0083
MATEMÁTICA APLICADA
À GESTÃO
CADERNO DE TESTES FORMATIVOS
MARIA ALICE FILIPE
2006
ÍNDICE
NOTAS PRÉVIAS .................................................................................................. 2
CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS..................................................................... 4
ALGUNS CONCEITOS SOBRE SÉRIES............................................................ 6
TESTES FORMATIVOS COM RESOLUÇÃO...................................................22
TESTE FORMATIVO Nº 1 E RESOLUÇÃO........................................................ ..23
TESTE FORMATIVO Nº 2 E RESOLUÇÃO......................................................... .40
1
NOTAS PRÉVIAS
Os alunos que queiram tirar dúvidas ou confirmar a resolução de exercícios, deverão contactar a
docente responsável pela disciplina:
Maria Alice Filipe
R. Fernão Lopes, nº9-2º Dto.
1269-001 LISBOA
Tel: 213150041/808200344
Fax: 213150183
e-mail: [email protected]
Horário de Atendimento:2ª feira – 14 h –18 h
3ª feira – 11 h -13 h e 13h30m às 16h30m
Manual adoptado: Cálculo, Vol. I
James Stewart, Pioneira, Thomson Learning
1. A maior parte dos assuntos tratados no livro até ao capítulo 4 (inclusivé),
consideram-se como sendo já dos conhecimentos dos alunos, constituindo
revisões.
2. Não são objecto de avaliação os seguintes assuntos tratados no manual:
2.1. Funções hiperbólicas (cap. 3 - 3.9, pag. 246)
2.2. O método de Newton (cap. 4 - 4.9, pag. 345)
2.3. Volumes (cap. 6 - 6.2, pag. 440)
2.4. Cálculo de volumes por cascas cilíndricas (cap. 6 - 6.3, pag. 451)
2.5. Trabalho (cap. 6 - 6.4, pag. 456)
2.6. Integração usando tabelas e sistemas algébricos computacionais (cap. 7 - 7.6,
pag. 505)
2.7. Integração aproximada (cap. 7 - 7.7, pag. 512)
2.8. Mais aplicações de integração (cap. 8, pag. 540 até ao fim do capítulo)
3. Nos exames não é permitida a utilização de qualquer tipo de calculadora nem de
qualquer formulário. Como o livro adoptado tem no final de cada capítulo
exercícios que utilizam calculadora e/ou programas informáticos específicos da
Matemática, o aluno pode não os fazer.
2
4. Como o manual é uma tradução brasileira, convém ter em atenção que há termos e
expressões que em português se dizem de outra forma.
Por exemplo, "sequência" corresponde em português a "sucessão"; "integral", em
português, é uma palavra masculina, etc.
5. Há também algumas notações e designações que usaremos de forma diferente. Por
exemplo, para intervalo aberto, em vez de (a,b), usaremos ]a,b[. Em vez de
"antiderivada" de uma função f(x), falaremos em primitiva de f(x) e
representaremos por Pf(x) ou ∫ f(x) dx . Representaremos as funções
trigonométricas inversas por, por exemplo, arcsenx, em vez de sen-1x, etc..
6. Sugere-se o estudo cuidadoso das aplicações do Cálculo, principalmente à
Economia.
7. O assunto das séries, abordado na pag. 7 do manual, está mais desenvolvido no
Vol. II do livro com os mesmos título e autor do manual indicado. Como não se
considera ser de avaliação um estudo exaustivo das séries, mas apenas o que é
indicado no programa, seguem em anexo uns apontamentos sobre o referido
assunto.
Pré-requisitos básicos:
1. Ter bom domínio de cálculo mental (lembra-se que não é permitida a utilização da
máquina de calcular nos exames, nem tabelas ou formulários);
2. Saber resolver equações e inequações, em particular as que contém o operador
módulo;
3. Ter conhecimentos de trigonometria (incluindo o conhecimento das funções
trigonométricas inversas: arcsenx, arccosx, arctgx, arccotgx);
4. Saber calcular limites de funções reais de variável real (incluindo sucessões);
5. Conhecer e aplicar bem as regras de derivação;
6. Conhecer as representações gráficas de algumas funções básicas, tais como,
polinomiais (pelo menos até ao 3º grau), exponencial, logarítmica e
trigonométricas.
Nota: Todos estes conhecimentos são considerados como já adquiridos a nível do
ensino secundário (12º ano). No entanto, para se iniciar o estudo desta cadeira,
considera-se que previamente deve rever os assuntos referidos. A maior parte deles
vai ser novamente tratada, mas de uma forma mais um pouco mais aprofundada e
alargada.
3
CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
(a partir de 2003-2004)
1. Séries de números reais
1.1. Definições. Generalidades
1.2. Séries geométricas
2. Funções reais de variável real
2.1. Generalidades (revisões de conceitos)
2.2. Gráfico de funções
2.3. Operações com funções. Função composta. Função inversa
2.4. Tipos de funções:
Funções polinomiais, funções de potências, funções racionais, função
exponencial, função logarítmica, funções trigonométricas e funções
trigonométricas inversas
3. Limites e derivadas
3.1. Cálculo de limites de funções. Assímptotas verticais, horizontais e oblíquas
3.2. Continuidade. Propriedades. Teoremas sobre funções contínuas
3.3. O declive da tangente de uma curva e a derivada. Taxas de variação e
significado económico
3.4. Função derivada
3.5. Derivada da função composta. Derivada da função inversa
3.6. Regras de derivação
3.7. Derivada de ordem superior à 1ª
3.8. Diferencial de uma função. Aproximações lineares
4. Aplicações da diferenciação
4.1. Estudo da monotonia de funções. Cálculo de máximos e mínimos
4.2. Teoremas fundamentais do cálculo diferencial
4.3. Indeterminações e a regra de L'Hôpital
4.4. Estudo da concavidade de funções. Cálculo de pontos de inflexão
4.5. Esboço de gráficos de funções
4.6. Aplicações em Economia
5. Primitivação
5.1. Definição, existência e principais propriedades
5.2. Técnicas de primitivação
5.2.1. Primitivas imediatas
5.2.2. Primitivação por partes
5.2.3. Primitivação de fracções racionais
5.2.4. Primitivação por substituição
6. Integração
6.1. Definição e existência. Cálculo de áreas
6.2. A integração e a primitivação
6.3. O integral definido. Propriedades
6.4. O Teorema fundamental do cálculo. Integrais indefinidos
6.5. Integração por partes e por substituição
6.6. Integrais impróprios de 1ª espécie e de 2ª espécie
6.7. Aplicações económicas da integração
4
Manual:
• Cálculo, Vol. I
James Stewart, Pioneira, Thomson Learning
Bibliografia:
• Cálculo, Vol. II
James Stewart, Pioneira, Thomson Learning
• Cálculo com Geometria Analítica, Vols. I e II
Swokowski, Makron
• Mathematics for Economic Analysis
Knut Sydsaeter, Peter J. Hammond, Prentice Hall International Editions
• Análise Matemática - Leituras e exercícios
Carlos Sarrico, Gradiva
• Introdução à Análise Matemática
Campos Ferreira, Gulbenkian
• Problemas e exercícios de Análise Matemática
Demidovich, Mc Graw-Hill
• Cálculo - Curso intensivo
Frank Ayres; Elliot Mendelson, Shaum's easy outlines, Mc Graw-Hill
• Álgebra Elementar - Curso intensivo
Murray R. Spiegel; Robert Moyer, Shaum's easy outlines, Mc Graw-Hill
5
Alguns conceitos sobre SÉRIES
Consideremos uma sucessão de termos a1, a2, …. , an, ….
O termo an é designado por termo geral da sucessão. Muitas vezes identificamos a
sucessão pelo seu termo geral, isto é, simplificamos a linguagem, dizendo que
estamos a tratar de uma sucessão an, em vez de dizer que a sucessão referida tem por
termo geral an.
Com os termos de uma sucessão an, podemos construir outra sucessão, procedendo da
seguinte forma:
s1 =a1
s2=a1+a2
s3=a1+a2+a3
.
.
.
sn=a1+a2+
…
n
+an= ∑ ai
i =1
.
.
A esta sucessão, de termo geral sn, daremos o nome de sucessão das somas parciais.
Se a sucessão tiver infinitos termos, é chamada de série infinita ou simplesmente
+∞
série, podendo ser representada por
∑a
n =1
Diz-se que o termo geral da série
n
ou por
∑a
n
∑a
n
.
é an. Os limites inferior e superior do
símbolo somatório (Σ) são, respectivamente, n=1 e +∞. Sem perda de generalidade,
também se pode considerar que a série pode não começar em n=1, mas num outro
valor inteiro, tal como 0.
6
Como a sucessão das somas parcias, sn, pode ter ou não limite, diremos,
respectivamente, que a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente,
isto é, se existir lim s n , diremos que lim s n = s é a soma da série.
n → +∞
n → +∞
Exemplos:
+∞
1) Seja a série
∑ n =1+2+3+ … +n+ ….
n =1
Esta série é divergente, porque é impossível encontrar um limite finito para sn.
Note-se que os termos da sucessão que é termo geral da série, an=n, estão em
progressão aritmética de razão 1.
Numa progressão aritmética tem-se a n = a1 + (n − 1)r .
A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão aritmética de
razão r, cujo primeiro termo é a1, é dada por s n =
n
(a1 + a n ) .
2
Como em relação à série dada se tem a1=1, r=1, então, sn, é dada por
Como, lim
n →∞
n(n + 1)
= ∞ , concluimos então que a série é divergente.
2
∞
2) Seja a série
n(n + 1)
.
2
1
∑ n(n + 1) . Vamos mostrar que esta série é convergente.
n =1
Comecemos por escrever sn:
sn =
1
1
1
1
+
+
+L+
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
n(n + 1)
Esta expressão pode ser simplificada se decompusermos
1
na diferença de
n(n + 1)
duas fracções:
a
b
1
. Desembaraçando de denominadores vem 1=a(n+1)-bn, ou
= −
n(n + 1) n n + 1
seja, 1=(a-b)n+a. Donde a=b=1.
Assim,
1
1
1
= −
n(n + 1) n n + 1
7
∞
Então tem-se
∞
1
1 
1
=
 −

