Matematica
Prof: Pedro
Data de impressão: 01/11/2009
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MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
Professor
Pedro Waltrick de Souza Junior
Disciplina
Matemática
Carga Horária 11 aulas
Turma
TRT SC
Período
Gravações à tarde
Sem./ Ano
2º / 2009
Data
n.ºde aulas
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
Conteúdo
Conjuntos numéricos – Operações – Expressões Numéricas
Equações de 1º e 2º grau – Sistemas de Equações
Razão – Proporção – Regra de Três
Porcentagem – Juros
Análise Combinatória
Probabilidades
Sucessões – PA e PG
Transformação de unidades – Geometria Plana
Polígonos Regulares – Geometria Espacial
Funções – Funções de 1º e 2º grau
Exponenciais e Logaritmos
Observações
Extra.
Programa da Disciplina: MATEMÁTICA:
Conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais e reais. Operações e propriedades. Razões e
proporções: regra de três; porcentagem; juros simples. Funções: conceito, domínio, imagem, gráfico. Função linear,
quadrática, exponencial e logarítmica. Geometria: elementos, área e perímetro de triângulos, quadriláteros e
círculos. Áreas de superfície e volumes de prismas e cilindros. Sistemas de medidas: medida de tempo; sistema
métrico decimal; sistema monetário brasileiro. Progressões. Probabilidade: contagem; permutações, arranjos e
combinações. Conceitos básicos da probabilidade. Probabilidade e eventos independentes.
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
PROF PEDRÃO
NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
CONJUNTOS
São os decimais não exatos e não periódicos.
É
um
agrupamento
de
elementos,
e
são
Ex:
π(≅ 3,14 ), e(≅ 2,7 ), 2 (≅ 1,4 ), 3 (≅ 1,7 )
representados por letras maiúsculas do alfabeto latino
e seus elementos são dispostos entre chaves.
NÚMEROS REAIS (R)
Ex: A = {vogais} = {a,e,i,o,u}
Existem duas outras formas de representação:
Ao “juntarmos” os números racionais (Q) com os
irracionais (I), obtemos o conjunto dos números reais
(R).
Por diagramas:
Compreensão
A = {x / x é vogal}
Diagramas
PERTINÊNCIA ( ∈ ou ∉ )
CONJUNTOS NUMÉRICOS
A pertinência (pertence ou não pertence) será
utilizada quando relacionarmos elemento e conjunto.
NÚMEROS NATURAIS (N)
SUBCONJUNTO ( ⊂ ou ⊄ e ⊃ ou ⊃ )
São aqueles que a “natureza” nos ensina:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Quando a relação for entre conjuntos, diremos
que um conjunto está ou não contido em outro, ou
NÚMEROS INTEIROS (Z)
São os Naturais e seus opostos:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}
Obs: Z* = números inteiros menos o zero
ainda que um conjunto contém ou não outro.
O número de subconjuntos de um conjunto é
n
dado por 2 , onde n é o número de elementos do
conjunto
Z+ = inteiros não negativos (Z+ = {1, 2, 3,...})
EXERCÍCIOS
Z – = inteiros não positivos (Z – = {...,–3,–2,–1,0})
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Um número racional Q pode ser definido como:
Q=
Z
Z
a) 1
c) 3
inteiros, estão as “frações” e os decimais obtidos
como resultado das mesmas (exatos e não exatos
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espaços em branco a seguir:
A
b) {2}
*
Portanto, nos números racionais, além dos
periódicos).
01) Dado o conjunto A = { 1, 2, 3, {3}, 4 }, complete os
A
A
d) {3}
A
e) {{3}}
A
f) A
A
g) A
∅
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
02) Seja o conjunto A = {0, {0}, 1, {1}, {0, 1}}
É correto afirmar que:
PROF PEDRÃO
03) Sejam os conjuntos:
b) {0,1} ∈ A
A = {x ∈ N / 3 < x ≤ 8} e
B = {x ∈ R / 3 < x ≤ 8}
Assinale o que for correto.
c) {0,1} ⊄ A
a) A – B = ∅
a) 0 ∉ A
b) A = B
d) os elementos de A são 0 e 1
2
e) o número de subconjuntos de A é 2 = 4
c) A ⊂ B
d) A ∪ B = B
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
UNIÃO (U)
Como o próprio nome diz: vamos unir os
e) A ∩ B = A
04) Em uma turma de 60 alunos, 21 praticam natação
e futebol, 39 praticam natação e 33 praticam futebol.
conjuntos, ou seja, “juntar” os elementos dos dois
a)Qual a porcentagem de alunos que praticam um, e
conjuntos.
somente um, desses esportes?
Obs: Quando houver elementos repetidos, apenas
um deles “aparecerá” no conjunto.
b)Qual a porcentagem de alunos que não praticam
nenhum desses esportes?
Por diagramas:
05) Na escola do professor Golias, são praticadas
duas modalidades de esportes: o futebol e a natação.
Exatamente 80% dos alunos praticam futebol e 60%,
natação. Se a escola tem 300 alunos e todo aluno
INTERSECÇÃO ( ∩ )
pratica pelo menos um esporte, então o número de
Consideramos apenas os elementos “em comum”.
alunos que praticam os dois esportes é:
Por diagramas:
A ∩B
06) Em uma cidade com 40.000 habitantes há três
clubes recreativos: Colina, Silvestre e Campestre.
Feita uma pesquisa, foram obtidos os seguintes
resultados: 20% da população freqüenta o Colina;
16% o Silvestre; 14% o Campestre; 8% o Colina e o
Silvestre; 5% o Colina e o Campestre; e 4% o
DIFERENÇA (–)
São os elementos que “aparecem” no primeiro
conjunto e que “não aparecem” no segundo conjunto.
