Ficha de Apoio n.º 3
Geometria no Plano e no Espaço I
Equações da reta
Equação Vetorial da Reta
•
No plano
•
Representa no referencial cartesiano o
ponto A ( −3, −2 ) e o vetor u = ( 2,1) .
•
Representa no mesmo referencial a
reta r, que passa no ponto A e tem a
direção do vetor u .
•
O ponto A + u pertence a r? E os
pontos A + 2u e A − u ?
•
E
se
considerarmos
A + ku , k ∈ ℝ ?
o
ponto
Síntese:
Para definir uma reta basta __________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Duas retas são paralelas se e só se _____________________________________________
___________________________________________________________________________
A reta r que passa no ponto A ( a, b ) e tem a direção do vetor não nulo u = ( u1 , u2 ) pode ser
definida por:
A esta equação chama-se _____________________________________________________
•
No espaço
De modo análogo, tem-se que:
A reta r que passa no ponto A ( a, b, c ) e tem a direção do vetor não nulo u = ( u1 , u2 , u3 ) pode
ser definida por:
A esta equação chama-se _____________________________________________________
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Exercício 1:
Seja r a reta que passa no ponto P ( 3,5 ) e tem a direção do vetor u = ( −4, 2 ) .
1.1.
Escreve uma equação vetorial da reta r.
1.2.
Verifica se o ponto A ( 3, −2 ) pertence à reta r.
1.3.
Indica as coordenadas do ponto da reta r de abcissa nula.
Exercício 2:
Escreve uma equação vetorial da reta t:
2.1.
que passa nos pontos A ( −2,0,5 ) e B ( 5, −1,3) .
2.2.
que passa na origem e é paralela à reta ( x, y ) = (−1,3) + k (2, −5), k ∈ ℝ .
Equação reduzida de uma reta
Exemplo 1:
Desenha, no referencial ao lado, a reta
AB onde A ( 2,5 ) e B ( −1,1) .
Um vetor diretor da reta AB é _________.
Chama-se declive da reta AB , e representase por m, ao valor
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Quando uma reta oblíqua está representada num referencial, pode ocupar uma de duas posições
relativamente à parte positiva do eixo dos xx:
A reta da figura 1 tem declive positivo. A reta da figura 2 tem declive negativo.
E o declive da reta AB, do exemplo 1? ________________________________
Como determinar o declive de uma reta não vertical?
Sejam A( x1 , y1 ) e B ( x2 , y2 ) dois pontos de uma reta r não vertical.
O declive da reta r é:
m = _____________
Se u = ( u1 , u2 ) é um vetor diretor da reta r, então o declive da reta r é:
m = ______
Nota:
Se a reta é horizontal, o declive é ___________.
Se a reta é vertical, o declive ______________________________.
Se duas retas não verticais são paralelas então ___________________________________________.
Exemplo 2:
Determina o declive da reta PR , sendo P ( −2,3) e R (1, −4) .
Equação reduzida de uma reta
A equação reduzida de uma reta de declive m e com ordenada na origem b é:
y = mx + b
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Figura 1
2
Para
percorrer a
reta de Exemplo
A
3:
para B o
Escreve a equação reduzida da reta que passa nos pontos A(0, −3) e B (2, −5) .
Exercício 3:
Escreve a equação reduzida da reta:
3.1. que contém os pontos A(−2 ,3) e B (−1, 5) .
3.2. que contém os pontos P (0, − 4) e Q (−2, 4) .
3.3. paralela à reta de equação y = 3 x − 5 e que contém o ponto P ( −2, 0 ) .
3.4. paralela à reta de equação 8 x − 4 y = 12 e que passa na origem.
Exercício 4:
Verifica se o ponto P ( −1, 4) pertence à reta de equação y = 8 x − 5 .
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