∑
∑
n +1
n =1 n( n + 1)
n =1  n
1 1
1 
1
 1
 1 1 1 1 1
Donde, s n = 1 −  +  −  +  −  + L + 
− + −
 =1 −
n +1
 n −1 n   n n +1
 2  2 3 3 4
1 

Logo, s= lim s n = lim 1 −
 =1
 n +1
∞
Portanto a série dada é convergente e
1
∑ n(n + 1) =1
n =1
∞
Todas as séries
∑a
n =1
n
,cujo termo geral ,an, se possa decompor na diferença de dois
termos gerais, tais que an=un-un+p, p∈Ν, são chamadas séries telescópicas,
redutíveis ou de Mengoli.
Tem-se então
∞
∞
n =1
n =1
∑ an = ∑ (u n − u n+ p ) .
Mostra-se sn=u1-p un+p.
Assim, estas séries são convergentes se existir lim un+p (ou seja, se existir lim un,
pois o limite de uma sucessão, quando existe, é único). Caso não exista o limite, as
séries são divergentes.
Assim, a soma da série é s=u1-p lim un.
+∞
3) Seja a série
1
∑2
n =1
n
=
1 1 1 1
1
1
1
+ + + +
+
+L+ n +L+ L
2 4 8 16 32 64
2
Vamos mostrar que esta série é convergente e calcular a sua soma.
Comecemos por notar que o termo geral da série é uma progressão geométrica de
razão 1/2.
O termo geral de uma progressão geométrica de primeiro termo a1, de razão r é
an= a1 ⋅ r n −1 .
Mostra-se que a soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão
geométrica, de primeiro termo a1 e razão r é, sn, dada por
1− rn
s n = a1 ⋅
.
1− r
8
Se aplicarmos esta fórmula para calcular o termo geral da sucessão das somas
parciais da série dada, tem-se:
n
1
1−  
n
1
2
1

sn = ⋅
= 1−  
1
2
2
1−
2
0

1
n
Atendendo a que lim r = 
n →∞
± 1
∞

se r < 1
se r = 1
, tem-se
se r = −1
se r > 1
  1 n 
s= lim s n = lim 1 −    = 1 − 0 = 1 .
 2 


Fica desta forma provado que a série dada é convergente e pode escrever-se
n
+∞
1 +∞  1 
= ∑   =1.
∑
n
n =1 2
n =1  2 
∞
De um modo geral, uma série da forma
∑r
n= p
n
, ( p ∈ N 0 , r ∈ℜ ) é chamada série
geométrica.
Uma série geométrica é convergente se |r|<1 e a sua soma é s = r ⋅
p
1
.
1− r
Se |r|≥1, a série é divergente.
Estas séries têm muitas aplicações, nomeadamente em Economia.
∞
4) Seja a série
1
1
1
1
∑ n =1 + 2 + 3 + 4 + L .
Vamos mostrar que esta série, conhecida
n =1
como série harmónica, é divergente.
9
Vamos escrever alguns termos da sucessão das somas parciais:
s1 = 1
s2 = 1 +
1
2
s4 = 1 +
2
1 1 1
1 1 1
+  +  > 1+ +  +  = 1+
2 3 4
2 4 4
2
s8 = 1 +
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
+  +  +  + + +  > 1+ +  +  +  + + +  =
2 3 4 5 6 7 8
2  4 4 8 8 8 8
= 1+
s16 = 1 +
> 1+
1 1 1
3
+ + = 1+
2 2 2
2
1 1 1 1
1 1
1
+  +  +  +L+  +  +L+  >
2 3 4 5
8 9
16 
1 1 1 1
1  1
1
1 1 1 1
4
+  +  +  + L +  +  + L +  =1 + + + + = 1 +
2 4 4 8
8   16
16 
2 2 2 2
2
De modo análogo, pode mostrar-se que s 32 > 1 +
s 2n > 1 +
5
6
, s 64 > 1 + e em geral
2
2
n
. Logo, lim s 2n = +∞ .
2
n →∞
Como s 2n é o termo geral de uma subsucessão de sn, então sn não tem limite e a
série harmónica é divergente.
+∞
As séries da forma
1
∑ nα
, α ∈ ℜ são chamadas séries de Dirichlet. A série
n =1
harmónica é uma série de Dirichlet em que α=1.
Mostra-se que as séries de Dirichlet são convergentes para α>1 e divergentes para
α≤1.
Em resumo, até agora, estudámos 3 tipos particulares de séries:
As séries de Mengoli (redutíveis ou telescópicas)
As series geométricas
As séries de Dirichlet
Dada uma qualquer destas séries, sabemos dizer qual a sua natureza, isto é, se é
convergente ou divergente. Em relação às duas primeiras, caso sejam
convergentes, sabemos calcular as suas somas.
10
Vamos agora enunciar três teoremas importantes.
Teorema 1 - Critério geral de convergência
Se a série
∑a
n
for convergente, então lim a n = 0 .
A recíproca deste teorema não é verdadeira. Por exemplo, lim
1
= 0 e a série
n
harmónica é divergente.
Podemos utilizar este teorema para fazer o teste de divergência para várias séries.
∞
Por exemplo, a série
n2
n2
1
é
divergente,
porque
lim
= ≠ 0.
∑
2
2
5n + 4 5
n = 2 5n + 4
Teorema 2 - A natureza de uma série não se altera se lhe modificarmos (suprimindo
ou acrescentando, por exemplo) um número finito de parcelas.
Demos já alguns exemplos de séries, cujo primeiro termo não correspondia a n=1.
Consideremos ainda o exemplo seguinte:
+∞
Prtende-se saber qual a natureza da série
1
∑n
n =4
3
.
+∞
Comecemos por considerar a série de Dirichlet
+∞
Esta série é convergente (3>1). Assim,
1
∑n
n =4
3
1
1 1
1
=1 + +
+
+
∑
3
8 27 64
n =1 n
+∞
1
∑n
n =4
3
.
é convergente, pois as quatro primeiras
parcelas representam um número real.
Teorema 3 - Se
∑a
n
e
∑b
n
forem séries convergentes, então também são
convergentes
∑ ca
∑ (a
∑ (a
n
, em que c é uma constante real
n
+ bn )
n
− bn )
11
e tem-se
∑ ca
∑ (a
∑ (a
n
=c ∑ a n
n
+ bn ) = ∑ a n + ∑ bn
n
− bn ) = ∑ a n - ∑ bn
Também se pode mostrar, por exemplo, que a soma de duas séries divergentes é uma
série divergente, que a soma de uma série convergente com uma divergenteé uma
série divergente.
Exemplo: Calcular a soma da série
∞

n =1

3
1 
.
n 

∑  n(n + 1) + 2
Pelo teorema 3, tem-se
∞
∞
∞
 3
3
1
1
1
1  ∞


+
=
+
=
+
3
∑
∑
∑
n
 n(n + 1) 2 n  ∑ n(n + 1) ∑ 2 n
n =1 
n =1
n =1 n(n + 1)
n =1 2
 n =1
∞
Como já vimos em exemplos anteriores as duas séries em que se decompôs a série
∞
dada,
+∞
1
1
∑ n(n + 1) e ∑ 2
n =1
Assim, a soma de
n =1
∞

n =1

são convergentes, sendo a soma de cada uma delas 1.
n
3
1 
 é s=3×1+1=4.
n 

∑  n(n + 1) + 2
12
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Estude a natureza das seguintes séries
+∞
1.1.
∑2
2 n 1− n
3
n =0
Resolução:
+∞
Vamos mostrar que a série
∑2
2 n 1− n
3
é uma série geométrica.
n =0
+∞
n
+∞
4n
4
3
2
3
=
=
  . À parte a constante 3, que não afecta a natureza da
∑
∑
∑
n −1
n =0
n =0 3
n =0  3 
série, trata-se de uma série geométrica de razão 4/3>1. Logo, a série é divergente.
2 n 1− n
+∞
1.2. Escrever como um número fraccionário de termos inteiros o número 2,3(17).
Resolução:
Este número é uma dízima infinita periódica
2,3(17)=2,3171717 …= 2,3 + 0,017 + 0,00017 + L =
23 17 17
+
+
+L=
10 10 3 10 5
2n
23 17  1
1
1
 23 17 ∞  1 
= +
 0 + 2 + L + 2 n + L = +
∑  =
10 1000  10
10
10
 10 1000 n =0  10 
23 17 ∞  1 
=
+
∑ 
10 1000 n =0  100 
n
∞
n
 1 
Vamos calcular a soma da série ∑ 
 . Como 1/100 <1, a série é convergente e
n = 0  100 
0
100
1
 1 
tem-se s = 
=
 ⋅
99
 100  1 − 1
100
Donde, 2,3(17)=
23 17 100 1147
+
⋅
=
10 1000 99
495
13
∞
1.3. Calcular, se possível, a soma da série
∑n
n =1
2
2
.
+ 4n + 3
Resolução:
∞
2
=2
∑
2
n =1 n + 4n + 3
∞
= 2∑
n =1
∞
∞
1
1
1
2
=
=
=
2
∑
∑
∑
2
2
n =1 n + 4n + 4 − 1
n =1 (n + 2 ) − 1
n =1 (n + 2 − 1)(n + 2 + 1)
1
(n + 1)(n + 3)
∞
.
∞
Vamos mostrar que
1
∑ (n + 1)(n + 3)
é uma série de Mengoli.
n =1
1
(n + 1)(n + 3)
=
a
b
−
n +1 n + 3
Desembaraçando de denominadores, vem sucessivamente:
1=a(n+3)-b(n+1)
1=(a-b)n+3a-b
a-b=0 e 3a-b=1
Donde, a=b=1/2.
∞
Assim,
∞
1 
 1/ 2 1/ 2  1 ∞  1
=
−
−