Por diagramas:
A–B
Silvestre e o Campestre. Somente 2% freqüentam os
três clubes. O número de habitantes que não
freqüentam nenhum destes três clubes é:
07) Um instituto de pesquisas entrevistou 1.000
indivíduos, perguntando sobre sua rejeição aos
partidos A e B. Verificou-se que 600 pessoas
rejeitavam o partido A; que 500 pessoas rejeitavam o
partido B e que 200 pessoas não tem rejeição alguma.
O número de indivíduos que rejeitam os dois partidos
é:
2
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NÚMEROS PRIMOS
08) Na seleção de operários da construção civil, foram
entrevistados 80 candidatos e constatou-se que:
Um número é primo quando admitir como divisores
45 desses candidatos sabiam lidar com pintura;
apenas ele próprio e a unidade.
50 deles sabiam lidar com instalações elétricas;
Ex: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
50 sabiam lidar com instalações hidráulicas;
15 tinham habilidades nas três modalidades de serviço.
Todos os operários tinham habilidade em pelo menos uma
O número 1 não é primo e o 2 é o único número par
que é primo.
das modalidades acima. Foram contratados todos os que
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO
tinham habilidade em exatamente duas modalidades.
Nessas condições, o número de candidatos contratados foi:
É o produto do número por um outro número.
Lembra da tabuada?
GABARITO – CONJUNTOS
DIVISOR DE UM NÚMERO
01) a) ∈ b) ⊂ c)∈ d) ∈ ou ⊂ e) ⊂ f ) ⊂ ou ⊃ g) ⊃
São os números pelos quais podemos efetuar a
02)b
divisão com o resto sendo igual a zero.
03)a)V b)F c)V d)V e)V 04) a)50% b)15%
05) 120 06) 26 000 07) 300 08) 35
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
MATEMÁTICA BÁSICA – MMC E MDC
Um número pode ser decomposto em fatores primos
através de divisões sucessivas.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
# Por 2
Dois números são primos entre si quando o único
Um número é divisível por 2 quando o algarismo das
divisor comum é o 1.
unidades for par (0, 2, 4, 6, 8).
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
# Por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus
O mmc entre números é o menor valor comum entre
algarismos for divisível por 3.
os valores do conjunto intersecção dos múltiplos dos
# Por 4
números.
Um número é divisível por 4 quando o número
MÁXIMO DIVISOR COMUM
formado pelos dois algarismos da direita for divisível
O mdc entre números é o maior valor comum entre os
por 4 ou quando forem ambos iguais a zero.
valores do conjunto intersecção dos divisores dos
# Por 5
números.
Um número é divisível por 5 quando o algarismo das
EXERCÍCIOS
unidades for 0 ou 5.
# Por 6
Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3
01) Quais os 5 primeiros múltiplos de 7?
simultaneamente.
02) Quais o divisores de 18?
# Por 10
Um número é divisível por 10 se o algarismo das
unidades for zero.
03) Faça a decomposição em fatores primos do
número 420
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
PROF PEDRÃO
Maria embarca de 18 em 18 dias. Se Pedro e Maria
04) Qual o mmc entre 18 e 24?
embarcaram juntos no último dia 17 de março do
05) Três amigos encontraram-se num certo dia na
corrente ano, a próxima data em que este fato
cidade de Florianópolis - SC e jantaram juntos. O
ocorrerá novamente será.
primeiro deles visita esta cidade a cada 6 dias, o
segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 5 dias.
10) Numa República, o presidente deve permanecer 4
Estes três amigos marcaram
novamente
no
próximo
de
encontro.
jantar
juntos
anos em seu cargo, os senadores 6 anos, e os
Este,
deverá
deputados 4 anos. Se em 1980 houve eleições para
esses cargos, em que ano se realizarão novamente as
acontecer após:
eleições para esses três cargos, simultaneamente?
06) A tabela mostra aproximadamente a duração do
ano (uma volta completa em torno do Sol) de alguns
11) Qual o mdc entre 20 e 32?
planetas do sistema solar, em relação ao ano
12) Um comerciante de materiais para cercas recebeu
terrestre.
Planeta
Duração do ano
12 troncos de madeira de seis metros de comprimento
Júpiter
12 anos terrestres
e outros 9 de oito metros. Ele determinou a um de
Saturno 30 anos terrestres
Urano
84 anos terrestres
seus funcionários que trabalha na preparação dos
materiais que cortasse os troncos para fazer estacas,
Se, em uma noite, os planetas Júpiter, Saturno e
todas de mesmo comprimento, para utilizá-las numa
Urano são observados alinhados, de um determinado
cerca para área de pastagem. Disse-lhe ainda que os
local na Terra, determine, após essa ocasião, quantos
comprimentos deviam ser os maiores possíveis. A
anos terrestres se passarão para que o próximo
tarefa foi executada pelo funcionário, e o número total
alinhamento desses planetas possa ser observado do
de estacas preparadas foi:
mesmo local.
13) A proprietária da floricultura “Flores Belas” possui
07) Dois veículos partem juntos de um mesmo ponto,
100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas e pretende
percorrendo caminhos diferentes. O primeiro retorna
fazer o maior número de ramalhetes que contenha,
ao ponto de partida a cada 40min e o segundo, a cada
cada um, o mesmo número de rosas de cada cor.
50 min. Se ambos saíram às 20h, que horas eles
Quantas rosas de cada cor devem possuir cada
estarão novamente juntos?
ramalhete?
