Unidade teórica 3
1 Modelo de Markowitz e a
Fronteira eficiente
2. Determinação da Fronteira eficiente
Carlos Arriaga Costa
2005/06
unid3 Carlos Arriaga
Costa
EconomiaFinanceira - Mestrado em
Economia UM 2005/06 4º curso
1
Unidade teórica 3
. O que é a fronteira eficiente num
conjunto de portefólios?
. Como modelizar a eficiência ?
. Quais as hipóteses do modelo de
Markowitz?
. Como determinar a fronteira de
eficiência?
unid3 Carlos Arriaga
. - Mestrado em
EconomiaFinanceira
Costa
Economia UM 2005/06 4º curso
2
MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o
MODELO DE MARKOWITZ (1959)

-
HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ:
HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS
FINANCEIROS
H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação
de risco. O retorno de um activo financeiro para um período
futuro é consequentemente uma variável aleatória com
distribuição normal.
H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se
movimentam de uma forma independente de uns e de
outros.
unid3
Carlos Arriaga
EconomiaFinanceira - Mestrado em
Costa
Economia UM 2005/06 4º curso
3
Hipóteses relativas ao comportamento
dos investidores



H3: O comportamento de todos os investidores é
caracterizado por um grau mais ou menos
pronunciado de aversão ao risco (medido pelo
desvio padrão e pela distribuição dos retornos)
H4: Os investidores tomam decisões racionais:
Mesmo que a sua função de utilidade seja
subjectiva eles operam segundo escolhas
transitivas.
H5: Todos os investidores têm um mesmo
horizonte de decisão, que comporta um só
período.
unid3 Carlos Arriaga
Costa
EconomiaFinanceira - Mestrado em
Economia UM 2005/06 4º curso
4
ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ


Os acontecimentos dos quais contribuem para as decisões
tomadas não se encontram explicitados no modelo. A
distribuição
de
probabilidades
relativamente
aos
rendimentos de cada activo financeiro é efectuado
condicionalmente ao estado da economia em geral e à
situação do mercado financeiro em particular.
Uma decisão consiste em alocar um
orçamento aos diferentes activos financeiros
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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Economia UM 2005/06 4º curso
determinado
5
FRONTEIRA EFICIENTE
 1º
Fase: Repartir as soluções
possíveis em dois sub-conjuntos,
correspondendo um deles ao das
soluções dominantes (eficientes) e
um outro ao das soluções dominadas
(ineficientes)
 2ºA
fase: Dentro das soluções
eficientes, fazer corresponder aquela
que maximiza a função de utilidade
do investidor.
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Costa
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Economia UM 2005/06 4º curso
6
PRIMEIRA FASE



Em razão do principio de racionalidade, um
investidor que pretende situar-se a um nível de
risco optará por um portfólio de maior valor
esperado do rendimento E(r2).
Em razão do princípio de racionalidade e de
aversão ao risco, um investidor que pretende
situar-se a um nível de rendimento esperado
optará pelo portfólio de menor risco.
Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os
investidores, com base em características
objectivas, localizarão de maneira semelhante a
fronteira eficiente , que é independente das
preferências individuais dos investidores.
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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Economia UM 2005/06 4º curso
7
Segunda Fase



Temos de ter em conta as funções de
utilidade de cada investidor (curvas de
indiferença)
A fronteira de eficiência (dado objectivo)
Cada investidor escolherá o portfólio
correspondente ao ponto onde a fronteira
de eficiência é tangente a uma das suas
curvas de indiferença.
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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8
Fronteira de eficiência





A fronteira de eficiência deriva da maximização de um retorno
esperado dado um determinado risco.
Markowitz (1952,JoF) resolveu este problema matemáticamente
Se não existir nenhum activo sem risco , a fronteira de eficiência
será a metade mais elevada da fronteira com um mínimo de
variância.
Se existir um activo sem risco , a fronteira de eficiência será a
linha tangente à fronteira com um mínimo de variância.
Se não forem admitidas “posições curtas” todas as ponderações
dos activos são não negativas. (Xi0).
Se forem admitidas “posições curtas”
indefinidamente.
unid3 Carlos Arriaga
EconomiaFinanceira - Mestrado em

