ANÁLISE NUMÉRICA DOS PERFIS DE CHAPA DOBRADA
DE SEÇÃO TIPO C
MÁRCIA SARMENTO SANTOS
Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia
da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como
parte das exigências para obtenção de título de Doutor
em Ciências de Engenharia.
Orientador: Prof. Luiz Felippe Estrella Jr.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE – UENF
CAMPOS DOS GOYTACAZES – RJ
MARÇO – 2000
i
ANÁLISE NUMÉRICA DOS PERFIS DE CHAPA DOBRADA
DE SEÇÃO TIPO C
MÁRCIA SARMENTO SANTOS
Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia
da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como
parte das exigências para obtenção de título de Doutor
em Ciências de Engenharia.
Aprovada em 30 de março de 2000
Comissão Examinadora:
Prof. Pedro Colmar Gonçalves da Silva Vellasco, PhD – FEN/UERJ
Prof. Sebastião Arthur Lopes de Andrade, PhD – FEN/UERJ
Prof. José Guilherme Santos da Silva, DSc – FEN/UERJ
Profa Vânia José Karan, DSc – LECIV/UENF
Prof. Luiz Felippe Estrella Júnior, PhD – LECIV/UENF
Orientador
ii
AGRADECIMENTOS
À minha filha Carolina, meu marido Ubiracy e todos amigos e familiares que
compreenderam e ajudaram nas minhas ausências e nos momentos difíceis.
Aos funcionários da UENF, que sempre foram dedicados e atenciosos para a
melhor realização deste trabalho.
A todos os membros desta banca, que se dispuseram a comparecer e tão
seriamente fizeram seu trabalho.
iii
ÍNDICE
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.1.
GENERALIDADES............................................................................................1
1.2.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA..............................................................................4
1.3.
OBJETIVOS DA TESE......................................................................................9
1.4.
ESCOPO DA TESE.........................................................................................11
CAPÍTULO 2 - ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS PLACAS
2.1.
INTRODUÇÃO.................................................................................................13
2.2.
O MÉTODO DAS LARGURAS EFETIVAS......................................................20
2.2.1. Placas Enrijecidas.................................................................................24
2.2.2. Placas Não-Enrijecidas.........................................................................27
2.2.3. Carregamento de Compressão Uniformemente Variável......................28
2.3.
PLACAS NO ESTADO DE SERVIÇO.............................................................34
2.3.1. Aproximação de Thomasson.................................................................35
2.3.2. Aproximação de Mulligan.......................................................................37
2.3.3. Aproximação Utilizada...........................................................................43
2.4.
LARGURA EFETIVA SEGUNDO AS NORMAS: AMERICANA E EUROCODE
2.4.1. Introdução..............................................................................................46
2.4.2. Placas Enrijecidas.................................................................................46
2.4.3. Placas Não-Enrijecidas.........................................................................52
2.4.4. Enrijecedor do Perfil C..........................................................................56
2.5.
A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS
2.5.1. Eurocode 3............................................................................................58
2.5.2. AISI-90.................................................................................................58
2.5.3. AISI-90*.................................................................................................59
2.5.4. BANDA FINITA.....................................................................................59
iv
CAPÍTULO 3 - LARGURA EFETIVA PELO MÉTODO DA BANDA FINITA
3.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................60
3.2. DIFERENÇA ENTRE OS MÉTODOS.................................................................61
3.3. DESENVOLVIMENTO........................................................................................62
3.4. DISCRETIZAÇÃO..............................................................................................74
3.5. ANÁLISE DA INSTABILIDADE LOCAL.............................................................78
3.6. A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA FINLOC...........................................95
CAPÍTULO 4 - A INTERAÇÃO ENTRE AS FLAMBAGENS LOCAL E GLOBAL
4.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................98
4.2. DESCRIÇÃO DA INTERAÇÃO ENTRE OS MODOS DE FLAMBAGEM............98
4.3. O ELEMENTO FINITO......................................................................................102
v
CAPÍTULO 5 - RESULTADOS
5.1 – INTRODUÇÃO...............................................................................................105
5.2 – ANÁLISE DOS RESULTADOS......................................................................110
5.3 – A INFLUÊNCIA DA DEFORMADA INICIAL E DA EXCENTRICIDADE DA
CARGA NO PERFIL DE CHAPA DOBRADA...............................................125
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES...............................................................................135
BIBLIOGRAFIA........................................................................................................137
vi
NOTAÇÕES
LETRAS DO ALFABETO ROMANO
A – área da seção plena
a – comprimento da placa
Ae – área da seção efetiva para carga uniforme igual à fy
b – largura da placa
b1, b2, b3 – larguras de cálculo das paredes do perfil C
bc – largura comprimida da placa
be – largura efetiva
bo - largura tracionada da placa
bp – largura plana da placa
bp1 – largura plana da placa 1
bp2 – largura plana da placa 2
C – centro de torção
CG = G – centro de gravidade do perfil C
CGe = Ge – centro de gravidade efetivo do perfil C
d – deslocamento transversal
D – rigidez da placa à flexão
dy – deformada inicial do perfil na direção y
dyL, dzL – flechas máximas medidas
dz – deformada inicial do perfil na direção z
E – módulo de elasticidade
ep – excentricidade da carga
fy – limite elástico
H – função de forma
I3 – matriz identidade 3 x 3
k – coeficiente de flambagem
Kσ - matriz tensão inicial
K0 – matriz dos pequenos deslocamentos
k1C – coeficiente de flambagem da placa 1 da seção C
k1U – coeficiente de flambagem da placa 1 da seção U
vii
k2 – coeficiente de flambagem da aba
L – comprimento da banda finita
m – semi-ondas de flambagem longitudinalmente
Mx, My, Mxy - momentos
n – semi-ondas de flambagem transversalmente
NBP – número de bandas finitas por placa
P – ponto de aplicação da carga
Pa – caminho de equilíbrio adjacente
Pcr – carga crítica de flambagem global da coluna
Pcr,s – carga crítica de flambagem local da seção
Pexp – carga de ruína experimental
Pf – caminho de equilíbrio fundamental
Pf,y – carga crítica de flambagem por flexão
Pft1 – carga crítica de flambagem por flexo-torção
Pr,th – carga teórica de ruína
Pruína = PR – carga de ruína numérica
Py – carga de ruína plástica
R – raio interno entre b1 e b2
RI – raio interno entre b2 e b3
rmin – raio de giração mínimo da seção transversal
t – espessura da placa
u – campo dos deslocamentos
w – deformação transversal da placa
W 1, W 2, W 3 – larguras totais das placas
wo - imperfeição inicial
yp - excentricidade da carga aplicada
viii
LETRAS DO ALFABETO GREGO
ε - deformação longitudinal total
εe - deformação longitudinal nos bordos da placa
εp – deformação para tensão linear plana
εb – deformação para flexão
ε Lp - parcela não-linear do Tensor de Green
εcr,p – deformação crítica da placa
λ - multiplicador crítico (auto-valor)
λC – multiplicador da tensão crítica de uma seção C
λU – multiplicador da tensão crítica de uma seção U
λ p - esbeltez reduzida da placa para o estado de serviço
λ py - esbeltez reduzida da placa na ruína
ν - coeficiente de Poisson
π - energia potencial total
θ - rotações nos bordos das placas
ρ = be/b – coeficiente de redução da largura efetiva
ρy - coeficiente de redução da largura efetiva para uma placa sob fy
σ - tensão uniaxial de compressão na direção x
σ1 – tensão de compressão de sinal positivo e de maior valor absoluto
σ2 – tensão que pode ser de compressão (positiva) ou de tração (negativa)
σcr = σcr,p = σcr,local – tensão crítica de flambagem local
σm – tensão de compressão uniforme atuante sobre b
σemáx – tensão máxima no bordo não carregado da placa
σem – tensão média no bordo não carregado da placa
σx – tensão não-uniforme atuante sobre b
σe – tensão variável no bordo não carregado
∆ - parâmetros nodais
Ψ - coeficiente que define o tipo de solicitação ( Ψ=σ2/σ1)
ix
ABREVIAÇÕES
AISI – American Iron and Steel Institute
PUC-RIO – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Tecgraf – Grupo de Computação Gráfica
SSRC – Strutural Stability Research Council
BF-M – carga de ruína numérica com o MBF e as equações de MULLIGAN[43]
BF-E - carga de ruína numérica com o MBF e as equações do EUROCODE 3[21]
BF-W – carga de ruína numérica com o MBF e as equações de WINTER[74]
MBF – Método das Bandas Finitas
EURO - carga de ruína numérica com as equações do EUROCODE[21], segundo
[20]
AISI - carga de ruína numérica com as equações do AISI[1], segundo [20]
AISI* - carga de ruína numérica com as equações do AISI[1] levando em conta a
eficácia do enrijecedor segundo [20]
FINLOC – programa computacional [20]
BANFIN – programa com o MBF desenvolvido nesta tese
x
LISTA DE FIGURAS
1.1 – Eficiência estrutural x seção transversal, WINTER[74].......................................1
1.2 - (a) Produtos tipo seção;
(b) Produtos tipo chapa.......................................................................................2
1.3 – Representação do perfil C..................................................................................9
2.1 – Comportamento de uma estrutura perfeita[20]..................................................14
(a) Comportamento não-linear
(b) Comportamento linear
2.2 – Placa retangular submetida à uma carga de compressão
no seu plano......................................................................................................15
2.3 – Os caminhos de equilíbrio fundamental e adjacente relativos
à equação 2.1 do problema de flambagem das placas.....................................16
2.4 – Coeficientes de flambagem para placas enrijecidas e submetida
a uma carga uniaxial de compressão uniforme.................................................17
2.5 – Configuração de flambagem para uma placa enrijecida e submetida
a uma compressão uniaxial uniforme................................................................18
2.6 – Coeficientes de flambagem mínimo para uma placa enrijecida e
submetida a uma compressão variável linearmente[7].....................................19
2.7 – Coeficiente de flambagem de uma placa não enrijecida e
submetida a uma compressão variável linearmente[7].....................................19
2.8 – Resposta de uma placa real..............................................................................20
2.9 – O conceito da largura efetiva.............................................................................22
(a) Placa deformada;
(b) Placa enrijecida;
(c) Placa não-enrijecida
2.10 – Curvas de larguras efetivas.............................................................................26
2.11 – Comparação de curvas de largura efetiva.......................................................28
2.12 – Placa enrijecida submetida a uma compressão excêntrica
constante.........................................................................................................29
2.13 – Placa enrijecida submetida a uma carga com excentricidade
constante.........................................................................................................30
2.14 – Notação e distribuição das larguras efetivas...................................................31
2.15 – Distribuição das larguras efetivas....................................................................32
xi
2.16 – Largura efetiva da alma da seção submetida à flexão pura,
de acordo com DEWOLF e GLADDING[18]....................................................33
2.17 – Proposição de THOMASSON[66], para o comportamento de uma
placa no estado de serviço pós-crítico............................................................35
2.18 – Proposição de THOMASSON[66] para o cálculo da largura efetiva...............36
2.19 – Proposição de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o comportamento de
uma placa no estado de serviço......................................................................38
2.20 – Proposição de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o cálculo da
largura efetiva..................................................................................................39
2.21 – Largura efetiva da placa não enrijecida com b/t=50........................................41
2.22 – Largura efetiva da placa não enrijecida com b/t=15........................................42
2.23 – Diagrama tensão x deformação da placa não enrijecida com b/t=15.............43
2.24 – Largura efetiva da placa enrijecida com b/t=26...............................................45
2.25 – Largura plana bp consideradas pelas normas.................................................46
2.26 – Notação e representação gráfica da distribuição da largura efetiva...............47
2.27 – Comparação gráfica das fórmulas de cálculo da largura
efetiva para uma placa enrijecida, com k=4....................................................49
2.28 – Comparação gráfica das fórmulas de cálculo de largura
efetiva para uma placa enrijecida, com k=5....................................................50
2.29 - Comparação gráfica das fórmulas de cálculo de largura
efetiva para uma placa enrijecida, com k=6,998.............................................50
2.30 – Distribuição da largura efetiva para o Eurocode[21] e o
AISI-90[1].........................................................................................................52
2.31 – Comparação do coeficiente de flambagem k para a placa
não-enrijecida, entre o Eurocode 3[21] e o AISI-90[1]....................................53
2.32 – Comparação das aproximações do cálculo de largura efetiva
para a placa não-enrijecida, entre o Eurocode 3[21] e o AISI-90[1]................55
2.33 – Comparação entre várias aproximações de cálculo da largura
efetiva para a placa não-enrijecida..................................................................56
2.34 – Nomenclatura do perfil tipo C..........................................................................56
3.1 – Perfil C discretizado em bandas finitas.............................................................62
3.2 – a – Banda finita submetida a um gradiente de tensões....................................63
b – Deslocamentos e rotações – elemento finito de viga
3.3 – Placa reduzida a um elemento finito de viga.....................................................64
xii
3.4 – Discretização do perfil tipo C, em bandas finitas...............................................75
3.5 – Perfil CLC/3 – 120x60 – estudo da variação do número...................................76
de bandas finitas por placa
3.6 – Perfil CLC/2.2 – 120x60 – estudo da variação do número................................77
de bandas finitas por placa
3.7 – A geometria e os modos locais de flambagem de uma seção C,
BATISTA[3]........................................................................................................79
3.8 – Influência do enrijecedor na flambagem da aba de uma seção
C uniformemente comprimida,[43]....................................................................80
3.9 – Influência do enrijecedor na flambagem da aba de uma seção
C uniformemente comprimida,[36]....................................................................81
3.10 – Variação da tensão crítica de flambagem da seção e flambagem
global de uma coluna de seção C, sob compressão uniforme,
com o comprimento de semi-onda correspondente, L, obtida por
meio do método das bandas finitas, segundo HANCOCK [27].......................82
3.11 – (a) Nomenclatura utilizada na geometria do perfil C......................................86
(b) Seção submetida à compressão uniforme.
(c) Seção submetida a uma gradiente de tensão +y.
(d) Seção submetida a uma gradiente de tensão -y.
(e) Seção submetida a uma gradiente de tensão +z.
3.12 – Modos de instabilidade do perfil C, sob compressão uniforme,
com diferentes tamanhos de enrijecedores.....................................................88
3.13 – Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão +y,
com diferentes tamanhos de enrijecedores.....................................................89
3.14 – Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão -y,
com diferentes tamanhos de enrijecedores.....................................................90
3.15 – Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão +z,
com diferentes tamanhos de enrijecedores.....................................................91
3.16 – (a) Modos de instabilidade da série 75 tipo comercial, de perfil C,
de fabricação “Tecnofer”.
(b) Características geométricas da seção ......................................................93
3.17 – (a) Modos de instabilidade da série 127 tipo comercial, de perfil C,
de fabricação “Tecnofer”.
(b) Características geométricas da seção.......................................................94
xiii
3.18 – Cálculo das larguras efetivas, considerando as placas associadas................96
4.1 – Visualização da interação entre a flambagem local e a flambagem
global, com auxílio das curvas de flambagem européias [21]...........................99
4.2 – Redução devido a flambagens simultâneas [26].............................................101
4.3 – Característica da seção assimétrica................................................................104
5.1 – As características geométricas do perfil C e do contraventamento................108
(a) Características geométricas;
(b) Contraventamento das extremidades abertas da coluna.
5.2 – Sistema de eixos e o sentido das deformadas iniciais....................................113
(a) Eixos;
(b) Sentido das deformadas.
5.3 – Curvas de carga x deslocamentos..................................................................120
5.4 – Curvas de carga x deslocamentos..................................................................120
5.5 – Curvas de carga x deslocamentos..................................................................121
5.6 – Curvas de carga x deslocamentos..................................................................121
5.7 – Curvas de carga x deslocamentos..................................................................122
5.8 – Curvas de carga x deslocamentos..................................................................122
5.9 – Curvas de carga x deslocamentos..................................................................123
5.10 – Deformada do perfil CLC/1 – 90 x 90 na ruína para uma
deformada inicial de +L/1000, usando BF-M................................................124
5.11 – (a) Deslocamento do centro de gravidade da seção....................................126
efetiva após a flambagem local.
(b) Perfil com deformada inicial negativa
Flecha máxima no nó 3.
5.12 – Posição de Ge para uma tensão constante igual a fy para o perfil
CLC/3-120x60...............................................................................................128
5.13 – Posição de Ge para uma tensão constante igual a fy para o perfil
CLC/2-180x60...............................................................................................130
5.14 – Gráfico da carga de ruína x ponto de aplicação da carga,
para o perfil CLC/3-120x60...........................................................................133
5.15 – Influência da deformada inicial no comportamento do perfil.........................134
(a) Gráfico carga x deformação
(b) Características geométricas do perfil
xiv
LISTA DE TABELAS
2.1 – Cálculo e distribuição das larguras efetivas para a placa enrijecida e submetida
a uma carga excêntrica.....................................................................................32
2.2 – Cálculo e distribuição das larguras efetivas de placas enrijecidas...................48
2.3 – Cálculo das larguras efetivas para a placa não-enrijecida...............................54
5.1 – Características geométricas e mecânicas das colunas..................................109
5.2 – Resultado das colunas com deformações iniciais medidas............................114
5.3 – Resultado comparativo entre os métodos utilizados......................................115
5.4 – Resultado das colunas longas........................................................................116
5.5 – Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da orientação do
EUROCODE [21]............................................................................................128
5.6 - Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da orientação da
posição de Ge na ruína....................................................................................129
5.7 - Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da orientação do
EUROCODE [21]............................................................................................131
5.8 - Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da orientação da
posição de Ge na ruína...................................................................................132
xv
RESUMO
As pesquisas realizadas nos últimos anos, na Europa e nos EUA, tem
permitido um maior emprego do uso de chapas dobradas na construção civil.
A expansão de seu uso se deve também as suas vantagens econômicas, em
relação aos perfis compactos.
Porém, as formas complexas das seções e a esbeltez de suas paredes
exigem um conhecimento mais profundo de seu comportamento estrutural.
A esbeltez das placas que constituem as suas paredes pode provocar a sua
flambagem local e uma interação entre este modo de instabilidade e o modo de
instabilidade do tipo coluna (flambagem global).
Essa interação exerce um efeito redutor sobre a carga de ruína do perfil, tornando-se
necessário um maior conhecimento da resposta de carga versus deformação de
uma estrutura formada por tais perfis.
Utilizam-se métodos não-lineares a fim de simular a interação entre o modo local e
global de flambagem que, inclui fatores de não linearidade geométrica.
Sendo o objetivo desta tese o desenvolvimento de uma ferramenta numérica
capaz de levar em conta a interação entre os modos de flambagem local e global,
sugere-se que a resposta carga versus deformação possa ser obtida por intermédio
do elemento finito não-linear de viga espacial de paredes finas. Considerando que o
perfil seja uma associação de placas, a flambagem local pode ser modelada pelo
método das larguras efetivas. Assim sendo, temos um elemento finito cuja seção
transversal é variável ao longo do carregamento da peça a fim de simular a interação
entre os fenômenos de instabilidade local e global.
A contribuição desta tese consiste no aprimoramento do cálculo das larguras
efetivas, para isso, levam-se em conta a influência que cada placa exerce sobre a
outra, ou seja, o engastamento parcial nos cantos do perfil, através do método das
bandas finitas. Desenvolveu-se um programa computacional na linguagem Fortran,
para a introdução da formulação do Método das Bandas Finitas.
Esse estudo, também, permite a verificação da influência da deformada inicial
dos perfis, devido aos processos de fabricação, e o seu comportamento de acordo
com a excentricidade do carregamento aplicado.
xvi
ABSTRACT
The latest researches carried out in Europe and in The United States have allowed a
wider use of cold-formed steel sections in civil edification. This increasing use is also
due to the economical advantages in relation to hot rolled shapes.
However, the complex shapes of the cross sections and the slender of their
walls demand a deeper knowledge of their structural behaviour. The slender of the
plates that constitute the walls may result in a local buckling and an interaction
between this way of instability and the overall buckling way.
This interaction produces a reducing effect over the column collapse load, making
necessary a greater knowledge of the load response versus the strain of a structure
constituted by such profiles.
Non-linear methods are used in order to simulate the interactio between the local and
the overall buckling, that include non-linear geometrical factors.
Being the aim of this thesis the development of a numerical tool able to take
into consideration the interaction between the local and the overall buckling it is
suggested that the load response versus strain may be resulted through the nonlinear finite element of this walled spatial beam. Considering that the profile is an
association of plates, the local bucckling can be
shaped by the effective width
method. So we have a finite element, the transversal section of which varies along
with the load of the structure in order to simulate the interaction between the local
and overall instability phenomena.
The contribuition of this thesis consists of the improvement of the effective
width calculus, therefore, it is taken into consideration the influence that each plate
produces over the other, that is the partially fixed joints. A Fortran language computer
program was developed to introduce the finite strip method. This study also permits
the verification of the influence of the initial imperfection of the profiles, due to the
fabrication processes and their behaviour according to the eccentricity of the applied
load.
xvii
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1.
GENERALIDADES
Os perfis de chapas dobradas são resultantes da conformação a frio de
chapas finas de aço, de espessura entre 0,4 a 6,4 mm. Esses perfis podem ser
produzidos por dois métodos de fabricação: a perfilagem - conformação a frio em
mesa de roletes - e a dobragem - processo não contínuo realizado por máquinas
dobradeiras. Como resultado desses processos podem-se produzir economicamente
uma grande variedade de formas de seções transversais, com alta relação
resistência x peso, visto que a eficiência estrutural de uma seção depende da
maneira com que é distribuído o material disponível, ver figura 1.1.
Figura 1.1 - Eficiência estrutural x seção transversal, WINTER[74].
Quanto ao domínio de aplicação dos perfis dobrados a frio, podem-se
distinguir de uma maneira geral, duas categorias: os produtos do tipo seção, como
mostrados na fig. 1.2 a, e os produtos do tipo painel, mostrados na fig. 1.2 b. Os
produtos do tipo seção têm hoje sua utilização como elementos principais ou
secundários de estruturas – vigas, colunas e barras de treliças, terças, bem como,
cantoneiras para prateleiras de estocagem industrial, torres de transmissão de
energia elétrica, construção de chassis e estruturas de veículos. Quanto aos perfis
do tipo painel, tem-se sua utilização como fechamento lateral e cobertura para
edificações industriais e habitações, como forma colaborante de vigas mistas em
2
aço-concreto de edificações e tabuleiros de pontes, e como elemento de
acabamento em painéis horizontais e verticais.
(a)
(b)
Figura 1.2 - (a) Produtos tipo seção;
(b) Produtos tipo painel.
O crescente emprego deste tipo de perfil, comparado aos perfis laminados a
quente, se deve a sua grande versatilidade como a variedade de formas, o que
permite a maior adequação da forma à sua função, e a leveza que leva a outras
vantagem como redução nas fundações, a facilidade de manutenção, de transporte
e de montagem.
Muitos procedimentos de análise e cálculo que se aplicam às estruturas de
aço laminado são igualmente aplicáveis às estruturas de aço leve. Entretanto,
diferenças no comportamento das estruturas sob carregamento são de tal
importância que se fazem necessários diferentes métodos de cálculo. As principais
razões são descritas a seguir, segundo WINTER e PEKÖZ [48]:
1. A variedade de formas dos perfis leves, que já são fabricadas e as que
serão, leva à necessidade de procedimentos de análise tão gerais que
3
possam ser aplicados a praticamente qualquer tipo de seção transversal.
Ao passo que os perfis laminados a quente têm relativamente pouca
variedade de forma e, de certa maneira, já preestabelecidas.
2. A relação largura x espessura das placas componentes dos perfis leves é
freqüentemente muito maior que a mesma relação para as placas dos
perfis laminados. A esbeltez das paredes exige do calculista um
conhecimento mais aprofundado de seu comportamento estrutural , a
esbeltez das paredes pode provocar uma flambagem das placas e uma
interação entre esse modo de instabilidade e os modos de instabilidade do
tipo coluna, por flexão ou flexo-torção. Acrescenta-se a isso o fato de que
os perfis abertos de paredes finas tem baixa rigidez à torção.
3. Os processos de produção e fabricação relativos aos dois tipos de
estruturas de aço afetam de modo diferente as propriedades mecânicas
dos materiais, levando a modificação da curva tensão-deformação do aço
em relação ao material virgem. A perfilagem proporciona o aumento da
tensão de escoamento e, algumas vezes, o aumento da tensão última, e é
relevante nos cantos dobrados e ainda apreciável nas partes planas do
perfil, enquanto que, após a dobragem, as modificações citadas acima são
praticamente desprezíveis nas partes planas do perfil.
4
1.2.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O comportamento estrutural deste tipo de perfil tem sido o objetivo do estudo
de vários pesquisadores, não somente no Brasil mas também na Europa e nos
Estados Unidos. A seguir uma breve revisão dos trabalhos nesta área [44], [57]:
ANO
PESQUISADOR
ALGUMAS CONTRIBUIÇÕES
Primeiro a estudar a Teoria da Membrana
1766
EULER
para Placas.
1789
BERNOULLI
Teoria da Flexão.
Mostrou que o comportamento das colunas
reais é afetado pelas imperfeições
1807
YOUNG
geométricas e pela imprecisão do ponto de
aplicação da carga.
Mostrou que a fórmula clássica de Euler, para
colunas perfeitas, fornecia um limite superior
1826
NAVIER
1877
KIRCHHOFF
Teoria combinada dos efeitos da membrana e
1883
SAINT VENANT
da flexão.
para as cargas de colapso de colunas reais.
Teoria na qual as placas enrijecidas em graus
1860
GEHRING
diferentes nas direções ortogonais
1879
BOUSSINESQ
comportam-se como placas ortotrópicas.
Com intenção de correlacionar a teoria da
1889
1894
ENGESSER,
barra perfeita aos resultados obtidos com
CONSIDER e
colunas reais, trabalharam com o módulo de
JASINSKI
elasticidade tangente ou intermediário.
Primeiro a resolver o problema de uma placa
retangular simplesmente apoiada com dois
lados opostos carregados por compressão
1891
BRYAN
uniforme. Primeiro a resolver o problema de
flambagem de placas usando os princípios
energéticos.
5
1907
1910
Analisou placas com diferentes condições de
TIMOSHENKO
1913
contorno pelo método energético e por
integração.
Deduziu as equações que governam as
1910
VON KARMAN
1914
HUBER
placas perfeitas.
Equação de Huber - responsável pelo
carregamento transversal.
Primeiro trabalho sobre flambagem por flexo-
1929
WAGNER
torção em perfis com seções transversais
abertas de paredes finas.
Estudos mais exatos e aprofundados do
problema de flexão, torção e flambagem de
1936
F. BLEICH
H. BLEICH
barras com seções transversais abertas de
paredes finas. Derivaram as equações
diferenciais fundamentais do problema a partir
do teorema da energia potencial estacionária.
1938
MARGUERRE
1940
WINTER
Equações para placas imperfeitas.
Estudos semi-empíricos que constituíram a
base da primeira edição do AISI (1946) .
A equação de Von Karman para placas
isotrópicas foi modificada para placas
1940
ROSTOVTSEV
anisotrópicas e introduziu os efeitos das
imperfeições iniciais.
Estudou o comportamento pós-crítico das
1951
COAN
placas usando as equações de Marguerre.
Estudos de colunas curtas em U e C, com a
1953
CHILVER
consideração da interação entre as placas.
Teoria para o estudo de colunas fechadas
1966
GRAVES SMITH
com seções transversais retangulares e
paredes finas.
6
Estudos analíticos do problema da interação
1968
VAN DER NEUT
1959
YAMAKI
1969
WALKER
1971
RHODES e HARVEY
entre os modos local e global nos perfis leves
comprimidos.
Estudaram o comportamento pós-crítico das
placas usando técnicas diferentes.
Um dos primeiros a compreender que o
1961
VLASSOV
princípio de Bernoulli não se aplica as seções
de paredes finas.
Comportamento de estruturas tubulares,
1971
KLOPER e
SHUBERT
adotando a ruína no instante em que as
tensões nas fibras mais comprimidas atingem
o limite de escoamento.
Prosseguiram com os estudos de Van Der
1971
KOITER e KUIKEN
Neut e os últimos autores incluíram nos
1975
SVENSSON e CROLL
estudos o efeito da plasticidade.
1972
WALKER
DAWSON
Discutiram a aplicação da fórmula de Winter
para o comportamento pós-crítico antes de se
atingir o colapso.
Estudou seções de dupla simetria com
1973
DEWOLF
elementos comprimidos, enrijecidos e não
enrijecidos, com flambagem local.
Empregou as equações de Marguerre
1974
BILSTEIN
aplicadas às placas isoladas com imperfeição
inicial.
Utilizando os computadores com as técnicas
1960
KLÖPPEL e SCHEER
da relaxação, diferenças finitas e elementos
1968
KLOPPEL e MOLLER
finitos desenvolveram várias soluções para a
1970
BULSON
equação de Marguerre com uma grande
1971
C. R. C. do Japão
variedade de formas de placas e distribuição
1979
WILLIAMS e AALAMI
de tensões.
7
Programa de cálculo utilizando a fórmula de
1977
SKALOUD e
Winter, levando em conta a variação das
NAPRSTEK
larguras efetivas ao longo da altura da coluna.
Pesquisas sobre o fenômeno da interação
entre os modos de flambagem global e local
1977
REIS
das estruturas elásticas de perfis de paredes
finas.
1978
KALYANARAMAN
Estudo mais aprofundado de perfis
comprimidos de dupla simetria.
Utilizou diferentes formulações para a largura
1978
THOMASSON
efetiva a fim de estudar o comportamento de
colunas no estado de serviço e também no
estado limite último.
Comportamento de colunas de perfis U
1979
LOUGHLAN e
submetidas à compressão e flexão, levando
RHODES
em conta os efeitos da flambagem local nas
paredes.
1984
MULLIGAN e
PEKOZ
Propuseram uma formulação para larguras
efetivas calculadas no estado pós-crítico e
antes da ruína da placa.
Estudo da redução de carga de colapso de
1985
PIGNATARO
colunas devido à interação entre os modos de
instabilidade.
Método baseado na formulação de Mulligan e
1988
BATISTA
Pekoz, utilizando um algorítmo de resolução
numérico do tipo “Newton-Raphson” e “passosimples”.
8
Desenvolvimento de um elemento finito de
viga espacial sem os fenômenos de
“membrane” e “bending-locking”, que permite
1989
DE VILLE
considerar o modo torcional não uniforme, os
fenômenos de instabilidade, a plasticidade e
as tensões residuais.
Estudo de perfis C com carga centrada,
1993
RODRIGUES
considerando as imperfeições iniciais e a
interação entre as placas. Sem consideração
do modo torcional.
Estudo de perfis L, U e C, com cargas
centradas e excêntricas. Desenvolveu um
1993
ESTRELLA
software numérico de fácil utilização onde
também levou em conta a interação entre as
flambagens local e global.
Neste trabalho atem-se aos métodos semi-analíticos, a modelagem para a
flambagem local e seus efeitos é feita usando o conceito da largura efetiva de placa,
com auxílio do elemento finito de viga espacial. Com a introdução da banda finita
para o cálculo da tensão crítica de flambagem, não como placas isoladas mas, como
uma seção completa. O comportamento não-linear da coluna é levado em conta pelo
elemento finito não-linear de viga espacial e a interação entre a flambagem local e
flambagem global é tratada com ajuda de um algoritmo numérico de resolução passo
a passo do problema não-linear.
9
1.3.
OBJETIVOS DA TESE
Nesta tese é realizado um estudo dos modos de instabilidade de perfis de aço
compostos por paredes finas, onde leva-se em conta a interação entre os modos de
flambagem local e global. O que torna imprescindível o emprego de métodos nãolineares a fim de simular a interação que inclui fortemente fatores de não linearidade
geométrica.
A sugestão deste trabalho é que a resposta carga versus deformação possa
ser obtida por intermédio do elemento finito não-linear de viga espacial de paredes
finas. Considerando a flambagem local e utilizando o método das larguras efetivas,
tem-se um elemento finito cuja seção transversal é variável ao longo do
carregamento da peça, a fim de simular a interação entre os fenômenos de
instabilidade local e global.
A contribuição desta tese consiste no aprimoramento do cálculo das larguras
efetivas. No trabalho de ESTRELLA[20] foi feita uma simplificação para o cálculo das
larguras efetivas, assim como nas normas existentes [1, 21], onde o perfil de chapas
dobradas é calculado como uma associação de placas isoladas. Nesta tese leva-se
em conta a influência que cada placa exerce sobre a outra, ou seja, o engastamento
parcial nos cantos do perfil. Para isso, utiliza-se o Método das Bandas Finitas.
As seções transversais dos perfis aqui analisados são do tipo C.
Aba
Alma
Enrijecedor
de bordo
Figura 1.3 – Representação do perfil tipo C.
10
O programa, desenvolvido nesta tese, BANFIN é um programa de
instabilidade de elementos de banda finita para obtenção do multiplicador crítico da
seção, λ. A partir do multiplicador crítico obtém-se a seção efetiva com auxílio das
formulações de larguras efetivas. O programa desenvolvido permite a análise de
carregamentos centrados, bem como carregamentos excêntricos.
A introdução das imperfeições iniciais foi feita de duas maneiras: a primeira,
conforme a flecha máxima obtida do perfil em laboratório [43], ou seja, sua
imperfeição global máxima, a segunda, como para alguns perfis não houve medida
de imperfeição, adotou-se como flecha máxima o valor L/1000, onde L é o
comprimento do perfil estudado. Em ambos os casos, adotou-se uma distribuição
senoidal ao longo do comprimento dos perfis, a fim de representar essas
imperfeições quanto à retidão.
O BANFIN permite além do estudo das deformadas iniciais, também o estudo das
excentricidades da carga de compressão aplicada.
O modo de flambagem por torção foi introduzido segundo os critérios teóricos
de VLASSOV[70] e as modificações introduzidas por De VILLE[15].
Para calibragem do programa computacional desenvolvido foram comparados
os resultados teóricos com resultados experimentais de MULLIGAN[43].
Para melhor compreensão das conclusões, além das tabelas comparativas,
foram empreendidas saídas gráficas com auxílio do programa Pos-3D para melhor
visualização dos deslocamentos e tensões. O programa Pos-3D foi desenvolvido
pelo grupo de computação gráfica Tecgraf da Pontifícia Universidade Católica, PUCRio.
11
1.4. ESCOPO DA TESE
No capítulo 2 fez-se um estudo do comportamento das placas isoladas,
começando com o método das larguras efetivas e a introdução ao caso de
carregamentos de compressão uniformemente variável. Também, apresentou-se
algumas aproximações para as placas no estado de serviço e as larguras efetivas
segundo a norma americana, AISI-90[1], e a norma européia, o EUROCODE[21].
Em seguida, é apresentado um resumo da introdução das larguras efetivas no
programa preexistente [20], devido a introdução da subrotina aqui desenvolvida,
BANFIN.
O capítulo 3 é consagrado ao método das bandas finitas, nele encontra-se
todo o desenvolvimento do método, análises da instabilidade local e sua introdução
no programa de cálculo.
No capítulo 4 encontra-se o estudo da interação entre a flambagem local e a
flambagem global das colunas comprimidas, as pesquisas realizadas, comparações
e análises de resultados encontrados com o método das bandas finitas e uma breve
descrição do elemento finito de DE VILLE[15].
Do capítulo 5, dedicado a apresentação dos resultados, apresenta-se estudos
comparativos dos resultados experimentais realizados por MULLIGAN[43] de vigascolunas de paredes finas submetidas à compressão centrada e excêntrica, seção
transversal do tipo C, com os resultados numéricos achados com o método das
bandas finitas para o cálculo da tensão crítica da seção, considerando a interação
entre as paredes. Neste trabalho foram utilizadas três possibilidades de curvas de
flambagem, a do EUROCODE, de MULLIGAN e de WINTER, conforme item d do
ítem
3.6.
Também
fez-se
comparações
com os
resultados
obtidos
por
ESTRELLA[20], onde foi utilizado o programa FINLOC sem a introdução do método
das bandas finitas. Em seu trabalho foram usadas as curvas de flambagem do
EUROCODE [21] e do AISI-90 [1], sendo também apresentado um estudo do AISI90 com a introdução da eficácia do enrijecedor de bordo, conforme parágrafo 2.4.4,
intitulado AISI-90*.
12
Apresentou-se a influência do sentido da deformada inicial no valor da carga
de ruína, e também no comportamento carga x deformação lateral, conforme a figura
5.15. Na figura 5.10 a visualização em 3-D leva a uma melhor compreensão das
larguras efetivas no instante da ruína da peça, bem como suas deformadas.
Foram apresentadas tabelas comparativas entre os métodos e as curvas carga x
deformação para diversos perfis.
13
CAPÍTULO 2
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS PLACAS
2.1. INTRODUÇÃO
Sendo este trabalho um estudo de colunas constituídas por perfis de aço
dobrados a frio, torna-se necessário o estudo das placas esbeltas que compõem os
mesmos. Uma das principais características geométricas das placas que compõem
os perfis dobrados a frio é a sua relação largura/espessura, b/t. Quanto maior a
relação b/t, menor será sua tensão crítica de flambagem local, σcr. Vê-se, a seguir,
que a flambagem local das paredes, agindo simultaneamente com a flambagem
global do tipo coluna, conduz a uma redução da resistência do perfil. Desta forma, a
ruína poderá ocorrer através de um colapso súbito, o que caracteriza um
comportamento de equilíbrio pós-crítico instável. A sensibilidade para este
comportamento dependerá da relação σcr,global/σcr,local e das imperfeições iniciais.
Neste capítulo, limita-se ao estudo da flambagem local das placas e deixa-se
o estudo da interação entre os modos de instabilidade para o capítulo 4.
As estruturas perfeitas podem desenvolver dois tipos de comportamento:
linear e não-linear, conforme ilustrados na figura 2.1.
14
λ
λ
Ponto limite
Ponto de bifurcação
Caminho de equilíbrio adjacente
Caminho de equilíbrio fundamental
d
(a)
d
(b)
Figura 2.1- Comportamento de uma estrutura perfeita [20].
(a) Comportamento não-linear;
(b) Comportamento linear.
Nas placas de paredes finas, é de se esperar dois tipos de não-linearidade:
- a não-linearidade geométrica, devido à esbeltez da estrutura, conduzindo a uma
estrutura sujeita a grandes deslocamentos, e;
- uma não-linearidade devido ao fenômeno da flambagem local.
Neste capítulo, estuda-se a estabilidade de placas retangulares com dois
bordos, paralelos à direção da carga de compressão aplicada, simplesmente
apoiados (placas enrijecidas) ou com um lado simplesmente apoiado e o outro livre
(placas não-enrijecidas).
Começa-se pelo estudo das placas perfeitas, a fim de conhecer seu comportamento
teórico. Em seguida, passa-se ao estudo não-linear das placas imperfeitas.
Partindo da teoria da conservação da energia potencial total (π), SAINT
VENANT[20] deduziu a equação diferencial de equilíbrio :
∂4w
∂4w
∂4w
σ .t ∂ 2 w
+
2
+
=
−
D ∂x 2
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4
onde:
(2.1)
15
t – espessura da placa
σ - tensão uniaxial de compressão na direção x
D – rigidez da placa à flexão
D = Et3/12(1-ν2)
(2.2)
E – módulo de elasticidade
ν - coeficiente de Poisson
w(x,y) – deformada transversal da placa.
x,u
σ
a
y,v
z,w
Espessura t
σ
b
Figura 2.2 – Placa retangular submetida a uma carga de compressão uniaxial no
seu plano.
Para uma placa enrijecida, figura 2.2, submetida a uma tensão uniformemente
distribuída σ, a equação 2.1 tem duas possíveis soluções:
a) A solução trivial w(x,y)=0.
b) Substituindo-se, na equação 2.1, o deslocamento transversal w(x,y) por uma
função que satisfaça as condições de apoio geométricas e naturais nos quatros
bordos simplesmente apoiados da placa, conforme segue:
 mπx 
 nπy 
w(x,y) = W mn sen 
 sen 

