou de ser
3 é:
menina tem o mesmo valor.
02)
Em
uma
pesquisa
de
marketing
foram
entrevistadas duas mil pessoas, que opinaram sobre
duas embalagens de um produto que seria lançado no
mercado consumidor. O resultado foi o seguinte: 1.200
pessoas preferiram a primeira embalagem, 500
preferiram a segunda e 300 não gostaram de
nenhuma delas. Escolhida uma pessoa ao acaso, qual
é a probabilidade estimada de ela gostar da primeira
embalagem?
Observa-se que o total de possibilidades é igual a 8
03) Um baralho comum de 52 cartas tem três figuras
(tudo que pode ocorrer), e que no mínimo dois
(valete, dama e rei) de cada um dos quatro naipes
homens (dois ou três homens) são 4 possibilidades (o
(paus, ouros, espadas e copas). Ao se retirar uma
que quer), então:
carta do baralho, a probabilidade de ser uma carta que
p=
apresente figura de paus é:
4 1
= = 0,5 = 50%
8 2
04) Um dado defeituoso apresenta duas faces com 4
A questão anterior pode ser calculada, sem o uso da
pontos. No lançamento deste dado, a probabilidade de
árvore das possibilidades, da seguinte forma:
sair uma face com 4 pontos é:
H H M
H M H
M H H
H H H
e e ou e e ou e e ou e e
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 1
+ + + = = = 0,5 = 50%
8 8 8 8 8 2
05) Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de
cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas
de pares distintos são diferentes. Suponha que duas
dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então,
a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é:
06) De um total de 500 estudantes da área de exatas,
Ou então:
200 estudam Cálculo Diferencial e 180 estudam
HHM ou HMH ou MHH ou HHH são 4 possibilidades,
Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes
sendo cada uma com probabilidade igual a 1/8, então:
que estudam ambas as disciplinas. Qual é a
1 1
4 ⋅ = = 0,5 = 50%
8 2
probabilidade
de
que
um
estudante
aleatoriamente esteja estudando Cálculo Diferencial
ou Álgebra Linear?
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escolhido
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07) Um casal pretende ter três filhos. A probabilidade
10) A probabilidade de se obter pelo menos duas
de
caras no lançamento simultâneo de 3 moedas
nascerem
dois
meninos
e
uma
menina,
independentemente da ordem, é de:
honestas, é igual a:
08) Uma escola fez uma pesquisa de opinião entre os
11) Num sorteio, concorrem todos os números inteiros
seus alunos para decidir sobre as modalidades
de 1 a 100. Escolhendo-se um desses números ao
esportivas distintas de futebol que seriam priorizadas
acaso, qual é a probabilidade de que o número
para
sorteado tenha 2 algarismos distintos?
treinamento.
Todos
os
alunos
da escola
responderam à pesquisa, optando por apenas uma
modalidade. O gráfico a seguir resume o resultado da
12) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o
pesquisa.
trabalho: de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela
ir de ônibus é 30% e, de moto, 70%. Se Cláudia for de
ônibus, a probabilidade de chegar atrasada ao
trabalho é 10% e, se for de moto, a probabilidade de
se atrasar é 20%. A probabilidade de Cláudia não se
atrasar para chegar ao trabalho é igual a:
13) Tem-se dois dados, sendo um perfeito e outro com
todas as faces marcadas com 6 pontos. Um deles é
escolhido ao acaso e lançado. A probabilidade de se
obter 6 é:
14) Lançando-se simultaneamente um dado e uma
Sobre o exposto, assinale as alternativas com C
(certa) ou E (errada).
a) O número de alunos da escola é 1000.
b) Na escola, existem mais alunos do sexo feminino.
c) Escolhendo aleatoriamente um aluno X da escola, a
probabilidade de X ter optado por ginástica é 15%.
d) Escolhendo aleatoriamente um aluno X da escola, a
probabilidade de X ser mulher ou ter optado por vôlei
é 75%.
e) Escolhendo aleatoriamente um aluno homem X da
escola, a probabilidade de X ter optado por basquete é
15%.
moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5
no dado e cara na moeda.
15) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e
uma branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a
cor e coloca-se a bola de volta na urna. Repete-se
essa
experiência
probabilidade
de
mais
serem
duas
vezes.
registradas
Qual
três
a
cores
distintas?
16) Nei e Rui lançam, cada um, um dado não
tendencioso.A probabilidade do resultado obtido por
Nei ser menor do que o resultado obtido por Rui é:
09) No sorteio de um número natural de 1 a 10, qual a
probabilidade de sair um número par ou um múltiplo
de três ou um número menor que 7?
2009
17) Ao se jogar dois dados, qual a probabilidade de se
obter o número 7 como soma dos resultados?
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18) Três cestas idênticas, contém cada uma delas 30
das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por
bolas iguais, exceto pela cor. Na primeira cesta
José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais
existem 9 bolas vermelhas e 21 pretas; na segunda
a sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das vezes e
existem 24 bolas vermelhas e 6 pretas; por fim, a
Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia
terceira cesta contém 12 bolas vermelhas e 18 pretas.
qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la,
Escolhendo-se uma cesta de forma aleatória e
verifica que está salgada demais. A probabilidade de
sorteando, também aleatoriamente, uma bola dessa
que essa sopa tenha sido feita por José é igual a:
cesta, a probabilidade de sua cor ser vermelha é:
25) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes,
19) Em uma sala de aula existem 40 alunos. Dez
de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A
deles têm 13 anos, 20 têm 14 anos e o restante da
probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de
turma é composta de alunos com 15 anos de idade.
metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a
Escolhendo dois alunos ao acaso, a probabilidade de
probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando
eles terem a mesma idade é igual a
ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é
de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente,
20) Um dado (cubo de seis faces congruentes)
verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de
perfeito, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, é
trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse
lançado duas vezes sucessivamente. A probabilidade
dia é:
de que o produto dos pontos obtidos seja maior que
GABARITO – PROBABILIDADES
12 é de:
21) Em um grupo de cinco artistas, dois deles têm a
01) 8/25 = 0,32 = 32%
mesma nacionalidade. Um produtor quer escolher três
04) 1/3
artistas deste grupo para encenar uma peça . A
08)
probabilidade dos dois artistas com a mesma
10) 50%
11) 81%
12) 83%
13) 7/12
nacionalidade encenarem juntos essa peça é:
14) 1/6
15) 2/9
16) 5/12
17) 1/6
22) Considere que numa cidade 40% da população
18) 50%
22) 52%
19) 14/39
23) 3,96%
20) 13/36
24) 0,20
a) V
05) 1/99
b) V
c) V
02) 60%
03) 3/52
06) 50%
d) V
e) F
07) 3/8
09) 90%
adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são
mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são
mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta
da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher?
23) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4
amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3
bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de
que as 3 bolas sejam da mesma cor?
24) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no
mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória
por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40%
4
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21) 30%
25) 30%
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SAT VIRTUA
SUCESSÕES NUMÉRICAS, NOÇÕES DE PA E PG
PA
PG
(2, 4, 8, 16, 32, ...)
(2, 4, 6, 8, 10, ...)
RAZÃO
PA
PG
q=
r = a2 – a1 = a3 – a2
a 2 a3
=
a1 a2
TERMO GERAL
PA
an = a1 + (n – 1).r
PG
an = a1.qn – 1
TRÊS TERMOS DESCONHECIDOS
PA
PG
x
, x, x .q
q
x – r, x, x + r
SOMA DOS TERMOS
PG
PA
FINITA
S=
(an + a1 ).n
2
S=
an .q − a 1
q−1
S=
a 1 (qn − 1)
q−1
INFINITA
a
S∞ = 1
1− q
EXERCÍCIOS
01) Qual será o próximo valor da sequência numérica
( 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...)
02) No livro O Código da Vinci, de Dan Brown, no local onde
o corpo de Jacques Saunière é encontrado, alguns números
estão escritos no chão. Estes números fazem parte da
Seqüência de Fibonacci, que é uma seqüência infinita de
números em que cada termo, a partir do terceiro, é igual à
soma dos dois termos que imediatamente o antecedem.
