MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
PROBABILIDADES
Espaço amostral = tudo que pode ocorrer
PROF PEDRÃO
e) Um número primo?
p=
3 1
= = 0,5 = 50%
6 2
Evento = o que quer
o que quer
p=
tudo que pode ocorrer
Evento impossível
p=
f) Um número par ou um número ímpar?
p=
g) Um número par ou um número primo?
0
= 0 = 0%
n
p=
Evento certo
p=
3 3 6
+ = = 1 = 100%
6 6 6
n
= 1 = 100%
n
3 3 1 5
+ − =
6 6 6 6
02) No arremesso de dois dados comuns, qual a
probabilidade de obtermos nas duas faces voltadas
Conseqüência:
0 ≤ p ≤ 1 ou 0% ≤ p ≤ 100 %
para cima valores múltiplos de 3?
p=
2 2 1
⋅ =
6 6 9
Eventos complementares
∑ p = 1 = 100%
03) No arremesso de dois dados comuns, qual a
probabilidade de obtermos nas duas faces voltadas
Importantíssimo:
para cima valores cuja soma seja igual a 10?
e = multiplica
4
6
5
5
6
4
e ou
e
ou
e
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
ou = soma
Ex:
01) Arremessa-se um dado comum e observa-se a
face voltada para cima. Qual a probabilidade do valor
1 1 1 1 1 1
⋅ + ⋅ + ⋅ =
6 6 6 6 6 6
1
1
1
3
1
=
+
+
=
=
36 36 36 36 12
obtido ser:
a) Um número maior que 6?
04) No arremesso de uma moeda
0
p = = 0 = 0%
6
probabilidade de se obter cara é igual ao dobro da
6
= 1 = 100%
6
a
probabilidade de se obter coroa. Qual a probabilidade
b) Um número menor ou igual a 6?
p=
viciada,
de se obter cada um dos casos?
p(ca ) = 2p(co)

p(ca ) + p( co) = 1
2p( co) + p(co) = 1
c) Um número par?
p=
3 1
= = 0,5 = 50%
6 2
d) Um número ímpar?
p=
3p( co) = 1
1
3
2
p(ca ) =
3
p(co ) =
3 1
= = 0,5 = 50%
6 2
2009
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1
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
PROF PEDRÃO
Árvore das possibilidades
EXERCÍCIOS
Considere a seguinte situação:
Um casal deseja ter três filhos e pretende saber qual a
01) Num sorteio com os números de 1 a 25, a
probabilidade de nascerem no mínimo dois meninos,
probabilidade de ser sorteado um número múltiplo de
sendo que a probabilidade de ser menino ou de ser
3 é:
menina tem o mesmo valor.
02)
Em
uma
pesquisa
de
marketing
foram
entrevistadas duas mil pessoas, que opinaram sobre
duas embalagens de um produto que seria lançado no
mercado consumidor. O resultado foi o seguinte: 1.200
pessoas preferiram a primeira embalagem, 500
preferiram a segunda e 300 não gostaram de
nenhuma delas. Escolhida uma pessoa ao acaso, qual
é a probabilidade estimada de ela gostar da primeira
embalagem?
Observa-se que o total de possibilidades é igual a 8
03) Um baralho comum de 52 cartas tem três figuras
(tudo que pode ocorrer), e que no mínimo dois
(valete, dama e rei) de cada um dos quatro naipes
homens (dois ou três homens) são 4 possibilidades (o
(paus, ouros, espadas e copas). Ao se retirar uma
que quer), então:
carta do baralho, a probabilidade de ser uma carta que
p=
apresente figura de paus é:
4 1
= = 0,5 = 50%
8 2
04) Um dado defeituoso apresenta duas faces com 4
A questão anterior pode ser calculada, sem o uso da
pontos. No lançamento deste dado, a probabilidade de
árvore das possibilidades, da seguinte forma:
sair uma face com 4 pontos é:
H H M
H M H
M H H
H H H
e e ou e e ou e e ou e e
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 1
+ + + = = = 0,5 = 50%
8 8 8 8 8 2
05) Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de
cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas
de pares distintos são diferentes. Suponha que duas
dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então,
a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é:
06) De um total de 500 estudantes da área de exatas,
Ou então:
200 estudam Cálculo Diferencial e 180 estudam
HHM ou HMH ou MHH ou HHH são 4 possibilidades,
Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes
sendo cada uma com probabilidade igual a 1/8, então:
que estudam ambas as disciplinas. Qual é a
1 1
4 ⋅ = = 0,5 = 50%
8 2
probabilidade
de
que
um
estudante
aleatoriamente esteja estudando Cálculo Diferencial
ou Álgebra Linear?