 a 
 b 
(2.3)
obtém-se:

1 − σ
 σ
cr, p

sendo:

 W mn sen  mπx  sen  nπy  = 0

 a 
 b 

(2.4)
16
a – comprimento da placa
b – largura da placa
m – semi-ondas de flambagem no sentido longitudinal da placa
n - semi-ondas de flambagem no sentido transversal da placa
π 2E  t 
σcr,p = k
 
12(1 − ν 2 )  b 
2
(2.5)
onde:
k – coeficiente de flambagem que depende do tipo de carregamento, condições de
contorno e da geometria da placa.
σcr,p – tensão crítica de flambagem da placa.
com:
2
 mb  2

2
4 a 
k = 
 + 2n + n 
 
 mb  
 a 
(2.6)
A análise da equação 2.4 mostra que só há um meio de achar uma solução para
w(x,y) não nula, e isto pode ser feito anulando o termo entre parênteses, fazendo:
σ = σcr,p
(2.7)
Na condição da equação 2.7, a deformada transversal w(x,y) pode tomar um valor
importante, chamado bifurcação de equilíbrio, ilustrado na figura 2.3.
σ
σ
Estável
cr,p)min
Instável
1
P
Indiferente
a
P
f
w
Figura 2.3 – Os caminhos de equilíbrio fundamental e adjacente relativos à
equação 2.1 do problema de flambagem das placas.
17
Para se assegurar da estabilidade, é necessário que a segunda variação da
energia potencial total seja positiva, cuja demonstração é facilmente encontrada na
literatura [20]. Com essa demonstração, tem-se:
σ < σcr,p
(2.8)
Para que a desigualdade acima seja satisfeita é necessário tomar o menor valor de k
e, desta forma, faz-se n=1, resultando em:
 b 1 a
k = m +