08) Num saco de bolinhas de gude, Fernando notou
GABARITO – MATEMÁTICA BÁSICA – MMC E MDC
que elas poderiam ser divididas em grupos de 2, ou
em grupos de 3, ou em grupos de 4, ou, ainda, em
01) 7, 14, 21, 28, 35
grupos de 5, sem que houvesse sobras em nenhum
03) 2 . 3. 5. 7
desses tipos de divisão. Esse saco pode conter um
06) 420 anos
número de bolinhas igual a um múltiplo de:
09) 22 de abril
2
02) 1, 2, 3, 6, 9, 18
04) 72
05) 120 dias
07) 23h 20min
10) 1992
11) 4
08) 60
12) 72 estacas
13) 5 rosas brancas e 3 rosas vermelhas
09) Pedro trabalha numa plataforma da Petrobrás
onde ele embarca de 12 em 12 dias. Sua namorada
Maria trabalha numa outra plataforma. Entretanto,
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
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EXPRESSÕES NUMÉRICAS
A resolução de uma expressão numérica deve
05) Dividir um número por 0,0025 equivale a
obedecer a ordem de operações:
multiplicá-lo por:
# Quanto aos sinais gráficos
06) 0,3001 é igual a:
10 − 3
1º) Parênteses
2º) Colchetes
07) O valor da expressão 5 −1 −
3º) Chaves
2
3
 1
08) Efetuando-se   +  
 2
2
# Quanto às operações
1 , é:
2
−2
⋅
5
, obtém-se:
2
1º) Potenciação ou radiciação
2º) Multiplicação ou divisão
3º) Adição ou subtração
EXERCÍCIOS
01) Carlos e Jorge são amigos e gostam muito de
matemática. Até para dizer as suas idades eles fazem
O
09)
 1  4
 − 
 2 
 1
: 
2
valor
3
da
expressão
  1 6
−7
 ⋅  −  − 2 , é:
2

 
3
2
1
1
10) O valor da expressão   +   − 2 −3 + 16 0 é:


 2
4
questão de usar cálculos. Quando perguntam a Carlos a sua
idade ele responde: "Tenho o dobro de 15, mais 26, dividido
por quatro". Para a mesma pergunta, a resposta de Jorge é:
11) O valor da expressão
"Tenho o triplo de 2 mais 5, menos 9". As expressões que
determinam a idade de Jorge e de Carlos e suas idades
são:
02) A estatura de um adulto do sexo feminino pode ser
estimada, através das alturas de seus pais, pela expressão:
( y − 13 ) + x . Considere que x é a altura da mãe e y a do
2
b=
(a + b )2 ,para
a 2 + b2
 1 1
−  : (0,5 )2 , é:
 2 3
12) O valor de E = 5 0  2
13) Qual é o valor da expressão
4⋅
mínima que a filha adulta pode atingir. Segundo essa
fórmula, se João tem 1,72 m de altura e sua esposa tem
1,64 m, sua filha medirá, no máximo:
03) Um carro que anda a uma velocidade de 80km/h,
1 e
2
2
é igual a:
3
pai, em cm. Somando-se ou subtraindo-se 8,5 cm da altura
estimada, obtém-se, respectivamente, as alturas máxima ou
a=
1
1
+2−
5
4:
1 1
−
3 2
 4
7 − 2 2 ⋅ 1 − 
 3  , é:
14) O valor de m =
1
1+
4
está andando, em m/seg, a uma velocidade de:
04) Assistindo a um filme de ação norte-americano,
Pedrão observou que um veículo estava andando a
uma velocidade de 100 milhas por hora, o que
4 1 0,2
⋅ −
15) O valor de E = 3 2 0,1 , é:
2 1 6 2
: + ⋅
3 3 5 3
equivale, em km/h, a uma velocidade igual a:
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16)Calcule:
2
2
3  4  5   7   7   3  
1
−  ⋅   −  −  :   ⋅  −  +  − 3 
2  5  3   2   5   2  
2
17) O valor da expressão 4.(0,5)3 + 0,25 − 2 −2 , é:
18) Efetue as operações indicadas em cada item,
apenas deslocando a posição da vírgula no numeral.
a) 13,57 x 100
b) 17,45 : 100
4
c) 0,008 x 10
d) 523,4 : 102
19) O resultado mais simples da expressão:
-2
(10 : 0,001) x (2/5 - 0,04) é
20) O valor de
0,00001⋅ (0,01)2 ⋅ 10000
0,0001
GABARITO – EXPRESSÕES NUMÉRICAS
2 ⋅ 15 + 26
= 14
4
Jorge → 3 ⋅ ( 2 + 5) − 9 = 12
01) Carlos →
03) 22m/seg
06) 300,1
04) 160km/h
07) – 3/10
10) 17/16
11) 49/25
14) 20/3
15) – 10/21
18) a) 1357
b) 0,1745
19) 18/5
20) 0,1
6
2009
02) 1,70m
05) 400
08) 49/4
12) 26/3
09) 00
13) – 153/10
16) 125/6
c) 80
17) 3/4
d)5,234
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06) Eduardo e Mônica eram dois colegas de repartição
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Uma equação na variável x é dita do 1º grau
quando se apresenta na forma
num dia de trabalho e, em um dos poucos momentos
de tranqüilidade resolveram brincar de adivinhações
com números inteiros positivos.
E – Mônica, pense em um número.
ax + b = 0
M – Já pensei.
Sendo a e b reais e a ≠ 0.
E – Multiplique esse número por 10.
