Homework 04
(Análise no domínio do tempo, Sistemas de 1ª ordem)
1) Considere o sistema de 1ª ordem de malha aberta abaixo. Determine o e(t) = r(t) – y(t) assim
como E(s) = R(s) – Y(s) quando a entrada é um degrau unitário. Verificar que para que o erro em
estado estacionário ess seja 0 (zero) o valor de K deve ser ajustado para K = 1/Ko e portanto não
depende da constante de tempo T.
R(s)
K
Ko
(Ts+1)
Y(s)
2) Considere o sistema de 1ª ordem de malha fechada abaixo. Encontre a FTMF (Função de
Transferência de malha fechada). Determine o erro e(t) = r(t) – y(t) assim como E(s) = R(s) – Y(s)
quando a entrada é um degrau unitário u1(t). Verificar que para que o erro em estado estacionário ess → 0 (zero) o valor de K deve ser ajustado para K >> 1/Ko e portanto não depende da
constante de tempo T.
R(s)
+
Ko
(Ts+1)
K
-
Y(s)
3) Para o sistema do exercício 2 acima, suponha que o ganho Ko = 10. Calcule K para o qual o erro
em estado estacionário ess seja ess < 0,1; ess < 0,01; ess < 0,001, etc.
4) Para os sistemas dos exercícios 1 e 2 acima, suponha que o ganho Ko = 10. No caso de Ko sofrer
uma variação de 10% (∆Ko ≅ 10%), isto é, ∆Ko ≅ 1, calcule qual será a variação do erro em estado
estacionário |ess| em ambos os sistemas substituindo Ko por Ko ± ∆Ko. Note que no caso de malha
aberta |ess| = 0,1 enquanto que no caso de malha fechada, dependendo do valor de K escolhido
(K = 1, K = 10, K = 100, etc.), |ess| pode ser |ess| ≅ 0,1 ou |ess| ≅ 0,01, ou |ess| ≅ 0,001,etc. Ou
seja, o sistema de malha fechada é menos sensível/suscetível à variações do ganho Ko que o
sistema de malha aberta. Este exercício ilustra como um sistema de malha fechada é mais
robusto às variações de parâmetros que um sistema de malha aberta.
5) Considere o sistema de 1ª ordem de malha fechada abaixo. Calcule a sua FTMF (Função de
Transferência de malha fechada) e mostre que o ganho é Ko/(1+KKo) e a constante de tempo é
T/(1+KKo). Calcule qual o valor que deve ter K para obtermos uma nova constante de tempo que
seja T/2, a metade da constante de tempo original T. Este exercício ilustra como que, com o uso
de realimentação (‘feedback’), pode-se reduzir a constante de tempo original de um sistema de
1ª ordem (ou seja, tornar o sistema mais rápido).
R(s)
+
-
Ko
(Ts+1)
K
Y(s)
Solução: K = 1/Ko.
6) Para o sistema do exercício 5 acima, calcule qual é o valor do novo ganho quando escolhemos K
para reduzir a constante de tempo para a metade, ou seja, quando fazemos K = 1/Ko. Este
exercício mostra que paga-se um preço para tornar o sistema mais rápido: o ganho do sistema
também cai (de Ko para Ko/(1+KKo)).
Solução: novo ganho = Ko/(1+KKo).
7) Para o sistema dos exercícios 5 e 6 acima, esboce os gráficos da saída (‘output’) do sistema
original em malha aberta e do sistema realimentado em malha fechada quando fazemos K = 1/Ko
para entrada (‘input’) degrau unitário. Compare os 2 gráficos.
8) Considere o sistema de 1ª ordem de malha fechada abaixo. Observe que na entrada temos um
‘somador’ e não um ‘detetor de erros’. Este tipo de malha fechada (‘closed loop’) é chamado de
realimentação positiva (‘positive feedback’). Ache a sua FTMF (Função de Transferência de malha
fechada) e mostre que o ganho permanece inalterado e a constante de tempo é reduzida para TKKo. Determine qual o valor que deve ter K para obtermos uma nova constante de tempo que seja
T/2 (i.e., a metade da constante de tempo original T). Este exercício ilustra como que, com o uso
de realimentação positiva (‘positive feedback’), pode-se reduzir a constante de tempo original T
de um sistema de 1ª ordem sem alterar o ganho original do sistema Ko. Entretanto, corre-se o
risco de o sistema ficar instável no caso de alguns dos parâmetros (Ko ou T) variarem com o tempo
(devido à envelhecimento ou sensibilidade à temperatura, etc.). Estabilidade é assunto de um
capítulo mais adiante da matéria.
R(s)
+
Ko
(Ts+1)
+
Y(s)
Ks
Solução: K = T/2Ko.
9) Para o sistema do exercício 8 acima, esboce os gráficos da saída (‘output’) do sistema original
em malha aberta e do sistema realimentado em malha fechada quando fazemos K = T/2Ko para
entrada (‘input’) degrau unitário. Compare os 2 gráficos.
10) Suponha que o sistema de 1ª ordem de malha fechada dado na figura abaixo apresenta uma
resposta ao degrau unitário em regime estacionário (‘steady state’) de 1,5 (i.e., yss = 1,5).
Descubra o valor de K. Qual é a constante de tempo do sistema?
R(s)
+
3
(s − 5)
-
Y(s)
K
Solução: K = 2.333 e T = 0,5.
11) Considere o sistema de 1ª ordem de malha fechada dado abaixo. Determine a sua FTMF
(Função de Transferência de malha fechada), o ganho Ko e a constante de tempo T. Para uma
entrada degrau unitário, qual é o valor da resposta no instante t = 6s [ i.e., y(6) ]? E qual é o valor
da resposta em regime estacionário (‘steady state’)[ i.e., yss ]?
R(s)
+
-
2
5s + 1
2s + 1
Y(s)
Solução: y(6) = 0,576 e yss = 0,666.
12) Considere o sistema de 1ª ordem de malha fechada do exercício 11 acima: para uma entrada
degrau unitário, qual é o valor da resposta no instante t = 3s [ i.e., y(3) ]?
Solução: y(3) = 0,42.
13) Considere o sistema de 1ª ordem de malha fechada do exercício 11 acima: para uma entrada
degrau unitário, qual é o valor da resposta no instante t = 9s [ i.e., y(9) ]?
Solução: y(9) = 0,633.
Felippe de Souza