 a m b
2
(2.9)
Para o valor de m é feito um estudo de curvas dos diferentes modos de instabilidade,
ver figura 2.4, do qual conclui-se que todas as curvas passam por um valor mínimo
de k igual a 4, para uma placa enrijecida e submetida a uma tensão uniforme, e que
a influência de m sobre o valor do coeficiente de instabilidade é menor quanto maior
a relação entre as dimensões da placa.
16
m=1
m=2
12
m=3
m=4
k
8
4
0
0
1
2
3
4
a/b
Figura 2.4 – Coeficientes de flambagem para placas enrijecidas e submetida a uma
carga uniaxial de compressão uniforme.
Mostra-se, na figura 2.5, a configuração do modo de flambagem da placa em
estudo.
18
σ
σ
a
=2
b
b
a
Figura 2.5 – Configuração de flambagem para uma placa enrijecida e submetida
a uma compressão uniaxial uniforme.
O estudo do valor de k para uma placa enrijecida, porém sujeita a um
carregamento variável linearmente, é feito utilizando a relação que define o tipo de
solicitação:
ψ = σ2/σ1
(2.10)
sendo:
σ1 – tensão de compressão de sinal positivo e de maior valor absoluto.
σ2 – tensão que pode ser de compressão (positiva) ou de tração (negativa).
A solução da equação 2.1, para diferentes valores de ψ, é dada na figura 2.6,
segundo BULSON[7], para uma placa enrijecida. Nota-se também que o valor da
tensão crítica no caso da flexão pura (ψ = -1) é cerca de 6 vezes o valor da tensão
crítica da compressão pura (ψ = 1).
Na figura 2.7 obtida de BULSON[7] é mostrado o gráfico do coeficiente de
flambagem k em relação a a/b para uma placa não-enrijecida e vê-se que todas as
curvas tendem assintoticamente a um certo valor (para cada valor de ψ) quando a
relação entre as dimensões das placas a/b cresce. Desta forma, chega-se ao valor
do coeficiente de flambagem (k) para a compressão pura (ψ = 1), k = 0,425.
19
24
σ
σ
1
1
20
16
σ
k min
σ
2
2
12
8
4
0
-1,0
-0,5
0
0,5
1,0
ψ = σ 2 / σ1
Figura 2.6 – Coeficiente de flambagem mínimo para uma placa enrijecida e
submetida a uma compressão variável linearmente [7].
Borda livre
10
a
k
b
σ
1
σ
5
σ
σ
2
1
σ
σ
1
1
2
0
0
1
a/b
2
Figura 2.7 – Coeficiente de flambagem de uma placa não enrijecida e submetida a
uma compressão variável linearmente [7].
20
2.2.
O MÉTODO DAS LARGURAS EFETIVAS
Contrariamente ao comportamento de colunas, as placas apresentam
resistência significativa após a ocorrência da flambagem. Quando essa resistência
pós-crítica é totalmente utilizada, um projeto estrutural eficiente e econômico pode
ser obtido [43].
A figura 2.8 mostra o comportamento pós-crítico estável de uma placa sujeita
a compressão uniaxial, o que faz com que ela possa resistir a cargas superiores à
carga crítica.
Entretanto, esta reserva pós-crítica não é ilimitada, segundo VON KARMAN,
SECHLER e DONNELL[71], de acordo com resultados experimentais, a placa atinge
a ruína quando a tensão de compressão máxima nos bordos não carregados atinge
o limite elástico fy.
σ
Pa
P'i
Reserva
pós-crítica
Início de plastificação
σ
cr,p
Pf
wo
Imperfeição inicial
w
Figura 2.8 – Resposta de uma placa real.
A placa fina enrijecida da figura 2.9 mostra a resposta enquanto é aplicada
uma tensão de compressão uniforme σm. Enquanto essa tensão permanece menor
que o valor crítico σcr, a tensão longitudinal interna é uniforme através da placa.
Quando a tensão aplicada alcança σcr, uma pequena onda de flambagem
desenvolve-se na placa. Quando o carregamento cresce mais, cresce a deformação
fora do plano da placa, porém é impedida por tensões atuantes transversais.
21
Ao mesmo tempo, uma redistribuição da tensão longitudinal interna ocorre, e passa
de uniforme a não-uniforme, onde a maior parte do carregamento é suportado pelas
porções menos flambadas da placa. Este processo continua até que o nível de
tensão σemax, para o bordo da placa, alcança o escoamento; após o qual geralmente
a placa atinge a ruína.
Após a flambagem da placa, o estudo com a distribuição de tensões nãouniforme iria complicar demasiadamente os cálculos práticos. Porém, o conceito de
uma “largura efetiva” foi introduzido por VON KARMAN [71] e outros em 1932.
VON KARMAN [71] argumentou que na placa carregada acima da tensão crítica, a
parte central flambada não tem qualquer resistência apreciável e que a maior parte
do carregamento deverá ser suportado pelas duas faixas adjacentes as bordas da
placa.
22
σm
w
u
a
b
ε =u / a
Espessura t
σm
(a)
x
x
σ
σm
m
σ
σ
e
emax
a
σ
m
σ
σ em
m
y
y
b
b
σ
σ
m
σ
σ
cr,p
m
m
σ
σx
x
σ
σ
m
e
σm
σm > σ
be / 2
be / 2
(b)
σe
cr,p
be
(c)
Figura 2.9 – O conceito da largura efetiva
(a) Placa deformada;
(b) Placa enrijecida;
(c) Placa não-enrijecida.
23
Nesta aproximação, a tensão não-uniforme σx, agindo sobre a largura da placa b, é
substituída por uma tensão máxima, agindo sobre uma largura efetiva be.
O equilíbrio é mantido pela definição de largura efetiva:
x
σemáx.be.t = ∫ σ x .t.dx = σm.b.t
(2.11)
0
onde:
σm – tensão atuante sobre b.
σemáx – tensão máxima no bordo não carregado.
σx - tensão não-uniforme.
be – largura efetiva.
Da equação 2.11, tem-se:
be/b = σm/σemáx ⇒ ρ =
σ
be
= m (σm>σcr,p)
b σ emáx
(2.12)
sendo:
ρ - coeficiente de redução da largura efetiva.
A equação acima é utilizada para o cálculo da largura efetiva na ruína da peça,
também chamada de “largura efetiva de tensões”. Vê-se que a tensão a qual a
largura efetiva be está submetida é a tensão máxima do bordo não carregado, isto é,
a pior posição flambada da peça – a central.
Porém, quando σemáx < fy, a formulação acima subestima a rigidez da placa no
estado pós-crítico.
Num estado intermediário, anterior à ruína da peça, no estado de serviço, a
fim de se achar a rigidez pós-crítica da placa, define-se a “largura efetiva de
deformações”. Aqui, a tensão não-uniforme σx, agindo sobre a largura da placa b, é
substituída pela tensão média equivalente do bordo não carregado, agindo sobre
uma largura efetiva be.
Calculando a tensão média no bordo não carregado:
a
σem =
1
σ e dx
a ∫0
σe – tensão variável no bordo não carregado.
(2.13)
24
Assim, temos:
be/b = σm/σem ⇒ ρ =
be σ m
=
(σm > σcr,p )
b σ em
(2.14)
Define-se a esbeltez reduzida da placa para o estado de serviço e na ruína,
respectivamente:
λp =
λ py =
σe
σ cr , p
(2.15)
fy
(2.16)
σ cr , p
2.2.1. PLACAS ENRIJECIDAS
A aproximação da largura efetiva, desenvolvida inicialmente por VON
KARMAN [71], é baseada em resultados experimentais de ensaios de placas
isoladas, carregadas até a ruína, o que permite tirar as seguintes conclusões de
seus ensaios:
a) A carga de ruína independe da largura da placa;
b) A carga de ruína é proporcional ao quadrado da espessura t da placa.
A partir dessas conclusões, VON KARMAN [71] formulou a hipótese de que a tensão
de flambagem na largura efetiva no estado de ruína deve se igualar ao limite elástico
fy. Substituindo-se fy na equação 2.5, temos:
π 2E  t

fy = k
12(1 −ν 2 )  be



2
(2.17)
Combinando-se as equações 2.5, 2.16 e 2.17 chega-se a:
ρ=
be
1
=
≤1
b λ py
(2.18)
Generalizando a equação 2.18 para o estado de serviço, tem-se
ρ=
be
1
=
≤1
b λp
(2.19)
25
A equação de VON KARMAN 2.18 dá a largura efetiva na ruína. A equação
2.19 está ligada ao conceito de largura efetiva de deformações, onde o valor de σe
varia entre 0 e fy.
Os trabalhos de pesquisa que sucederam VON KARMAN [71] constataram
duas falhas na sua formulação:
a) Ela superestima a resistência de placas pouco esbeltas, quando a esbeltez
reduzida λpy varia em torno de 1;
b) Ela superestima a rigidez da placa para valores de tensões menores que fy.
Nos anos 40, WINTER[74] empreendeu uma série de ensaios de compressão em
placas, para achar uma fórmula mais realista para a largura efetiva. Em seus
ensaios, WINTER [74] baseou-se em placas integrantes de perfis dobrados a frio e
que, consequentemente, estavam submetidos a todas as imperfeições inerentes ao
processo de fabricação. A fórmula a seguir foi obtida estatisticamente a partir de tais
ensaios:
ρ=
1 
0,25 
be
=
1−
≤1
b λ p 
λ p 
(2.20)
Apesar das imperfeições, constata-se que se alcança a ruína quando a tensão σe,
nos bordos não carregados, atinge o limite elástico fy e, neste caso, substitui-se
λ p por λ py na equação 2.20.
Nota-se que a expressão entre parênteses do termo a direita da equação 2.20 tende
a valores próximos a 0,75 para valores de λ p em torno de 1, e tende a 1 para
grandes valores de λ p .
Essa redução de 25% da largura efetiva de WINTER [74] em relação a VON
KARMAN [71] na região λ p =1 é devido aos efeitos negativos das não-linearidades
acarretadas pelas imperfeições, e são mais importantes próximas à carga crítica (ver
figura 2.10).
26
ρ
1
Von Karman, eq. (2.19)
0.9
Gérard [65]
0.8
0.7
Faulkner [66]
0.6
Chilver [64]
0.5
0.4
Winter, eq. (2.21)
0.3
0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
λp
Figura 2.10 – Curvas de larguras efetivas.
Em 1968, WINTER [74] empreendeu novos estudos experimentais e propôs
uma fórmula menos conservativa para a equação 2.20, substituindo o coeficiente
0,25 por 0,22:
ρ=
1  0,22 
be
= 1 −
≤1
b λ p 
λ p 
(2.21)
As equações 2.19 e 2.21 estão graficamente representadas graficamente na
figura 2.10. Pode-se constatar um afastamento muito importante entre as duas
curvas na região de λ p =1 e, em seguida, a curva de WINTER [74] tende
assintóticamente à curva de VON KARMAN [71] para as placas mais esbeltas. O
patamar inicial das curvas caracteriza a região de esbeltezes para as quais a placa
não flamba e é totalmente efetiva.
A título de ilustração, representam-se, na mesma figura, curvas de larguras efetivas
desenvolvidas por outros pesquisadores. Embora a equação de WINTER [74] seja a
mais utilizada e adotada nas normas de diversos países.
27
2.2.2. PLACAS NÃO-ENRIJECIDAS
O estudo das placas não-enrijecidas foi iniciado por WINTER [74]. Seu
trabalho baseou-se nas abas comprimidas que compõem as seções de perfis
dobrados a frio, nos quais, a maior relação para largura x espessura (b/t) é igual a
109. Ele sugere que o dimensionamento das abas seja limitado à consideração da
tensão de flambagem, a fim de evitar qualquer distorção da extremidade livre visto
que o efeito visual não é aceito para o estado de serviço. Esta concepção de
dimensionamento é adotada em todas as normas americanas desde a norma AISI86. Apesar da flambagem das abas, WINTER [74] pôde constatar que elas podem
resistir além da carga crítica, até que a tensão σemáx, no bordo apoiado, atinja o limite
elástico fy. A partir desta hipótese para a ruína, ele deduziu a seguinte fórmula para
a largura efetiva:
be = 0,8t
E 
t E 
1
−
0
,
202
b σ e 
σ e 
(2.22)
A fórmula acima dá uma boa aproximação para os pequenos valores de largura
efetiva achados experimentalmente.
O coeficiente de flambagem k de uma placa com um bordo livre pode variar
de 0,425, quando o outro bordo é simplesmente apoiado, até 1,277, se o outro bordo
é engastado. KALYANARAMAN[31] adotou um valor de k igual a 0,5 e, com esse
valor, ele rescreveu a equação 2.22:
ρ=
be 1,19  0,3 
=
1−
≤1
b
λ p  λ p 
(2.23)
Posteriormente, baseando-se em resultados experimentais e num estudo analítico
do comportamento pós-crítico, KALYANARAMAN [31] propôs a seguinte fórmula de
largura efetiva:
ρ=
be 1,19  0,298 
=
1−
≤1
b
λ p 
λ p 
(2.24)
Esta nova equação, mais conservativa, difere da equação 2.23 apenas quanto a
troca do coeficiente 0,3 por 0,298. Uma representação gráfica da equação 2.24 e da
equação de WINTER, 2.21, é dada na figura 2.11 .
28
ρ
1
Von Karman eq.(2.19)
0,9
0,8
Kalyanaraman eq.(2.24)
0,7
0,6
0,5
Wi nter eq.(2.21)
0,4
0,3
0,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
λp
Figura 2.11 – Comparação de curvas de largura efetiva.
Em seus ensaios experimentais, KALYANARAMAN [31] constatou que o
deslocamento transversal (fora do plano da placa) da extremidade livre das abas
mais esbeltas (b/t ≅ 58) não excede 2,5 vezes a sua espessura na ruína. Em vista
desta moderada distorção, ele admite o dimensionamento à ruína por meio da
equação 2.24, sem levar em conta a recomendação, quanto a distorção, para o
estado de serviço.
2.2.3. CARREGAMENTO DE COMPRESSÃO UNIFORMEMENTE VARIÁVEL
Até aqui, tratou-se do caso de placas submetidas a um diagrama de tensões
uniforme e constante. Entretanto, para uma abordagem mais realista, será
necessário um estudo de placas submetidas a cargas variáveis linearmente ao longo
dos bordos carregados.
RHODES, HARVEY e FOK [56] fizeram o estudo analítico de placas
inicialmente imperfeitas e submetidas a uma carga excêntrica. Para uma placa
enrijecida com a carga excêntrica apoiada por meio de barras rígidas, como mostra
29
a figura 2.12, eles obtiveram a seguinte fórmula para o cálculo da carga teórica de
ruína Pr,th:
Pr ,th
f y bt
=
k y + 11, 4
(2.25)
 ep

k y  6 + 3,85 
 b

onde:
ky = fy b2 t/ π2 D
D = E t2/ 12(1- ν2) - rigidez da placa na flexão.
ep – excentricidade da carga – ver figura 2.12.
A equação 2.25 é válida se:
 ep 1 
ky > 8  3 + 
 b 2
(2.26)
P
P
ep
b
indeslocável
Figura 2.12 – Placa enrijecida submetida a uma compressão excêntrica constante.
Se a condição 2.26 não for satisfeita, a placa não flamba e atinge a ruína por
escoamento plástico. A equação 2.25 é estabelecida considerando-se que a ruína se
produz quando a tensão máxima no bordo não carregado (σemax) atinge o limite
elástico fy. Foi comprovado que esta fórmula está em excelente acordo com os
resultados
experimentais.
Porém,
esses
autores
não
desenvolveram uma
aproximação de largura efetiva de modo a representar seus resultados analíticos.
RHODES e HARVEY [56] também fizeram um estudo sobre os efeitos do modo de
aplicação da excentricidade da carga. Na figura 2.12 foi representada uma placa
30
submetida a uma carga de compressão excêntrica constante. Os mesmos autores
estudaram os efeitos sobre uma placa submetida a carga com excentricidade
constante, como na figura 2.13, e chegaram às seguintes conclusões: na prática,
espera-se que a condição de carregamento seja algo entre as duas condições
teóricas apresentadas e, além disso, o comportamento das placas submetidas à
carga excêntrica é extremamente sensível ao método de aplicação.
P
P
ep
b
livre para deslocar
Figura 2.13 – Placa
enrijecida submetida a uma
carga com excentricidade
constante.
THOMASSON[66] fez uma proposição semi-empírica para o cálculo das
larguras efetivas, para uma placa enrijecida e submetida a uma carga excêntrica. A
notação utilizada e a distribuição das larguras efetivas são ilustradas na figura 2.14,
onde σ1 é sempre uma tensão de compressão. Sua formulação é baseada nas
seguintes hipóteses:
a) A teoria clássica da resistência dos materiais é suposta válida;
b) As larguras efetivas são determinadas unicamente a partir das tensões nos
bordos, σ1 e σ2, e;
c) A ruína ocorre quando a tensão no bordo mais solicitado à compressão atinge fy.
As fórmulas propostas por THOMASSON [66] para o cálculo e distribuição das
larguras efetivas são dadas na tabela 2.1. Nota-se que a fórmula para o cálculo de
be/b tem a mesma forma da expressão de VON KARMAN [71] dada a seguir,
partindo da equação 2.19:
be
t E
= 1,9
b
b σ1
(2.27)
31
com k=4 e ν=0,3. A única diferença está no coeficiente de 1,52 (THOMASSON) e
1,9 (VON KARMAN).
σ1 > 0
σ2 > 0
σ
σ1 > 0
ψ = σ2 / σ 1
1
σ
σ2 < 0
σ1
2
be1
b e2
b
bo
b e1
b e2
σ2
b
sendo:
b0 - largura tracionada da placa.
Figura 2.14 – Notação e distribuição das larguras efetivas.
THOMASSON [66] comparou os resultados da carga de ruína obtidos com a
sua proposição de larguras efetivas com os resultados obtidos pela equação 2.25.
Ele constatou que seus resultados eram sempre conservativos. E mais, ele também
notou que as cargas de ruína obtidas com a sua proposição são mais conservativas
quanto maior a excentricidade da carga e maior a esbeltez da placa (>b/t). Com
essas constatações, THOMASSON [66] decidiu modificar sua proposição original e
substituiu por 1,52 o coeficiente de 1,9 na fórmula de be/b (ver tabela 2.1), isto é,
utilizou a expressão 2.27 de VON KARMAN [71]. Esta nova proposição está em
melhor acordo com a equação 2.25.
Com o mesmo objetivo, USAMI[68] utilizou uma aproximação analítica da
resolução do problema das equações não-lineares de VON KARMAN [71], com
objetivo de deduzir as fórmulas de cálculo e de distribuição das larguras efetivas
para a placa enrijecida e submetida a uma carga excêntrica. Sua proposição é dada
na tabela 2.1 com as notações da figura 2.14.
Uma comparação gráfica das distribuições da largura efetiva de acordo com
THOMASSON [66] e USAMI [68] está ilustrada na figura 2.15.
32
0.8
bei / be
Thomasson
0.75
0.7
be2 / be
Usami
0.65
0.6
0.55
Thomasson e Usami
be1/be
0.5
0.45
0.4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
ψ
1
Figura 2.15 – Distribuição das larguras efetivas
Thomasson [42]
Cálculo e distribuição das
larguras efetivas
be
= 1,52
b
t
b
ψ = σ2/σ1
0<ψ<1
ψ≤0
E
σ1
Usami [43]
be
1  0,22 
=
1−
, k=4
b λ p 
λ p 
be1
be
1
2
1
2
be 2
be
1
(1,5 – 0,5ψ)
2
1
(1,44-0,44ψ)
2
be1
be
1
2
1
2
be 2
be
1
1,5
2
1
1,44
2
Tabela 2.1 – Cálculo e distribuição das larguras efetivas para a placa enrijecida e
submetida a uma carga excêntrica.
33
DEWOLF e GLADDING[18] realizaram uma pesquisa experimental para achar
uma fórmula de largura efetiva das almas dos perfis dobrados a frio submetidos a
uma solicitação de flexão pura. Obtiveram a distribuição de tensões mostrada na
figura 2.16, onde se vê que a hipótese clássica de BERNOULLI, das seções planas
após a deformação, não é mais válida. A largura efetiva be da parte comprimida da
alma na ruína é dada pela seguinte fórmula:
be 0,7
=
bc λ py
(2.28)
onde bc é a parte comprimida da alma calculada segundo o eixo neutro da seção
total e λ py é calculada com um coeficiente de flambagem que leva em conta o
gradiente de tensões.
fy
bc
be
linha neutra da
seção total
σ
Figura 2.16 – Largura efetiva da alma da seção submetida à flexão pura, de acordo
com DEWOLF e GLADDING[18].
Apesar das limitações do trabalho de DEWOLF e GLADDING [18] no contexto
desta tese, eles contribuíram para a evolução do cálculo da largura efetiva de placas
submetidas a uma carga excêntrica. A largura efetiva be é calculada em relação à
largura comprimida bc da placa quando ψ<0 e, além disso, a tensão crítica de
flambagem é calculada com um coeficiente k que leva em conta o gradiente de
tensões. Contrariamente, THOMASSON [66] e USAMI [68] utilizaram sempre um
coeficiente de flambagem k igual a 4 e a largura efetiva foi calculada em relação à
largura total b da placa (ver tabela 2.1 e equação 2.27).
34
Por último, no caso das placas não enrijecidas, a análise do problema é mais
complexa, e existem poucos resultados na literatura. É necessário nos atermos as
proposições semi-empíricas dadas nas normas atuais que serão apresentadas.
2.3.
PLACAS NO ESTADO DE SERVIÇO
A fórmula de WINTER 2.21 dá geralmente boas previsões teóricas da carga
de ruína de colunas curtas e de colunas de perfis dobrados a frio, quando σemax = fy.
Entretanto, apesar de WINTER [74] ter utilizado os dados de larguras efetivas
medidas no estado de serviço, por ocasião de seus ensaios, para deduzir sua
fórmula semi-empírica, os pesquisadores mais recentes mostraram que sua fórmula
subestima muito a rigidez da placa no estado de serviço (σemax < fy). Pesquisadores
como DEWOLF, PEKOZ e WINTER[17], THOMASSON[66], MULLIGAN[43] e,
MULLIGAN e PEKOZ[41,42], simularam a interação entre a flambagem local e a
flambagem global com a ajuda do método das larguras efetivas e seus resultados
confirmaram a inadequação da fórmula de WINTER na previsão teórica do
comportamento de colunas curtas e de colunas no estado de serviço.
DAWSON e WALKER[14] abordaram este problema em detalhes e a
discussão a seguir é tirada de seu artigo. A fórmula de WINTER não deve ser
utilizada para níveis de tensão σe menores que fy. Na realidade, a tensão σe varia ao
longo dos bordos não carregados (ver figura 2.9) e, assim, a rigidez longitudinal da
placa, que é função do encurtamento da placa na direção da carga, é obtida pela
integral ao longo do comprimento da placa e deve, portanto, depender da tensão
média σem dos bordos não carregados (ver equação 2.14). Por outro lado, a ruína é
atingida quando a tensão máxima σemax nos bordos não carregados (ver figura 2.9)
atinge o limite elástico fy (ver equação 2.12), que é um fenômeno local. Parece que
toda diferença entre o conceito de largura efetiva de deformações (equação 2.14) e
o conceito de largura efetiva de tensões (equação 2.12) foi ignorada nos trabalhos
de WINTER[74].
35
2.3.1. APROXIMAÇÃO DE THOMASSON
Para resolver o problema anteriormente exposto, THOMASSON[66] fez uma
nova proposição de curvas de largura efetiva, conforme a figura 2.17, com um
2
gráfico do tipo S em relação a λ p , onde:
S = σm/σcr
(2.29)
2
λ p = εe/εcr
(2.30)
Nesta figura, a curva ‘a’ é a solução teórica de uma placa perfeita e constitui um
limite superior da resposta da placa; a curva pontilhada é a solução exata de
YAMAKI[76] para uma placa com uma imperfeição inicial wo igual a 0,1t; a curva ‘b’ é
uma aproximação da curva pontilhada de YAMAKI [76], e a curva ‘c’ é uma
aproximação da fórmula de WINTER [74]. A idéia é tomar a solução de YAMAKI [76]
para o comportamento pós-crítico inicial da placa e, ao mesmo tempo, definir a ruína
da placa pela fórmula de WINTER [74], unindo-se esses dois pontos por uma curva
de transição ‘d’.
S = σm/σcr
6
Solução teórica de Yamaki [76]
5
a
para uma placa imperfeita com
b
Wo / t =0,1.
4
c
d
3
2
λ2po
1
λ2py = 10,24
λ2p1
0
0
2
4
6
λ2p =
8
10
12
εe
εcr ,p
Figura 2.17 – Proposição de THOMASSON [66] para o comportamento de uma
placa no estado de serviço pós-crítico.
36
As larguras efetivas associadas são dadas pela figura 2.18 e suas fórmulas são as
seguintes:
Curva b: ρ =
( −0 , 662 )
be
= 0,827λ p
≤1
b
Curva c: ρ =
( −0 ,864 )
be
= 0,78λ p
≤1
b
Curva d: ρ =
λ p > 0,75
(2.31)
λ p > 0,75
(2.32)
ρ y − ρ1
be
= ρ1 +
λ p − λ p1 ≤ 1
b
λ py − λ p1
(
)
λ p1 < λ p < λ py
(2.33)
onde o par ( λ p1 ,ρ1) é o ponto de interseção entre a curva ‘b’ e a curva de transição
‘d’. A abcissa λ p1 é dada por:
λ p1 = 0,3 + 0,6λ py
(2.34)
THOMASSON [66] fez uma comparação da sua proposição para o cálculo de largura
efetiva com os resultados experimentais de KÖNIG[34] e pode-se constatar uma boa
relação entre eles.
ρ
1,1
1
0,9
0,8
λpy = 3,2
0,7
0,6
λpo = 0,75
0,5
a
b
0,4
λ p1
0,3
0,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
d
c
λ py
3
3,5
λ p
Figura 2.18 – Proposição de THOMASSON [66] para o cálculo da largura efetiva.
37
Apesar das boas previsões teóricas dadas por essa proposição, há duas notas a
serem feitas:
2
a) A curva Sx λ p (figura 2.17) apresenta dois pontos de descontinuidade da
2
2
2
2
derivada de S em relação a λ p ( ∂S/∂( λ p )), localizados nas abcissas λ p = λ po e
2
2
λ p = λ p1 que são os pontos de passagem do estado de pré-flambagem ao
estado pós-flambagem e a transição da curva ‘b’ para a curva ‘d’.
b) A curva ‘d’, que faz a transição da curva ‘b’ para a ruína da placa, apresenta seu
vértice antes da interseção com a curva ‘c’ e este fato é tão mais marcante
quanto mais esbelta é a placa (maior λ py ). Nota-se, também, que a proposição
de THOMASSON [66] prescreve que a ruína da placa se produz em regime
elástico (σe<fy), porém sabe-se que a ruína das placas é atingida quando σe = fy.
2.3.2.
APROXIMAÇÃO DE MULLIGAN [43]
Numa pesquisa mais recente, MULLIGAN[43] e MULLIGAN e PEKOZ[41]
fizeram uma revisão da proposição de THOMASSON [66] e deduziram uma nova
proposição para o cálculo da largura efetiva da placa no estado de serviço no regime
pós-crítico, para eliminar as falhas apresentadas na proposição de THOMASSON
[66], citadas no subitem anterior.
A proposição se encontra ilustrada na figura 2.19 no gráfico do tipo S x λ p . Fazemse necessários alguns esclarecimentos quanto ao gráfico citado. O trecho da curva
entre λ p = 0 e λ po = 0,673 está relacionado às esbeltezes de placas pré-flambadas
(ρ =
ρ=
be
= 1) e, com a ajuda da equação 2.12, tem-se:
b
be
σ σ cr , p
= m
b σ cr , p σ e max
Utilizando as equações 2.15 e 2.29:
2
S = ρ λp
(2.35)
Assim, para placas pré-flambadas, tem-se:
2
S = λp
(2.36)
38
S=
σm / σcr,p
3.5
Mulligan
fy (N/mm²)
3
S
fy = 300
b / t = 150
2.5
fy = 400
MW
k=4
fy = 200
2
S= λp
2
λ py
1.5
λ
λ py
py
Winter
1
S
0.5
W=
λp
- 0,22
0
0
0.5
λ po
1
1.5
λ
2
2.5
p = ( ε e / ε cr,p
)½
3
3.5
4
Figura 2.19 – Proposição MULLIGAN e PEKOZ [41] para o comportamento de
uma
placa
no estado de serviço.
A equação de WINTER 2.21 sob a forma da equação 2.35 toma a seguinte forma:
SW = λ p - 0,22
(2.37)
Essa aproximação caracteriza-se por fazer passar uma curva que vai da passagem
do estado de pré-flambagem ao estado de flambagem da placa ( λ po > 0,673), com o
vértice da ruína dado pela fórmula de WINTER [74]. Essa curva será um polinômio
cúbico da seguinte forma:
2
3
SMW =AW 1+AW 2 λ p +AW 3 λ p +AW 4 λ p
0,673< λ p < λ py
(2.38)
e impondo-se as seguintes condições aos limites em λ po e λ py :
2
SMW ( λ po ) = λ po
(2.39a)
S’MW ( λ po ) = 2 λ po
(2.39b)
SMW ( λ py ) = SW ( λ py )
(2.39c)
S’MW ( λ py ) = 0
(2.39d)
39
Com os quais acham-se os coeficientes da equação 2.38:
AW4 =
AW3 =
[(
)
2 1 − λ po λ py − 0,22
(λ
po
− λ py
)
]
(2.40a)
3
(
λ po
− 1,5 AW 4 λ py + λ po
λ po − λ py
(
AW2 = − λ py 2 AW 3 + 3 AW 4 λ py
)
(2.40b)
)
(2.40c)