A resolução de uma equação do 1º grau consiste
M – Pronto.
em isolar a variável no 1º membro, determinando
E – Agora subtraia o número pensado do
assim o seu valor.
resultado obtido.
Para
resolvermos
uma
equação
podemos
M – Já subtraí.
adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os dois
E – Some 180 ao novo resultado.
membros da igualdade, obtendo uma nova igualdade
M – Somei.
equivalente à primeira, ou seja, com a mesma
E – Finalmente, divida o último resultado obtido
solução.
por 9.
M – Pronto.
E – Quanto deu?
EXERCÍCIOS
M – Deu 68!
Qual o número que Mônica pensou?
01) A solução da equação:
– 3(x – 1) – (2x – 2) = 0 é:
07) As idades atuais de Pedro e de seu filho são,
02) O valor de x que é solução da equação
respectivamente, 50 anos e 25 anos. Em que ano a
1 1 1
x
é:
+ + =
2 3 4 48
soma das idades de pai e filho era 53?
08) No mês passado, gastei um terço do meu salário
03)
O
valor
de
x
na
equação
x + 6 x + 8 x + 10 1 − x
vale:
−
=
−
2
6
4
3
04) A raiz da equação x − 2 +
2(x − 1) 2(x − 3 ) 2
=
−
5
3
5
com alimentação, 40% com aluguel, R$ 500,00 com
despesas eventuais e sobraram R$ 300,00. Qual foi o
meu salário?
09) João gasta 1/4 do seu salário na prestação de sua
casa, 3/5 do restante ele gasta com alimentação,
sobrando-lhe ainda a quantia de R$300,00. qual o
vale:
valor do salário de João?
05) Uma pessoa tem 7 bolas de mesmo peso e, para
calcular o peso de cada uma, colocou 5 bolas em um
10) Dos aprovados em um concurso, o número de
dos pratos de uma balança e o restante junto com
homens é igual a 4/3 do número de mulheres. Em um
uma barra de ferro de 546 gramas, no outro prato.
primeiro chamado, foram dispensados 16 homens e 4
Com isso, os pratos da balança ficaram totalmente
mulheres, ficando o número de homens igual ao
equilibrados. O peso de cada bola, em gramas, é:
número de mulheres. Qual o número total de homens
e de mulheres que foram aprovados no concurso?
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11) Uma pessoa resolveu calcular quanto gastaria
18) João ficou 1/3 de sua vida solteiro, 2/5 casado e
com refeições por mês. Verificou que, se gastasse
ainda viveu mais 20 anos viúvo. Com que idade
R$8,00 por refeição, poderia fazer 3 refeições a mais
faleceu?
do que se gastasse R$10,00. Calcule quanto essa
pessoa possuía.
19) Se um pai desse R$ 5.000,00 a cada filho, ainda
lhe sobrariam R$ 20.000,00. Se desse R$ 7.000,00 só
12) A quantidade de acidentes registrados com carros
lhe sobraria R$ 8.000,00. Quantos eram os filhos e
de passeio e caminhões em um trecho de uma BR em
quanto possuía o pai?
um determinado período foi tal que a quantidade de
acidentes com carros foi igual a quantidade de
20) Do vinho contido num barril, vendeu-se 3/7, a
acidentes com caminhões mais 15 e o dobro da
seguir 1/4 do resto e finalmente os 15 litros restantes,
quantidade de acidentes com carros foi igual ao triplo
que sobraram. Quantos litros continham no barril?
da quantidade de acidentes com caminhões. Calcule a
quantidade de acidentes que ocorreu com cada tipo
GABARITO – EQUAÇÕES DO 1º GRAU
de veículo.
01) 01
02) 52
03) – 2
04) 0
13) Um pai diz ao seu filho: “Hoje a sua idade é 2/7 da
07) 11 anos atrás
minha, e há 5 anos era 1/6”. Qual é a idade do filho?
10) 36 mulheres e 48 homens
05) 182
08) R$3000,00
12) 45 carros e 30 caminhões
14) Determinar quantos passageiros viajam em um
15) R$5184,00
certo ônibus, sabendo que se dois passageiros
19) 6 filhos e R$50.000,00
16) 14
06) 48
09) R$ 1000,00
11) R$120,00
13) 10
14) 90
17) 7560 m
18) 75
20) 35
ocupassem cada banco, 26 ficariam em pé, e que se 3
passageiros ocupassem cada banco, 2 ficariam
vazios.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
A solução de um sistema de equações pode ser
15) Os 2/3 de 5/3 de uma moto equivalem a 3/2 de 2/5
obtida utilizando-se diversos métodos, sendo que para
do preço de um automóvel, avaliado em R$9.600,00.O
os sistemas de duas equações a duas variáveis
preço da moto é de:
utilizamos, com mais freqüência, os métodos da
adição e da substituição.
16) A idade atual de Carlos é a diferença entre a
metade da idade que ele terá daqui a 20 anos e a
EXERCÍCIOS
terça parte da que teve 5 anos atrás. Qual a idade de
Carlos?
01) Um atirador deveria receber 4 reais por tiro
acertado no alvo e pagar a metade cada vez que
17) Os 2/3 de um campo estão plantados com milho,
errasse. Depois de 32 tiros, recebeu 86 reais. Quantos
os 2/9, com capim e o resto de batatas. A segunda
tiros acertou?
parte do campo excede a terceira de 840m. Então, a
extensão do campo é:
02) Um taxista trocou uma nota de 50 reais por notas
de 2 reais e 5 reais num total de 19 notas. Quantas
notas de cada valor o taxista recebeu?