 = ∑

∑
∑
n + 3  2 n =1  n + 1 n + 3 
n =1 (n + 1)(n + 3)
n =1  n + 1
1
Fazendo u n =
A soma de
1
1
, vem u n + 2 =
.
n +1
n+3
1 ∞  1
1 
11
1  1
−

 é s =  − 2 lim
=
∑
2 n =1  n + 1 n + 3 
22
n +1 4
A soma da série dada é
∞
∞
1
1 ∞  1
1 
2
1 1
2
=
=2.
−

=2⋅ =
∑
∑
∑
2
2 n =1  n + 1 n + 3 
4 2
n =1 n + 4n + 3
n =1 (n + 1)(n + 3)
14
∞
1.4. Estudar a natureza da série

n

∑ ln 2n + 5  .
n =1
Resolução:
Vamos começar por calcular o limite do termo geral.
1
n 
 n 

lim ln
 = ln lim
 = ln ≠ 0
2n + 5 
2
 2n + 5 

Como o limite do termo geral é diferente de 0, então a série é divergente.
2. Ache os valores de x para os quais convergem as seguintes séries. Se possível, para
esses valores de x calcule a soma de cada uma das séries.
∞
2.1.
∑ (x − 4)
n =0
n
∞
2.3.
∑ tg n x
2n
n =1
∞
∞
2.2.
∑
( x + 3) n
2.4.
n =0
n =0
1
∑x
n
Resolução:
Todas as séries dadas são geométricas. Vamos escrevê-las na forma
∑r
n
e
determinar a razão r de cada uma, determinando os valores de x para os quais o
módulo de r é menor que 1, para que as séries sejam convergentes.
Estas séries, cuja soma, quando existe, é função de x, são designadas por séries de
potências e desempenham um papel muito importante no Cálculo.
15
∞
2.1.
∑ (x − 4)
n
n =0
A razão desta série é x-4. Donde para a série ser convergente tem que
sucessivamente verificar-se
x − 4 <1
−1 < x − 4 < 1
3< x<5
Para os valores de x no intervalo ]3,5[, a soma da série é
s = (x − 4)
1
1
=
1− x + 4 5 − x
0
2.2.
∞
∞
n =0
n =0
∑ tg n x = ∑ (tgx )
n
A razão desta série é tgx. Para a série ser convergente tem que ter-se tgx<1
ou -1<tgx<1. Tendo em atenção a função tgx, as condições verificam-se para
−
π
4
+ kπ < x <
π
4
+ kπ , k∈Ζ.
Para estes valores de x, a soma da série é
s = (tgx )
0
∞
2.3.
∑
n =1
( x + 3) n =
2n
1
1
=
1 − tgx 1 − tgx
 x + 3


∑

n =1  2
∞
A razão desta série é
n
x+3
. Para que a série seja convergente tem que ter-se
2
x+3 < 2
x+3
< 1 . Sucessivamente vem − 2 < x + 3 < 2
2
− 5 < x < −1
Para os valores de x de ]-5,-1[, a soma da série é
s=
x+3
⋅
2
1
x+3
=−
x+3
x +1
1−
2
16
∞
2.4.
∞
1
1
=
 
∑
∑
n
n =0 x
n =0  x 
n
A razão desta série é 1/x. Para a série ser convergente tem que ter-se
1
< 1 ou
x
x >1. Ou ainda x<-1 ou x>1. Para estes valores de x a soma da série é
0
x
1 1
s= 
.
=
 x  1− 1 x −1
x
3. As reservas mundiais de certo minério estimam-se em 1000 milhões de toneladas.
No ano de 2003, são consumidos 9 milhões de toneladas do minério em causa.
3.1. Supondo que o nível de consumo se mantém constante, quantos anos durará a
reserva?
3.2. Quantos anos durará a reserva, se o consumo aumentar 5% em cada ano?
3.3. Quantos anos durará a reserva, se o consumo diminuir 1% em cada ano?
Resolução:
3.1. Se as reservas de minério são 1000 milhões de toneladas e se o consumo for
de 9 milhões em cada ano, então o número de anos que a reserva deverá durar,
obtém-se calculando
1000
≈ 111 . Assim, a reserva durará cerca de 111 anos.
9
3.2. Vejamos o seguinte quadro em que se registam os anos de consumo e os
respectivos consumos (em milhões de toneladas).
1º ano
9
2º ano
9 + 0,05 × 9 = 9 × 1,05
3º ano
9 × 1,05 + 0,05 × (9 × 1,05) = 9 × 1,05 2
4º ano
9 × 1,05 2 + 0,05 × 9 × 1,05 2 = 9 × 1,05 3
n-ésimo
9 × 1,05 n −1
(
ano
17
)
A reserva esgotar-se-á quando o consumo total for igual a 1000 milhões de
toneladas, isto é, ao fim de n anos em que 9 × 1,05 n −1 =1000. Por tentativas,
chega-se a n=38 (aproximadamente).
3.3. Vamos fazer um quadro idêntico ao anterior, mas tendo em conta a diminuição
do consum em 1% em cada ano.
1º ano
9
2º ano
9 − 0,01 × 9 = 9 × 0,99
3º ano
9 × 0,99 − 0,01 × 9 × 0,99 = 9 × 0,99 2
4º ano
9 × 0,99 3
n-ésimo
9 × 0,99 n −1
ano
Para que a reserva se esgotasse teria que acontecer 9 × 0,99 n −1 =1000. Ou seja,
n
 99 

 = 110 , o que é impossível. Assim, a reserva nunca se esgota.
 100 
4. Determinada autarquia constrói anualmente 200 casas e, também em cada ano,
consegue vender 3/4 delas, ficando as restantes disponíveis.
Supondo que os ritmos de construção e de venda se mantêm constantes, qual será a
tendência do mercado imobiliário, a longo prazo?
Resolução:
À semelhança do problema anterior vamos construir um quadro em que indicamos
o número de anos de construção e o número de casas construídas em cada um
desses anos.
18
1º ano
200
2º ano
200 +
1
 1
200 = 2001 + 
4
 4
200 +
 1  1 2 
1
 1
2001 +  = 2001 + +   
 4 4 
4
 4