2 
A
AW1 = λ po 1 − W 2 − AW 3 − λ po AW 4 
λ po


(2.40d)
Finalmente, combinando-se as equações 2.35 e 2.38, tem-se a seguinte expressão
para o cálculo da largura efetiva:
ρ MW =
be AW 1 AW 2
= 2 +
+ AW 3 + AW 4 λ p ≤ 1
b
λp
λp
0,673< λ p < λ py
(2.41)
Por simplificação da linguagem, chama-se daqui por diante a equação 2.41 de
combinação Mulligan+Winter.
Apresenta-se, a seguir, na figura 2.20 uma representação gráfica e uma comparação
com a fórmula de WINTER [74].
1.1
ρ
fy (N/mm²)
1
0.9
b / t = 150
k=4
0.8
Mulligan
0.7
fy = 200
0.6
Winter
fy = 300
0.5
fy = 400
0.4
0.3
0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
lp
Figura 2.20 – Proposição de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o cálculo da largura
efetiva.
40
Do mesmo modo, aplicou-se esta nova aproximação para a fórmula 2.24 de
KALYANARAMAN [31] para as placas não enrijecidas. Neste caso, da equação 2.24
combinada com 2.35, tem-se:
SK = 1,19 ( λ p - 0,298)
(2.42)
Similarmente ao caso precedente, SMK toma a seguinte fórmula:
2
3
SMK = AK1 + AK2 λ p + AK3 λ p + AK4 λ p
0,673< λ p < λ py
(2.43)
com as condições nos limites:
2
SMK( λ po ) = λ po
(2.44a)
S’MK( λ po ) = 2 λ po
(2.44b)
SMK( λ py ) = SK( λ py )
(2.44c)
S’MK( λ py ) = 0
(2.44d)
Assim, tem-se, para os coeficientes da equação 2.43:
AK4 =
AK3 =
[(
)
2 1,19 − λ po λ py − 0,3546
(λ
po
− λ py
)
]
(
λ po
− 1,5 AK 4 λ py + λ po
λ po − λ py
(
(2.45a)
3
AK2 = − λ py 2 AK 3 + 3 AK 4 λ py
)
(2.45b)
)
(2.45c)
2 

A
AK1 = λ po 1 − K 2 − AK 3 − λ po AK 4 
λ po


(2.45d)
e a largura efetiva é dada pela seguinte expressão:
ρ MK =
be AK 1 AK 2
= 2 +
+ AK 3 + AK 4 λ p ≤ 1
b
λp
λp
0,673< λ p < λ py
(2.46)
Por simplificação da linguagem, chama-se, daqui por diante, a equação 2.46 de
combinação Mulligan+Kalyanaraman.
41
1.1
ρ
Placa não enrijecida
1
0.9
fy = 355 N/mm²
b / t = 50
k = 0,43
0.8
0.7
Parábola
0.6
Kalyanaraman
0.5
Mulligan + Kalyanaraman
0.4
0.3
0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
σ e /sfy
Figura 2.21 – Largura efetiva da placa não enrijecida com b/t = 50.
Na figura 2.21, acha-se uma comparação entre as curvas de Kalyanaraman,
equação 2.24, e a combinação Mulligan + Kalyanaraman, equação 2.46. A
existência de uma terceira curva na figura, chamada ‘parábola’,
explica-se no
próximo subitem.
Infelizmente, a combinação Mulligan+Kalyanaraman apresenta um comportamento
indesejável quando a placa é pouco esbelta, como mostra a figura 2.22, com uma
relação b/t igual a 15. Utilizar esta aproximação adaptada, para a modelagem do
comportamento das placas não-enrijecidas, leva, na verdade, a um patamar ρ = 1,
de placa não flambada, muito maior do que o previsto pela esbeltez limite λ po .
42
ρ
1.05
Mulligan + Kalyanaraman
1
0.95
Placa não enrijecida
Parábola
0.9
Kalyanaraman
0.85
fy = 355 N/mm²
b / t = 15
k = 0,43
0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
σ e s/ fy
Figura 2.22 – Largura efetiva da placa não enrijecida com b/t = 15.
Este fato é mais marcante quando a esbeltez reduzida da placa na ruína λ py se
aproxima de λ po e provém da escolha de uma interpolação cúbica para representar
S em função de λ p impondo uma derivada nula na ruína, como mostra a figura 2.23.
43
S = σm / σcr,p
1.2
S =λ
Placa não enrijecida
1
fy = 355 N/mm²
b / t = 15
k = 0,43
2
p
Parábola
0.8
Mulligan + Kalyanaraman
0.6
0.4
Kalyanaraman
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
½
λp = ( ε e / ε cr,p)
Figura 2.23 – Diagrama tensão x deformação da placa não enrijecida
com
b/t=15.
2.3.3. APROXIMAÇÃO UTILIZADA
Para contornar o problema relativo a aproximação de Mulligan+Kalyanaraman
(equação 2.41), para o cálculo e distribuição da largura efetiva de placas nãoenrijecidas, propõe-se fazer passar uma curva do segundo grau (uma parábola) para
representar ρ = be/b em função de λ p , quando a placa é pouco esbelta. Vê-se a
seguir que esta parábola deve passar pelo ponto ( λ po , ρ = 1 ), final do patamar de
pré-flambagem, e pelo ponto ( λ py , ρ yk ), ruína; onde ρ yk é o valor obtido a partir da
equação 2.24 de Kalyanaraman, substituindo-se λ p por λ py .
A parábola é construída de maneira que seu lado convexo esteja voltado para cima
e portanto o vértice seja o ponto ( λ po , ρ = 1 ), impondo que ela tenha a seguinte
forma:
44
(ρ
p
(
− 1) = C λ p − λ po
)
2
(2.47)
Com a condição de passagem pelo segundo ponto ( λ py , ρ yk ), acha-se o valor da
constante C da equação 2.47, que toma finalmente a forma:
ρp =
(λ
ρ yk − 1
py
− λ po
)
2
(λ
p
− λ po
)
2
+1
(2.48)
e sua representação gráfica está ilustrada nas figuras 2.21, 2.22 e 2.23.
Como não há qualquer semelhança matemática entre a combinação de
Mulligan+Kalyanaraman, equação 2.46, e a parábola, equação 2.48, será impossível
determinar o valor da esbeltez reduzida na ruína λ py onde as duas curvas
coincidem, para saber se deve-se utilizar uma ou outra formulação. De qualquer
modo, vê-se, nas figuras 2.21 e 2.22, que, calculando-se a largura efetiva pelas duas
formulações e tomando-se o menor valor, utiliza-se sempre a melhor curva.
No caso em que as curvas das duas formulações são suficientemente próximas para
se cruzarem, como mostra a figura 2.24 para uma placa com b/t=26, o fato de tomar
o menor valor, faz passar de uma curva para outra, o que parece não prejudicar a
qualidade dos resultados.
No caso de uma placa enrijecida, a combinação Mulligan+Winter, (equação
2.41) produz o mesmo problema quando a placa é pouco esbelta e, neste caso, a
metodologia aplicada fica similar a acima apresentada.
45
1.05
ρ
Mulligan + Kalyanaraman
1
Placa não enrijecida
0.95
0.9
0.85
Parábola
0.8
0.75
Kalyanaraman
0.7
0.65
fy = 355 N/mm²
b / t = 26
k = 0,43
0.6
0.55
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
σe / fy
Figura 2.24 – Largura efetiva da placa enrijecida com b/t = 26.
0.9
1
46
2.4.
LARGURA
EFETIVA
SEGUNDO
AS
NORMAS:
AMERICANA
E
EUROCODE
2.4.1. INTRODUÇÃO
Apresenta-se aqui um resumo do cálculo da largura efetiva e sua distribuição
segundo as normas: a americana, AISI-90[1], e a européia, EUROCODE[21]. Um
estudo elaborado dessas normas pode ser visto na tese de ESTRELLA[20]. No
entanto, no presente trabalho, utilizam-se os resultados das normas, bem como
alguns resultados experimentais, somente para a aferição do procedimento de
cálculo da largura efetiva da seção pelo método da banda finita desenvolvido, o qual,
leva em conta a total interação entre as placas.
O cálculo dos perfis de paredes finas, com o AISI-90[1] é de difícil aplicação
em elementos finitos, devido a algumas descontinuidades e outros impedimentos
que apresenta-se a seguir.
2.4.2. PLACAS ENRIJECIDAS
Para o cálculo das larguras efetivas das placas biapoiadas no sentido
transversal à carga, há uma pequena diferença quanto à largura plana da placa bp a
considerar, nos cálculos utilizando o Eurocode ou o AISI-90. Essa diferença está
relacionada aos arredondamentos dos cantos dos perfis, conforme figura 2.25.
bp
bp
r
r
Eurocode 3
t
AISI - 90
'Adotado'
Figura 2.25 – Largura plana bp consideradas pelas normas.
47
A fim de uniformizar e de simplificar a programação, escolheu-se calcular bp
conforme o AISI-90 [1].
Quanto ao cálculo da largura efetiva, as duas normas desprezam o efeito da
interação da flambagem entre as placas da seção, as quais são consideradas como
placas isoladas com os bordos simplesmente apoiados. Felizmente, o efeito do
gradiente de tensões, da carga agindo sobre a placa, é levado em conta. A figura
2.26 mostra a notação utilizada na tabela 2.2 para o cálculo da largura efetiva.
σ1
σ2
+
be1
ψ = +1
be2
bp=bc
ψ =σ2 /σ1
σ1
σ2
+
0
ψ<1
be2
be1
bp=bc
bc
bt
σ1
ψ<0
+
be1
be2
bp
σ2
bc = bp
1−ψ
Figura 2.26 – Notação e representação gráfica da distribuição da largura efetiva
48
EUROCODE 3
AISI-90
Coeficiente de Flambagem
8, 2

0 < ψ ≤ 1 → k = 1,05 + ψ


2
− 1 < ψ ≤ 0 → k = 7,81 − 6, 29ψ + 9,78ψ

2
ψ ≤ −1 → k = 5,98(1 − ψ )

3
∀ψ → k = 4 + 2(1 − ψ ) + 2 (1 − ψ )
Cálculo da Largura Efetiva
λ p = 1, 052
λ py = 1,052
bp 1
t
k
bp 1
t
k
σ1
E
fy
λ e = 0,256 + 0,328
E
bp
fy
t
E
Um dos bordos apoiados sobre enrijecedor
λ p ≤ 0,673 → ρ = 1

 0,22  1

λ py − λ p

+ 0,18
≤1
λ p > 0,673 → ρ =  1 −

λ py − 0,6
 λp λp

be = ρ bc
ρ ≤ 1
λ p ≤ 0,673 → ρ = 1

 0,22  1


λ p > 0,673 → ρ =  1 −
λp
λ
p



 Os dois bordos apoiados nas abas


λ p ≤ 0,673 → ρ = 1



0, 461  1
0,673 < λ p < λ e → ρ =  1,358 −
λ p  λ p





f

y 0,22  1

≥
→
=
0
,
41
+
0
,
59
−
λ
λ
ρ
e
 p

σ
λ p  λ p

1


be = ρ bp, be ≤ bc
Distribuição da Largura Efetiva
be1 = be / (3 − ψ )

ψ ≤ −0, 236 → be 2 = be / 2

ψ > −0, 236 → be 2 = be − be1
2be

, be 2 = be − be1
0 < ψ ≤ 1 → be1 =
5 −ψ

ψ ≤ 0 → b = 0, 4b , b = 0,6b
e1
e
e2
e

be1 + be 2 ≤ bc
Tabela 2.2 – Cálculo e distribuição das larguras efetivas de placas enrijecidas.
49
Como apresentado na tabela 2.2, o gradiente de tensões é considerado
somente no EUROCODE [21], fazendo o coeficiente de flambagem k variar segundo
a relação ψ = σ2/σ1.
Baseadas em pesquisa anterior [20], as figuras 2.27, 2.28 e 2.29 mostram
uma comparação gráfica entre as duas normas para três valores diferentes de k, 4, 5
e 6,998, respectivamente. A figura 2.27 mostra que a curva do AISI-90 apresenta um
ponto anguloso em λ p = λe (ver tabela 2.2). A figura 2.28 ilustra a descontinuidade
da curva do AISI-90 [1] para um valor de k diferente de 4, k=5. A figura 2.29 mostra
que a curva do AISI-90 [1] é inadequada quando λ py = λ e .
1.1
ρ
Placa Enrijecida
1
0.9
Winter
0.8
Mulligan + Winter
fy = 355 N/mm²
AISI-90
0.7
bp / t = 90
k=4
Eurocode 3
0.6
0.5
0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
λp
Figura 2.27 – Comparação gráfica das fórmulas de cálculo da largura efetiva para
uma placa enrijecida, com k=4.
50
ρ
Placa Enrijecida
1
0.9
Mulligan + Winter
fy = 355 N/mm²
Winter
0.8
bp / t = 90
k=5
AISI-90
0.7
Eurocode 3
0.6
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
λp
Figura 2.28 – Comparação gráfica das fórmulas de cálculo de largura efetiva para
uma placa enrijecida, com k = 5.
1.05
ρ
1
0.95
Placa Enrijecida
0.9
0.85
fy = 355 N/mm²
0.8
bp / t = 90
0.75
AISI-90
Winter
k = 6,998
Eurocode 3
0.7
0.65
Mulligan + Winter
0.6
0.55
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
λp
Figura 2.29 – Comparação gráfica das fórmulas de cálculo de largura efetiva para a
placa enrijecida, com k = 6,998.
51
Nos gráficos, acham-se, também, as curvas de WINTER [74], equação 2.21, e a
combinação Mulligan+Winter, equação 2.41. Comparando-se as curvas do Eurocode
com a de Mulligan+Winter e a do AISI-90, nota-se que o patamar de pré-flambagem
do Eurocode é sensivelmente maior que λ po = 0,673.
Quanto ao cálculo da largura efetiva be, pode-se ver na tabela 2.2 que, para o
Eurocode, ela é calculada em relação à bc (be = ρ bc), enquanto que, para o AISI-90,
ela é calculada em relação à bp (be = ρ bp). Na realidade, as duas aproximações só
diferem se ψ < 0, (bc ≠ bp).
A comparação gráfica entre as duas normas para as distribuições da largura
efetiva em relação a be, be1/be e be2/be, fazendo be = ρ bc para ambas as normas, é
dada na figura 2.30. Novamente, constata-se que há uma descontinuidade na curva
be2/be do AISI-90 [1] na abcissa
ψ = -0,236. Para contornar esse problema,
ESTRELLA [20] propôs ajustar um polinômio cúbico entre os pontos de abcissa ψ = 0,5 e ψ = 0, de maneira a respeitar os valores de be2/be e de suas derivadas em
relação a ψ, tal como apresentada pela curva pontilhada da figura 2.30.
52
1
bei/be
Placa Enrijecida (be = ρ.bc)
0.9
0.8
0.7
AISI - 90
be2/be
0.6
Eurocode 3
0.5
be1/be
0.4
0.3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ψ = σ2 / σ1
Figura 2.30 – Distribuição da largura efetiva para o Eurocode 3 e o AISI-90.
A utilização do AISI-90 [1] para o cálculo da largura efetiva com o elemento
finito apresentou dificuldades intransponíveis para a convergência da solução nãolinear devido à descontinuidade apresentada na curva de ρ x λ p e na curva be2/be x
ψ. Foi proposta a utilização de um AISI modificado que consiste na utilização da
combinação de Mulligan+Winter (equação 2.41) e a parábola no cálculo da largura
efetiva de placas enrijecidas e a utilização da curva cúbica da figura 2.30 para a
distribuição da largura efetiva. Por simplificação de linguagem, toda referência à
norma Americana será chamada AISI-90, com as modificações supracitadas.
2.4.3. PLACAS NÃO-ENRIJECIDAS
A tabela 2.3 mostra uma comparação numérica das fórmulas de cálculo de
largura efetiva para a placa com um bordo livre, entre o Eurocode 3 [21] e o AISI-90
[1]. Constata-se que o AISI-90 [1] não faz nenhuma distinção quanto ao gradiente de
tensões para o cálculo do coeficiente de flambagem k, que é sempre igual a 0,43.
A figura 2.31 mostra, graficamente, uma comparação do cálculo de k em função de
ψ, para as duas normas.
53
k
1,8
Placa Não-enrijecida
1,6
1,4
1,2
Eurocode 3
1
0,8
0,6
0,4
AISI - 90
0,2
0
ψ=0
ψ=1
Figura 2.31 – Comparação do
coeficiente
de
ψ=0
flambagem
k
para
a placa
não-enrijecida, entre o Eurocode 3[21] e o AISI-90[1].
Quanto ao cálculo da largura efetiva, nota-se que o AISI-90[1] utiliza a fórmula
de WINTER [74], enquanto que o Eurocode 3 [21] parece ser mais realista em
relação ao comportamento de serviço das placas. Na figura 2.32, acha-se uma
comparação gráfica das duas normas para formas diferentes de gradientes de
tensão.
54
EUROCODE 3
AISI-90
Coeficiente de Flambagem – Compressão Positiva ψ = σ2 /σ1
0 < ψ ≤ 1

2
k = 0,57 − 0,21ψ + 0,07ψ
σ
σ1
+
2
k=0,43
be
bp = b c
bt
bc
be
− 1 ≤ ψ ≤ 0

2
k = 0,57 − 0,21ψ + 0,07ψ
σ1
+
σ
k=0,43
bp
2
σ1
0 ≤ ψ ≤ 1

0,578

k = ψ + 0,34

σ
+
2
k=0,43
be
bp = b c
b
bc
− 1 ≤ ψ < 0

2
k = 1,7 − 5ψ + 17,1ψ
t
σ1
k=0,43
+
σ
be
2
bp
Cálculo da Largura Efetiva
λ py = 1,052
1 bp
k t
fy
E
λ p = 1,052
1 bp
k t
λ p ≤ 0,673 → ρ = 1