Costa
Economia UM 2005/06 4º curso
a
curva
continua
9
Fronteira de eficiência onde não
existem activos sem risco

Fronteira de eficiência quando não são
admitidos “posições curtas”
Retorno
A
FEM
Risco
• Se se admitir “short sales” a fronteira prolonga-se para lá de A
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Costa
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10
Fronteira de eficiência onde existe
um activo sem risco


A fronteira de eficiência é encontrada pelo ponto de tangência da
recta que passa pelo activo sem risco e a fronteira.
Se “short sales” são admitidos o portfólio da fronteira deverá
incluir alguns activos adquiridos em “short sales” (posição curta) .
Retorno
B
A
FEM
RF
Risco
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11
Fronteira eficiente
 E(p)
σ (p)
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12
Cálculo da fronteira de
eficiência



Um investidor poderá enfrentar diferentes cenários não importa a
existência de activos sem risco ou a possibilidade de “short sales” .
Cada um dos cenários implicará diferentes métodos matemáticos na
resolução das ponderações óptimas do portefólio.
Os cenários que o investidor enfrenta são:
-”Short sales” e uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de
emprestimos.
-”Short sales” e não existência de uma taxa sem risco para empréstimos
ou concessão de emprestimos.
-”Short sales” não permitidas e uma taxa sem risco para empréstimos ou
concessão de emprestimos.
-”Short sales” não permitidas e não existência de uma taxa sem risco
para empréstimos ou concessão de emprestimos.
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13
Cálculo da fronteira de eficiência utilizando o método de
Markowitz
Cenario 1 -”Posições curtas (short sales)” e uma taxa sem
risco para empréstimos ou concessão de emprestimos.





A fronteira de eficiência é obtida pelo ponto de tangência entre a
linha de transformação e a fronteira com o mínimo de variância.
O declive da linha de transformação é designada por Rácio de
sharpe.
O rácio de sharpe é uma medida do excesso de retorno
relativamente ao risco total.
O ponto de tangência coincide com o óptimo do portefólio.
Ao longo da fronteira de eficiência um investidor possui uma
proporção de fundos neste portefólio que pode compreender
alguns activos e “cash” (dívida pública por exemplo).
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14
Racio de sharpe
 Um

dos activos sem risco (rf)
rp = (1-x)rf + xra = rf + (ra-rf)x
rp = rf + ((ra-rf) / σa) * σp
 Racio de sharpe: declive da recta
 ((ra-rf)/ σa) : mede o excesso de
retorno derivado do risco do activo

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15


Matematicamente, a técnica de Markowitz para o cálculo da
fronteira de eficiência, resulta na maximização do declive (rácio de
Sharpe) da linha de transformação sujeito a uma restrição que a
soma dos ponderadores é igual a um.
Assim, escolher um óptimo de Xi de modo a
Max

E(R p )  R F
p
N
s.t.
X
i 1
i
1
(1)
Substituíndo por Rp e p o problema resulta em escolher Xi de
modo a
N
X i (E(R i )  R F )

i 1
Max
(2)
1
N
2
N N
 X 2 2 
X i X jij 


i i
 i 1

i 1 j1
i j


unid3 Carlos Arriaga
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16

Dá-nos N condições de 1ª ordem
Z11i Z22i ....Ziii ..ZNNi  E(Ri ) RF Xi  Zi




N
Z
i1
i
(3)
Desde que os retornos, variâncias e co-variâncias sejam conhecidas, as
condições de 1ª ordem podem ser calculadas em óptimas proporções de
Zi e então para ponderações óptimas de Xi.
Zi é a quantidade investida em activos com risco.
Se Zi é inferior á unidade (1- Zi) será investido nos activos sem risco
(lenders).
Se Zi é maior que a unidade (1- Zi) será investido no activo sem risco
(borrowers).
Uma vez que as ponderações óptimas são conhecidas, o retorno esperado
e o risco do portefólio óptimo podem ser calculados
O rácio de Sharpe para o portfolio P pode igualmente ser calculado.
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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17