3º ano
n −1
i −1
n
 1  1 2
 1  
1

= 200∑  
200 1 + +   + L +  
 4 4
 4  
i =1  4 

n-ésimo ano
Como se pretende calcular a tendência do mercado a longo prazo, vamos supor que
∞
1
n tende para infinito. Ou seja, vamos estudar a série 200∑  
n =1  4 
n −1
.
Como se vê facilmente a série é uma série geométrica e tem-se
∞
1
200∑  
n =1  4 
n −1
n
∞
1
1
1
= 200 × 4∑   = 200 × 4 × ×
≈ 266 .
1
4
n =1  4 
1−
4
A longo prazo a autarquia deverá ter para vender cerca de 266 casas.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Seja a n =
2n
.
3n + 1
Verifique:
1.1. se an é convergente;
∞
1.2. se
∑a
n =1
n
é convergente.
19
2. Estude a convergência das seguintes séries e, se possível, calcule as suas somas:
∞
2
2.1. ∑ 5 
n =1  3 
n −1
∞
2.3.
2.4.
2.7.
n
∑n+5
n
∑ ln n + 1
n =1
∑ (2(0,1) + (0,2) )
n
4n
∞
1
∑
n =1 n( n + 2)
∞
n =1
n =1
∞
2.6.
(− 3)n−1
∞
∑ 3−n8 n−1
n =1
2.5.
∞
2.2. ∑
n
3n + 2 n
∑
6n
n =1
∞
2.8.
n =1
3. Calcule os valores de x para os quais as séries seguintes são convergentes. Calcule
a soma de cada série para esses valores de x:
∞
3.1.
xn
∑
n
n =1 3
∞
3.2.
∑4
n
xn
n =1
∞
3.3.
1
∑x
n =1
n
20
RESPOSTAS:
Abreviaturas D=divergente; C=convergente; s=soma
1.
1.1. C
1.2. D
2.
2.1. C; s=15
2.2. C; s=1/7
2.3. D
2.4. D
2.5. C; s=3/4
2.6. C; s=17/36
2.7. D
2.8. C; s=3/2
3.
3.1. -3<x<3; s=x/(3-x)
3.2. -1/4<x<1/4; s=1/(1-4x)
3.3. |x|>1; s=x/(x-1)
21
TESTES FORMATIVOS E RESOLUÇÃO
22
TESTE FORMATIVO Nº 1
1. Ache o domínio das funções seguintes e justifique por que são contínuas em
todos os pontos dos seus domínios:
(
1.2. h( x) =
)
1.3. F ( x) = arcsen x 2 − 1
1.1. f (t ) = 2t + 25 − t 2
( )
1.4. H ( x) = cos e
sen x
x +1
x
Resolução:
1.1. Df={x∈ℜ: 25-t2≥0}=[-5,5]
Esta função é contínua em Df, porque é a soma de uma função polinomial com
uma racional. Sabe-se que são contínuas todas as funções polinomiais para
qualquer x real e são também contínuas as funções racionais nos seus domínios.
1.2. Dh={x∈ℜ: x≠-1}
Esta função é contínua em Dg, porque é o quociente entre sen x, uma função
contínua em ℜ, e uma função polinomial, que é também contínua em ℜ.
1.3. DF={x∈ℜ: -1≤x2-1≤1}={x∈ℜ: 0≤x2≤2}
Resolvendo a inequação x2≤2, vem sucessivamente:
x2≤2 ⇔ x2-2≤0
x2-2 é, graficamente, uma parábola virada para cima, cujos zeros são ± 2 . Assim,
x2-2≤0 para os valores de x tais que − 2 ≤x≤ 2 .
[
Donde, DF= − 2 , 2
]
A função F(x) é contínua em todos os pontos do seu domínio, porque é a função
composta da função contínua arcsen u, com u=x2-1, uma função contínua, por ser
uma função polinomial.
23
1.4. DH={x∈ℜ: x≥0}
A função H(x) é contínua em todos os pontos do seu domínio, porque é uma
função composta de funções contínuas.
2. Quais das funções seguintes são prolongáveis por continuidade em a?
2.1. f ( x) =
x 2 − 2x − 8
, a=-2
x+2
2.3. f ( x) =
x 3 + 64
, a=-4
x+4
2.2. f ( x) =
x−7
, a=7
x−7
2.4. f ( x) =
3− x
, a=9
9− x
Resolução:
Uma função f diz-se prolongável por continuidade num ponto a (ou, tem uma
descontinuidade removível em a), se existir lim f ( x) .
x→ a
se x ≠ a
 f ( x)
A função g ( x) = lim f ( x) se x = a diz-se um prolongamento por continuidade
 x →a
de f(x).
Assim, para cada uma das funções dadas, contínuas em todos os pontos, excepto
em x=a, vamos ver se existe lim f ( x) . Note-se que a não pertence ao domínio de
x→ a
cada uma das funções dadas, f(x), e que lim f ( x) =
x→ a
0
. Vamos ter que, para cada
0
caso, levantar a indeterminação.
2.1. Vamos começar por decompor x2-2x-8 em factores:
x2-2x-8=0 ⇔ x =
Assim, lim
x → −2
2 ± 4 + 32 2 ± 6
⇔ x=-2 ∨ x=4
=
2
2
(x + 2)(x − 4) = −6
x 2 − 2x − 8
= lim
x+2
x+2
x → −2
Logo, f(x) é prolongável por continuidade em a=-2.
24
2.2. Atendendo a que
se x ≥ 7
 x − 7 se x − 7 ≥ 0
1
x−7 = 
, tem-se f ( x) = 
7 − x se x − 7 < 0
− 1 se x < 7
Assim, lim f ( x) = 1 e lim f ( x) = −1 .
x →7 +
x →7 −
Como não existe o limite de f(x) em a=7, f não é prolongável por continuidade
nesse ponto.
2.3. Vamos começar por decompor x3+64 em factores:
Como x=-4 é um zero de x3+64, pela regra de Ruffini vem:
1
-4
1
0
0
64
-4
16
-16
-4
16
0
Assim, x3+64=(x+4) (x2-4x+16)
Pela fórmula resolvente, podemos constatar que x2-4x+16 não tem raízes reais.
Assim, lim
x → −4
(
)
(x + 4) x 2 − 4 x + 16 = 96
x 3 + 64
= lim
x+4
x+4
x → −4
Logo, f(x) é prolongável por continuidade em a=-4.
2.4. Vamos começar por fazer a substituição seguinte:
x = t . Donde, x=t2.
Quando x→9, t→3 e tem-se:
lim
x →9
3− x
3−t
3−t
1
= lim
= lim
=
2
9− x
6
t →3 9 − t
t →3 (3 − t )(3 + t )
Logo, f(x) é prolongável por continuidade em a=9.
3. Prove que as equações seguintes têm pelo menos uma raiz real:
3.1. x5-x2+2x+3=0
3.2.
x−5 =
1
x+3
25
Resolução:
A resolução destes exercícios baseia-se no teorema do valor intermédio (ou
teorema de Bolzano). (manual, pag. 129)
3.1. Seja f(x)=x5-x2+2x+3. Esta função está nas condições do teorema de Bolzano
em ]-∞,+∞[, porque Df=ℜ e f é contínua em ℜ. Tem-se também que
(
)
(
)
lim x 5 − x 2 + 2 x + 3 = −∞ e lim x 5 − x 2 + 2 x + 3 = +∞
x → −∞
x → +∞
Então, existe um intervalo fechado [a,b] (a<b), tal que f(a)<0 e f(b)>0. Pelo
teorema do valor intermédio, fazendo N=0, existe pelo menos um c, a<c<b, tal
que f(c)=0. Ou seja, a equação dada tem pelo menos uma raiz real.
3.2. Seja f ( x) = x − 5 −
1
.
x+3
Comecemos por calcular o domínio de f:
Df={x∈ℜ: x-5≥0 ∧ x≠-3}=[5,+∞[.
Em x=5, tem-se f(5)=-1/8. Por outro lado, lim f ( x) = +∞ .
x → +∞
Como f(x) é contínua em todos os pontos de Df, então existe um intervalo
fechado, tal como [5,b], em que f(5)<0 e f(b)>0. Logo, f está nas condições do
teorema de Bolzano. Fazendo N=0, existe pelo menos um c, 5<c<b, tal que
f(c)=0. Ou seja, a equação dada tem pelo menos uma raiz real.
4. A função custo para uma certa mercadoria é
C(x)=84+0,16x-0,0006x2+0,000003x3
4.1. Calcule e interprete C’(100).
4.2. Compare C’(100) com o custo de produzir o 101º artigo.
4.3. Escreva a equação da recta tangente ao gráfico de C(x) em x=100.
4.4. Calcule o valor de x para o qual C tem um ponto de inflexão. O que
significa esse valor?
4.5. Faça o gráfico da função custo.
26
Resolução:
4.1. Se C(x) é a função custo de uma mercadoria, C’(x) é o custo marginal, isto é, a
taxa de variação instantânea da variação do custo em relação ao número de
unidades produzidas:
∆C dC
=
= C ′( x)
dx
∆x → 0 ∆x
custo marginal = lim
Para a função custo dada, tem-se:
C’(x)=0,16-0,0012x+0,000009x2
Donde, C’(100)=0,13. Se o número de unidades produzida for 100, a taxa de
variação de C(x) é 0,13.
4.2. Fazendo ∆x=1 e se x for muito grande comparado com ∆x, então tem-se
C’(x)≈C(x+1)-C(x).
Ou seja, o custo marginal de produção de x unidades é aproximadamente igual ao
custo de produção de mais uma unidade.
Para a função custo dada, tem-se, como já vimos, C’(100)=0,13.
Atendendo à expressão da função custo tem-se C(101)=97,130303 e C(100)=97.
Vem então, C(101)-C(100)=0,130303≈ C’(100)
Tendo produzido 100 artigos, produzir o 101º é aproximadamente igual à taxa de
variação do custo em relação ao número de unidades, isto é, C’(100).
4.3. A equação da recta tangente em x=100 é dada por
y=C(100)+C’(100) (x-100)
ou
y=97+0,13(x-100)
ou
y=0,13x-84
4.4. O ponto de inflexão de C(x) é o zero da sua 2ª derivada.
Sendo C’(x)=0,16-0,0012x+0,000009x2, tem-se C’’(x)=-0,0012+0,000018x
Donde, C’’(x)=-0,0012+0,000018x=12×10-4+18×10-6x=0. Vem x=200/3≈67.
27
Vamos agora verificar que a função C tem um ponto de inflexão em x=200/3≈67,
atendendo ao sinal de C’’(x):
0
200/3
C’’(x)
-
+∞
0
+
C(x)
Quando C’’(x)<0, C’(x) é decrescente, quando C’’(x)>0, C’(x) é crescente. Ou seja, o
custo marginal começa por decrescer até ao ponto de inflexão, (67,C(67)), começando
a crescer a partir desse valor.
4.5. A função custo dada é uma função polinomial de grau 3. Como só faz sentido terse x≥0, tem-se que o domínio de C(x) é o conjunto dos valores de x, tais que x≥0.
Vamos agora calcular o limite de C(x) quando x tende para infinito:
lim C ( x) = +∞
x → +∞
Em seguida, vamos estudar a monotonia de C(x) e pesquisar a existência de
extremos.
Atendendo a que C’(x)=0,16-0,0012x+0,000009x2=-16×10-2-12×10-4x+9×10-6x2,
pode verificar-se que C’(x) não tem zeros:
x=
12 × 10 −4 ± 144 × 10 −8 − 576 × 10 −8
18 × 10 −6
Como C’(x) é graficamente uma parábola virada para cima, então C’(x)>0, para
todo o x. Assim, C(x) é sempre crescente.
Por último, atendendo ao estudo da concavidade feito em 4.4. e ao ponto de
inflexão aí calculado, graficamente C(x) é da forma:
y
84
0
66,7
x
(66,7≈67)
28
5. Se y=f(u) e u=g(x), onde f e g são funções três vezes diferenciáveis, mostre que
2
d 2 y d 2 y  du 
dy d 2 u
=
+
⋅
 