 0,22  1

λ py − λ p

+ 0,18
λ p > 0,673 → ρ = 1 −
λp λp
λ py − 0,6


be = ρ bc
ρ≤ 1
σ1
E
λ p ≤ 0,673 → ρ = 1

 0,22  1


λ p > 0,673 → ρ = 1 −
λ p  λ p


be = ρ bc
Tabela 2.3 – Cálculo das larguras efetivas para a placa não-enrijecida.
55
ρ
1,1
1
Placa Não-enrijecida
0,9
fy = 355 N/mm²
0,8
bp/ t = 50
Eurocode 3
0,7
ψ=1
0,6
ψ=0
AISI - 90
(Winter)
0,5
0,4
0,3
0,2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
σ1/fy
Figura 2.32 – Comparação das aproximações do cálculo de largura efetiva para
a placa não-enrijecida, entre o Eurocode 3 [21] e o AISI-90 [1].
Finalmente, a título de comparação, a figura 2.33 ilustra graficamente as
aproximações do cálculo de largura efetiva para a placa não-enrijecida pelo AISI-90
[1],
o
Eurocode
3
[1],
KALYANARAMAN
Mulligan+Kalyanaraman (equação 2.46).
[31]
e
a
combinação
56
ρ
1.1
1
Placa Não-enrijecida
0.9
λpy = 3,3
Eurocode 3
0.8
Mulligan + Kalyanaraman
0.7
0.6
AISI - 90
0.5
(Winter)
0.4
Kalyanaraman
0.3
0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
λp
Figura 2.33 – Comparação entre várias aproximações de cálculo da largura efetiva
para a placa não-enrijecida.
2.4.4. ENRIJECEDOR DO PERFIL C
Na figura a seguir, apresenta-se a nomenclatura utilizada para a seção tipo C.
z
t
RI
b1
C.G.
y
b3
b2
Figura 2.34 – Nomenclatura do perfil tipo C.
57
Conforme será apresentado detalhadamente no item 3.5, o tamanho do
enrijecedor de bordo do perfil C ( placa b3) afeta o comportamento da flambagem
local. O estudo teórico da instabilidade do perfil C mostra que a eficácia do
enrijecedor é penalizada quando b3/b1< 0,1 ou b3/b1>0,3, BATISTA[3]. Porém, outro
fator a ser levado em conta é a relação b1/t que, para valores relativamente
pequenos, permite que o perfil comprimido possa ser considerado totalmente efetivo
sem enrijecedores.
As normas AISI-90 [1] e Eurocode 3 [21] estabelecem os cálculos da largura efetiva
do conjunto aba-enrijecedor, de maneiras diferentes.
Do estudo feito por ESTRELLA[20], podemos tirar as seguintes conclusões relativas
ao método utilizado pelo AISI-90 [1]:
-
despreza o efeito da interação da flambagem;
-
introduz uma inércia adequada para o enrijecedor, Ia. O não cumprimento das
desigualdades estabelecidas leva a valores de k menores que 4;
-
não leva em conta o gradiente de tensões nas abas e;
-
apresenta descontinuidades em coeficientes que comprometem a utilização do
elemento finito (figuras 2.28 e 2.30).
Apresenta-se, no capítulo 5 desta tese, resultados obtidos por ESTRELLA[20]
com a utilização deste procedimento de penalização da eficácia do enrijecedor, com
o nome de AISI-90*, embora tal procedimento não esteja desenvolvido para o caso
da banda finita.
Quanto ao Eurocode 3 [21], conclui-se que:
-
é um método muito mais trabalhoso que o apresentado pelo AISI-90 [1];
-
nota-se maior coerência, e de certa forma, leva em conta o efeito de interação
entre as paredes;
-
limita o ângulo entre a aba e o enrijecedor, e o comprimento do enrijecedor. Se
as condições não forem satisfeitas a aba será considerada como uma placa com
um bordo livre;
58
-
sua proposição baseia-se na hipótese de que o conjunto aba-enrijecedor forma
uma viga-coluna sobre base elástica e;
-
utiliza uma espessura efetiva, para poder trabalhar com o limite elástico fy.
2.5.
A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS
Nos parágrafos seguintes, apresenta-se um resumo das proposições do
Eurocode 3 [21] e do AISI-90 [1], para o cálculo das larguras efetivas.
2.5.1. EUROCODE 3 [21]
As larguras efetivas são calculadas segundo as tabelas 2.2 e 2.3 para placas
enrijecidas e não-enrijecidas, respectivamente. Para melhor esclarecimento, tem-se
as notas a seguir:
a) Os coeficientes de flambagem das placas do perfil são recalculados a cada
iteração do passo não-linear para levar em conta a mudança no gradiente de
tensões da seção, devido a não-linearidade geométrica;
b) As placas são consideradas isoladas e, portanto, nenhum efeito de interação da
flambagem entre as placas do perfil é levado em conta;
c) Esta proposição serviu de comparação nas análises de perfis C. Os resultados
numéricos, obtidos por ESTRELLA[20], são apresentados no capítulo 5.
2.5.2. AISI-90 [1]
As larguras efetivas são calculadas segundo as tabelas 2.2 e 2.3 para as
placas enrijecidas e não-enrijecidas, respectivamente. Para melhor esclarecimento,
tem-se as notas a seguir:
59
a) Devido ao fato desta proposição desprezar o gradiente de tensões no caso de
placas não-enrijecidas (ver tabela 2.3), ela só deve ser aplicada para perfil C,
onde a variação da largura efetiva do enrijecedor não tem um papel muito
importante na convergência do elemento finito;
b) A eficácia do enrijecedor não é levada em conta;
c) As notas a e b do parágrafo do Eurocode 3 [21] são também válidas aqui;
d) Para a alma do perfil C utiliza-se a curva de flambagem da combinação
Mulligan+Winter (equação 2.41) com a parábola, como exposto no sub-item
2.4.2, enquanto que para a aba utiliza-se a curva de WINTER[9] como
especificado na tabela 2.2;
e) Quanto à distribuição da largura efetiva da placas enrijecidas, o cálculo da
largura be2 é feito segundo a adaptação apresentada na figura 2.30 pela curva
pontilhada, a fim de eliminar a descontinuidade da curva original de be2.
2.5.3. AISI-90*
As notas feitas no parágrafo 2.5.2, para o AISI-90 [1], são válidas aqui, com
exceção da nota b. Para a hipótese do AISI-90*, as larguras efetivas da aba e do
enrijecedor do perfil C são calculadas segundo as adaptações feitas em ESTRELLA
[6], para levar em conta a eficácia do enrijecedor.
2.5.4. BANDA FINITA
A descrição do cálculo da largura efetiva no programa FINLOC se encontra
detalhada no item 3.6 desta tese.
60
CAPÍTULO 3
LARGURA EFETIVA PELO MÉTODO DA BANDA FINITA
3.1- INTRODUÇÃO:
Neste capítulo faz-se a introdução do método utilizado para o cálculo da
instabilidade da seção do perfil de paredes finas. Sabe-se que o comportamento de
colunas e vigas de chapas dobradas pode ser estudado por métodos analíticos que,
para problemas de complexidade moderada, apresentam grande dificuldade de
resolução. Como exemplos de métodos analíticos, podem ser citados os métodos
que permitem resolver equações diferenciais de forma exata. Por simplificação,
devem ser usados métodos numéricos, ou aproximados. Desses, os métodos
energéticos foram amplamente usados (Timoshenko e Gere [1961]).
Os métodos numéricos também são convenientes em situações práticas, onde, por
exemplo, existe necessidade de introduzir enrijecedores intermediários.
Mais recentemente, o Método dos Elementos Finitos tem se mostrado uma
poderosa ferramenta tanto na análise da instabilidade como, também, em outras
áreas da mecânica estrutural (Gallagher[1975]). Porém, em alguns casos, essa
solução requer muito gasto em tempo profissional para a realização de grandes
programas, preparação de dados e grande esforço computacional. Portanto, é
vantajosa a busca de métodos que reduzam esse esforço e, ao mesmo tempo,
conserve as vantagens básicas do Método dos Elementos Finitos. Um método que
satisfaz essas necessidades, tratado aqui, é o Método da Banda Finita.
Neste método, os elementos são faixas longitudinais que são unidas umas às
outras ao longo de uma linha nodal, que corresponde ao comprimento da peça
estudada (ver figuras 3.2 e 3.3). A análise desenvolvida aqui tem como objetivo a
avaliação dos níveis de tensão em qualquer ponto da estrutura de paredes finas e a
checagem das mesmas de acordo com as exigências das normas práticas.
Entretanto, o Método da Banda Finita também é usado na avaliação das tensões de
61
flambagem. Visto que a versatilidade do método permite prever o comportamento
das estruturas sob flambagens simultâneas - local e global - será possível, também,
o estudo da perda acentuada da tensão crítica quando este fenômeno ocorre.
3.2 – DIFERENÇAS ENTRE OS MÉTODOS
Com relação ao Método dos Elementos Finitos, sabe-se que o Método da
Banda Finita é um caso especial do primeiro. Faz-se aqui uma pequena comparação
quanto à discretização bidimensional de ambos.
No Método dos Elementos Finitos, o campo dos deslocamentos u é discretizado
como o produto de funções conhecidas H e parâmetros nodais selecionados ∆ ,
que são, em geral, desconhecidos,
u = H .∆
(3.1)
As funções de forma H são dependentes de ambas as variáveis independentes, x e
y.
A discretização do campo dos deslocamentos u utilizando o Método da
Banda Finita também é feita como um produto de funções de forma e parâmetros
nodais,
u = ∑m y m .H .∆ m
(3.2)
Da equação anterior, tem-se que as funções de forma são, agora, derivadas de um
polinômio na direção x e uma série continuamente diferenciável em y.
Procedendo assim, o problema originalmente 2D passa a ser constituído de m
problemas 1D, separadamente.
Desta discretização, tem-se a explicação da vantagem exposta anteriormente,
isto é, a formulação resulta num pequeno número de equações com uma largura de
banda pequena, o que é importante principalmente na análise de instabilidade que
requer um grande esforço computacional. Soma-se a isto a considerável redução de
entradas e saídas na programação.
Porém, pode-se citar como desvantagem do Método da Banda Finita a sua limitação
às estruturas com propriedades do material e geométrica constantes numa direção.
62
Sabe-se também que, ao diminuir uma dimensão do problema, é necessário
satisfazer as condições de contorno. Entretanto, em estruturas, como os perfis de
paredes finas satisfazem todas essas condições, o Método da Banda Finita é uma
poderosa ferramenta analítica.
3.3 – DESENVOLVIMENTO
A figura 3.1 representa um perfil discretizado em bandas finitas e submetido a
um gradiente de tensões.
Figura 3.1 - Perfil C discretizado em bandas finitas.
Transversalmente, a placa se comporta como um elemento finito de viga. No
sentido longitudinal, os nós se relacionam aos bordos 1 e 2 (ver figura 3.2) e o
cálculo dos deslocamentos e rotações é feito segundo uma função analítica
adequada.
63
Tem-se:
u, v - deslocamentos membranares no plano da banda,
w1, w2 - deslocamentos fora do plano da placa,
θy1, θy2 - rotações.
Figura 3.2 - a - Banda finita submetida a um gradiente de tensões.
b - Deslocamentos e rotações- elemento finito de viga.
Uma formulação de deslocamentos é adotada, na qual, o campo variável u
está relacionado ao grau de liberdade local (deslocamentos nodais) ∆ , na forma:
u 
 
u =  v  = H .∆
w 
 
(3.3)
Quatro graus de liberdade são empregados ao longo de cada lado da banda, como
se mostra na figura 3.3:
64
Figura 3.3 - Placa reduzida a um elemento finito de viga.
No sentido transversal da placa, as funções interpoladoras Hm (m=1,6) são
calculadas pelo Polinômio de Lagrange para o caso das deformações axiais e pelo
Polinômio de Hermite para as deformações fora do plano e rotações.
Para a variação longitudinal, as funções interpoladoras são funções analíticas
(h7 e h8).
Tem-se as seguintes expressões:
h1 = 1 - ξ
(3.4)
h2 = ξ
(3.5)
h3 = 1 - 3 ξ2 + 2 ξ3
(3.6)
h4 = -bξ (1 -2ξ + ξ2)
(3.7)
h5 = 3 ξ2 - 2 ξ3
(3.8)
h6 = -b ξ (ξ2 - ξ)
(3.9)
h7= sen (αm)y
(3.10)
h8 = cos (αm) y
(3.11)
sendo:
ξ = x/b
(3.12)
αm = mπ/L
(3.13)
onde m é o no de semi-ondas longitudinais, conforme capítulo 2.
Deste modo, obtêm-se as expressões relativas aos deslocamentos:
u(x,y) = h1 h7 u1 + h2 h7 u2
(3.14)
65
v(x,y) = h1 h8 v1 + h2 h8 v2
(3.15)
w(x,y) = h3 h7 w1 + h4 h7 θ1 + h5 h7 w2 + h6 h7 θ2
(3.16)
Matricialmente, tem-se:
 u  h1h7
  
v  =  0
w   0
  
0
h2 h7
0
0
0
0
h1h8
0
h2 h8
0
0
0
0
0
0
h3 h7
h4 h7
h5 h7
 u1 
v 
 1
u 2 
 
 v2 
 
 w1 
θ 1 
 
w 2 
θ 
 2
0 
0 
h6 h7 
(3.17)
Separando-se as matrizes referentes aos deslocamentos planares (p) dos
deslocamentos referentes à flexão da placa (b):
u 
p
  H
v  = 
w  0
 
0  ∆ p 
 b 
H b   ∆ 
(3.18)
As relações infinitesimais deformação-deslocamento são introduzidas como:
 ∂u 
 ∂x 




 ε xx   ∂v   (h1 h7 ), x

 
 
ε 0p =  ε yy  =  ∂y  =  0
2ε  
 (h h )
 xy  
  1 7 ,y
∂
∂
u
v
 + 
 ∂y ∂x 




B0p
0
(h2 h7 ), x
0
(h1 h8 ), y
(h2 h8 ), y
0
(h1 h8 ), x (h2 h7 ), y (h2 h8 ), x
B0
 u1 
v 
 1
u2 
0 0 0 0  
 v2 
0 0 0 0  
w
0 0 0 0  1 
θ 1 
 
 w2 
θ 
 2
∆
para a tensão linear plana e
(3.19)
66
− ∂ 2w

2 
 ∂x 


 − ∂ 2 w  0 0 0 0 (h3 h7 ) , xx

 
ε 0b =  ∂y 2  = 0 0 0 0 (h3 h7 ) , yy

 0 0 0 0 (h h )
3 7 , xy
 2  
w
∂


 ∂x∂y 




B0b
(h4 h7 ) , xx
(h5 h7 ) , xx
(h4 h7 ) , yy
(h5 h7 ) , yy
(h4 h7 ) , xy
(h5 h7 ) , yx
B0
 u1 
v 
 1
u 2 
(h6 h7 ) , xx   
 v2 
(h6 h7 ) , yy   
w1
(h6 h7 ) , xy   
θ 1 
 
 w2 
θ 
 2
∆
(3.20)
para a flexão onde as deformações são definidas como curvaturas de placa.
Combinando as relações deformação-deslocamento com as contribuições nãolineares, tem-se o vetor deformação total ε :
ε p  ε 0p  ε Lp 
     
ε =  =   +  
ε b  ε b   0 
   0  
(3.21)
Um termo típico da deformação não-linear ε Lp leva em conta a associação das ações
no plano e fora dele e é dado pela parcela não-linear do Tensor de Green:
ε Lp =
1 ∂u
1 ∂u k ∂u k
=
2 ∂x i ∂x j
2 ∂x i
∂v
∂x i
 ∂u 


 ∂x j 
∂w  ∂v 


∂xi  ∂x j 
 ∂w 
 ∂x 
 j
(3.22)
Vê-se que todos os termos da deformação de Green são conservados, onde os
termos em w modelam os modos de flambagem local e os termos em u e v modelam
os modos globais ( Graves Smith e Sridharan [1978]). De acordo com a Teoria NãoLinear, temos a discretização da parcela não-linear do Tensor de Green:
67
1  ∂u ∂u 
ε Lp = ε ijp =  k . k 
(3.23)
2  ∂X i ∂X j 
onde: i,j,k = x,y,z
ε
p
L xx
2
2
2
1  ∂u 
 ∂v 
 ∂w  
=   +   +   
2  ∂x 
 ∂x 
 ∂x  
ε L xy =
p
1  ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w 
. 
 . + . +
2  ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 
 ∂v 
 ∂w 
1  ∂u 
=   +   +  
2  ∂y 
 ∂y 
 ∂y 

2
ε
p
L yy
ε Lp
(3.24)
 ∂u

 ∂x
1
=
0
2
 ∂u

 ∂y
2
∂v
∂x
∂w
∂x
0
0
∂v
∂y
∂w
∂y
0
0
∂u
∂y
∂x
∂x
∂v
∂y
∂v
∂x
A
2
(3.25)



(3.26)
 ∂u 
 ∂x 
 ∂v 
 
  ∂x 
0   ∂w 

∂w   ∂x 
 ∂u 
∂y   
∂w   ∂y 

∂x   ∂v 
 ∂y 
 ∂w 
 
 ∂y 
(3.27)
θ
θ x 
θ=  
θ y 
ε p = ε 0p +
(3.28)
1
A.θ
2
(3.29)
68
 ∂u 
 ∂x 
 
 
 ∂v 
 ∂x 
  (h1h7 ), x
 ∂w  
   0
 ∂x   0
  = (h h )
 ∂u   1 7 , y
 ∂y   0
  
   0
 ∂v 
 ∂y 
 
 ∂w 
 
 ∂y 
0
(h1h8 ), x
0
0
(h1h8 ), y
0
(h2 h7 ), x
0
0
(h2 h7 ), y
0
0
0
(h2 h8 ), x
0
0
(h2 h8 ), y
0
0
0
(h3 h7 ),x
0
0
(h3 h7 ), y
0
0
(h4 h7 ), x
0
0
(h4 h7 ), y
G
0
0
(h5 h7 ), x
0
0
(h5 h7 ), y
 u1 
0   v1 
 
0   u 2 
(h6 h7 ), x   v2 

0   w1 
0  θ 1 

(h6 h7 ), y  w2 
θ 
 2
∆
θ
(3.30)
onde G é a matriz derivada das funções de interpolação.
Da expressão acima, tem-se que:
θ = G. ∆
(3.31)
Assim, aplicando a equação (3.31) em (3.29):
ε p = ε 0p +
1
A.G.∆
2
ε op = Bo .∆
(3.32)
(3.33)
Substituindo-se a equação (3.33) em (3.32):


1
2


ε p =  B0 + . A.G .∆
(3.34)
Fazendo BL = A.G e dividindo essa matriz em duas sub-matrizes BLP (planar) e BLb
(flexão), tem-se:
69
ε p = B0 .∆ +
[
1 p
BL
2
∆ p 
B Lb  b 
∆ 
]
(3.35)
 ε xxp 




 ε yyp 




 2ε xyp 


ε p   2   B0p 0  ∆ p  1  BLp BLb  ∆ p 
ε =  b  = − ∂ w = 
+ 
 
b  b 
0   ∆b 
ε   ∂x 2   0 B0   ∆  2  0


− ∂ 2w


Parcela
Parcela não ∂y 2 
linear
linear


 2 
 2∂ w 
 ∂x∂y 
(3.36)
A seguir, as tensões σ, definidas abaixo,
σ = [σ x σ y σ xy
Mx
My
M xy
]
T
= σ

p
σ b 

T
(3.37)
são associadas às deformações pela seguinte lei constitutiva elástica isotrópica:
C p D
σ =
 0
0  ε p 
 
C b D  ε b 
(3.38)
)
(3.39)
onde:
Cp =
E
1 −ν 2
(
E.t 3
C =
12. 1 − ν 2
b
(
1 ν

D = ν 1

0 0

)


0 
(1 − ν )

2 
(3.40)
0
(3.41)
70
sendo:
E – módulo de elasticidade
ν - coeficiente de Poisson
t – espessura da banda finita
Da expressão 3.39, tira-se:
σ p = C p .D.ε p
(3.42)
σ b = C b .D.ε b
(3.43)
σ x
 0

σ xy I 3   0
=
σ y I 3  σ xy
 0

 0
σ x I 3
Z =
σ xy I 3
0
0
σ xy
0
σx
0
0
σ xy
0
σx
0
0
0
0
σy
0
σ xy
0
0
σy
0
σ xy
0
0
0 
0 

σ xy 

0 
0 

σ y 
(3.44)
I 3 - matriz identidade 3x3
Sendo, para a banda finita, σx = σxy = 0 (ver figura 3.3), e
σ y = σ y1 .h1 (x ) + σ y 2 .h2 ( x )
h1 ( x ) = 1 −
h2 ( x ) =
(3.45)
x
b
(3.46)
x
b
(3.47)
Com as equações acima, é, agora, possível discretizar a energia potencial π :
1
2 V