2
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
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03) Em um estacionamento para veículos apreendidos
há 30 veículos entre motos e carros. Sendo o total de
rodas igual a 82, quantos são os veículos de cada
tipo?
Os lados dos quadrados serão paralelos às laterais do
04) O Sr. Pedrão é dono de uma pequena fazenda, a qual é
administrada pelo filho dele, Pedro. Pedro gosta de fazer
algumas brincadeiras com o pai. No fim do mês, Pedro
sempre deve dar um relatório do andamento da fazenda. O
muro e as distâncias entre os quadrados e entre cada
quadrado e a borda do muro serão todas iguais.
Nessas condições, a medida do lado de cada
quadrado, em metros, será:
relatório deste mês foi o seguinte: “Entre porcos e galinhas
Quantos
09) Uma fábrica de doces vende caixas com 50
porcos e quantas galinhas há exatamente na fazenda do Sr.
unidades de bombons recheados com dois sabores,
Pedrão?
morango e caramelo. O custo de produção dos
consegui contar 1000 patas e 300 cabeças”.
bombons de morango é de 10 centavos por unidade,
05) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, uma
enquanto o dos bombons de caramelo é de 20
pessoa percorre 550km por mês. Para isso, em alguns
centavos por unidade. Os demais custos de produção
dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma
são desprezíveis. Sabe-se que cada caixa é vendida
motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro
por R$ 7,20 e que o valor de venda fornece um lucro
rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7
de 20% sobre o custo de produção de cada bombom.
centavos
O número de bombons de cada sabor contidos em
para
a
motocicleta,
calcule
quantos
quilômetros a pessoa deve andar em cada um dos
uma caixa é igual a:
veículos, para que o custo total mensal seja de
R$70,00.
10) Pafúncio, Estrupício e Emingarda foram a uma
lanchonete. Pafúncio comeu 3 pastéis e tomou dois
06) Um policial rodoviário aplicou durante uma “blitz”
sucos, pagando R$9,00 pelo lanche; Estrupício comeu
apenas dois tipos de multa, num total de 80, sendo
2 pastéis e tomou um refrigerante, pagando R$6,00
que o valor arrecadado será de R$ 4300,00. Cada
pelo lanche; Emingarda comeu um pastel e tomou
multa do tipo A custa R$ 50,00 e cada multa do tipo B
dois sucos, pagando R$5,00 pelo lanche. Sabendo
custa R$ 60,00. Quantas multas de cada tipo ele
que todos pagaram os valores certos de cada item,
aplicou?
então podemos afirmar que um pastel e um suco
custam o mesmo que dois refrigerantes.
07) Um pacote tem 62 balas, algumas de uva e as
demais de laranja. Se a terça parte do dobro do
11) Emingarda será madrinha de casamento de sua
número de balas de uva excede a metade do número
irmã e pretende presenteá-la com artigos de cozinha.
de balas de laranja em 4 unidades, então, nesse
Na primeira loja por ela visitada, o preço de um
pacote há quantas balas de cada tipo?
conjunto que tem 3 panelas, 2 frigideiras e 1 leiteira é
de R$ 169,00; na segunda loja visitada, o preço de um
08) Deseja-se pintar duas fileiras de cinco quadrados
conjunto composto por 4 panelas, 1 frigideira e 1
num muro retangular de 5 metros de comprimento por
leiteira é de R$ 179,00; na terceira loja visitada o
2,2 metros de altura, conforme a figura a seguir.
preço de um conjunto com 3 panelas, 1 frigideira e 1
leiteira é de R$ 144,00. Se o preço de cada panela, da
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frigideira e da leiteira é o mesmo em todas as lojas por
forma piramidal e um de forma cúbica. Para pesar
ela visitada, então pode-se afirmar que o preço de um
1,5kg, ele usa um peso com forma cúbica e outro
conjunto composto por 4 panelas, 2 frigideiras e 1
cilíndrico. A menor quantidade de pesos que o
leiteira é igual a:
comerciante usa para pesar um objeto de 16,5kg é:
12) Pedrão entrou numa lanchonete e pediu 3
16) Um número é formado por três algarismos cuja a
hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas,
soma é 19. O algarismo das dezenas é a metade do
gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas
algarismo das unidades, e o algarismo das centenas é
pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja
o antecessor do algarismo das unidades. Esse
e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o
número é:
preço de um hambúrguer, mais o de um suco de
Um
pai
quer
dividir
uma
quantia
de
laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00,
17)
calcule o preço de cada um desses itens.
R$5.000.000,00 entre seus três filhos de modo que
Gilberto, Flávio e Kátia recebam seu dinheiro de
13) Uma herança de R$ 270.000,00 foi distribuída
maneira proporcional a suas idades. Assim, feita a
entre 3 irmãs, de modo que a filha do meio recebeu
divisão, a grana de Gilberto excede a de Flávio em
metade do que recebeu a filha mais nova e a mais
R$500.000,00, e a grana deste excede a metade da
velha recebeu o equivalente à metade do que
grana da Kátia em R$700.000,00. Qual a quantia
receberam juntas a mais nova e a do meio. Em reais,
respectivamente de Flávio, Gilberto e Kátia?
a filha mais velha recebeu:
18) A soma de 3 algarismos de um número é 16. O da
14) Uma conta no valor de R$ 195,00 foi paga com
centena excede de 4 o da dezena e este excede de 3
cédulas de dois, cinco, dez e de vinte reais,
o da unidade. Qual é este número?
totalizando 30 cédulas. Juntando-se as cédulas de
cinco com as de dez reais usadas no pagamento,
19) Pedro recebeu a quantia de R$ 2.700,00, em
obteve-se um total de dez cédulas, e a quantidade das
cédulas de R$ 10,00, de R$ 20,00 e de R$ 50,00.