Cuthbertson eNitzsche (2001) reescrevem a equação (3) em forma
matricial. Assumindo haver três activos :
 11 12 13  Z1   E(R1 )  R F 
     Z    E(R )  R 
23  2 
2
F
 21 22

     Z   E(R )  R 
33  3 
3
F
 31 32

Ωz  e

(4)
Onde  é a matriz das variâncias-covariâncias dos retornos dos
activos, z é um vector coluna de proporções óptimas e e um
vector coluna do excesso dos retornos.
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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18
A
solução é dada por
1
z Ω e
(5)
 As
ponderações óptimas , Xi, são
calculadas como atrás.
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Costa
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19

Lewis (1998) no “ NBER Working Paper No. 6351” assume que
– A utilidade do investidor depende do retorno esperado e do
risco .
– Os investidores maximizam a sua utilidade sujeita à linha de
transformação óptima.
– A solução óptima é o ponto de tangância das curvas de indiferença do
investidor a linha de transformação e pode-se interpretar as
proporções óptimas, z, como a quantidade de fundos investidos nos
activos com risco.



A solução será
1
1
z
Ω e
RRA
(6)
Onde RRA é o coeficiente de aversão relativa ao risco.
Quanto menor uma pessoa for avessa ao risco, mais longe é o
ponto de intersecção da linha de transformação com a curva de
indiferença do investidor no seu ponto de tangência, i.e. z é
maior.
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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20
Exemplo
Asset
Average
Return
Standard
Deviation
AIB (1)
14%
6%
BOI (2)
8%
3%
CRH (3)
20%
15%
Risk Free
5%
0%
unid3 Carlos Arriaga
Costa
Correlations (Covariance
EconomiaFinanceira - Mestrado em
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BOI (2)
0.5(9)
CRH (3)
0.2(18)
0.4(18)
21



Precisamos de calcular as co variâncias ij=iji j.
Substituimos os valores nas três equ (3) que traduzem as
condições de 1ª ordem.
Obtemos
36Z1  9Z2 18Z3 14%5%
9Z1  9Z2 18Z3  8%5%
18Z1 18Z2  225Z3  20%5%
(7)
• A equação resolve-se por substituição.
• Contudo, se houver um número grande de activos, as condições de primeira ordem
são resolvidas por cálculo matricial .
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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22
Em forma de matriz (7) fica
1
z 
Ω  1e
RRA
36
1 
z 
9
RRA 
 1 8
unid3 Carlos Arriaga
Costa
9
9
18
18 

18

2 2 5 
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1
9 
3 
 
1 5 
(8)
23

Suponha que A tem um coeficiente RRA=1 então as
condições de 1ª ordem podem ser calculadas em relação a
Zi como
14
1
3
Z1  , Z2  , Z3  ,
63
63
63

3
18
Zi   29% (9)

63
i1
Suponha que o investidor B tem menos aversão ao risco e tem um
coeficiente de RRA=0.2 então as condições de 1ª ordem podem
ser calculadas em relação a Zi como
70
5
15
Z1  , Z2  , Z3  ,
63
63
63
unid3 Carlos Arriaga
Costa
3
90
Zi  143% (10)

63
i1
EconomiaFinanceira - Mestrado em
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24

Se ambos os investidores tiverem as mesmas
expectativas sobre os retornos esperados,
desvios padrão dos retornos e correlações
entre os retornos, então as mesmas condições
de 1ª ordem podem podem ser resolvidas para
as mesmas ponderações óptimas Xi.
14
X1 
18
unid3 Carlos Arriaga
Costa
1
X2 
18
3
X3 
18
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(11)
25
O
valor esperado do retorno é dado
por
14
1
3
Rp  (14%) (8%) (20%)1423 %
18
18
18
unid3 Carlos Arriaga
Costa
EconomiaFinanceira - Mestrado em
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(12)
26
O
risco esperado é dado por
 14 
1
3
    36%    9%    225%
 18 
 18 
 18 
42
3
 14