π =  ∫ σ p .ε p .dV + ∫ σ b .ε b .dA + ∆.P 
T
T
A
Energia de
deformação

Energia das
cargas externas
(3.48)
71
Fazendo as variações em relação aos parâmetros nodais, tem-se a condição de
equilíbrio indiferente (análise linear):
(
)
(
)
(
δ 2π = ∫ δε p .C p .D.δε p .dV + ∫ δε b .C b .D.δε b .dA + ∫ σ
T
V
T
A
pT
)
.δ 2 ε p .dV = 0
(3.49)
V
A estacionaridade da energia potencial total, definida por δπ = 0 , onde δ é o
símbolo de variação, poderá conduzir ao equilíbrio necessário ao problema. Esse
critério não é, entretanto, suficiente para definir instabilidade, apenas serve para
definir um ponto estacionário de
π,
o qual pode representar equilíbrio estável,
neutro ou instável (Gallagher [1975]). A fim de estabelecer o tipo de equilíbrio, a
segunda variação da função deve ser empregada. Entretanto, a instabilidade é
definida pelo carregamento para o qual δ 2π se anula para que seja positiva-definida
(Dym [1974]), ou para o equilíbrio neutro.
Substituindo em (3.49) os valores das variáveis, anteriormente deduzidos, aplicandose as variações em relação aos parâmetros nodais e eliminando os termos de ordem
superior, temos:
δ 2π = δ∆T .K 0 .δ∆ + δ∆T .K σ .δ∆ = 0
(3.50)
Chega-se à seguinte condição de instabilidade linearizada:
δ∆T [K 0 + K σ ]..δ∆ = 0
(3.51)
onde:
K 0 é a matriz dos pequenos deslocamentos, geralmente simétrica.
K σ é a matriz tensão inicial, simétrica, que expõe os efeitos de forças membranares.
K 0 = ∫ B0T .D.B0 .dV
(3.52)
V
K σ = ∫ G T .Z .G.dV
V
(3.53)
72
Neste desenvolvimento, considera-se que K σ tem distribuição espacial constante
durante a flambagem e é gerada por uma distribuição genérica de tensões para a
qual se deseja conhecer o seu λ (multiplicador crítico), que leva a flambagem da
seção. Rescreve-se a equação (3.51) como:
[K 0 + λ.K σ ].δ∆ = 0
(3.54)
Desta forma, a equação (3.54) é apresentada como um típico problema de autovalor
onde o autovalor se relaciona a carga de flambagem e o autovetor, ao modo de
flambagem.
onde:
λ é o autovalor,
δ∆ é o autovetor, que dá a forma da flambagem da seção.
Na equação 3.13, sabe-se que m é o número de semi-ondas longitudinais de
flambagem. Para a obtenção do menor multiplicador crítico, basta analisar o primeiro
modo de flambagem. Por isto, nas equações que seguem, utilizou-se m=1.
73
a) MATRIZ DE RIGIDEZ DE TENSÃO PLANA LINEAR DA BANDA FINITA
k (1,1) k (1, 2) k (1,3)

k (2,2 ) k (2,3)
ELt 
p
K0 =
2
k (3,3)
2(1 − ν ) 

 simétrica
k (1, 4) 
k (2,4 )
k (3, 4)

k (4,4 )
(3.55)
k(1,1) = (1/b + (1-ν) bπ2 / 6L2)
k(1,2) = - k(3,4) = (3ν -1) π / 4L
k(1,3) = ( -1/b + (1-ν) bπ2 / 12L2)
k(1,4) = - k(2,3) = (ν + 1) π / 4L
k(2,2) = k(4,4) = (b π2 / 3L2 + (1-ν) / 2b)
k(2,4) = (bπ2 / 6L2 + (1-ν) / 2b)
onde:
E – módulo de elasticidade
L – comprimento da banda finita
t – espessura da placa
ν - coeficiente de Poisson
b – largura da banda finita
b) MATRIZ DE RIGIDEZ DE FLEXÃO DA PLACA
3
K 0b =
ELt
12 1 − ν 2
(
)
k (1,1) k (1,2 ) k (1,3)

k (2,2) k (2,3)


k (3,3)
 simétrica

k (1,4 ) 
k (2,4)
k (3,4 )

k (4,4)
k(1,1) = k(3,3) = (6 / b3 + 6π2 / 5bL2 + 13 bπ4 / 70L4)
k(1,2) = -k(3,4) = - (3 / b2 + (ν / 2 + 1/10) π2 / L2 + 11 b2π4 / 420 L4)
k(1,3) = (-6 / b3 - 6π2 / 5bL2 + 9bπ4 / 140 L4)
k(1,4) = -k(2,3) = -(3 / b2 + π2 / 10L2 – 13 b2π4 / 840 L4)
k(2,2) = k(4,4) = (2 / b + 2bπ2 / 15L2 + b3π4 / 210 L4)
k(2,4) = (1 / b - bπ2 / 30L2 - b3π4 / 280 L4)
(3.56)
74
c) MATRIZ DE RIGIDEZ TENSÕES INICIAIS DA BANDA FINITA PARA
CARREGAMENTO MEMBRANAR LONGITUDINAL (ver figura 3.3)
k (1,3)
0
0
0
0
0
k (1,1)

k (2,2 )
k (2,4)
0
0
0
0


k (3,3)
0
0
0
0

k (4,4)
0
0
0
b.tπ 2 
Kσ =
k (5,5) k (5,6 ) k (5,7 )
1680 L 

k (6,6) k (6,7 )
simétrica


k (7,7 )


0 
0 
0 

0 
k (5,8)

k (6,8)
k (7,8)

