Capı́tulo 2
Determinantes
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Determinantes – 1 / 14
Definições
Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. Por Aij designamos a
matriz quadrada de ordem n − 1 que se obtém de A por supressão da linha
i e da coluna j .
Dado i ∈ {1, . . . , n}, o determinante de A é o escalar
n
X
(1) det(A) =
(−1)i+j aij det(Aij ) ,
j=1
com det[a] = a.
• det(Aij ) diz-se o menor de aij
• (−1)i+j det(Aij ) diz-se o complemento algébrico de aij
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Determinantes – 2 / 14
Exemplos
• n=2
det
a11 a12
a21 a22
= (−1)1+1 a11 a22 + (−1)1+2 a12 a21
= a11 a22 − a12 a21 ,
det
2 −1
3
1
(i = 1)
= 2 × 1 − (−1) × 3 = 5
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Determinantes – 3 / 14
• n=3


a11 a12 a13
det  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
=
+
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a21 det
(−1)2+2 a22 det
i=2
2+1
(−1)
2+3
+
(−1)
=
···
a23 det
a12 a13
a32 a33
+
a11 a13
a31 a33
+
a11 a12
a31 a32
Determinantes – 4 / 14
Observações
1) Também escrevemos |A| para determinante de A.
2) A expressão (1) é conhecida como expansão de Laplace segundo a
linha i, podendo ser igualmente feita segundo uma coluna qualquer.
3) O determinante não depende da linha (ou da coluna) previamente
fixada.
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Determinantes – 5 / 14
Propriedades do determinante
Sejam A = [aij ] uma matriz real (ou complexa) de ordem n e
α, b1 , . . . , bn ∈ R (ou C).
1)
a11 a12 · · ·
.
..
.
.
.
αai1 αai2 · · ·
.
..
..
.
a
an2 · · ·
n1
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a1n
..
.
αain
..
.
ann
=
α
a11 a12 · · ·
..
.
ai1
..
.
..
.
ai2 · · ·
a1n
..
.
ain
..
.
..
.
an1 an2 · · ·
ann
Determinantes – 6 / 14
2)
a11
a12
···
..
..
.
.
ai1 + b1 ai2 + b2 · · ·
..
..
.
.
a
an2
···
n1
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a1n ..
.
ain + bn = ..
.
ann a11 a12 · · ·
..
.
ai1
..
.
..
.
a1n
..
.
ai2 · · ·
ain
..
.
..
.
an1 an2 · · ·
ann
+
a11 a12 · · ·
+
a1n
..
.
..
.
..
.
b1
b2
..
.
..
.
..
.
an1 an2 · · ·
ann
···
bn
Determinantes – 7 / 14
3) O determinante de A não se altera quando adicionamos a uma linha
um múltiplo de outra linha.
4) Se B é uma matriz que se obtém de A por troca de duas linhas, então
det(B) = − det(A).
5) Se A tem duas linhas iguais, então det(A) = 0.
◮ Os resultados anteriores são válidos para colunas.
6) O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é igual ao
produto das entradas da diagonal principal.
7) det(In ) = 1.
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Determinantes – 8 / 14
Teorema
Sejam A, B matrizes de ordem n. Então:
1. det(AB) = det(A) det(B)
2. det(AT ) = det(A)
1
3. Se A é invertı́vel, então det(A ) =
.
det(A)
−1
Teorema
Seja A uma matriz quadrada. Então
det(A) = (−1)j det(U )
com j o no de trocas de linhas efectuadas durante a eliminação de Gauss
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Corolário
Uma matriz quadrada A é não singular se e só se det(A) 6= 0.
◮ A é invertı́vel se e só se det A 6= 0.
Corolário
Sendo A uma matriz quadrada,
Ax = 0 é determinado se e só se det A 6= 0.
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Determinantes – 10 / 14
Aplicações do determinante
Determinação da inversa de uma matriz
Seja A uma matriz de ordem n. A matriz adjunta de A, adj A, é a matriz de
ordem n que se obtém da transposta de A substituindo cada elemento pelo
seu complemento algébrico.
Teorema
Se é A é invertı́vel, então A
−1
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1
=
adj A.
det(A)
Determinantes – 11 / 14
Exemplo
A=
1 2
−1 0
,
T
A =
A−1 =
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1 −1
, adj A =
2
0
0 −1
1
2
0 −2
1
1
1
2
Determinantes – 12 / 14
Resolução de sistemas possı́veis e determinados
Seja A uma matriz invertı́vel de ordem n. Considera o sistema Ax = b.
Então o vector x, em que cada componente xj é igual ao produto do
determinante da inversa de A pelo determinante da matriz que se obtém de
A substituindo a coluna j pelo vector dos termos independentes b, é
solução do sistema.
• Este método designa-se por regra de Cramer.
Exemplo
Consideremos o sistema Ax = b onde
A=
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1 2
2 3
,
b=
0
−1
Determinantes – 13 / 14
Atendendo a que det(A) = −1, temos, pela regra de Cramer,
0 2 1
0
x1 = − = −2 e x2 = − −1 3 2 −1
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=1
Determinantes – 14 / 14