Assim, o décimo primeiro termo da Seqüência de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... é o número 79.
03) Considere a seqüência de números inteiros dada por
(-1, 3, 2, -6, -3, 9, 4, -12, -5, 15, ...). O valor do centésimo
termo será:
04) Os conjuntos A, B, C e D são definidos de acordo com
uma ordem lógica. Sabendo que A = {1, 2, 5, 10},
B = {1, 2, 4, 5, 10, 20} e C = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, o
conjunto D é:
2009
PROF PEDRÃO
05) A seqüência 1,1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5,...,
obedece a uma regra lógica. Os trecentésimo (300º) e
trecentésimo primeiro (301º) termos dessa seqüência valem,
respectivamente,
06) Um certo jogo consiste em colocar onze pessoas em
círculo e numerá-las de 1 a 11. A partir da pessoa que
recebeu o número 1, incluindo-a, conta-se de 3 em 3, na
ordem natural dos números, e cada 3ª pessoa é eliminada,
ou seja, são eliminadas as pessoas de números 3, 6 etc.
Depois de iniciada, a contagem não será interrompida, ainda
que se complete uma volta. Nesse caso, a contagem
continua normalmente com aqueles que ainda não foram
eliminados.Vence quem sobrar. O vencedor é a pessoa de
número:
07) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos a
mais que a do meio que por sua vez tem sete anos mais que
a caçula. João observou que as idades delas formam uma
progressão geométrica. Quais são as idades delas?
08) Suponha que, em 15/01/2006, Bonifácio tinha R$27,00
guardados em seu cofre, enquanto que Valfredo tinha
R$45,00 guardados no seu e, a partir de então, no décimo
quinto dia de cada mês subseqüente, as quantias contidas
em cada cofre aumentaram segundo os termos de
progressões aritméticas de razões R$8,00 e R$5,00,
respectivamente. Considerando que nenhum deles fez
qualquer retirada, a quantia do cofre de Bonifácio superou a
do Valfredo no mês de:
09) A fim de comemorar o dia da criança, uma escola
promoveu uma brincadeira, visando premiar algumas delas.
Para isso, reuniu 100 crianças, formando uma grande roda.
Todas foram numeradas sucessivamente, de 1 até 100, no
sentido horário. A professora de Matemática chamava cada
uma pelo número correspondente – na seqüência 1, 16, 31,
46, e assim por diante – e lhe dava um chocolate. A
brincadeira encerrou-se quando uma das crianças, já
premiada, foi chamada novamente para receber seu
segundo chocolate. O número de chocolates distribuídos
durante a brincadeira foi:
10) A caixa d’água reserva de um edifício, que tem
capacidade para 25 000 litros, contém, em um
determinado dia, 9 600 litros. Contrata-se uma
empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia,
600 litros no dia seguinte, 800 litros no próximo e
assim por diante, aumentando em 200 litros o
fornecimento de cada dia. O número de dias
necessários para que a caixa atinja a sua capacidade
total é:
11) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em
progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem,
respectivamente, R$250,00 e R$400,00, a primeira possui
12) Para testar o efeito da ingestão de uma fruta rica em
determinada vitamina, foram dados pedaços desta fruta a
macacos. As doses da fruta são arranjadas em uma
seqüência geométrica, sendo 2g e 5g as duas primeiras
doses. Qual a correta continuação dessa seqüência?
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
13) A comunicação eletrônica tornou-se fundamental no
nosso cotidiano, mas infelizmente, todo dia recebemos
muitas mensagens indesejadas: propagandas, promessas
de emagrecimento imediato, propostas de fortuna fácil,
correntes, etc. Isso está se tornando um problema para os
usuários da Internet pois o acúmulo de “lixo” nos
computadores compromete o desempenho da rede! Pedro
iniciou uma corrente enviando uma mensagem pela Internet
a dez pessoas, que, por sua vez, enviaram, cada uma, a
mesma mensagem a outras dez pessoas. E estas,
finalizando a corrente, enviaram, cada uma, a mesma
mensagem a outras dez pessoas. O número máximo de
pessoas que receberam a mensagem enviada por Pedro é
igual a:
14) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas
foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.