du dx 2
dx 2 du 2  dx 
Deduza uma fórmula idêntica para
d3y
.
dx 3
Resolução:
Comecemos por formar a função composta seguinte:
x
u=g(x)
g
y=f(u)
f
h=f o g
Pela regra da derivada da função composta vem:
dy dy du
=
×
dx du dx
Para calcular
dy
d2y
, vamos começar por designar
por i(u) e construir de modo
2
du
dx
idêntico a função composta seguinte:
x
u=g(x)
g
z=i(u)
i
j=i o g
Atendendo a que
dz d 2 y
=
, vem:
dx dx 2
d 2 y d  dy  d  dy  du dy d 2 u  d 2 y du  du dy d 2 u
=   =  ×
+
×
=
+
×
=
× ×
dx 2 dx  dx  dx  du  dx du dx 2  du 2 dx  dx du dx 2
2
d 2 y  du 
dy d 2 u
= 2 ×  +
×
du dx 2
du  dx 
Vamos proceder de forma idêntica para calcular
29
d3y
.
dx 3
d3y
=
dx 3
2
2
d  d 2 y  d  d 2 y   du   d 2 y  d   du   d  dy  d 2 u dy d 3 u
 2  =  2  ×   +  2  ×
+
×
=
  +  ×
dx  dx  dx  dx   dx   dx  dx   dx   dx  du  dx 2 du dx 3
 d 3 y du  du 
d2y
d 2 u du d 2 y du d 2 u dy d 3 u
=  3 ×   + 2 × 2 2 ⋅
=
+
×
⋅
+
×
dx  dx 
du
dx dx du 2 dx dx 2 du dx 3
 du
2
3
d 3 y  du 
d 2 y du dy d 3 u
= 3 ×  + 3⋅ 2 ⋅
+
×
du  dx 
du dx du dx 3
6. Calcule, caso existam, os seguintes limites, utilizando a regra de L’Hôpital, se
necessário:
6.1. lim
x→0
6.2. lim
x →∞
x + tgx
senx
6.7. lim (senx )
ln ln x
x
 a
6.8. lim 1 + 
x
x →∞ 
tgx
x →0
xa −1
6.3. lim b
(b ≠ 0)
x →1 x − 1
6.4. lim
x →0
+
6.9. lim x
6.10. lim sec 7 x ⋅ cos 3 x
x→
6.5. lim
x →0
x
ln 2
1+ ln x
x →∞
2 x − sen −1 x
2 x + tg −1 x
ex −1− x −
bx
x2
2
π−
2
6.11. lim
x → +∞
3
6.6. lim (x ⋅ e1 / x − x )
x →∞
30
(x
2
+ x +1 − x2 − x
)
Resolução:
6.1. lim
x →0
x + tgx 0
=
senx 0
1º Processo:
senx
x + tgx
x
lim
= lim
+ lim cos x = 1 + 1 = 2
senx
x →0
x → 0 senx
x →0 senx
2º Processo:
Utilizando a regra de L’Hôpital, tem-se:
lim
x →0
6.2. lim
x →∞
1 + sec 2 x 1 + 1
x + tgx
= lim
=
=2
cos x
1
senx
x →0
ln ln x ∞
=
x
∞
Pela regra de L’Hôpital, vem:
1
ln ln x
x ln x
lim
= lim
=0
1
x
x →∞
x →∞
6.3. lim
x →1
xa −1
(b ≠ 0)
xb −1
Pela regra de L’Hôpital, vem:
lim
x →1
6.4. lim
x →0
xa −1
ax a −1
a
a
=
lim
= lim x a −b =
b
b −1
b
x − 1 x →1 bx
x →1 b
2 x − sen −1 x
2 x + tg −1 x
É de notar que sen-1x e tg-1x são as funções trigonométricas inversas,
respectivamente, de senx e tgx. Podem ser escritas como, respectivamente,
arcsenx e arctgx.
31
2 x − sen −1 x 0
Assim, lim
= .
−1
0
x →0 2 x + tg x
arcsenx
2 x − sen x
2 x − arcsenx
2 −1
x
Tem-se lim
= lim
= lim
=
=1
−1
arctgx
2 −1
x →0 2 x + tg x
x → 0 2 x − arctgx
x →0
2−
x
2−
−1
ex −1− x −
6.5. lim
x3
x →0
x2
2 =0
0
Pela regra de L’Hôpital, vem:
x2
e −1− x −
x
x
x
2 = lim e − 1 − x = lim e − 1 = 1 lim e − 1 = 1
lim
6x
6 x →0 x
6
x3
3x 2
x →0
x →0
x →0
x
6.6. lim (x ⋅ e
(
− x ) = lim x e
1/ x
x → +∞
x →∞
1/ x
e1 / x − 1
− 1 = lim
=1
1
1 / x →0
x
)
6.7. lim (senx ) =00
tgx
x →0
+
tgx
Sabe-se que sen x =e
tgx ln(senx)
=e
Assim, lim (senx ) = lim e
tgx
ln ( senx )
cot gx
x →0 +
x →0 +
ln ( senx )
cot gx
=e
.
lim
x→0+
ln ( senx )
cot gx
=e
∞
∞
Pela regra de L’Hôpital, vem:
ln (senx )
= lim
lim
x →0 + cot gx
x →0 +
Donde, lim e
x →0
+
ln ( senx )
cot gx
cos x
senx = − lim senx cos x = 0
1
x →0 +
−
2
sen x
=e
lim
x→0+
ln ( senx )
cot gx
= e0 = 1
32

6.8. lim 1 +
x →∞ 
bx
a
∞
 =1
x

Atendendo a que lim 1 +
x →∞ 
bx

a
 = lim  1 +
x
x →∞ 

x

 a
Como lim 1 +  = e a , então lim  1 +
x
x →∞ 
x →∞  

6.9. lim x
ln 2
1+ ln x
a

x
a

x
x
x
b

 .


b

 = e ab


=∞ 0
x →∞
Vamos proceder de forma idêntica à da alínea 6.7.:
lim x
ln 2
1+ ln x
= lim e
x →∞
ln 2
⋅ln x
1+ ln x
=e
ln 2 lim
ln x
x → +∞ 1+ ln
x
x → +∞
Pela regra de L’Hôpital, vem:
1
ln x
lim
= lim x = 1
x → +∞ 1 + ln x
x → +∞ 1
x
ln 2
Assim, lim x 1+ ln x = e ln 2 = 2
x →∞
cos 3 x 0
=
0
π − cos 7 x
x→
6.10. lim sec 7 x ⋅ cos 3 x = lim
x→
π−
2
2
Pela regra de L’Hôpital, vem:
− 3sen3 x 3
cos 3 x
= lim
=
7
π − cos 7 x
π − − 7 sen7 x
x→
x→
lim
2
2
33
6.11. lim
x → +∞
(x
2
)
+ x + 1 − x 2 − x =∞ - ∞
Multiplicando e dividindo a expressão
conjugado, vem:
lim
x → +∞
(x
lim
x → +∞
lim
x → +∞
2
(x
2
+ x +1 − x2 − x
)
pelo seu
)
+ x +1 − x2 − x =
x2 + x +1− x2 + x
x + x +1 + x − x
2
2
2x
x2 + x2
= lim
x → +∞
2x + 1
x + x +1 + x2 − x
2
=
2x
=1
x → +∞ 2 x
= lim
7.
 πx 
7.1. Mostre que a equação 3 x − 2 + cos  =0 tem exactamente uma raiz real.
 2
7.2. Prove a identidade arcsen
π
x −1
= 2arctg x − .
2
x +1
7.3. Prove a desigualdade sen a − sen b ≤ a − b para todo a e b.
Resolução:
A resolução destes exercícios baseia-se nos teoremas do valor intermédio (ou teorema
de Bolzano), de Rolle e do valor médio (ou teorema de Lagrange) e corolários.
(manual, pags. 129, 288, 289)
 πx 
7.1. Seja f ( x) = 3x − 2 + cos  
 2
Esta função é contínua e diferenciável em ℜ e tem-se: f(1)=1 e f(0)=-1.
Pelo teorema de Bolzano, f tem pelo menos uma raiz real em ]0,1[. Vamos
mostrar que f não pode ter mais que um zero nesse intervalo nem noutro
qualquer.
Por absurdo, vamos supor que f tem 2 zeros ]0,1[. Sejam a e b esses zeros. Então,
f(a)=f(b)=0. Pelo teorema de Rolle, existe pelo menos um número c, c∈]a,b[, tal
que f’(c)=0.
34
Vamos agora calcular f ’(x):
f ′( x) = 3 −
π
π 
sen x 
2
2 
Sabemos que para todo o x se tem:
π 
− 1 ≤ sen x  ≤ 1
2 
−
−
π
2
π
π
2
π
π
sen
2
2
≤−
2
3−
Como 3 −
≤
π
2
 π
x ≤
 2
π
π  π
sen x  ≤
2
2  2
≤ 3−
π
π
π 
sen x  ≤ 3 +
2
2
2 
> 0 , então f’(x)>0. Logo, não existe nenhum c, c∈]a,b[, tal que
f’(c)=0.
Também como f’(x)>0, f(x) é uma função crescente em ℜ, pelo que o zero de
f(x) tem que estar num intervalo [x1,x2]⊆[0,1].
Fica deste modo provado que a equação dada tem exactamente uma raiz real.
7.2. Seja f ( x) = arcsen
x −1
π
− 2arctg x +
x +1
2
Comecemos por calcular Df:
x −1