cédulas de vinte reais usadas foi de um terço do
Sabendo que a quantidade de cédulas de R$ 20,00 é
número de cédulas de dois reais. A quantidade de
20 vezes a de cédulas de R$ 10,00, então o número
cédulas de cinco reais usadas para o pagamento da
de cédulas de R$ 50,00 que Pedro recebeu foi:
conta foi de:
20) Uma grande loja de decoração vende caixas
15) Um comerciante de uma cidade do interior do
contendo bolas de cristal de diversas cores e de três
Brasil utiliza balança de braços. Para pesar um objeto,
tamanhos diferentes. No quadro são apresentados o
ele coloca em um dos braços o objeto e, no outro,
conteúdo e o preço de cada caixa.
pesos de medidas padrão, até que os dois braços da
balança
fiquem
alinhados.
Para
realizar
suas
pesagens, o comerciante dispõe de diversos pesos de
três medidas padrão, conforme a forma geométrica do
peso, a saber: piramidal, cúbica e cilíndrica. Para
pesar um produto de 6,5 kg, ele usa três pesos, um de
O preço, em reais, de cada bola pequena, média e
cada forma. Para pesar 11 kg, ele usa dois pesos em
grande é, respectivamente,
4
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GABARITO – SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º
GRAU
01) 25
02) 4 de R$5,00 e 15 de R$2,00
03)19motos,11carros
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b

S = x 1 + x 2 = − a
Onde: 
P = x ⋅ x = c
1
2
a

04)200porcos,100galinhas
05) 225km de carro e 325km de moto
EXERCÍCIOS
06) 50 do tipo A e 30 do tipo B
07) 32 de laranja e 30 de uva
08) 0,6m
01) 2x2 – 5x + 2 = 0
09) 10 de caramelo e 40 de morango
10) Falso
11) R$204,00
2
02) 2x – 6x = 0
12)hambúrguer R$4,00;cocada R$3,50;suco R$2,50
13) R$ 90.000,00
14) 7
15) 5
16) 748
2
03) 2x – 18 = 0
17) R$1475000,00, R$1975000,00 e R$1550000,00
18) 952
19) 13
20) 20, 25 e 35
04) 3x2 = 0
2
05) x – 7x + 12 = 0
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
06) A soma dos possíveis valores de x que verificam a
2
x
=
5
−
4
igualdade
1
quando se apresenta na forma:
x
Uma equação na variável x é dita do 2º grau
−
é:
2
ax + bx + c = 0
07) Um homem que viveu no século XIII diz a seguinte
4
Sendo a, b e c reais e a ≠ 0.
A resolução de uma equação do 2º grau pode ser
feita utilizando a fórmula de Bháskara:
x=
−b± ∆
2a
2
frase para seu filho: “no ano x , eu terei x anos e você
terá x anos”. Conclui-se, portanto, que o seu filho
nasceu no ano de:
a) 1224
b) 1230
d) 1260
e) 1296
c) 1290
∆ = b 2 − 4ac
→
Alguns casos particulares de resolução ocorrem
quando b = 0 e/ou c = 0.
Um método bastante utilizado é o de soma e
produto. Uma equação do 2º grau pode ser escrita,
em função da soma e do produto de suas raízes, da
seguinte forma:
2
1x – Sx + P = 0
08) Considere um número cujo quadrado menos seus
dois terços resulta 7. Há dois números que obedecem
a essas condições. Quais são esses números?
09) A soma e o produto das idades em anos de dois
amigos valem, respectivamente, 40 e 396. A idade em
anos do mais jovem é:
10) Numa reunião, o número de mulheres presentes
excede o número de homens em 20 unidades. Se o
produto do número de mulheres pelo de homens é
156, o total de pessoas presentes nessa reunião é
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11) Um retângulo, cujos lados são dados pelas
expressões: (x+3) e (x-5), tem a mesma área que o
quadrado de lado 3cm. O valor de x é igual a:
12) Uma torneira deixa cair x gotas de água a cada 20
segundos.
Sabendo-se
que
esse
número
x
corresponde à raiz positiva da equação
x( x – 2 ) = 21 + 2x, o volume de água que vaza por
hora, supondo que cada gota corresponde a 0,4ml, é:
13) Marta vai se casar e N amigas suas resolveram
comprar-lhe um presente no valor de R$ 300,00, cada
uma delas contribuindo com a quantia de X reais. Na
hora da compra, entretanto, uma delas desistiu de
participar e as outras tiveram, cada uma, um
acréscimo de R$ 15,00 na quota inicialmente prevista.
Assim, a quantia X é igual a:
14) As x pessoas de um grupo deveriam contribuir
com quantias iguais a fim de arrecadar R$ 15 000,00,
entretanto 10 delas deixariam de fazê-lo, ocasionando,
para as demais, um acréscimo de R$ 50,00 nas
respectivas contribuições. Então x vale:
15) Todos os funcionários de uma empresa irão
contribuir igualmente para fazer um bolão da Mega
Sena, cujo valor é R$2700,00. Na hora de recolher o
dinheiro para fazer o bolão, dois funcionários da
empresa desistiram de participar e, com isso, a cota
que cada participante deveria pagar sofreu um
aumento de R$8,00, para manter o valor total do
bolão. Dessa forma, calcule o número total de
funcionários dessa empresa.