PROF PEDRÃO
proposta e recusam-na. O candidato que conhece
matemática aceita a proposta. Então, ele receberá, pelos
doze dias de trabalho, a importância de:
20) Dado que :
1 + 3 = 4,
1+3+5=9;
1 + 3 + 5 + 7 = 16 ;
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 ;
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36. Pode-se afirmar que
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 195 + 197 + 199 é igual a:
21) Em um processo de desintegração atômica em cadeia, a
primeira desintegração é de 3 átomos em um segundo. A
cada segundo que passa a desintegração é sempre o
quádruplo da anterior; logo, o tempo em segundos que leva
para desintegrar 12288 átomos é:
22) João marcou um encontro com Maria às 20h. Como
Maria não chegou às 20h, João decidiu esperar por um
intervalo t1 de trinta minutos; em seguida, por um período
adicional de t2 = t1/3 minutos, depois por um período de t3 =
t2/3 minutos, e assim por diante, com cada período adicional
igual a um terço do período anterior. Se Maria não foi ao
encontro, quanto tempo João esperou? (Indique o valor mais
próximo.)
Mantendo esse padrão, o número de células brancas na
Figura V será:
15) Conta a história da Matemática que, ainda criança,
Gauss solucionou o seguinte problema em alguns minutos.
O problema consistia em dar o resultado da soma:
1 + 2 + 3 + 4 + .......... + 98 + 99 + 100 = X
Podemos afirmar que o valor de X é igual a:
16) A paixão do brasileiro por automóvel é conhecida e
explorada pelos fabricantes, que investem muito em
publicidade. Os anúncios destacam o design, a qualidade, a
potência, a valorização do veículo, além de uma infinidade
de outros itens. Um fabricante afirma que um de seus
modelos, que custava em 2001 R$ 25000,00, sofreu uma
desvalorização de R$ 1500,00 ao ano. Se calcularmos a
cotação desse carro, ano a ano, até 2005, podemos dizer
que esses valores são uma PA, em que a soma vale:
23) Suponha que um jovem ao completar 16 anos pesava
60kg e ao completar 17 anos pesava 64kg. Se o aumento
anual de sua massa, a partir dos 16 anos, se der segundo
uma progressão geométrica de razão 1/2, então ele nunca
atingirá 68kg.
GABARITO – SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS E NOÇÕES DE
PA E PG
01) 200
02) F 03) –150 04) {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
05) 24 e 1 06) 7 07) 49, 56 e 64 anos 08) Agosto
09) 15,8 milhões 10) 20 11) R$200,00
12) 12,5; 31,25; 78,125... 13) 1110 14) 101 15) 5050
16) 110000 17)24 18) 11 19)R$4095,00 20) 10000
21) 7seg 22) 45 min 23) V
17) Numa cidade, a cada ano, o número de novos
profissionais de uma certa área é de 10 a mais do que o
número de novos profissionais do ano anterior. Se, durante
9 anos, o número de profissionais dessa área teve um
o
aumento de 396 profissionais, pode-se afirmar que, no 3
ano, o número de novos profissionais foi igual a:
18) A caixa d’água reserva de um edifício, que tem
capacidade para 25 000 litros, contém, em um determinado
dia, 9 600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer
400 litros de água nesse dia, 600 litros no dia seguinte, 800
litros no próximo e assim por diante, aumentando em 200
litros o fornecimento de cada dia. O número de dias
necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total
é:
19) O dono de uma loja precisa com urgência de
vendedores para trabalhar de segunda a sábado nas duas
últimas semanas que antecedem o Natal. Aparecem três
candidatos. Ele oferece R$1,00 pelo primeiro dia de trabalho
e, para os dias seguintes, o dobro do que eles recebem no
dia anterior. Dois candidatos consideram humilhante a
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