Df=  x : − 1 ≤
≤ 1 ∧ x ≥ 0
x +1


−1 ≤
x −1
≤1 ⇔
x +1
x −1
≤1 ⇔
x +1
x −1
≥ −1 ⇔
x +1
x −1
x −1
≤1∧
≥ −1
x +1
x +1
x −1
−1 ≤ 0 ⇔
x +1
x −1
+1 ≥ 0 ⇔
x +1
x −1− x −1
2
≤0 ⇔ −
≤0 ⇔
x +1
x +1
x −1+ x +1
≥0 ⇔
x +1
35
2x
≥0
x +1
x > −1
Atendendo a que se tem que ter x≥0, então conjugando esta condição com as
anteriores, vem Df=[0,+∞[.
Vamos agora calcular f’(x):
2
f ′( x) =
(x + 1)
1
2
 x −1
1− 

 x +1
2
− 2⋅
2 x
=
1+ x
2
2
2
(x + 1)2 (x + 1) − (x2 − 1)
(x + 1)
−
1
( x + 1) x
=L= 0
Por um corolário do teorema de Lagrange, sabemos que se f’(x)=0 para todo o x
do domínio de f, então f(x)=C, em que C é uma constante. Vamos mostrar que
C=0.
Por exemplo, fazendo x=1 obtém-se
f (1) = arcsen 0 − 2arctg1 +
π
2
= 0−2
π
4
+
π
2
= 0.
Logo, C=0. Fica deste modo provada a identidade para todo o x do domínio de f.
7.3. Para provar a desigualdade sen a − sen b ≤ a − b para todo o a e b, vamos usar o
teorema do valor médio (ou teorema de Lagrange).
Seja f(x)=sen x.
f é contínua em ℜ, logo é contínua num intervalo fechado qualquer [a,b]. (Sem
perda de generalidade, vamos supor que a<b).
f é diferenciável em ℜ, logo é diferenciável no intervalo ]a,b[.
Pelo teorema do valor médio, existe pelo menos um c∈]a,b[, tal que
f ′(c) =
f (b) − f (a)
, a<c<b.
b−a
Ou seja, como f’(x)=cos x, então cos c =
sen b − sen a
.
b−a
Como 0≤|cos c|≤1, tem-se
cos c =
sen b − sen a
≤ 1 ou sen b − sen a ≤ b − a ou sen a − sen b ≤ a − b .
b−a
Fica deste modo provada a desigualdade dada.
36
8. Faça o estudo e faça o esboço do gráfico da função f(x)=x+2arctg x.
Resolução:
Para fazer o estudo e esboçar o gráfico de uma função f vamos proceder da seguinte
forma:
-
calcular do domínio
-
pesquisar a existência de assímptotas
-
calcular os pontos de intersecção com o eixo dos xx’ (zeros de f) e com o eixo
dos yy’
-
estudar a monotonia e extremos (máximos e/ou mínimos relativos)
-
estudar a concavidade e pontos de inflexão
-
fazer o esboço do gráfico
O esboço do gráfico pode ser feito à medida que se vão obtendo resultados.
Assim, para f(x)=x+2arctg x, vem:
Atendendo a que arctg x, graficamente é:
y
π/2
0
x
π/2
1º - Domínio: Df=ℜ
2º - Assímptotas:
A função f não tem assímptotas verticais.
Vamos pesquisar a existência de assímptotas horizontais:
lim ( x + 2arctg x ) = +∞ e lim ( x + 2arctg x ) = −∞
x → +∞
x → −∞
Como f não tem assímptotas horizontais, vamos ver se tem assímptotas oblíquas:
37
x + 2arctg x
arctg x
= 1 + 2 lim
= 1+ 0 = 1
x
x
x → +∞
x → +∞
m = lim
b = lim ( x + 2arctg x − 1 ⋅ x ) = 2 ⋅
x → +∞
π
=π
2
Donde, quando x tende para +∞, a função f tem assímptota horizontal de equação
y=x+π.
x + 2arctg x
arctg x
= 1 + 2 lim
= 1+ 0 = 1
x
x
x → −∞
x → −∞
 π
b = lim ( x + 2arctg x − 1 ⋅ x ) = 2 ⋅  −  = −π
x → −∞
 2
m = lim
Donde, quando x tende para -∞, a função f tem assímptota horizontal de equação
y=x-π.
Graficamente tem-se:
y
0
x
3º - Intersecção com os eixos coordenados
•
Zeros:
x+2 arctg x=0 ⇔
x=0 (poder-se-ia mostrar que f não tem mais nenhum zero,
recorrendo aos teoremas de Bolzano e Rolle).
•
Intersecção com o eixo yy’:
f(0)=0
4º - Monotonia; extremos
f ′( x) = 1 + 2
1
>0
1+ x2
Como f’(x)>0 para todo o x real, f(x) é sempre crescente e não tem extremos.
38
Assim, graficamente, tem-se:
y
0
x
5º - Concavidade; pontos de inflexão
Atendendo a que f ′( x) = 1 + 2
(
f ′′( x) = −2 ⋅ 2 x ⋅ 1 + x 2
)
−2
=−
(
1
= 1+ 2 1+ x2
2
1+ x
4x
(1 + x )
2 2
=0 ⇔
)
−1
, vem
x=0
Vamos agora estudar o sinal de f’’ (x):
Se x<0, f’’ (x)>0. Logo, f(x) tem a concavidade virada para cima.
Se x>0, f’’ (x)<0. Logo, f(x) tem a concavidade virada para baixo.
Assim, f tem um ponto de inflexão em x=0, com f(0)=0.
Então, o gráfico de f é:
y
0
x
39
TESTE FORMATIVO Nº 2
1. Calcule um valor aproximado de
5
33 , usando uma aproximação linear.
Resolução:
Calcular um valor aproximado de
5
33 , com recurso a uma aproximação linear, é o
mesmo que usar a noção de diferencial de uma função f(x) num ponto a.
Consideremos a função
f ( x) = 5 x , cuja derivada é
f ′( x) =
1
55 x4
consideremos o valor da função em a=32, isto é, f (a ) = f (32) = 5 32 = 2 .
Assim, usando o conceito de diferencial, tem-se: f(33)≈f(32)+f’ (32) (33-32).
Então
5
33 ≈ 5 32 +
1
5
5 32
4
ou 5 33 ≈ 2 +
1
80
ou 5 33 ≈ 2,0125
2. Determine a expressão de uma função f que verifique as seguintes condições:
2.1. f’(x)=x3-3x2+1 ,
2.2. f’’(x)=sen(2x) ,
f(1)=2
π  1
,
f ′  =
4 π
π 
f   =1
4
Resolução:
2.1. f’(x)=x3-3x2+1 ,
f(1)=2
A função f(x) é uma primitiva (ou antiderivada) de f'(x).
Vamos usar a notação Pg (x) equivalente à notação
(
)
f(x)= P x 3 − 3 x 2 + 1 =
∫ g ( x) dx .
x4
− x3 + x + C
4
Atendendo a que f(1)=2, tem-se f (1) =
7
1
− 1 + 1 + C = 2 . Donde, C= .
4
4
x4
7
Assim, f ( x) =
− x3 + x +
4
4
40
e
2.2. f’’(x)=sen(2x) ,
π  1
f ′  =
,
4 π
π 
f   =1
4
1
f ′( x) = P sen(2 x ) + C1 = − cos(2 x ) + C1
2
π
1
1
π  1
π 
Atendendo a que f ′  = , tem-se f ′  = − cos + C1 = 0 + C1 = .
π
2
2
4 π
4
1
1
Assim, f ′( x) = − cos(2 x ) + .
π
2
1
1
1
 1
f ( x) = P − cos(2 x ) +  = − sen(2 x ) + x + C 2
π
π
4
 2
π 
Atendendo a que f   = 1 , tem-se
4
1
1 1
π 1 π
π 
f   = − sen + ⋅ + C 2 = − + + C 2 = C 2 = 1
4
2 π 4
4 4
4
1
1
Donde, f ( x) = − sen(2 x ) + x + 1
π
4
3. Determine, dentro de intervalos contidos nos respectivos domínios, as
expressões gerais das primitivas das funções definidas por:
3.1.
3.2.
3.3.
5x
8x 2 + 3
3.4.
x3
x 3 − 3 x 2 + 9 x − 27
(
1
3.5. ln x + x 2 + 36
(1 + x )
2 2
1 + tg x
cot g x
3.6.
41
x
(
3
1
x +4 x
)
)
Resolução:
3.1. P
(
)
5
16 x
5
5x
= P 2
= ln 8 x 2 + 3 + C
2
8 x + 3 16 8 x + 3 16
3.2.
P
1
(1 + x )
2 2
=P
1+ x2 − x2
(1 + x )
2 2
=P
1+ x2
(1 + x )
2 2
−P
x2
(1 + x )
2 2
(
= arctgx − P x x 1 + x 2
)
−2
= arctgx −
Vamos resolver à parte a primitiva, atendendo a: Pu v’=uv-Pu’ v
Sendo:
(
)
v ′ = 2 x 1 + x 2 −2

