Geometria II
Curiosidade
• Em abril de 2012, o jornalista Ethevaldo Siqueira, do
jornal O Estado de São Paulo, publicou em seu blog
uma interessante reportagem sobre uma televisão que
permite ao espectador ver imagens em 3D sem o
auxilio de óculos especiais. A tela do televisor tem 200
polegadas (aproximadamente 5 metros) de diagonal e
permite visualizar imagens 3D em alta definição e num
ângulo de visão muito maior do que os sistemas
anteriores. O monitor e tão grande que pode
reproduzir a imagem de pessoas, de um carro inteiro e
mesmo de um tubarão em tamanho natural.
Para ler a reportagem na integra, acesse o link http://blogs.estadao.com.br/ethevaldo-siqueira/
2012/04/21/enfim-a-tv-3d-sem-oculos-especiais/.
• Você já parou para pensar no que significa
dizer que essa nova tecnologia de televisores,
computadores e etc. e 3D?
• Basta pensar um pouco para entender: nos
podemos nos movimentar de um lado para o
outro, para frente e para trás e para cima e
para baixo. De uma olhada na figura seguinte
e veja se consegue perceber essas
possibilidade de movimentação.
• Essa caixa, assim como a grande maioria dos objetos
que conhecemos, tem 3 dimensões: altura, largura e
comprimento. Assim, se nos movermos para cima e
para baixo, estaremos acompanhando a altura da caixa.
• Movendo-nos para frente e para trás, estaremos
acompanhando seu comprimento. E, finalmente,
movendo-nos para um lado e para o outro, estaremos
acompanhando sua largura. Conseguiu perceber as 3
possibilidades de movimentação agora?
• O conceito de dimensão, além de constantemente
utilizado por nos no dia a dia, é muito importante na
Matemática. Na tecnologia disponível até então, nossos
televisores e computadores reproduziam imagens
tridimensionais em telas planas (com apenas duas
dimensões).
Introdução
• A Geometria
espacial (euclidiana) funciona
como uma ampliação da Geometria plana
(euclidiana) e trata dos métodos apropriados
para o estudo de objetos espaciais assim
como a relação entre esses elementos.
• Os objetos primitivos do ponto de vista
espacial, são: pontos, retas, segmentos de
retas, planos, curvas, ângulos e superfícies.
• Tomaremos ponto, reta e plano como
conceitos primitivos, os quais serão aceitos
sem definição.
Fundamentos
• O espaço
É o marco físico que nos rodeia e em que vivemos. Uma
casa, uma poltrona e uma maçã, por exemplo, não são
corpos geométricos, mas estão no espaço. Os prismas, as
pirâmides, o cilindro e a esfera são corpos
geométricos no espaço.
• Em Geometria, o espaço é um conjunto ilimitado de
pontos. Nesse espaço consideram-se três dimensões:
comprimento, altura e largura.
CONCEITOS PRIMITIVOS E POSTULADOS
• Adotaremos sem definir os conceitos primitivos de:
ponto, reta e plano.
POSTULADOS
• Postulado de Existência
• I - Numa reta e fora dela existem infinitos pontos.
• II - Num plano e fora dele existem infinitos pontos.
Postulados de determinação
• I - Dois pontos distintos determinam uma
única reta.
• II - Três pontos não colineares determinam um
único plano.
Postulados da inclusão
• I - Uma reta está contida num plano quando
tem sobre o plano dois pontos.
• II - Um ponto pertence a um plano quando
este pertence a uma reta do plano.
Proposição 6. Uma reta r e um ponto P não
pertencente a r determinam um único plano no
espaço no qual estão contidos.
• Demonstração. Considere Q e R dois pontos
sobre r. Assim P, Q e R são não-colineares e,
pelo axioma de determinação, determinam
um único plano  . Segue do axioma de
inclusão que o plano  contém r.
• Semi-espaço
AXIOMA 6
Por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela à reta dada.
Rectas Reversas ou enviesadas