Simulações Numéricas das Equações
de Águas Rasas Adimensionais
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Prof. Dr. Milton S. Braitt
Denis Dalzotto
Universidade Federal de Santa Catarina - Departamento de Matemática
88040-900, Campus Trindade, Florianópolis, SC
E-mail: [email protected]
E-mail: [email protected].
RESUMO
As equações de águas rasas são utilizadas em estudos sobre os movimentos de ondas e a
circulação de uidos cuja dimensão horizontal é muito maior que a profundidade. Os oceanos,
os grandes lagos e a atmosfera são os exemplos mais comuns. Fenômenos naturais e desastres
ecológicos de grande impacto como tsunamis, vazamentos de óleo, furacões e tempestades severas,
para citar alguns dos mais temidos, podem ser previstos, monitorados ou estudados através de
modelos nos quais o de águas rasas -AR- é o modelo minimal. Nas situações citadas acima,
de grande escala horizontal, a rotação da Terra têm inuência no problema, e por isso temos
que considerar a força de Coriolis. Esta força ctícia age perpendicular ao movimento, sendo
a grande responsável pelos vórtices de grande dimensão. Vejamos abaixo um modelo de águas
rasas.
z
y
H
h
D
hB
x
As grandezas envolvidas são,
𝐷,
profundidade característica.
h𝐵 (𝑥, 𝑦),
altura da superfície do fundo em relação a um nível.
𝜂(𝑥, 𝑦, 𝑡),
variação em relação ao nível do uido em repouso.
H(𝑥, 𝑦, 𝑡),
profundidade do uido com ondulação.
u(𝑥, 𝑦, 𝑡),
componente horizontal da velocidade do uido.
v(𝑥, 𝑦, 𝑡),
componente horizontal da velocidade do uido.
⃗u(u, v, w), velocidade do uido, com u e v são as componentes horizontais da velocidade e w
a componente vertical da velocidade.
H
= 𝐷 + 𝜂 − ℎ𝐵
𝜂 = 𝐷−ℎ
Deduzimos as equações de AR a partir de duas leis da física:
i) A conservação de massa:
∂
𝜌 + 𝑑𝑖𝑣(𝜌(⃗𝑢)) = 0.
∂𝑡
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bolsista de Iniciação Cientíca PIBIC/CNPq
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na qual 𝜌 é a densidade do uido. Esta é a chamada de equação da continuidade.
ii) A segunda lei de Newton:
𝐷⃗u
= −∇𝑝 + (𝜆 + 𝜇)∇𝑑𝑖𝑣(⃗u) + 𝜇△⃗u
𝐷𝑡
é a equação da conservação da quantidade de movimento, com
Com algumas simplicações dessas duas equações acima (𝜆, 𝜇 = 0, a aproximação hidrostática
e considerando a força de coriolis constante, ou seja, agindo próxima a uma latitude xa), obtemos
o sistema de equação de AR:
𝜌
∂u
∂t
∂v
∂t
∂𝐻
∂t
∂u
∂u
∂h
+v
− fv = −𝑔
∂x
∂y
∂x
∂v
∂v
∂h
+ u
+v
+ fu = −𝑔
∂x
∂y
∂y
∂ u𝐻
∂v 𝐻
+
+
=0
∂x
∂y
+ u
(1)
Para a adimensionalização denimos as seguintes novas variáveis 𝑢′ , 𝑣 ′ , 𝑥′ , 𝑦 ′ , 𝑡′ e 𝑛′ :
u = 𝑈 u′ ,
v = 𝑈 v ′,
x = 𝐿x′ ,
y = 𝐿y′ ,
t = 𝑇 t′ 𝑒 𝜂 = 𝑁 0 𝜂 ′ .
em que 𝑈 , 𝐿, 𝑇 e 𝑁0 são as escalas características. Substituindo na equação (1), obtemos:
(
)
′
′
∂ u′
∂𝜂 ′
′ ∂u
′ ∂u
′
𝜀𝑇 ′ + 𝜀 u
+
v
−
v
=
−
∂t
∂ x′
∂ y′
∂ x′
(
)
′
′
′
∂v
∂v
∂v
∂𝜂 ′
𝜀𝑇 ′ + 𝜀 u′ ′ + v ′ ′ + u′ = − ′
∂t
∂x
∂y
∂y
( ′
)(
)
(
)
′
′
′
′
h𝐵
∂𝜂
∂u
∂v
′
′ ∂𝜂
′ ∂𝜂
+
𝜀𝐹
𝜂
−
1
𝐹 𝜀𝑇 ′ +
+
+
𝜀𝐹
u
+
v
+
∂t
∂ x′
∂ y′
𝐷
∂ x′
∂ y′
( )
( )
ℎ𝐵
ℎ𝐵
′ ∂
′ ∂
−u
−v
= 0.
′
′
∂x
𝐷
∂y
𝐷
Observamos o aparecimento de três parâmetros adimensionais 𝜀 =
U
fL
, 𝜀𝑇 =
1
fT
e𝐹 =
(fL)2
,
𝑔𝐷
no qual 𝜀 e 𝜀𝑇 são os chamados de números de Rossby.
Na medida que o número de Rossby é pequeno, a força de Coriolis se torna importante para o
equilíbrio das forças. Com as equações de AR adimensionalizadas, podemos calcular simulações
numéricas, para várias escalas de espaço e tempo.
Após o estudo dos elementos necessários à dedução das equações de AR adimensionais, etapa
esta já concluída, estamos prosseguindo este trabalho implementando (em Octave), um modelo
discreto de diferenças nitas para obter soluções numéricas aproximadas. Após a validação do
código com testes de taxa de convergência, seguimos para nosso objetivo nal, que é realização
simulações que nos permitam observar os efeitos da variação da superfície do fundo em diversos
regimes de escalas, denidas pelas escolhas dos parâmetros, e comparar qualitativamente com
fenômenos de mesma escala observados na natureza.
Palavras-chave:
Equação de águas rasas, método de diferenças nitas, mecânica dos uidos
Referências
[1] JOSEPH PEDLOSKY Geophysical Fluid Dynamics. Seg. edição, Springer-Verlag, 1987.
[2] MARSDEN, J. CHORIN, A. J. A Mathematical Introduction To Fluid Mechanics. Terceira
edição, Ed. Springer, 1993.
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