2
2009
escolhido
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
PROF PEDRÃO
07) Um casal pretende ter três filhos. A probabilidade
10) A probabilidade de se obter pelo menos duas
de
caras no lançamento simultâneo de 3 moedas
nascerem
dois
meninos
e
uma
menina,
independentemente da ordem, é de:
honestas, é igual a:
08) Uma escola fez uma pesquisa de opinião entre os
11) Num sorteio, concorrem todos os números inteiros
seus alunos para decidir sobre as modalidades
de 1 a 100. Escolhendo-se um desses números ao
esportivas distintas de futebol que seriam priorizadas
acaso, qual é a probabilidade de que o número
para
sorteado tenha 2 algarismos distintos?
treinamento.
Todos
os
alunos
da escola
responderam à pesquisa, optando por apenas uma
modalidade. O gráfico a seguir resume o resultado da
12) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o
pesquisa.
trabalho: de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela
ir de ônibus é 30% e, de moto, 70%. Se Cláudia for de
ônibus, a probabilidade de chegar atrasada ao
trabalho é 10% e, se for de moto, a probabilidade de
se atrasar é 20%. A probabilidade de Cláudia não se
atrasar para chegar ao trabalho é igual a:
13) Tem-se dois dados, sendo um perfeito e outro com
todas as faces marcadas com 6 pontos. Um deles é
escolhido ao acaso e lançado. A probabilidade de se
obter 6 é:
14) Lançando-se simultaneamente um dado e uma
Sobre o exposto, assinale as alternativas com C
(certa) ou E (errada).
a) O número de alunos da escola é 1000.
b) Na escola, existem mais alunos do sexo feminino.
c) Escolhendo aleatoriamente um aluno X da escola, a
probabilidade de X ter optado por ginástica é 15%.
d) Escolhendo aleatoriamente um aluno X da escola, a
probabilidade de X ser mulher ou ter optado por vôlei
é 75%.
e) Escolhendo aleatoriamente um aluno homem X da
escola, a probabilidade de X ter optado por basquete é
15%.
moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5
no dado e cara na moeda.
15) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e
uma branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a
cor e coloca-se a bola de volta na urna. Repete-se
essa
experiência
probabilidade
de
mais
serem
duas
vezes.
registradas
Qual
três
a
cores
distintas?
16) Nei e Rui lançam, cada um, um dado não
tendencioso.A probabilidade do resultado obtido por
Nei ser menor do que o resultado obtido por Rui é:
09) No sorteio de um número natural de 1 a 10, qual a
probabilidade de sair um número par ou um múltiplo
de três ou um número menor que 7?
2009
17) Ao se jogar dois dados, qual a probabilidade de se
obter o número 7 como soma dos resultados?
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
PROF PEDRÃO
18) Três cestas idênticas, contém cada uma delas 30
das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por
bolas iguais, exceto pela cor. Na primeira cesta
José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais
existem 9 bolas vermelhas e 21 pretas; na segunda
a sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das vezes e
existem 24 bolas vermelhas e 6 pretas; por fim, a
Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia
terceira cesta contém 12 bolas vermelhas e 18 pretas.
qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la,
Escolhendo-se uma cesta de forma aleatória e
verifica que está salgada demais. A probabilidade de
sorteando, também aleatoriamente, uma bola dessa
que essa sopa tenha sido feita por José é igual a:
cesta, a probabilidade de sua cor ser vermelha é:
25) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes,
19) Em uma sala de aula existem 40 alunos. Dez
de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A
deles têm 13 anos, 20 têm 14 anos e o restante da
probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de
turma é composta de alunos com 15 anos de idade.
metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a
Escolhendo dois alunos ao acaso, a probabilidade de
probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando
eles terem a mesma idade é igual a
ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é
de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente,
20) Um dado (cubo de seis faces congruentes)
verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de
perfeito, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, é
trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse
lançado duas vezes sucessivamente. A probabilidade
dia é:
de que o produto dos pontos obtidos seja maior que
GABARITO – PROBABILIDADES
12 é de:
21) Em um grupo de cinco artistas, dois deles têm a
01) 8/25 = 0,32 = 32%
mesma nacionalidade. Um produtor quer escolher três
04) 1/3
artistas deste grupo para encenar uma peça . A
08)
probabilidade dos dois artistas com a mesma
10) 50%
11) 81%
12) 83%
13) 7/12
nacionalidade encenarem juntos essa peça é:
14) 1/6
15) 2/9
16) 5/12
17) 1/6
22) Considere que numa cidade 40% da população
18) 50%
22) 52%
19) 14/39
23) 3,96%
20) 13/36
24) 0,20
a) V
05) 1/99
b) V
c) V
02) 60%
03) 3/52
06) 50%
d) V
e) F
07) 3/8
09) 90%
adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são
mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são
mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta
da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher?
23) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4
amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3
bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de
que as 3 bolas sejam da mesma cor?
24) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no
mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória
por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40%
4
2009
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
21) 30%
25) 30%