k (8,8)
k(1,1) = k(2,2) = 70( 3σy1 + σy2)
k(6,6) = b2( 5σy1 + 3σy2)
k(1,3) = k(2,4) = 70(σy1 + σy2)
k(6,7) = -2b (6σy1 + 7σy2)
k(3,3) = k(4,4) = 70(σy1 + 3σy2)
k(6,8) = -3b2 (σy1 + σy2)
k(5,5) = 8 (30 σy1 + 9σy2)
k(7,7) = 24 (3σy1 + 10σy2)
k(5,6) = -2b( 15σy1 + 7σy2)
k(7,8) = 2b (7σy1 + 15σy2)
k(5,7) = 54 (σy1 + σy2)
k(8,8) = b2 (3σy1 + 5σy2)
(3.57)
k(5,8) = 2b (7σy1 + 6σy2)
As equações que regem a instabilidade de uma estrutura inteira são obtidas
pelo somatório das contribuições de rigidez das várias bandas finitas. Abaixo,
escreve-se, simbolicamente:
K = ∑ Kn
(3.58)
n
sendo n o número de bandas finitas.
3.4 – DISCRETIZAÇÃO
A discretização do perfil tipo C foi feita conforme a figura 3.4, onde cada placa
do perfil foi dividida em duas bandas finitas e os cantos são discretizados, cada um,
por uma banda finita.
75
z
u
10
10
9
11
11
12
12
13
9
13
14
14
15
8
8
7
1
1
2
7
5
6
6
4
5
2
3
3
y
u
4
Figura 3.4 – Discretização do perfil tipo C, em bandas finitas.
A eficácia desta discretização foi comprovada com a convergência dos
resultados obtidos frente aos resultados teóricos obtidos por outros autores [6,7,8]. A
seguir apresenta-se, para dois perfis C representados nas figuras 3.5a e 3.6a, a
variação do multiplicador crítico para uma compressão uniforme de tensão unitária
na seção em relação ao número de bandas finitas utilizado por placa da seção
(NBP).
O multiplicador crítico, λcr, apresentado nos gráficos, figuras 3.5b e 3.6b, equivale ao
menor entre os mínimos primário e secundário conforme explicado no parágrafo 3.5.
Após várias verificações conforme nos gráficos λcr x NBP (figuras 3.5 e 3.6),
observa-se que, a partir de NBP=2, o valor do multiplicador crítico praticamente não
se altera. Concluindo, foram adotadas duas bandas finitas por placa no restante do
trabalho.
76
81,08
z
Espessura (t) = 1,156
r
156,97
17,04
r = 2,76
Comprimento (L) = 2999,74
G
y
fy = 220,3 Mpa
(a)
Variação de λ cr segundo o NBP
40
38
36
λ cr
34
32
30
1
2
3
4
5
Número de bandas/placa
(b)
Figura 3.5 – Perfil CLC/3 – 120 x 60 – estudo da variação do número de bandas
finitas por placa.
77
80,82
z
r
Espessura (t) = 1,229
18,49 r = 2,99
Comprimento (L) =1847,09
156,36
G
y
fy = 219,4 Mpa
(a)
Variação da λcr segundo NBP
41
40
λ cr
39
38
37
1
2
3
4
5
No de bandas / placa
(b)
Figura 3.6 – Perfil CLC/2.2 – 120 x 60 – estudo da variação do número de bandas
finitas por placa.
78
3.5 – ANÁLISE DA INSTABILIDADE LOCAL
Uma seção em ‘C’ é obtida a partir de uma seção em ‘U’ adicionando-se, nas
extremidades das abas, uma placa suplementar de largura b3, ver figura 3.7a. O
objetivo desta terceira placa é de aumentar a rigidez da aba. Este aumento de
rigidez na placa 2 é tão mais eficaz quanto a placa 3, enrijecedor, é suficiente para
manter seus bordos comuns retos durante a flambagem da seção. As figuras 3.7b,
3.7c e 3.7d mostram os diferentes modos de flambagem de uma seção C segundo a
relação da largura da placa 3 e a largura da placa 1, b3/b1.
Vê-se, intuitivamente, que se a placa 3 não é suficientemente rígida para impedir
todo deslocamento no bordo comum às placas 2 e 3, o conjunto torce ao redor do
bordo comum às placas 1 e 2, o que é uma característica do modo local distorcional
mostrado na figura 3.7b.
Se, ao contrário, a placa 3 é suficientemente rígida, o bordo comum às placas 2 e 3
não se desloca, caracterizando o modo local, ilustrado na figura 3.7c.
Quando a placa 3 é muito grande, a flambagem da seção é atribuída à flambagem
prematura da placa 3, figura 3.7d.
A fim de poder estudar o modo local distorcional por meio do método das
bandas finitas, é necessário desprezar a hipótese de PRZEMIENIECKI, onde os
bordos comuns permanecem retos durante a flambagem e, por conseqüência, as
deformações no plano devem ser inclusas na formulação da banda finita.
79
b2
b3
b1
Geometria
(a)
b 3 / b 1 < 0,1
R a z ã o b3 / b1 c r e s c e
Modo local distorcional
(b)
0,1 < b 3 / b 1 < 0,3
Modo local
(c)
b 3/ b 1 > 0,3
Modo local
Flambagem prematura da placa 3
(d)
Figura 3.7 – A geometria e os modos locais de flambagem de uma seção C,
BATISTA[3].
A figura 3.8 mostra a influência da relação b3/b1 sobre o coeficiente da aba k2,
com o comprimento L de semi-onda de flambagem. Nota-se que as curvas possuem
dois mínimos locais identificados pelos pontos A e B, chamados de mínimo primário
e mínimo secundário, respectivamente. Os modos de flambagem correspondentes
ao mínimo são o modo local, para o ponto A, e o modo local distorcional, para o
ponto B. O modo de instabilidade que governa a flambagem da seção é sempre
80
aquele que corresponde ao menor dos dois mínimos e, no caso desta figura, a
seção sofre instabilidade pelo modo local de flambagem. Para as relações
geométricas utilizadas, nota-se que o fato de dobrar a largura, b3, do enrijecedor,
não muda em nada quanto ao mínimo primário.
Modo Local
Modo Local-Distorcional
b / b = 0,213
3 1
10
8
k
2
6
B
Mínimo Secundário
b2
4
b3
b / b = 0,1065 B
3 1
b / t = 60 b
2
1
b /b =2
1 2
2
A
Mínimo Primário
0
0
4
8
12
16
20
L / b2
Figura 3.8– Influência do enrijecedor na flambagem da aba de uma seção C
uniformemente comprimida, [43].
Na figura 3.9 mostra-se a influência da relação b2/b1 em relação a k1c / k1u com
uma variação de b3/b1, onde k1c e k1u são os coeficientes de flambagem da placa 1
da seção C e da seção U correspondente (sem o enrijecedor da aba),
respectivamente. Observa-se que o papel do enrijecedor é tão mais importante
quanto maior a relação b2/b1. Para melhor compreender a contribuição desta figura,
apresentam-se os seguintes comentários, tirados da referência [16]. Para as
relações b3/b1 que vão até 0,1, aproximadamente, o enrijecedor não tem rigidez à
flexão suficiente para apoiar a extremidade da aba e o modo de flambagem local
distorcional é o que governa. Para as relações b3/b1 que vão de 0,1 a 0,3,
81
aproximadamente, o enrijecedor possui uma rigidez à flexão suficiente para impedir
todo deslocamento lateral da extremidade da aba e o modo de flambagem local é o
que governa. Para relações b3/b1 maiores que 0,3, a instabilidade da seção é
atribuída à flambagem prematura do enrijecedor
c u
k /k
1 1
b / t =100
1
5
b / b = 1,0
2 1
4
b / b = 0,8
2 1
3
b / b = 0,6
2 1
b / b = 0,5
2 1
2
b / b = 0,3
2 1
1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
b /b
3 1
Figura 3.9 – Influência do enrijecedor na flambagem da alma para seções C
uniformemente comprimidas, [36].
O comprimento de flambagem, L, tem grande influência sobre o valor da
tensão crítica, σcr. Para cada valor de L, a tensão crítica, σcr, é calculada pela
resolução do problema de autovalor (3.54). A seguir apresenta-se esta variação
para um perfil submetido a carga centrada de seção transversal C.
82
30 10
10
σcr
80
Espessura = 1,5 mm
(MPa)
600
500
400
C
B
A
300
I
II
200
I - Flambagem local
II - Flambagem local distorcional
III - Flambagem por flexo-torcao
IV - Flambagem por flexão
100
IV
III
D
0
0
50
100
500
1000
5000
Comprimento da semi-onda, L(mm)
Figura 3.10 – Variação da tensão crítica de flambagem da seção e flambagem global
de uma coluna de seção C, sob compressão uniforme, com
o
comprimento de semi-onda correspondente, L, obtida por meio do
método das bandas finitas, segundo HANCOCK [27].
As dimensões da seção são dadas no mesmo gráfico. Os resultados são
obtidos segundo um cálculo de instabilidade linear com o método numérico das
bandas finitas, em que os bordos comuns das placas que constituem o perfil são
livres para se deslocarem transversalmente ao eixo da coluna.
Tem-se, neste caso, uma representação de quatro modos diferentes de instabilidade
identificados pelas regiões numeradas de I a IV. Os pontos A e B correspondem aos
mínimos primário e secundário dos modos de flambagem de uma coluna curta, ou
seja, o modo local (região I) e o modo local-distorcional (região II), respectivamente.
83
O comportamento de instabilidade por flambagem de coluna se produz a partir dos
grandes comprimentos correspondentes ao ramo descendente da curva à direita.
Sobre este ramo, podem-se distinguir dois tipos de modos de flambagem: de flexotorção (região III) para os comprimentos de até 1800 mm, aproximadamente, ponto
D da curva, e o de flexão (região IV) para comprimentos maiores que 1800 mm. Os
valores obtidos para a tensão crítica de flambagem global são muito próximos dos
fornecidos por TIMOSHENKO [67].
Embora esta figura represente as tensões críticas da estrutura perfeita, ela pode
servir para uma introdução do conceito da interação entre a flambagem local da
seção e a flambagem global da coluna. Se o mínimo primário, ponto A, é o menor,
será o modo de instabilidade por flambagem local que governará a flambagem da
seção no caso particular desta figura. O ponto C, situado sobre o ramo descendente
da curva, representa o comprimento para o qual a tensão crítica de flambagem por
flexo-torção da coluna é igual à tensão crítica de flambagem local da seção.
Portanto, o comprimento correspondente ao ponto C deve caracterizar, de uma certa
forma, o centro de uma região onde existe uma forte interação entre a flambagem
local da seção e a flambagem global da coluna.
Esta interação leva a uma diminuição da resistência da coluna com relação à sua
flambagem na ausência da flambagem local da seção. Para os comprimentos de
colunas muito menores que aqueles correspondentes ao ponto C, a tensão crítica de
flambagem local é muito menor que a tensão de flambagem global da coluna, a
flambagem local precederá ao fenômeno da instabilidade global, enquanto que, para
os comprimentos de coluna maiores que aquele correspondente ao ponto C, a
flambagem local da seção ocorreria posteriormente à flambagem global. Ainda
assim, neste último caso, a flambagem local pode preceder à flambagem global para
comprimentos L um pouco maiores que o correspondente ao ponto C, conforme
explicado a seguir.
84
As imperfeições geométricas (globais e locais) e estruturais (tensões residuais e
dispersão do limite elástico) levam ao começo prematuro da flambagem local em
relação ao valor teórico, ponto A. De uma parte, a imperfeição geométrica do eixo
da coluna conduz a uma amplificação considerável da tensão de compressão das
placas do perfil situadas no lado côncavo da deformada da coluna; de outra parte, as
imperfeições geométricas locais e as tensões residuais são responsáveis pela
flambagem local prematura da seção em relação à tensão crítica ideal de
flambagem.
A possibilidade de ocorrer flambagem local, com ou sem distorção, dependerá
das características geométricas da seção do perfil e suas relações, bem como do
gradiente de tensões aplicado ao perfil.
Na figura 3.9, apresentou-se um gráfico k1C / k1U x b3/b1 [61], para diversos valores de
b2/b1 (relação alma x aba), no caso particular de compressão uniforme.
Complementando
o
estudo
desenvolvido
por
esses
pesquisadores[61],
apresentamos, nas figuras 3.12 a 3.15, gráficos λC/λU x b3/b1, para diversos valores
de b2/b1, em diferentes situações de carregamento. Onde λC é o multiplicador da
tensão crítica σcr equivalente ao menor entre os mínimos primário e secundário,
ponto A ou ponto B de um gráfico conforme a figura 3.10, para uma seção tipo C.
Sendo λU o valor correspondente à mesma seção transversal, analisada
anteriormente, sem os enrijecedores de bordo, seção tipo U. Os gráficos acima
mencionados, figuras 3.12 a 3.15, são obtidos com auxílio do programa BANFIN,
desenvolvido nesta tese.
O programa BANFIN é um programa de instabilidade de elementos de banda finita
para obtenção do multiplicador crítico de flambagem da seção, λ. A partir do
multiplicador crítico, obtém-se a seção efetiva com auxílio das formulações de
larguras efetivas, ver item 3.6.
85
Nos gráficos a seguir encontra-se traçada uma linha divisória para as relações
geométricas, para o perfil dado, que levam a flambagem local ou local com
distorção.
Nos gráficos λc x log(L), mostrados nas figuras 3.12 a 3.15, escolheu-se uma relação
b2/b1=0,3 e duas relações b3/b1 (0,05 e 0,2) que levem, se possível, a diferentes
modos de flambagem.
Plotado sobre cada mínimo das curvas, λc x log(L), encontra-se o perfil C e seu
estado deformado, quando pode-se verificar ou não a distorção sofrida. Ressalta-se,
novamente, que, para curvas com dois mínimos, o menor deles governará o modo
de flambagem.
Na figura 3.11, além da nomenclatura utilizada na geometria do perfil C,
representam-se os esquemas dos gradientes de tensões aplicados à seção, tem-se
que a matriz tensão inicial, K σ , é formada pelas tensões apresentadas aqui.
86
z
t
RI
C.G.
b1
(a)
y
b3
b2
z
-1 MPa
-
z
-1 MPa
+
-1 MPa
C.G.
y
-1 MPa
(b)
C.G.
y
(c)
y
(e)
-1 MPa
-1 MPa
z
-1 MPa +
z
-1 MPa
-
C.G.
y
C.G.
(d)
+
Figura 3.11 – (a) Nomenclatura utilizada na geometria do perfil C.
(b) Seção submetida à compressão uniforme.
(c) Seção submetida a uma gradiente de tensão +y.
(d) Seção submetida a uma gradiente de tensão -y.
(e) Seção submetida a uma gradiente de tensão +z.
87
Na análise das figuras 3.12 a 3.15, podem-se tirar algumas conclusões
importantes. Com relação à figura 3.12, perfil submetido à compressão uniforme,
observa-se que o ganho de eficiência da seção C em relação à seção U, λC/λU,
aumenta consideravelmente com o aumento da relação b2/b1. Porém, para relações
b2/b1 maiores que 0,8, o limite mínimo recomendado de b3/b1 > 0,1, BATISTA[3], já
não seria suficiente para garantir deformação livre de distorção.
Quando aplicado um gradiente de tensão +y ao perfil, encontra-se um gráfico λC/λU x
b3/b1 com uma aparência bem diversa do anterior. Ainda temos um ganho de
eficiência da seção C em relação à seção U, conforme o aumento da relação b2/b1,
porém, o patamar entre 0,1 < b3/b1 < 0,3, existente no gráfico de tensão uniforme,
não é mais observado para o gradiente +y, e o intervalo 0,1 < b3/b1 < 0,3 já não
garante uma flambagem local sem distorção.
No caso do perfil submetido a uma compressão com gradiente de tensão -y, ao
contrário dos gráficos anteriores, o ganho de eficiência da seção C em relação à
seção U, λC/λU, diminui com o aumento da relação b2/b1. Observa-se uma perda
acentuada de eficiência de b2/b1=0,3 para b2/b1=0,5. Tem-se também, como
característica peculiar deste tipo de gradiente de tensão, flambagem local sem
distorção, o que se comprova nos gráficos λc x log(L) correspondentes.
Novamente, para o gradiente de tensão +z, tem-se um ganho de eficiência da seção
C em relação à seção U, λC/λU, com o aumento da relação b2/b1. E, neste caso,
observa-se um ganho acentuado de eficiência de b2/b1=0,5 para b2/b1=0,3. Pode-se
verificar ser necessária a observação do gráfico específico do gradiente de tensão
+z, para uma orientação correta quanto à melhor relação b3/b1. O limite mínimo para
b3/b1 seria cerca de 0,15 e o limite máximo, de 0,30, para b2/b1< 0,5, não leva a um
ganho prático de eficiência.
88
λ c 5.0
λu
Tensão Uniforme
b1/t = 100
b2/b1 = 1.0
4.5
4.0
b3/b1 > 0.02
b2/b1 = 0.8
3.5
3.0
Distorcional
Local
2.5
b2/b1 = 0.6
2.0
b2/b1 = 0.5
1.5
b2/b1 = 0.3
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
b3 / b1
2.5
λc
b1/t=100
b2 / b1 = 0,3
b3 / b1 = 0,05
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
log(L)
2.5
b1/t=100
λc
b2 / b1 = 0,3
b3 / b1 = 0,2
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
log(L)
Figura 3.12 – Modos de instabilidade do perfil C, sob compressão uniforme, com
diferentes tamanhos de enrijecedores.
89
λc
λu
9.0
8.0
Gradiente de tensão +y
b1/t = 100
b3/b1 > 0.02
7.0
b2/b1 = 1,0
6.0
Distorcional
5.0
Local
4.0
b2/b1 = 0,8
b2/b1 = 0,6
3.0
b2/b1 = 0,5
2.0
1.0
b2/b1 = 0,3
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
b3 / b1
7
λc
b1/t=100
b2 / b1 = 0,3
6
b3 / b1 = 0,05
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
log(L)
3
λc
b1/t=100
b2 / b1 = 0,3
2.5
b3 / b1 = 0,2
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
log(L)
Figura 3.13 – Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão +y, com
diferentes tamanhos de enrijecedores.
90
λ c 1.04
λu
Gradiente de tensão -y
b2/b1 = 0,3
b1/t = 100
b3/b1 > 0.02
1.03
1.02
1.01
Todos com flambagem local
1.00
b2/b1 = 0,5
b2/b1 = 0,6
0.99
b2/b1 = 0,8
b2/b1 = 1,0
0.98
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
b3 / b1
2.5
λc
b1/t=100
b2 / b1 = 0,3
b3 / b1 = 0,05
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
log(L)
2.5
b1/t=100
λc
b2 / b1 = 0,3
b3 / b1 = 0,2
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
log(L)
Figura 3.14 – Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão y-, com
diferentes tamanhos de enrijecedores.
91
λc
λu
6.0
Gradiente de tensão +z
5.0
b2/b1 = 0,8
b2/b1 = 1,0
b2/b1 = 0,6
4.0
Distorcional
Local
b2/b1 = 0,5
3.0
b2/b1 = 0,3
b1/t = 100
2.0
b3/b1 > 0.02
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
b3 / b1
3.5
b1/t=100
λc
b2 / b1 = 0,3
3
b3 / b1 = 0,05
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
log(L)
3.5
λc
b1/t=100
b2 / b1 = 0,3
b3 / b1 = 0,2
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
log(L)
Figura 3.15 - Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão z+, com
diferentes tamanhos de enrijecedores.
92
Aplicando o estudo dos modos de instabilidade a duas séries de perfil C
comerciais, utilizando o Método das Bandas Finitas para compressão uniforme, temse os gráficos σcr x log(L) apresentados nas figuras 3.15 e 3.16.
Abaixo dos gráficos se encontra a geometria do perfil correspondente, variando
somente a espessura das placas. Deste modo, tem-se no gráfico a curva de
flambagem para cada espessura existente na série do perfil.
Para a série C 75, mostrada na figura 3.15, tem-se, a partir da 3a alma, flambagem
com distorção, representadas nas curvas em vermelho.
Na análise da série C 127, mostrada na figura 3.16, tem-se somente a última alma, a
mais espessa, governada pela flambagem local distorcional.
93
3000
2500
5
2000
TENSÃO
4
3
1500
2
1
1000
500
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
LOG(L)
(a)
z
RI = t
t
CURVA
t
b1/t
1
1,52
49,34
2
1,90
39,47
3
2,28
32,89
4
2,66
28,20
5
3,04
24,67
RI
75
C.G.
y
15
40
(b)
Figura 3.16 – (a) Modos de instabilidade da série 75 tipo comercial, de perfil C,
de fabricação “Tecnofer”.
(b) Características geométricas da seção.
94
1400
1200
1000
5
4
TENSÃO
3
800
2
1
600
400
200
0
1
1.5
2
2.5
3
LOG(L)
(a)
z
RI = t
CURVA
t
b1/t
1
1,52
83,55
2
1,90
66,84
3
2,28
55,70
4
2,66
47,74
5
3,04
41,78
6
3,42
37,13
t
RI
127
C.G.
y
17
50
(b)
Figura 3.17 – (a) Modos de instabilidade da série 127 tipo comercial, de perfil C,
de fabricação “Tecnofer”.
(b) Características geométricas da seção.
95
3.6 – A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA FINLOC
O cálculo das larguras efetivas considerando-se o perfil formado por placas
isoladas leva a diferentes valores de tensão crítica para cada placa, como se as
placas não interagissem entre si na resistência ao carregamento aplicado, conforme
pôde ser observado no item 2.4 no caso das larguras efetivas calculadas segundo a
norma americana, AISI-90 [1], e a norma européia, EUROCODE [21].
Buscando o aprimoramento do cálculo das larguras efetivas, este trabalho
apresenta o cálculo das mesmas levando-se em conta a influência que cada placa
do perfil exerce sobre a outra (engastamento parcial). Utiliza-se, para isso, o Método
das Bandas Finitas, que fornece o multiplicador de carga λ (equação (3.54)) para a
distribuição de tensões na seção transversal dada pelo elemento finito não-linear de
viga espacial a cada iteração do passo não-linear.
O multiplicador de carga usado, λ, corresponde ao menor dos dois mínimos, primário
e secundário, conforme item 3.5.
Utiliza-se
do
programa
FINLOC,
desenvolvido
originalmente
por
ESTRELLA[20]. A técnica numérica disponível no FINLOC permite seguir a evolução
não-linear da estrutura sob aumento de carga externa até o colapso ou instabilidade.
No presente trabalho, o programa FINLOC foi acrescentado de uma subrotina, o
programa BANFIN (ver item 3.5), que, com auxílio do Método das Bandas Finitas,
leva em conta a influência que cada parede da seção do perfil exerce sobre a
vizinha.
A seguir, mostra-se, esquematicamente, o processo para a obtenção das
larguras efetivas considerando-se as placas associadas do perfil.
96
σ1
σ2
λ cr
λp =
único
σ1 = σ placa
λplaca
=
py
σcr = λ σ
cr placa
σ placa
λ cr σ placa
=
1
λ cr
fy
λ cr σ placa
Figura 3.18 – Cálculo das larguras efetivas, considerando as placas associadas.
Seqüência de cálculo das larguras efetivas, considerando a interação entre as
placas que compõe o perfil:
a) Com auxílio do Método das Bandas Finitas, descrito no início deste capítulo,
obtém-se o valor do multiplicador crítico λcr da distribuição de tensões no
elemento finito. Cada placa da seção tem, para tensão crítica, σcr = λcr. σ1, onde
σ1 é a maior tensão de compressão da placa em questão.
b) A seguir tira-se o valor da esbeltez reduzida da placa em serviço, λ p ,
σ1
=
σ cr
sendo λ p =
1
λ cr
.
(3.59)
Conclui-se, portanto, que todas as placas possuem o mesmo λ p .
c) Cada placa tem o seu λ py (esbeltez reduzida da placa na ruína).
λ py =
fy
σ cr
=
fy
λ cr .σ 1
(3.60)
97
d) Sabendo-se que ρ =
be
(equação 2.11), calcula-se ρ (coeficiente de redução da
b
largura efetiva) conforme a curva de flambagem escolhida. No algoritmo
desenvolvido neste trabalho, pode-se optar por um dos três caso a seguir:
1) BF-E – obtenção de ρ utilizando-se as curvas do EUROCODE [21]. Ver
tabela 2.2 para placas enrijecidas e tabela 2.3 para as placas não-enrijecidas.
2) BF-M – cálculo de ρ com auxílio da equação 2.41, chamada de curva de
MULLIGAN + WINTER, para placas enrijecidas, ou a curva MULLIGAN +
KALYANARAMAN, equação 2.46 (curva PARÁBOLA + KALYANARAMAN,
equação 2.48) para placas não-enrijecidas.
3) BF-W – cálculo de ρ pela equação 2.21 de WINTER [9], para placas
enrijecidas e placas não –enrijecidas.
e) Com o valor de ρ, tem-se a largura efetiva be. A distribuição das larguras efetivas
be1 e be2, para placas enrijecidas, é feita segundo o EUROCODE [21] (tabela
2.2).
98
CAPÍTULO 4
A INTERAÇÃO ENTRE AS FLAMBAGENS LOCAL E GLOBAL
4.1 – INTRODUÇÃO:
Apresenta-se neste capítulo uma descrição do fenômeno da interação entre
os modos de flambagem local e global de um perfil de paredes finas, visto que um
perfil longo de paredes finas pode sofrer flambagem local de suas paredes e os
modos globais de flambagem, flexão, torção e flexo-torção, dependendo da
geometria e do gradiente de tensão suportado. Caso as cargas críticas dos
diferentes modos de flambagem sejam próximas, tem-se o que se chama de
interação não-linear dos modos de instabilidade. Pretende-se mostrar que, devido a
flambagem local das placas que compõem o perfil, a resistência do perfil à
flambagem global será menor que a mesma resistência sem a presença dos efeitos
locais.
4.2 – DESCRIÇÃO DA INTERAÇÃO ENTRE OS MODOS DE FLAMBAGEM
Neste trabalho, apresenta-se o estudo da interação entre os modos de
flambagem local e global para perfis C submetidos à compressão uniforme ou
compressão excêntrica. A reserva pós-crítica é também considerada, bem como a
deformada inicial. Para ilustrar melhor os efeitos da interação dos modos de
flambagem, apresenta-se a figura 4.1 das curvas de flambagens européias, em
particular, a curva b.
99
Peça curta
P
χ = ruína
Py
Ae
=
A
Peça longa
1
0.9
 1 
Euler  λ2 
 c
a
0.8
bred
red
0.7
Curva b - sem flambagem local
0.6
Curva b - com flambagem local
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
λc =
0
0
0,2
0.5
1
1.5
2
2.5
Py
Pcr
Figura 4.1 – Visualização da interação entre a flambagem local e a flambagem global
com auxílio das curvas de flambagem européias [21].
Com relação à figura 4.1, tem-se a seguinte notação:
A – área da seção plena.
Ae – àrea da seção efetiva para uma compressão uniforme igual a fy.
Pruína – carga de ruína da coluna.
Py – carga de ruína plástica (=A.fy).
Pcr – carga crítica de flambagem global da coluna.
χ=
λc =
Pruína
Py
Py
Pcr
- coeficiente de redução à flambagem.
- esbeltez reduzida da coluna.
ared – redução da carga de ruína da coluna imperfeita desprezando-se a flambagem
local em relação a uma coluna perfeita.
bred - redução da carga de ruína da coluna imperfeita levando em conta a flambagem
local em relação ao caso da coluna imperfeita desprezando a flambagem local.
100
O gráfico da figura 4.1 apresenta as curvas b, com e sem flambagem local. Para o
caso da curva b com flambagem local escolhe-se, arbitrariamente, a relação de área
efetiva com área plena igual a 0,7. No mesmo gráfico, encontra-se a curva de Euler,
que representa o caso de colunas perfeitas.
Na análise deste gráfico nota-se que, quando se consideram as imperfeições iniciais
da coluna real, a curva “sem flambagem local” apresenta uma diminuição ared maior
em λ c = 1 . Conforme o aumento da esbeltez ( maior λ c ) menor a diminuição ared.
Por outro lado, considerando-se a flambagem local da seção do perfil, nota-se que o
patamar das colunas curtas é redefinido para levar em conta a flambagem local das
paredes. A diminuição da carga de ruína devido à interação entre a flambagem local
e a flambagem global é representada por bred que, novamente, é menor quanto
maior é λ c . Este fato pode ser explicado pelo fato da tensão crítica de flambagem
global ser menor conforme o aumento do comprimento da coluna e, desse modo, a
flambagem global da coluna é atingida antes da flambagem local.
Quando há uma coincidência de pelo menos dois modos críticos de
instabilidade, seja em decorrência de variação do comprimento da coluna, de suas
relações geométricas ou da excentricidade da carga, a estrutura chega à ruína por
instabilidade simultânea de seus modos de instabilidade devido às imperfeições
inerentes às estruturas reais. Utiliza-se aqui o conceito geral de “redução”, que é a
perda de resistência da estrutura imperfeita em relação à estrutura perfeita devido às
suas imperfeições. Na referência [26], GIONCU faz tem-se uma completa descrição
do fenômeno e classifica as instabilidades simultâneas segundo a linearidade ou a
não-linearidade da coincidência dos modos de instabilidade, como a seguir:
a) Simultaneidade linear: esse tipo de simultaneidade se produz quando dois modos
estão juntos desde a origem, independentemente da presença das imperfeições.
Como exemplo, tem-se o caso da interação da flambagem por flexão em torno do
eixo forte com a flambagem por torção ao redor do centro de torção (flambagem
por flexo-torção).
b) Simultaneidade não-linear: esse tipo de simultaneidade só se produz para
determinadas proporções geométricas da estrutura e a presença das
imperfeições é indispensável para a simultaneidade. Para estruturas perfeitas,
101
esse tipo de simultaneidade não existe. Tem-se como exemplo deste tipo de
simultaneidade a flambagem por flexão coincidente com a flambagem local das
paredes da seção.
A seguir, apresenta-se a figura 4.2, que traz dois exemplos da redução sofrida
por uma coluna quando esta sofre flambagens simultâneas.
Peça curta Peça longa
P
Redução
P
Redução
Pf,y
Pft1
Pcr
Pruína
Pruína
parâmetros geométricos
Pcr,s
parâmetros geométricos
(a)
(b)
Pft1 – carga crítica de flambagem por flexo-torção.
Pf,y – carga crítica de flambagem por flexão.
Pcr – carga crítica de flambagem global da coluna.
Pcr,s - carga crítica de flambagem local da seção.
Figura 4.2 – Redução da capacidade de resistência do perfil C, devido a flambagens
Simultâneas [26].
Analisando-se a figura 4.2a, verifica-se a redução sofrida pela coluna
imperfeita no ponto que caracteriza a passagem da flambagem por flexo-torção para
a flambagem por flexão, devido à variação dos parâmetros geométricos da coluna.
Observa-se que esta redução é maior na vizinhança do ponto de coincidência entre
os dois modos de flambagem.
102
A figura 4.2b mostra a redução da resistência da coluna quando o modo de