−1

1+ x2
1
=−
v =
−1
1+ x2

u = x

u ′ = 1
(
)
vem
P
1
(1 + x )
3.3. P
2 2
1
1
1 
1 x

= arctgx −  − x ⋅
= arctgx − 
− arctg x  + C
+P
2
2 
2
2
2 1+ x
1+ x
1+ x 

1 + tg x
=
cot g x
= Ptg x(1 + tg x ) = Ptg x + Ptg 2 x = P
(
)
sen x
+ P sec 2 x − 1 = − ln (cos x ) + tg x − x + C
cos x
42
(
)
−2
1
P {x 2 x 1 + x 2
43
2 u 142
v′
x3
3.4. P 3
x − 3 x 2 + 9 x − 27
A função a primitivar é uma fracção racional, em que o grau do numerador é igual ao
do denominador. Vamos começar por dividir o numerador pelo numerador, para
depois decompor o denominador em factores.
x3
x3
-x3
+3x2
-9x
+27
3x2
-9x
+27
-3x2
+9x
-27
1
Assim,
x3
x 2 − 3x + 9
3 x 2 − 9 x + 27
=1+ 3
=1+3 3
x 3 − 3 x 2 + 9 x − 27
x − 3 x 2 − 9 x − 27
x − 3 x 2 − 9 x − 27
Atendendo a que x=3 é uma raiz do denominador, pela regra de Ruffini, vem
1
3
1
-3
9
-27
3
0
27
0
9
0
Donde
1+3
x 2 − 3x + 9
x 2 − 3x + 9
=1+3
( x − 3) x 2 + 9
x 3 − 3 x 2 − 9 x − 27
(
)
x 2 − 3x + 9
a
bx + c
=
+ 2
2
( x − 3) x + 9 x − 3 x + 9
(
(
)
(x
2
+9
) ( x − 3)
)
x 2 − 3 x + 9 = a x 2 + 9 + (bx + c )( x − 3)
Fazendo x=3, vem a=1/2. Substituindo este valor encontrado para a na igualdade
anterior, vem
9

1
x 2 − 3x + 9 =  + b  x 2 + + (c − 3b )x − 3c
2

2
43
Donde,
1
1
+b =1 ⇒ b =
2
2
− 3c = 9 ⇒ c = −3

x 2 − 3x + 9
Assim, P 1 + 3
( x − 3) x 2 + 9

(
)
1
 1

x − 3


x 2 − 3x + 9
=
 =P1+3P
=x+3P  2 + 2 2
2
( x − 3) x + 9
 x−3 x +9 





(
)
1
3
1
1
1
2x
=x+3 P
=
+ ⋅ 2P 2
− 3 ⋅ 3P
2 x−3 2
x +9
 x 2 
9   + 1
 3 



(
)
3
 x
=x+ ln x − 3 + ln x 2 + 9 − arctg   + C
2
3
)
(
(
3.5. P ln x + x 2 + 36 = P 1⋅ ln x + x 2 + 36
)
)
(
Vamos fazer esta primitiva por partes, fazendo u= ln x + x 2 + 36 e v'=1.
Assim, tem-se:
(
)
u = ln x + x 2 + 9

′

x + x2 + 9
u ′ =
=

x + x2 + 9
(
)
1
x +9
v ′ = 1

v = x
2
Donde
)
(
)
(
P1⋅ ln x + x 2 + 36 = x ln x + x 2 + 36 − Px ⋅
(
)
(
1
= x ln x + x + 36 − P 2 x ⋅ x 2 + 36
2
(
2
)
)
−1 / 2
1
x + 36
2
(
=
)
(
1 x 2 + 36
= x ln x + x + 36 −
1
2
2
= x ln x + x 2 + 36 − x 2 + 36 + C
44
2
)
1/ 2
+C=
3.6. P
x
(
3
1
x +4 x
)
Vamos fazer esta primitiva por substituição:
12
x =t
⇒ x ′ = 12t 11
x = t 12
P
x
(
3
1
x +4 x
)
=P
(12=m.m.c.(2,3,4))
1
t 11
t2
11
⋅
12
t
=
12
P
=
12
P
t +1
t6 t4 + t3
t 9 (t + 1)
(
)
t2
-t2
-t
t+1
-t
t-1
t
+1
1
12 P
(
)
t2

t2
1 

 − t + ln (t + 1) + C = 66 x − 12 x + ln 12 x + 1 + C
=
= 12 P t − 1 +
12

t +1
t +1

2

4. Calcule a área da região do plano limitada por
x ≤ 2,
− 4 − x2 ≤ y ≤ 3
Resolução:
Vamos começar por representar a região dada, atendendo às equações dadas.
x ≤ 2 ⇔ −2≤ x≤2
− 4 − x2 = y ⇔ 4 − x2 = y2
⇔
x2 + y2 = 4
A equação x2+y2=4 representa graficamente uma equação de centro na origem e
raio 2. A circunferência tem dois ramos de equações y = − 4 − x 2 e y = 4 − x 2
Assim, tem-se:
− 4 − x2 ≤ y ⇔ 4 − x2 ≥ y2
⇔
x2 + y2 ≤ 4
45
A região cuja área se pretende calcular é a região a tracejado representada na
figura:
y
3
2
-2
02
x
-2
A área é dada por:
∫ (3 +
)
2
4 − x 2 dx
−2
Para calcular o valor deste integral, vamos aplicar a parte 2 do teorema
fundamental do cálculo (ou fórmula de Barrow). Temos então que começar por
calcular uma primitiva da função integranda.
)
(
P 3 + 4 − x 2 = 3x + P 4 − x 2
Para calcularmos P 4 − x 2 teremos que recorrer a uma substituição
trigonométrica:
x
2
t
4 − x2
sent =
x
⇒
2
t = arcsen
x = 2 sent
x
2
x ′ = 2 cos t
cos t =
4 − x2
2
⇒
4 − x 2 = 2 cos t
46
P 4 − x 2 = P 2 cos t ⋅ 2 cos t = 4 P cos t cos t
Vamos fazer P cos t cos t por partes.
v ′ = cos t

v = sent
u = cos t

u ′ = − sent
(
)
P cos t cos t = sent cos t + Psen 2 t = sent cos t + P 1 − cos 2 t = sent cos t + t − P cos 2 t
Donde
2 P cos 2 t = sent cos t + t ⇒ P cos 2 t =
1
(sent cos t + t )
2
x
4 − x2
+ arcsen
4 P cos t = 2 sent cos t + t = x
2
2
2
P 4 − x2 = x
x
4 − x2
+ arcsen
2
2
Donde
∫ (3 +
2
4− x
−2
2
)
2

x
4 − x2
+ arcsen  =
dx = 3 x + x
2
2 

−2
= 6 + 0 + arcsen1 + 6 + 0 − arcsen(−1) = 12 + 2 ⋅
π
2
= 12 + π
5. De um modo geral, desiganam-se por integrais indefinidos os integrais da
forma
b( x)
∫ f (t ) dt .
a( x)
5.1. Se a(x) e b(x) forem funções diferenciáveis e f(t) for contínua para todo o
′
 b( x)

x, prove que  ∫ f (t ) dt  = f (b( x )) ⋅ b ′( x) − f (a ( x )) ⋅ a ′( x) .


 a( x)

5.2. Use 5.1. para calcular:
x
d  t sen t 2 
e ⋅
5.2.1.
dt

dx  x∫3
t

2
47
5.2.2.
d2
dx 2
 sent

4
∫0  ∫1 1 + u du  dt
x
Resolução:
′
 b( x)

5.1. Para mostrar que  ∫ f (t ) dt  = f (b( x )) ⋅ b ′( x) − f (a ( x )) ⋅ a ′( x) , vamos supor que


 a( x)

′
 b( x)

b( x) ′
F(t) é uma primitiva de f(t). Atendendo a que  ∫ f (t ) dt  = [F (t )]a ( x ) e pela


 a( x)

(
regra
da
derivada
da
função
)
composta,
([F (t )] )′ = (F (b( x)) − F (a( x)))′ = f (b( x)) ⋅ b′( x) − f (a( x)) ⋅ a′( x) ,
b( x)
a( x)
vem
como
queríamos mostrar.
5.2. tendendo-se a 5.1., tem-se:
x
d  t sen t 2 
e ⋅
5.2.1.
dt =

dx  x∫3
t

2
′
2
4
6
6
 x t sen t 2 
2
sen x 4
x 3 sen x
2
x 2 sen x
x 3 sen x
dt  = e x ⋅
x
e
x
e
e
= ∫e ⋅
⋅
2
−
⋅
⋅
3
=
2
⋅
−
3
⋅
 3

t
x
x
x2
x3
x

5.2.2.
d2
dx 2
 sent

4
∫0  ∫1 1 + u du  dt
x
sent
∫
Seja f (t ) =
1 + u 4 du . Vamos começar por calcular
1
x

d 
 ∫ f (t ) dt  :


dx  0

x
senx

d 
 f (t ) dt  = f (x) = ∫ 1 + u 4 du

dx  ∫0
1

d2
Então,
dx 2
senx
 sent


d 
4
4



 = 1 + sen 4 x ⋅ cos x
′
+
1
u
du
dt
=
f
(
x
)
=
1
+
u
du
∫0  ∫1
∫



dx  1


x
48
6. Calcule o valor dos seguintes integrais, sempre que possível:
+∞
6.1.
π /4
6.2.
+∞
1
∫2 (x + 3)3 / 2 dx
cos x
∫
senx
0
6.5.
dx
+∞
6.6.
dx
∫
1
∫ z ln z dz
6.7.
x−3
∫0 2 x − 3dx
6.8.
2
∫
1
dx
x (1 + x )
0
0
e
0
x
dx
x
+∞
2
6.4.
−x
−∞
2
6.3.
∫e
∫ cos
2
x dx
−∞
Resolução:
Todos os integrais dados são impróprios. Uns são impróprios de 1ª espécie (a função
integranda é limitada no intervalo de integração que é ilimitado), outros são
impróprios de 2ª espécie (a função integranda é ilimitada no intervalo de integração
que é limitado) e ainda outros são mistos ou impróprios de 3ª espécie (a função
integranda é ilimitada no intervalo de integração que é ilimitado).
Qualquer destes integrais resolve-se recorrendo a limites. Quando cada um desses
limites existe o integral diz-se convergente; caso contrário, diz-se divergente.
+∞
6.1.
1
∫ (x + 3)
3/ 2
dx
2
Este integral é impróprio de 1ª espécie.
+∞
a
1
(x + 3)−3 / 2 dx
∫2 (x + 3)3 / 2 dx = alim
∫
→ +∞ 2
 ( x + 3)−1 / 2 

