Problemas Tipo - Série 2
Preparação para Teste No. 1
CONTROLO
EEC-IST
Nov 2008
Q.1 [6 val] A Figura 1 representa um sistema de controlo de velocidade de um motor de
corrente contínua com função de transferência 1/(s+1). O controlador consiste numa malha de
retroacção interna de velocidade (através de Kd) em conjunto com uma malha externa de
retroacção com ganho integral (através do termo Kd /s). Na figura, r é o sinal de referência, d
representa um perturbação à entrada, e n é o ruído no sensor.
d
r
e
u
Kp /s
1/(s+1)
y
Kd
n
Figura 1. Sistema de controlo em malha fechada.
1.a – Mostre que o sistema de controlo em malha fechada é estável para quaisquer valores de
Kd, Kp >0.
1.b – Mostre que o sistema em malha fechada exibe erro estático de posição igual a zero, isto é,
se a referência r for um escalão unitário, então lim t e(t) = 0. Utilize o teorema do valor final.
Justifique intuitivamente o resultado obtido.
1.c – Discuta a seguinte afirmação: o sistema em malha fechada rejeita completamente em
regime estacionário (na saída y) o efeito de uma perturbação constante em d. Utilize o teorema
do valor final.
1.d – Mostre que o sistema em malha fechada permite seguir um sinal de entrada tipo rampa
t, t  0
r(t)=
0, t<0
com erro estacionário finito, diferente de zero. Calcule uma combinação de valores de Kd, Kp
tais que o erro estacionário seja menor ou igual a 0.01. Utilize o teorema do valor final.
1.e – Suponha agora que se pretende que o erro estacionário de seguimento a uma rampa seja
exactamente zero. Para isso, propõe-se que o bloco Kp/s (integrador simples) seja substituído
por Kp/s2 (integrador duplo). Verifique se o sistema resultante permite atingir o objectivo
enunciado.
1.f – Consider novamente o esquema da Figura 1. Discuta se é possível, por escolha adequada
de Kd, Kp garantir que na mesma gama de frequências se consegue bom seguimento de sinais de
referência r e boa atenuação do ruído n. Sugestão: calcule explicitamente as funções de
transferência em malha fechada E(s)/R(s) e Y(s)/N(s), e verifique se pode fazer
simultaneamente |E(j)/R(j)| < e |Y(j)/N(j)| < com  pequeno maior que zero.
Q.2 [6 val] Considere o sistema de controlo da Figura 2, onde
P(s) 
1
(s - 1)(s - 10)
é a função de transferência do sistema a controlar e K(s) é um controlador. Note que o sistema a
controlar é instável! Os sinais r e y denotam respectivamente a entrada e a saída do sistema
total em malha fechada.
r
e
K(s)
u
P(s)
y
Figura 2. Sistema de controlo em malha fechada.
2.a – Suponha que o controlador tem uma estrutura simples proporcional, isto é
K(s)  k;k  0 .
Mostre que o sistema de controlo resultante é instável para qualquer valor do ganho k. Resolva
esta alínea utilizando a técnica do traçado do diagrama lugar geométrico das raízes (root-locus).
Justifique detalhadamente o traçado do diagrama (estude as porções do diagrama sobre o eixo
real, intersecções com o eixo imaginário, raízes múltiplas, e assímptotas).
2.b – Considere agora um controlador (tipo proporcional + derivativo)
K(s)  k (s  1) .
Mostre que o sistema de controlo resultante é estável para valores suficientemente elevados de
k. Em particular, determine o valor mínimo de k que permite estabilizar o sistema de controlo
em malha fechada. Justifique detalhadamente o traçado do diagrama (estude as porções do
diagrama sobre o eixo real, intersecções com o eixo imaginário, raízes múltiplas, e assímptotas).