GABARITO – EQUAÇÕES DO 2º GRAU
01) x1 = 1/2 x2 = 2
02) x1 = 0 x2 = 3
03) x1 = – 3 x2 = 3
04) x1 = x2 = 0
05) x1 = 3 x2 = 4
06) 03
08) x1 = – 7/3 x2 = 3
12) 504ml
6
2009
09) 18
13) R$ 60,00
14) 60
07) e)
10) 32
11) 06
15) 27
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04) Uma herança de R$ 40.000,00 será dividida entre
RAZÃO
É uma divisão:
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três irmãos A, B e C, em partes proporcionais às suas
a
b
idades 5, 8 e 12, respectivamente. A quantia que B irá
receber é
PROPORÇÃO
05) Três sócios A, B e C montaram um negócio, sendo
É a igualdade entre razões:
que A investiu R$ 8.000,00, B investiu R$ 6.000,00 e
a c
=
b d
C investiu R$ 4.000,00. Eles combinaram que o lucro
obtido seria dividido proporcionalmente aos capitais
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
investidos. Após algum tempo, verificou-se um lucro
Têm “o mesmo sentido” de variação – quando uma
de R$ 7.200,00, a ser distribuído. Pode-se afirmar que
aumenta, a outra também aumenta ou quando uma
os valores a serem atribuídos a A, B e C são,
diminui, a outra também diminui.
respectivamente:
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Têm “sentidos contrários” de variação – quando uma
aumenta, a outra diminui ou quando uma diminui a
06) Dividindo 264 em três partes inversamente
proporcionais a 2, 5 e 8, encontramos três números
cuja soma dos dois maiores é igual a S. Calcule S.
outra aumenta.
07) Para o transporte de valores de certa empresa são
usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é
EXERCÍCIOS
de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas,
01) Uma operadora de telefone celular cobra uma
então a razão entre as capacidades de A e B, nessa
tarifa de R$ 0,40 por minuto de ligação e uma de
ordem e em porcentagem, equivale a:
telefone fixo, R$ 0,16 pelo pulso de 4 minutos.
Comparando-se os dois valores, conclui- se que a
Três amigos decidiram constituir uma empresa,
razão entre a tarifa do celular e a do fixo é:
em sociedade, para a prestação de serviços
técnicos nas áreas de contabilidade, informática e
02) Antônio aplicou a quantia de R$ 800,00 e Carolina
telefonia. O contador contribuiu com R$ 2.000,00,
aplicou a quantia de R$ 400,00. Essas duas
o técnico em informática, com R$ 3.000,00 e o
aplicações,
instituição
técnico em telefonia, com R$ 4.000,00. Ao final de
financeira, renderam juntas, após certo período, R$
um ano de serviços, a empresa obteve um lucro de
600,00. Nessas condições, a aplicação de Antônio e a
R$
de Carolina renderam, respectivamente:
proporcionais aos valores empenhados por cada
feitas
em
uma
mesma
5.400,00
para
ser
dividido
em
partes
sócio. Com base nessas informações, julgue os
03) Cecília presenteou seus netos, André de 8 anos e
itens seguintes.
Sofia de 6 anos, com a quantia de R$420,00 dividida
08) O técnico em telefonia deve receber mais de 40%
em partes proporcionais a suas idades. A quantia
do lucro.
recebida por Sofia, em reais, foi:
09) O técnico em informática deve receber uma
quantia inferior a R$ 1.840,00.
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10) Marcos e Pedro receberam no início de abril mesadas
15) Paulo e André receberam juntos R$88.000,00.
de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado 4/5
Enquanto Paulo aplicou 3/5 do que recebeu em ações,
de sua mesada e Pedro, 5/6 da sua. Sabendo que Marcos
André investiu 2/3 de sua parte na montagem de uma
ficou com R$ 10,00 a mais que Pedro, o valor da mesada
pequena empresa. Após essas duas operações,
recebida por cada um deles é:
11) Um chefe de seção dispõe de R$372,00 para serem
distribuídos como prêmio a 3 funcionários, A, B e C. Os
ambos ficaram com quantias iguais. Com base nessas
informações, é correto afirmar que o valor investido
por André, em reais, é igual a:
valores que eles receberão são inversamente proporcionais
GABARITO – RAZÃO E PROPORÇÃO
aos números de faltas desses funcionários durante o último
semestre, que foram, respectivamente, 2, 3 e 5. Considere
as seguintes afirmativas a respeito das quantias que eles
01) 10
receberão.
04)R$12.800,00
I. Dentre os três, o funcionário C receberá a menor quantia.
R$1.600,00
II. O funcionário B receberá R$ 120,00.
08)V
III. O funcionário C receberá a metade do que receberá o
02) R$400,00 e R$200,00
09)V
13) 6h
03) 180
05) R$3.200,00; R$2.400,00;
06) S = 160 + 64 = 224
10) R$300,00
14) 6 h e 40 min
11) a
07) 7,5%
12) R$400,00
15) R$32.000,00
funcionário A.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Nenhuma das afirmativas é verdadeira.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Quando há apenas duas “situações” envolvidas.
Pode ser diretamente ou inversamente proporcional.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
12) Os salários de dois funcionários A e B, nessa
Quando há mais que duas “situações” envolvidas.
ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o
Pode ser diretamente ou inversamente proporcional,
triplo do salário de A somado com o dobro do salário
inclusive misturando as situações em uma mesma
de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva
questão.
entre os salários dos dois?