 2
9% 
18% 
18%  33 %
324
324
324

2
2
2
2
p
(13)
5
6
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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27
A
equação da linha de
transformação que passa pelo
portfolio P é dado por
R p  5% 1 p
2
3
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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(14)
28
 Graficamente
Retorno
R p  5%  1 23  p
P
14.67%
5%
Risco
5.82%
• Onde se localizam os portfolios A e B?
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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29
 Os
retornos esperados dos portfolios
A e B são dados por
45
18
ERA  (5%)  (14.67%)  7.76%
63
63
(15)
27
90
ERB 
(5%)  (14.67%) 18.81%
63
63
(16)
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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30
O
risco esperado dos portfolios A e B
é dado por
unid3 Carlos Arriaga
Costa
18
A  (5.82%) 1.66%
63
(17)
90
B  (5.82%)  8.29%
63
(18)
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31
 Graficamente
Retorno
18.81%
B(-43%,143%)
P
14.67%
7.76%
A(71%,29%)
5%
1.66%
5.82%
8.29%
Risco
• A é menos avesso ao risco que B.
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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32
Diversificação eficiente




O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte
proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade
máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de
racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente
diversificado.
Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar
simultâneamente o rendimento esperado do portfólio.
O grau de diversificação possível de obter é função das
covariancias dos activos financeiros que constituem o
porfólio.
Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação
com 20 activos financeiros apresentam um resultado
bastante satisfatório no que respeita ao binómio risco
versus custos de transacção.O aumento de activos no
portfólio pouco mais irá atenuar o risco.
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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33
Diversificação – exemplo com dois
activos financeiros

Activo A
E (RA) = 5%

Activo B
E (RB) = 15%

Que proporções de A e de B?

Três situações:
ρ AB = 1

ρ

σ (RA) = 20%
σ (RB) = 40%
AB = - 1
 -1<ρ AB<1
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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34
Diversificação – exemplo com dois
activos financeiros

E( R)

15%

10%
C


B
5%


unid3 Carlos Arriaga
Costa
A
10%
20%
σ( R)
40%
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35
Diversificação
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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36
Teoremas dos portfolios eficientes
Proposição 1
 Considerado c uma constante e R-c o
vector
 R-c = [E (r1) –c

E (r2)- c

E(rn) – c]
 O vector Z resolve as equações R-c = Sz
 Z = S-1[R-c]
 X = {x1, x2….xn}

unid3 Carlos Arriaga
Costa
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37
Teoremas dos portfolios eficientes
 Proposição
1
 Xi = zi / ΣZj
 Todos os portfolios de envelope (na
fronteira) são desta forma


c
unid3 Carlos Arriaga
Costa
xi porfolio de tangência dado c
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38
Teoremas dos portfolios eficientes
 Proposição
2
 Se dois portfolios se encontram na
fronteira eficiente (portfolios de
envelope) e dada uma constante a o
protfolio resultante

ax + (1-a)y
 Também se encontra na fronteira de
eficiência
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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39
Teoremas dos portfolios eficientes







Proposição 3
Se um portfolio s encontra na fronteira de
eficiencia (portfolio y) então existirá sempre um
outro linearmente relacionado com este que se
encontra igualmente na fronteira de eficiência
E (rx) = c + β x [E(ry) – c]
β x = Cov (x,y) / σ2y
c será o valor esperado d eum portfolio z cuja
covariancia com y é 0
c = E(rz)
Cov (y,z) = 0
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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40
Dificuldades do modelo de
Markowitz
1. Os valores dos parâmetros não serem
conhecidos
 Algumas estimativas dos parâmetros
estarem enviesadas

O modelo requerer n valores de retorno,
n valores da variância e N. (N-1)/2
co-variâncias.
Para n= 1000, precisamos de estimar 501
500 parâmetros
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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41
 Todavia
é a a partir do Modelo de
Markowitz que se fizeram
simplificações e outros modelos
surgiram…
unid3 Carlos Arriaga
Costa
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42