1
1 
2
= lim 
−
 =
 = −2 lim
− 1/ 2  2
a → +∞ 
5
5
 a →+∞ a + 3
a
49
π /4
6.2.
cos x
∫
senx
0
dx
Este integral é impróprio de 2ª espécie.
π /4
∫
0
π /4
cos x
senx
dx = lim
a →0
∫ cos x(senx )
−1 / 2
a

 (senx )1 / 2 
π
dx = lim 
 = 2 sen − lim
4 a →0
1/ 2 
a →0 


sena  =

2
= 23 / 4
2
=2
2
6.3.
∫z
2
ln z dz
0
Este integral é impróprio de 2ª espécie.
2
2
∫ z ln z dz = lim
2
∫z
2
ln z dz
a →0 a
0
Vamos calcular o integral por partes, atendendo à fórmula
b
b
∫ u ⋅ v′dx = [u ⋅ v] − ∫ u ′ ⋅ v dx ,
b
a
a
em que u=u(x) e v=v(x)
a
Fazendo:
v ′ = z 2


z3
v
=

3

u = ln z


1
u ′ = z
Assim:
2
2
 z3

1
1
lim ∫ z ln z dz = lim  ln z  − lim ∫ z 3 ⋅ dz =
z
a →0 a
a →0  3
 a 3 a →0 a
2
2
2
 z3 
1
1
=  8 ln 2 − lim a 3 ln a  − lim  
3
a →0
 3 a →0  3  a
Como lim a 3 ln a é uma indeterminação do tipo 0×∞, vamos recorrer à regra de
a →0
L'Hôpital para levantar a indeterminação:
1
ln
a
a = − 1 lim a = 0
lim a 3 ln a = lim −3 = lim
−2
3 a →0
a →0
a →0 a
a → 0 − 3a
50
Assim, tem-se:
2
 z3 
8
18
1
1
1
 8

3
 8 ln 2 − lim a ln a  − lim   = ln 2 −  − 0  =  ln 2 − 
33
3
3
a →0
 3 a →0  3  a 3
 3
2
6.4.
x−3
∫ 2 x − 3dx
0
Este integral é impróprio de 2ª espécie, pois x=3/2 não pertence ao domínio da
função integranda.
x−3
x−3
x−3
dx + lim ∫
dx
∫0 2 x − 3dx = alim
∫
b →3 / 2 b 2 x − 3
→3 / 2 0 2 x − 3
a
2
2
Vamos calcular uma primitiva da função integranda. Como esta é uma fracção
racional, em que o grau do numerador é igual ao do denominador, então temos
que começar por dividir o numerador pelo denominador.
Começamos por atender a que
x−3 1 x−3
= ⋅
3
2x − 3 2
x−
2
x
-3
x
-x
+3/2
1
-3/2
-3/2
Vem então


x − 3 1 x − 3 1  − 3 / 2 
= ⋅
= 1+
3 2
3
2x − 3 2
x−
x − 

2
2








3
3
1
− 3/ 2  1 
3
1  1 
P 1 +
= P1 − P
=  x − ln x −
3
3
2
2
2
2
2
2
x − 
x − 


2
2


Donde
x−3
x−3
dx + lim ∫
dx =
lim ∫
a →3 / 2 0 2 x − 3
b →3 / 2 b 2 x − 3
a
2
51



a
2



1
3
3
3
3 
=  lim  x − ln x −  + lim  x − ln x −   =
2  a→ 3 
2
2  0 b→ 3 
2
2 b 
2

 2


1
3
3
=  lim  a − ln a −
2  a→ 3 
2
2
 2
 3 3

3 3
3
3
 + ln + 2 − ln − lim  b − ln b −
2 2 b→ 3 
2
2
 2 2
2


  =


13 3
3 3
3 3 3 3

=  − ln 0 + ln + 2 − ln − + ln 0  = 1
22 2
2 2
2 2 2 2

+∞
6.5.
∫e
−x
dx
−∞
Este integral é impróprio de 1ª espécie.
Atendendo a que
e
−x
e x
=  −x
e
graficamente, e
, se x < 0
, se x ≥ 0
−x
é da forma
y
1
0
x
Como esta função é par, tem-se:
+∞
∫e
−∞
+∞
6.6.
∫
0
−x
+∞
dx = 2 ∫ e − x dx = 2 lim
0
a
∫e
−x
[ ]
dx = −2 lim e − x
a → +∞ 0
a → +∞
a
0
= −2 lim e − a − 1 = 2
 a →+∞

1
dx
x (1 + x )
Este integral é impróprio de 3ª espécie. Vamos desdobrá-lo em dois integrais, um
impróprio de 2ª espécie e outro de 1ª espécie.
52
+∞
1
1
∫
x (1 + x )
0
+∞
1
dx = ∫
dx +
x (1 + x )
0
∫
1
1
1
dx = lim
x (1 + x )
∫
a →0 a
b
1
dx + lim
x (1 + x )
∫
b → +∞ 1
1
dx
x (1 + x )
Vamos calcular uma primitiva da função integranda recorrendo ao método de
substituição, fazendo
x =t ⇒
x = t2
x ′ = 2t
Tem-se também:
x→a ⇒ t→ a
x →1 ⇒ t →1
x→b ⇒ t → b
Assim,
1
1
1
1
1
⋅ t dt = 2 ∫
dt De modo análogo se escreve para o
dx = 2 ∫
2
1+ t2
t 1+ t
x (1 + x )
a
a
1
∫
a
(
)
outro integral.
Vamos agora calcular uma primitiva da função integranda.
1
= arctg t
1+ t2
P
Donde,
1
∫
lim
a →0 a
b
1
dx + lim ∫
b → +∞ 1
x (1 + x )
b


dx = 2 lim [arctg t ] a + 2 lim arctg t  =
b → +∞
a →0
x (1 + x )

1
1
1
π π π 
= 2 + −  =π
4 2 4
1
6.7.
∫
0
x
e
x
dx
Este integral é impróprio de 2ª espécie.
1
∫
0
e
1
x
x
dx = lim
∫
e
a →0 a
1
x
x
dx = lim
∫2
a →0 a
1
2 x
e
x
a →0
Nota:
Atender a que
[ ] = 2 e − lim e
dx = 2 lim e
( x )′ = 2 1 x
53
x
1
a
a →0
a
 = 2(e − 1)


+∞
∫ cos
6.8.
2
x dx
−∞
Este integral é impróprio de 1ª espécie. Como a função integranda é par, tem-se:
+∞
+∞
2
2
∫ cos x dx = 2 ∫ cos x dx = 2 lim
−∞
a
∫ cos
2
x dx .
a → +∞ 0
0
No exercício 4., foi já calculada uma primitiva de cos2x:
P cos 2 x =
1
(sent cos t + 1)
2
a
a
Assim, 2 lim
∫ cos
a → +∞ 0
2
x dx = lim [sent cos t + 1] = lim (sena cos a + 1) − 1
a → +∞
0
a → +∞
Este limite não existe. Logo, o integral dado é divergente.
7. Seja f a função real de variável real definida por f(x)=ex.
7.1. Determine a função h(x) tal que h′(x) =
f(x)
3π
e lim h(x) =
.
x
→
−∞
4 + f(2x)
4
+∞
7.2. Estude a natureza do integral
∫ x f(x
3
2
) dx
0
Resolução:
ex
.
4 + e 2x
7.1. Atendendo a que f(x)=ex, vem h′(x) =
Então, h(x)=P
ex
1
= P
2x
4+e
4
ex
 ex 
1 +  
2
Atendendo a que lim h(x) =
x → −∞
2
=
 ex 
1
arctg  + C .
4
 2
3π
, vem
4

1
 ex 
3π
lim  arctg  + C  = 0 + C =
x → −∞ 4
4
2


⇔ C=
 e x  3π
1
Donde, h(x)= arctg  +
4
 2 4
54
3π
4
+∞
7.2. ∫ x 3f(x 2 ) dx =
0
+∞
a
3 x
3 x
∫ x e dx = lim ∫ x e dx
2
2
a → +∞
0
0
Vamos agora calcular a primitiva da função integranda:
C. A.
Puv'=uv-Pu'v
v′ = 2xe x

2
v = e x
u = x 2

u′ = 2x
P x 3e x =
2
2
(
) (
)
(
)
2
2
2
2
1 2
1
1
1 2
x2
P x{ 2xe
= x 2e x − P2xe x = x 2e x − e x = e x x 2 − 1
1
2
3
2 u
2
2
2
v′
a
Então lim ∫ x 3e x dx =
2
a → +∞
0
[ (
)]
2
1
lim e x x 2 − 1
2 a → +∞
a
0
= +∞
Conclui-se que o integral dado é divergente.
FIM
55
(Fórmula de Barrow)