EXERCÍCIOS
13) Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h,
uma torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em
01) Em uma pesquisa sobre o analfabetismo em
15h. Em quantas horas as duas torneiras juntas
matemática,
encherão o tanque?
amostra que representa 110 milhões de brasileiros
foram
entrevistadas
2000
pessoas,
entre 15 e 64 anos de idade. Dentre os entrevistados,
14) Um determinado serviço é realizado por uma única
60 foram considerados analfabetos absolutos em
máquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e,
matemática. Com base nas informações do texto
em 15 horas, por uma outra máquina, nas mesmas
acima, calcule o número estimado de brasileiros entre
condições. Se funcionarem simultaneamente, em
15 e 64 anos, analfabetos absolutos em matemática.
quanto tempo, aproximadamente, realizarão esse
mesmo serviço?
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02) De acordo com reportagem da revista Veja (20 de
08) O nanômetro é a unidade de medida de
junho de 2007, p. 88-90), um dos grandes sonhos da
comprimento usada em Nanotecnologia (“nano” vem
classe
vida
do grego e significa “anão”). Sabe-se que um metro
economicamente ativa é passar em um concurso
equivale a um bilhão de nanômetros. Considerando o
público. A proporção de funcionários públicos entre os
diâmetro da Terra com 13.000 quilômetros, conclui-se
trabalhadores “formais” no Brasil passou de 17%, na
que a medida do diâmetro da terra, em nanômetro, é
década de 80, para 22%, atualmente. Segundo dados
igual a:
do
média
IBGE,
o
brasileira
Estado
que
começa
brasileiro
a
emprega
hoje
aproximadamente 9 milhões de cidadãos. De acordo
09) Com a velocidade média de 75Km/h, um ônibus
com esses dados, calcule a quantidade aproximada
faz um percurso em 40 min. Devido a um pequeno
de trabalhadores na iniciativa privada atualmente.
congestionamento, esse ônibus faz o percurso de
volta em 1h. Qual a velocidade média desse ônibus no
03) Um feirante vende uma dúzia de laranjas por
percurso de volta?
R$1,50. Se um cliente comprar 20 laranjas, quanto ele
irá pagar ao feirante?
10) Um relógio atrasa 27 s em 72 h. Quantos
segundos atrasará em 8 dias?
04) Se, em uma fábrica de automóveis, 12 robôs
idênticos fazem uma montagem em 21 horas, em
11) 30 metros de um trabalho são feitos por 3/4 de
quantas horas 9 desses robôs realizam a mesma
uma turma de trabalhadores. 50 metros, do mesmo
tarefa?
trabalho, por quanto da turma será feito.
05) Um festival foi realizado num campo de 240m por
2
12) Ao participar de um treino em um kartódromo,o
45m. Sabendo que para cada 2 m havia, em média, 7
piloto, imprimindo velocidade média de 80 km/h,
pessoas, quantas pessoas havia no festival?
completa a volta na pista em 40 s. Se a sua
velocidade fosse de 100 km/h, qual o tempo que ele
06) Em 2006, segundo notícias veiculadas na
teria no percurso?
imprensa, a dívida interna brasileira superou um
trilhão de reais. Em notas de R$ 50,00, um trilhão de
13) Uma família composta de 6 pessoas ,consome em
reais tem massa de 20.000 toneladas. Com base
2 dias 3Kg de pão. Quantos quilos serão necessários
nessas informações, pode–se afirmar corretamente
para alimentar-las durante 5 dias, estando ausentes 2
que a quantidade de notas de R$ 50,00 necessárias
pessoas?
para pagar um carro de R$ 24.000,00 tem massa, em
quilogramas, de:
14) Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia
assentaram 255 postes de luz em 17 dias, quantos
07) Se o vazamento de uma torneira enche um copo
operários, com a mesma habilidade dos primeiros,
de 200ml de água a cada hora, é correto afirmar que,
serão precisos para assentar 420 postes em 25 dias
para se desperdiçar 3m3 de água, são necessários
de 7 horas de trabalho?
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15) Em 30 dias, uma frota de 10 táxis consome em
média 100 000 litros de combustível. Em quantos dias
uma frota de 36 táxis consumirá em média 240 000
litros desse mesmo combustível?
16) Um veículo percorre os 5/8 de uma estrada em 4
horas, à velocidade média de 75 km/h. Para percorrer
o restante dessa estrada em 1 hora e 30 minutos, sua
velocidade média deverá ser:
17) Para escaparem de uma penitenciária, 10
prisioneiros decidem cavar um túnel de 450m de
comprimento. Em uma fuga anterior, 12 prisioneiros
cavaram um túnel de 270m, trabalhando 6 horas por
noite, durante 9 noites. Se os atuais prisioneiros
pretendem trabalhar 4 horas por noite, em quantas
noites o túnel ficará pronto?
18) Se 6 pessoas, trabalhando 4 horas por dia,
realizam um trabalho em 15 dias, 8 pessoas,
trabalhando 6 horas por dia, farão o mesmo trabalho
em:
19) Um fabricante de queijo gasta 60 litros de leite
para fazer 18 queijos de 2,5kg cada um. Quantos
queijos de 2kg ele faz com 80 litros de leite?
20) Ao reimprimir um livro de 100 páginas de 32 linhas
com 42 letras por linha, usaram-se 24 linhas de 32
letras. O novo livro foi apresentado com:
GABARITO – REGRA DE TRÊS SIMPLES E
COMPOSTA
01) 3300000
02) 31,9 milhões
03) R$2,50
04) 28 horas
05) 37.800
06) 0,48
16
07) 625 dias
08) 1,3 x 10
10) 72 s
11) 5/4
12) 32 s
13) 5 kg
14) 40
15) 20
16) 125 km/h
17) 27
18) 7,5dias
19) 30 queijos
20) 175 páginas
4
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09) 50km/h
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