Qui-quadrado
de
Associação
(entre duas variáveis)
Prof. Ivan Balducci
FOSJC / Unesp
Teste Qui-quadrado
Independência
ou
Associação
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Teste Qui-quadrado
A estatística do teste é:
2
(O  E ) 2

E
O = freqüência observada em cada categoria
E = freqüência esperada em cada categoria
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Hipóteses Nula
Ho: as classificações são independentes
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Estimando a Frequência Esperada
^
E=
(total linha p/célula)•(total coluna p/célula)
n
Freqüências Esperadas
R2C3
E= n
^
Classification 1
Classification 2
1
2
3
4
c
1
R1
2
R2
3
R3
r
Rr
C1
C2
C3
C4
Cc
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Exemplo
Estimando as Freqüências Esperadas.
Sexo
Masc.
Fem.
Total
<30
60 (60)
40 (40)
100
Idade
30-45
20 (30)
30 (20)
50
>45
40 (30)
10 (20)
50
Total
120
80
200
Estimativa para Masc. e Mais de 45 anos
(120)(50)
120
50
E = 200 •
•
=
= 30
200
200
200
^
O Procedimento do Teste
Ho: classificações da linha e coluna são independentes
Ha: classificações da linha e coluna são dependentes
rejeita Ho se 2 > 2.,gl
onde gl = (L-1)(C-1)
(O - E)2
2 = ∑
E
1. A soma é feita sobre todas as células da tabela de
contingência consistindo de L linhas e C colunas
2. O é a freqüência observada
^
3. E é a freqüência esperada
^
E=
total de linhas:
está a célula
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
total de colunas:
• está a célula
(total de todas células)
4. Os graus de liberdade são gl = (L-1)(C-1)
Fórmula: Graus de liberdade
(gl)
tabela de contingência:
L ... Linhas
C ... Colunas
gl = (L-1)(C-1)
Exº: Graus de liberdade (gl)
tabela de contingência:
2 linhas e 2 colunas
(L-1)(C-1) = (2-1)(2-1) = 1
gl = 1
Teste de Independência
Um teste Qui-quadrado pode ser aplicado para avaliar se
duas variáveis (exº sexo e desempenho no trabalho) são
independentes.
A tabela contingência reflete o gênero
e a avaliação do desempenho no trabalho de 220
contadores.
Baixo
Médio
Superior
Masc.
Fem.
22
81
9
14
75
19
Total
36
156
28
Total
112
108
220
Valores Esperados
Supondo que as variáveis são independentes então o valor
esperado de cada célula é:
(total in row)(total in column)
Er ,c 
total in sample
E1,1 = (112)(36)/220 =18.33
E1,2 = (112)(156)/220 =79.42
Os demais valores esperados podem ser obtidos com a
subtração do total da linha ou da coluna.
Masc
Fem
Total
Médio
Superior
Baixo
18.33
79.42
14.25
17.67
76.58
13.75
36
156
28
Total
112
108
220
Aplicação
A tabela apresenta: sexo e o desempenho no trabalho
de 220 contadores. Teste a hipótese que Sexo e
Desempenho no trabalho são independentes.
Baixo
Masc.
Fem.
Total
22
14
36
Médio
81
75
156
Superior
9
19
28
Total
112
108
220
H0: Sexo e Desempenho no trabalho são independentes.
Ha: Sexo e Desempenho no trabalho não são independentes.
Há 2 linhas e 3 colunas, a distribuição por amostragem é uma
distribuição qui-quadrado com (2-1)*(3-1) = 2 gl.
distribuição
0
2
2
(
O

E
)
2  
E
Teste Qui-quadrado
(O  E )
 
E
2
2
O
E
22
81
9
14
75
19
220
18.33
79.42
14.25
17.67
76.58
13.75
220.00
  5.51
2
(O-E)2
13.49
2.50
27.61
13.49
2.50
27.61
(O-E)2/E
0.74
0.03
1.94
0.76
0.03
2.01
5.51
5.99  2
0
Decisão
A estatística do teste, 5.51 não cai na
região de rejeição, então não rejeitamos H0
Interprete sua decisão
Sexo e desempenho no trabalho são variáveis independentes.
Então, não contrate contadores em função do sexo, porque o
gênero não influencia os níveis de desempenho no trabalho.
Termos que devem ser familiares
Qui-quadrado
graus de liberdade
tabela de contingência
frequência esperada
frequência observada
Independência
(ou associação)