Maiores de 23
Teste sumativo 1
(introdução ao cálculo diferencial)
Data: 10.maio.2014
Nome:
UTAD — ECT — Maiores de 23
Matemática: preparação para acesso
Teste sumativo 2 (1h30min + 30min); 12.maio.2014
Número de CC:
• As cotações [em 200 pontos] estão assinaladas no final de cada
questão.
• Os processos desenvolvidos para construir qualquer resposta
devem ficar registados.
• Não é permitida a consulta de quaisquer apontamentos pessoais ou dispositivos eletrónicos.
• Bens pessoais: devem estar reservados em local próprio (dentro da sala de prova e à vista de todos).
• Não é permitida a saı́da da sala, antes de terminado o tempo
fixado para a realização da prova.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
1. Considere o polinómio p definido por
4. Um aquário, com a forma de um prisma reto, tem
volume igual a 125 unidades de volume. Os lados da
base medem 5 unidades e x unidades; e a altura, y
unidades.
(a) Explicite y como função de x.
(b) O material de que é feita a base do aquário custa
10 euros por unidade de área; e o de que são
feitos os lados, custa 20 euros por unidade de
área.
Identifique as dimensões do aquário, de modo
que o custo total seja mı́nimo.
...........................................
[10] + [20]
p(x) = 3x4 + 6x3 − 39x2 − 42x + 72.
Sabe-se que os números −4 e 3 são zeros de p.
5. Considere as funções contı́nuas
Fatorize p em binómios de grau 1.
................................................
f, g : [a; b] −→ R,
[20]
tais que
(i)
2. Seja f uma função real, de variável real, tal que a sua
derivada é
f 0 (x) = 4(x − 1)(x + 5)(x − 6).
Caracterize a variação da função f ; e identifique os
seus minimizantes e os seus maximizantes locais.
................................................
[20]
3. Considere a função real f , de variável real, tal que
f (x) = 2 −
4
.
x+1
Seja t a reta tangente ao gráfico de f , no ponto
P (−3, 4).
(a) Considere o gráfico de f num referencial retangular Oxy.
Escreva as equações das assı́ntotas de f ; e esboce o gráfico de f .
(b) Resolva a inequação f 0 (x) 6 1.
(c) Escreva a equação reduzida da reta t.
(d) Sejam A e B os pontos de interseção da reta t
com os eixos Ox e Oy, respetivamente.
Calcule o valor numérico da área do triângulo
[AOB].
(e) Mostre que f é injetiva.
(f) Caracterize a função inversa da função f .
......................
[20] + [20] + [20] +
[20] + [20] + [20]
f (a) < g(a);
(ii)
f (b) > g(b).
Mostre que existe um número c no intervalo ]a; b[
tal que
f (c) = g(c).
................................................
[10]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fim