flambagem local da seção coincide com o modo de flambagem global de coluna, o
que é o objetivo deste capítulo. Novamente, a maior redução se encontra no ponto
coincidente entre as flambagens, e é importante ressaltar que a região onde Pcr,s é
menor que Pruína se deve à resistência pós-crítica de flambagem local da seção. De
fato, a interseção da curva Pcr,s com a curva Pruína marca a mudança de
comportamento de uma coluna curta para uma coluna longa.
Segundo o “princípio do dimensionamento à flambagem simultânea”
defendido por BLEICH-SHANLEY [12], o dimensionamento ótimo de uma estrutura é
atingido quando sua geometria é tal que leva à simultaneidade de, pelo menos, dois
modos de instabilidade. Porém, atualmente, com a teoria geral da instabilidade
simultânea, sabe-se que a coincidência entre dois modos de instabilidade leva a
uma sensibilidade muito grande das imperfeições iniciais da estrutura.
4.3 – O ELEMENTO FINITO
O elemento finito utilizado foi tema do trabalho de DE VILLE [15] (1988), um
estudo muito abrangente que aborda diversos tipos de elementos finitos, até a
adoção do elemento finito de viga espacial tipo MARGUERRE com as principais
características descritas adiante.
Em 1993, ESTRELLA [20], fez uso deste elemento finito criando o programa FINLOC
de análise de diversos perfis dobrados de paredes finas.
Neste estudo [20] foi introduzido no elemento finito de DE VILLE[15] a seção
transversal variável, que se faz necessária para levar em conta a flambagem local
das paredes do perfil por meio do método das larguras efetivas, isto é, a variação da
largura efetiva, que é a atualização da mesma para cada passo do cálculo nãolinear.
103
No presente trabalho, o elemento finito de DE VILLE[15], adaptado por
ESTRELLA[20], é somente uma ferramenta utilizada. Para maiores detalhes do
desenvolvimento do elemento mencionado, as referências [15] e [20] podem
esclarecer quaisquer dúvidas.
A seguir, outras características deste elemento finito de viga espacial do tipo
deslocamento são descritas:
a) A seção transversal do elemento finito é constituída por paredes finas;
b) A seção pode ser assimétrica de maneira que, o centro de gravidade e o centro
de torção podem ser dois pontos distintos;
c) O empenamento da seção é levado em conta por um sétimo grau de liberdade,
que permite simular corretamente a flambagem por flexo-torção de perfis de
seções abertas;
d) Este elemento finito tem a característica de eliminar os fenômenos de “membrane
locking” e de “bending locking”, que são próprios dos elementos finitos de casca
e viga.
Segundo DE VILLE [15], são seis as hipóteses básicas para o desenvolvimento
de seu elemento finito de viga espacial:
1) Na flexão pura, a seção transversal permanece plana e perpendicular ao eixo
deformado da viga. Esta hipótese de BERNOULLI despreza a energia de
deformação por cisalhamento.
2) Na torção simples, a seção transversal é submetida a um empenamento
proporcional ao aumento do ângulo de torção. Esta hipótese de VLASSOV [70]
despreza a energia de deformação induzida pelo cisalhamento de empenamento
da seção.
104
3) As deformações são pequenas e as rotações são moderadas. O tensor das
deformações de VON KARMAN [71] é adotado.
4) A seção é transversalmente indeformada.
5) A viga é prismática. Os tipos de seções utilizadas são as seções abertas ou
fechadas de paredes finas.
6) As seções podem ser assimétricas, de maneira que o centro de gravidade e o
centro de torção podem ser dois pontos distintos (ver figura 4.3).
w(x)
z
C
G
v(x)
ψ(x)
y
G - centro de gravidade
C - centro de torção
x, u(x)
Figura 4.3 – Característica da seção assimétrica.
105
CAPÍTULO 5
RESULTADOS
5.1 – INTRODUÇÃO
Neste capítulo, é feita uma comparação dos resultados experimentais
realizados por MULLIGAN[43] de vigas-colunas de paredes finas submetidas à
compressão centrada e excêntrica, seção transversal do tipo C, com os resultados
numéricos achados com o elemento de viga espacial de seção variável levando
em conta as flambagem de suas
paredes por meio do método das larguras
efetivas, programa FINLOC, com a introdução do método das bandas finitas para
o cálculo da tensão crítica da seção, isto é, de maneira a considerar a interação
entre as paredes do perfil. Apresenta-se, também, uma ilustração da visualização
em 3-D das deformadas de um perfil estudado, com auxílio do pós-processador
gráfico POS-3D, desenvolvido na PUC-Rio. Por fim, empreendeu-se um estudo
sobre a influência da deformada inicial na carga de ruína.
Considera-se como critério para a carga de ruína os seguintes casos: ruína
no regime elástico, isto é, instabilidade sem que ocorra a plastificação ou quando
a ruína é atingida pelo início da plastificação da parte mais comprimida da seção.
Adota-se, portanto, para o aço, uma lei elasto-plástica perfeita.
Nos ensaios numéricos, foram consideradas as seguintes condições de
apoio nas extremidades dos perfis: na flexão, as extremidades são consideradas
rotuladas e na torção, as extremidades são consideradas engastadas, isto é,
empenamento impedido nas extremidades.
Nas tabelas e gráficos apresentados neste capítulo, as dimensões são
dadas em milímetros (mm) e as cargas críticas e de ruína em quiloNewtons (kN).
106
MULLIGAN[43] estudou a estabilidade de diversas colunas de seção C e
outras seções transversais e, com essa finalidade, foram medidas as
características geométricas como as dimensões das seções, o comprimento das
peças e as deformadas iniciais globais, desvios na retidão da coluna, e as
deformadas iniciais locais, desvios no plano de placas que compõem o perfil, isto
é, irregularidades da geometria da seção transversal. A figura 5.1a mostra as
notações das características geométricas da seção transversal e seus respectivos
valores são dados na tabela 5.1. Nas tabelas, a notação para identificação das
colunas é a seguinte:
Colunas Longas –
CLC/2-120x60 = Column Lipped Channel (coluna em perfil C) – bp1/t x bp2/t
CLC/2 – 120x60 = carga centrada
CLC/2.1 – 120x60 = carga excêntrica
MULLIGAN[43] utilizou as recomendações da Structural Stability Research Council
(SSRC) para caracterizar as colunas como curtas ou longas. O comprimento, L, de
uma coluna para que seja longa é L > 20 rmin, onde rmin é o raio de giração mínimo
da seção transversal.
Os valores das tensões de escoamento dadas na tabela 5.1 são a média dos
ensaios de tração realizados em amostras retiradas da chapa antes da dobragem
do perfil. Portanto, a tensão de escoamento utilizada nos cálculos numéricos é a
tensão de escoamento do material de base.
A figura 5.1a representa as características geométricas dos perfis do tipo C
mencionados neste capítulo, onde tem-se também:
G – centro de gravidade da seção plena (antes do início da flambagem local);
P – ponto de aplicação da carga;
yp – excentricidade da carga aplicada.
Os perfis submetidos à carga excêntrica têm seu ponto de aplicação da carga
situado sobre o eixo de simetria y com zp=0 e yp≠0, ver figura 5.1a.
107
MULLIGAN[43] dimensionou os enrijecedores de bordo da aba da seção C para
satisfazerem as condições de DESMOND[16] , que se baseia na adoção de uma
“inércia adequada” para o enrijecedor. Porém, de acordo com o apresentado no
parágrafo 3.5, a eficácia do enrijecedor é máxima quando a razão b3/b1 se situa
entre 0,1 e 0,3, aproximadamente. A tabela 5.1 mostra que esta relação é menor
que 0,1 para muitos perfis. Para evitar a flambagem local-distorcional e verificar
sua influência na carga de ruína, algumas colunas receberam contraventamento
como se mostra na figura 5.1b. A peça de contraventamento consiste de uma
cantoneira ½” x ½” x t, perpendicular ao eixo longitudinal e soldada nas duas
extremidades de borda. Os perfis contraventados estão em negrito nas tabelas.
Na figura 5.2a é apresentada a discretização do perfil em quatro elementos finitos.
De acordo com ESTRELLA[20], cada elemento finito possui 3 pontos de
integração no sentido longitudinal e as larguras efetivas são calculadas com as
tensões da seção de integração situada no meio do elemento finito. A figura 5.2b
mostra o sistema de eixos com as direções das deformadas iniciais.
Na análise não-linear é importante a deformada inicial para a obtenção da curva
carga x deslocamentos. Sendo y o eixo de simetria da seção, as deformadas dz,
positivas e negativas, são indiferentes ao cálculo do perfil. Porém, para a
deformada dy , a direção positiva ou negativa, requer um estudo da carga de ruína
do perfil para se conhecer a direção desfavorável de dy, o que se pretende
mostrar adiante.
108
z
L - Comprimento
t
W1
b1
P
bp1
G
(a)
yp
bp3
r
b3 W3
bp2
b2
W2
L 1/2" x 1/2" x t
Espaçados de bp1 mm
(b)
Solda
Figura 5.1 – As características geométricas do perfil C e do contraventamento [43].
Características geométricas;
Contraventamento das extremidades abertas da coluna.
109
PERFIL
bp1/t x bp2/t
W1
W2
W3
t
r
b3/b1
L
yp
fy
CLC/1.1-120X30
154,79
41,66
9,19
1,224
2,10
0,06
456,18
5,16
226,1
CLC/1-120X60
CLC/2-120X60
CLC/2.1-120X60
CLC/2.2-120X60
CLC/2.3-120X60
CLC/2.4-120X60
CLC/3-120X60
CLC/4-120X60
CLC/5-120X60
156,57
155,98
156,77
156,36
156,16
155,96
156,97
155,37
156,57
81,10
81,08
80,54
80,82
80,85
81,05
81,08
81,20
80,49
18,11
17,04
18,03
18,49
18,08
18,14
17,04
17,63
18,29
1,135
1,143
1,204
1,229
1,209
1,209
1,156
1,153
1,219
2,78
2,72
3,06
2,99
3,01
2,96
2,76
2,81
2,95
0,11
0,11
0,11
0,12
0,11
0,11
0,11
0,11
0,11
1524,0 0,00
1829,3 0,00
1828,8 13,61
1847,1 13,56
1845,6 -24,94
1828,8 5,39
2999,7 0,00
2997,2 0,00
1828,8 0,00
223,4
220,3
219,4
219,4
219,4
223,9
220,3
220,3
223,9
CLC/1-180X60
CLC/2-180X60
CLC/2.1-180X60
CLC/2.2-180X60
CLC/3-180X60
CLC/4-180X60
231,57
231,98
232,77
231,19
232,18
230,58
81,25
81,13
80,70
80,95
81,13
81,25
17,27
17,48
17,96
18,82
17,37
18,44
1,143
1,138
1,214
1,222
1,123
1,229
2,72
2,82
2,75
2,74
2,69
2,94
0,07
0,07
0,07
0,08
0,07
0,08
1752,9
2339,9
2338,1
2339,1
2921,0
2337,6
0,00
0,00
10,77
10,08
0,00
0,00
224,7
223,4
241,2
236,8
223,4
227,9
CLC/1-90X90
114,71 113,79
19,76
1,229
2,99
0,17
2442,5
0,00
236,8
CLC/1-180X90
CLC/2-180X90
CLC/2.1-180X90
CLC/2.2-180X90
CLC/3-180X90
222,05
222,83
221,46
222,25
222,66
19,94
19,46
19,46
19,63
19,13
1,214
1,212
1,207
1,224
1,222
2,90
3,00
2,65
2,94
2,99
0,09
0,09
0,09
0,09
0,08
1830,6
2440,2
2439,2
2443,2
2442,5
0,00
0,00
13,23
13,08
0,00
219,4
244,2
227,9
236,8
233,4
114,20
113,69
113,89
114,10
114,00
Notas:
- Em negrito – extremidade contraventada (figura 5.1b).
- CLC/2 – Carga concentrada.
- CLC/2.1 – Carga excêntrica.
- Unidades em mm.
- L – comprimento da coluna.
- yp – excentricidade do ponto de aplicação da carga.
- fy – tensão de escoamento em MPa (N/mm2).
Tabela 5.1 – Características geométricas e mecânicas das colunas.
110
5.2 – ANÁLISE DOS RESULTADOS
Conforme apresentado na introdução deste capítulo, faz-se aqui uma
comparação dos resultados numéricos encontrados com a utilização do método
das bandas finitas para perfis tipo C, com resultados numéricos obtidos por
ESTRELLA[20] e os resultados experimentais de MULLIGAN[43]. MULLIGAN[43]
ensaiou 24 perfis do tipo C, conforme listados nas tabelas 5.3 e 5.4, porém
somente 12 perfis tiveram suas flechas máximas medidas, ver tabela 5.2. A partir
das flechas máximas obtidas na referência [8], calculam-se, numericamente, as
deformadas iniciais de cada perfil utilizando uma função tipo senóide.
Na tabela 5.2, além dos valores das flechas máximas obtidos por
MULLIGAN[43], nos eixos y e z, estão representados os resultados de carga de
ruína experimental dos ensaios de MULLIGAN[43] para esta série de perfis com
imperfeições iniciais medidas. A importância das deformadas iniciais na carga de
ruína dos perfis de chapa dobrada será abordada no item 5.3.
Além disso, na tabela 5.2 encontra-se a carga de ruína numérica, P R, utilizando
BF-M, resultado do estudo do presente trabalho, pelo programa FINLOC com o
auxílio do método das bandas finitas e da equação de MULLIGAN + WINTER ou
MULLIGAN + KALYANARAMAN para o cálculo do coeficiente de redução da
largura efetiva ρ ( ver item 3.6).
Nesta tabela (5.2), encontram-se dois valores de carga de ruína numérica
desprezados nas estatísticas, valores com o símbolo #, pela razão exposta a
seguir. Verificando-se as propriedades geométricas dos perfis CLC/2.1-120x60 e
CLC/2.2-120x60, tabela 5.1, pode-se considerá-los praticamente idênticos, porém
111
CLC/2.1-120x60 é um perfil contraventado. A análise dos valores de carga de
ruína experimental (Pexp) e numérica (PR) para esses dois perfis leva às seguintes
conclusões:
- o perfil sofreu distorção, uma vez que o valor de Pexp é bem menor para o perfil
sem contraventamento.
- é necessário desprezar o valor de PR para o perfil não contraventado, isto
porque o programa FINLOC com o método das bandas finitas não leva em conta a
distorção do conjunto aba/enrijecedor de bordo, ver item 2.4.4, obtendo um valor
de PR maior que o Pexp para o perfil não contraventado, embora ele tenha sofrido
distorção, como provam os resultados experimentais.
O mesmo raciocínio acima exposto pode ser feito para o caso dos perfis CLC/2.1180x90 e CLC/2.2-180x90, quando desprezou-se o valor de carga de ruína
numérico do perfil CLC/2.2-180x90.
Analisando-se os resultados comparativos desta tabela Pexp/PR chega-se a valores
levemente conservativos, mostrando uma boa relação entre eles.
Na tabela 5.3 tem-se a relação dos 24 perfis de seção tipo C ensaiados por
MULLIGAN[8]. Como nessa tabela incluíram-se os perfis que não tiveram suas
flechas máximas medidas, optou-se por adotar uma flecha máxima padrão para
todos os perfis, L/1000, onde L é o comprimento do perfil, sendo aqui adotado um
sinal (+ ou -) da flecha inicial mais desfavorável à frente do resultado numérico.
Conforme a tabela anterior, apresentam-se os resultados experimentais dos
ensaios de MULLIGAN[8] e a carga de ruína
numérica (BF-M), e também
incluem-se os resultados numéricos BF-E e BF-W (ver item 3.6).
Os perfis com valores de PR desprezados nas estatísticas, com o símbolo # à
frente do número, são os mesmos apresentados na tabela anterior e, pelas
mesmas razões, CLC/2.2-120x60 e CLC/2.2-180x90. Porém, encontra-se, nessa
tabela, um outro perfil (CLC/1-90x90) que teve seu resultado descartado, o
símbolo * está à frente do número. Todos os perfis foram considerados com
empenamento impedido, mas o perfil CLC/1-90x90 é um perfil quadrado e suas
112
características geométricas favorecem uma flambagem por flexo-torção. Como a
condição de apoio em torção é importante, isto é, empenamento impedido ou
empenamento livre nas extremidades, apesar do platô da máquina de ensaio ser
rígido, a flambagem local nas extremidades do perfil pode deteriorar a condição de
apoio de empenamento impedido e a real condição de apoio pode ser
intermediária entre empenamento livre e impedido.
Na comparação dos resultados obtidos, tem-se valores conservativos, porém, de
bom acordo com os resultados experimentais, e observa-se também que os
resultados com o método das bandas finitas com MULLIGAN (BF-M) dão os
melhores resultados, menos conservativo que os outros, mas ainda conservativo.
Na tabela 5.4, faz-se uma comparação dos resultados experimentais de
MULLIGAN[43], os resultados com o método das bandas finitas (BF-M) e os
resultados obtidos por ESTRELLA[20], Eurocode, AISI-90 e AISI 90*. Os
resultados de ESTRELLA[20] foram obtidos com o programa FINLOC sem o
emprego do método das bandas finitas e aqui encontram-se seus resultados
baseados no EUROCODE (EURO) e no AISI-90, ambos sem levar em conta a
eficácia do enrijecedor. ESTRELLA[20] introduziu a eficácia do enrijecedor
preconizada pelo AISI-90, com seus resultados aqui denominados AISI-90*.
Nessa tabela, adotaram-se as flechas máximas iguais a L/1000 e o sinal à frente
dos resultados significa o sentido desfavorável das mesmas. Os valores
desprezados nesta tabela são para os mesmos perfis da tabela 5.3 e pelos
mesmos motivos.
Nesta tabela, pode-se notar, novamente, resultados conservadores e bem
próximos entre si. O AISI-90* leva a melhores resultados quando há distorção,
mas, na média, não apresenta diferença apreciável.
114
PERFIL
bp1/t x bp2/t
CLC/2.1-120X60
CLC/2.2-120X60
CLC/2.3-120X60
CLC/2.4-120X60
CLC/4-120X60
CLC/5-120X60
CLC/2-180X60
CLC/2.1-180X60
CLC/2.2-180X60
CLC/4-180X60
CLC/2.1-180X90
CLC/2.2-180X90
Flechas Máximas (mm)
dyL
1,0662
0,3048
0,9652
1,1430
1,6005
1,1430
0,9664
1,7278
0,8631
1,9051
1,8050
0,3567
Pexp
BF-M
(kN)
45,8
38,9
30,0
55,2
37,4
52,5
38,9
46,3
44,5
48,0
55,6
38,9
PR (kN)
40,5
40,9
25,9
46,7
34,9
44,6
33,9
40,2
40,8
38,3
47,0
49,4
dzL
0,5084
0,4322
0,5850
0,5340
0,2787
0,1518
0,4071
0,5331
0,1778
0,5844
0,7366
0,4325
Média
Desvio Padrão
Coef. de Variação (%)
Pexp/PR
1,13
0,95#
1,16
1,18
1,07
1,18
1,15
1,15
1,09
1,25
1,18
0,79#
1,15
0,05
4,38
Notas:
- Em negrito – extremidade contraventada.
- CLC/2 – Carga concentrada.
- CLC/2.1 – Carga excêntrica.
- Ruína limitada pelo começo da plastificação ou em regime elástico.
- # - Resultado desprezado – o MBF não leva em conta a distorção do conjunto
aba/enrijecedor
Tabela 5.2 – Resultado das colunas com deformações iniciais medidas.
115
35,6
Pr (kN)
BF-E BF-M BF-W
30,2+ 30,8- 28,9+
CLC/1-120X60
CLC/2-120X60
CLC/2.1-120X60
CLC/2.2-120X60
CLC/2.3-120X60
CLC/2.4-120X60
CLC/3-120X60
CLC/4-120X60
CLC/5-120X60
43,6
46,3
45,8
38,9
30,0
55,2
36,5
37,4
52,5
38,9+
38,1+
36,137,625,4+
43,632,9+
33,2+
43,7+
39,1+
38,4+
37,238,825,7+
45,533,3+
33,3+
43,5+
CLC/1-180X60
CLC/2-180X60
CLC/2.1-180X60
CLC/2.2-180X60
CLC/3-180X60
CLC/4-180X60
42,7
38,9
46,3
44,5
33,8
48,0
34,3+
32,1+
37,938,128,3+
37,7+
CLC/1-90X90
48,9
54,7-
CLC/1-180X90
CLC/2-180X90
CLC/2.1-180X90
CLC/2.2-180X90
CLC/3-180X90
54,7
53,8
55,6
38,9
52,5
PERFIL
bp1/t x bp2/t
CLC/1.1-120X30
Pexp
(kN)
BF-E
1,18
Pexp/Pr
BF-M
1,16
BF-W
1,24
39,2+
38,3+
35,636,425,7+
41,332,5+
32,9+
43,5+
1,12
1,22
1,24
1,03#
1,18
1,27
1,11
1,13
1,20
1,12
1,21
1,23
1,00#
1,17
1,22
1,10
1,12
1,21
1,08
1,16
1,20
1,07#
1,16
1,29
1,05
1,12
1,17
34,5+
32,2+
39,540,328,8+
37,9+
34,7+
31,9+
35,236,528,3+
37,6+
1,24
1,21
1,22
1,17
1,19
1,27
1,24
1,21
1,17
1,10
1,17
1,27
1,18
1,15
1,30
1,20
1,15
1,25
56,7+
53,5-
0,89*
0,86*
0,91*
45,2+ 45,3+ 45,2+
46,7+ 46,7+ 46,8+
44,746,342,946,748,844,245,9+ 46,0+ 45,9+
Média
Desvio Padrão
Coef. de Variação (%)
1.21
1,15
1,24
0,83#
1,14
1,20
0,05
4,11
1,21
1,15
1,20
0,80#
1,14
1,18
0,05
4,07
1,18
1,12
1,31
0,88#
1,14
1,21
0,07
5.43
Notas:
- Em negrito – extremidade contraventada.
- CLC/2 – Carga concentrada.
- CLC/2.1 – Carga excêntrica.
- Ruína limitada pelo começo da plastificação ou em regime elástico.
- (xx,x+) – Deformada inicial desfavorável no sentido positivo de y (coord. local).
- (xx,x -) – Deformada inicial desfavorável no sentido negativo de y (coord. local).
- Deformada inicial igual a L/1000 no sentido desfavorável de y e z.
- # - Resultado desprezado – o MBF não leva em conta a distorção do conjunto
aba/enrijecedor
- * - Perfil quadrado – condição de apoio quanto à torção é duvidosa.
Tabela 5.3 – Resultado comparativo entre os métodos utilizados.
116
PERFIL
bp1/t x bp2/t
Pexp
(kN)
Pr (kN)
Pexp / Pr
EURO
AISI-90
AISI-90*
BF-M
EURO
AISI-90
AISI-90*
BF-M
CLC/1.1-120X30
35,6
39,2-
37,8-
29,4-
30,8-
#0,91
#0,94
1,21
1,16
CLC/1-120X60
43,6
39,8+
39,0+
38,9+
39,5+
1,10
1,12
1,12
1,12
CLC/2-120X60
46,3
37,9+
37,4+
37,4+
38,4+
1,22
1,24
1,24
1,21
CLC/2.1-120X60
45,8
40,6-
39,2-
31,4-
37,2-
1,13
1,17
$1,46
1,23
CLC/2.2-120X60
38,9
41,8-
41,9-
34,0-
38,8-
#0,93
#0,93
1,15
1,00#
CLC/2.3-120X60
30,0
26,9+
26,7+
26,7+
25,7+
1,12
1,12
1,12
1,17
CLC/2.4-120X60
55,2
48,7+
47,8+
42,4-
45,5+
1,13
1,15
$1,30
1,21
CLC/3-120X60
36,5
32,1+
31,6+
31,6+
33,3+
1,14
1,15
1,15
1,10
CLC/4-120X60
37,4
32,1+
31,4+
31,4+
33,3+
1,16
1,19
1,19
1,12
CLC/5-120X60
52,5
43,8+
42,6+
42,6+
43,5+
1,20
1,23
1,23
1,21
CLC/1-180X60
42,7
36,2+
35,5+
35,5+
34,5+
1,18
1,20
1,20
1,24
CLC/2-180X60
38,9
33,5+
32,7+
32,7+
32,2+
1,16
1,19
1,19
1,21
CLC/2.1-180X60
46,3
51,3+
48,3-
37,2-
39,5-
0,90
0,84
$1,24
1,17
CLC/2.2-180X60
44,5
50,4+
48,2+
44,7-
40,3-
#0,80
#0,80
0,99
1,10
CLC/3-180X60
33,8
28,9+
28,7+
28,7+
28,8+
1,17
1,18
1,18
1,17
CLC/4-180X60
48,0
38,8+
38,5+
38,5+
37,9+
1,24
1,25
1,25
1,27
CLC/1-90X90
48,9
46,8+
47,4+
44,3-
56,7+
1,03
1,03
1,10
0,86*
CLC/1-180X90
54,7
46,8+
44,7+
44,7+
45,3+
1,17
1,22
1,22
1,21
CLC/2-180X90
53,8
46,7+
44,8+
44,7+
46,7+
1,15
1,20
1,20
1,15
CLC/2.1-180X90
55,6
55,6-
51,8-
38,9-
46,3-
1,00
1,07
$1,43
1,20
CLC/2.2-180X90
38,9
60,1-
55,1-
39,2-
48,8-
#0,65
#0,71
0,99
0,80#
CLC/3-180X90
52,5
46,4+
44,2
44,2+
46,0+
1,13
1,19
1,19
1,14
Média
1,13
1,15
1,16
1,18
Desvio Padrão
0,08
0,10
0,07
0,05
Coef. de Variação (%)
7,14
8,32
6,36
4,06
Notas:
- Em negrito – extremidade contraventada.
- CLC/2 – Carga concentrada.
- CLC/2.1 – Carga excêntrica.
- Ruína limitada pelo começo da plastificação ou em regime elástico.
- (xx,x+) – Deformada inicial desfavorável no sentido positivo de y (coord. local).
- (xx,x -) – Deformada inicial desfavorável no sentido negativo de y (coord. local).
- Deformada inicial igual a L/1000 no sentido desfavorável de y e z.
- # - Resultado desprezado – o MBF não leva em conta a distorção do conjunto
aba/enrijecedor
- * - Perfil quadrado – condição de apoio quanto à torção é duvidosa.
Tabela 5.4 – Resultados das colunas longas.
117
A seguir, apresentam-se alguns gráficos do tipo carga x deslocamento lateral
do nó 3 no sentido do eixo y, figuras 5.3 a 5.9.
Na figura 5.3 tem-se o gráfico do perfil CLC/1 – 120x60, que é um perfil submetido a
um carregamento centrado, sem contraventamento. Nesse gráfico representou-se o
resultado experimental obtido por MULLIGAN[43], os resultados referentes a esta
tese com auxílio do método das bandas finitas com as equações do EUROCODE[21]
(BF-E), MULLIGAN[43] (BF-M) e WINTER[74]. Os resultados referentes a BF-E e
BF-M apresentam um perfil mais rígido no início do carregamento, em relação a BFW. Porém, a carga de ruína do perfil pelos três métodos são muito próximas.
Embora o comportamento no gráfico carga x deslocamento apresente diferenças,
esse perfil tem uma boa concordância quanto às cargas de ruína teórica e
experimental, sua relação Pexp/Pr não ultrapassa 1,12, conforme tabela 5.3.
A figura 5.4 é uma representação do perfil CLC-2.1-120x60, com carga
excêntrica e contraventado. Nesse gráfico, encontra-se, além da representação do
resultado experimental[43] e dos resultados desta tese pelo método da banda finita,
alguns resultados obtidos por ESTRELLA[20], que utilizou o programa FINLOC sem
o método das bandas finitas, isto é, considerando o perfil como um conjunto de
placas isoladas. Tem-se a representação dos resultados de ESTRELLA[20]
considerando as formulações de largura efetiva do EUROCODE[21] e do AISI-90[1].
Observam-se, nesse gráfico, que a partir de um certo nível de carregamento, os
resultados desta tese, BF-E, BF-M, BF-W, estão entre os resultados obtidos por
ESTRELLA[20], EUROCODE[21] e AISI-90*[1]. Tem-se, para esse perfil um
comportamento, até um certo nível de carregamento, muito próximo entre o
resultado experimental e os resultados com o método das bandas finitas. Embora o
resultado da carga de ruína numérico seja mais conservador que o exemplo anterior,
Pexp/Pr = 1,24 (para BF-E).
O perfil CLC/2.2-120x60 tem seu comportamento representado na figura 5.5,
é um perfil com carregamento excêntrico, com características geométricas
semelhantes ao perfil CLC/2.1-120x60, entretanto, sem contraventamento. Ambos
os perfis CLC/2.1–120x60 e CLC/2.2 –120 x 60 têm excentricidades positivas,
yp=13,61 e yp=13,56, respectivamente (ver tabela 5.1). Nesse gráfico encontra-se
representado o resultado experimental[43], os resultados com o método das bandas
118
finitas e os resultados de ESTRELLA[20]. Tem-se, para esse perfil, um bom acordo
entre os resultados numéricos e experimentais no início do carregamento, porém,
para cargas maiores, eles começam a divergir, obtendo-se resultados não
conservativos. Os resultados com o método das bandas finitas foram desprezados
nas estatísticas, tabela 5.3, visto que a comparação entre os resultados
experimentais dos perfis CLC/2.1-120x60 e CLC/2.2-120x60 comprova uma
distorção no caso sem contraventamento e as análises numéricas representadas na
figura 5.5 não levaram em conta a distorção aba/enrijecedor, isto é, não foi
penalizado o enrijecedor de bordo do perfil C, com exceção do resultado numérico
com o AISI-90*, ESTRELLA[20], representado na figura 5.5 por uma linha tracejada.
O perfil CLC/2.3 –120 x 60, que tem a representação do seu comportamento
carga x deslocamento na figura 5.6, é um perfil contraventado e carregado
excentricamente. Esse perfil tem características geométricas similares aos perfis
CLC/2.1 –120 x 60 e CLC/2.2 –120 x 60, entretanto, sua excentricidade é negativa,
yp=-24,94mm, conforme tabela 5.1. Nesse gráfico pode-se observar o resultado
experimental[43], os resultados com o método da banda finita e os resultados de
ESTRELLA[20] com o EUROCODE[21] e o AISI-90[1]. Os comportamentos das
diversas curvas de análise numérica têm um bom acordo com a curva da análise
experimental, afastando-se desta somente a um nível de carregamento bem próximo
à ruína. Apesar disto, a carga de ruína numérica fica em torno de 15% (BF-E) menor
que seu valor experimental.
Na figura 5.7, tem-se o gráfico carga x deslocamento transversal relativo ao
perfil CLC/4-120 x60, que é um perfil sem contraventamento e com carga centrada.
A carga aplicada, inicialmente, no seu centro de gravidade, é a principal diferença
entre esse perfil e os perfis (120x60) apresentados anteriormente. Apresenta-se aqui
o comportamento experimental[73], os resultados numéricos com o método das
bandas finitas e os resultados de ESTRELLA[20]. Observa-se que os resultados
devidos a ESTRELLA[20] são mais conservativos e os resultados de carga de ruína
com bandas finitas ficam em torno de 12% menores que a carga de ruína
experimental.
119
O perfil CLC/5 – 120x60 tem seu gráfico carga x deslocamento representado
na figura 5.8, é contraventado e tem carregamento centrado. Esse perfil difere do
anterior, CLC/4 – 120x60, por seu comprimento maior, conforme a tabela 5.1. Nesse
gráfico, apresenta-se o resultado experimental[43], os resultados desta tese com
auxílio do método das bandas finitas e resultados de ESTRELLA[20]. Observa-se
que somente o ensaio experimental apresenta uma inversão no sentido do
deslocamento transversal. Inicialmente, tem-se deslocamentos negativos no eixo y
para, em seguida, apresentarem-se deslocamentos no sentido positivo do eixo y.
Os resultados com o método da banda finita com as formulações de largura efetiva
do EUROCODE[21] e MULLIGAN[43], BF-E e BF-M, se confundem para o perfil
estudado.
A figura 5.9 se refere ao último gráfico carga x deslocamento estudado,
representa
o
perfil
CLC/2-180x60,
perfil
com
carga
centrada
e
sem
contraventamento. Esse perfil tem dimensões bem diferentes dos anteriormente
estudados,
ver
tabela
5.1.
Novamente,
apresenta-se,
aqui,
o
resultado
experimental[8] e os resultados numéricos desta tese e de ESTRELLA[20]. Dois
resultados com o método das bandas finitas, BF-E e BF-M, têm resultados muito
próximos e se confundem neste gráfico. Uma característica dos resultados desta
tese é que, no início do carregamento, o perfil se comportou com maior rigidez,
diferente dos resultados de ESTRELLA[20], que considera o perfil composto por
placas isoladas.
120
CLC/1 - 120 x 60
45
BF-W
40
BF-M
35
BF-E
EXPERIMENTAL
30
P (kN)
25
20
Carga centrada
15
Sem contraventamento
10
5
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Desloc. Transv. (mm)
Figura 5.3 – Curvas de carga x deslocamento.
C L C - 2.1 - 120 x 60
50
EXPERIMENTAL
EUROCODE , ESTRELLA[6]
BF-E
45
AISI-90,ESTRELLA[6]
40
35
BF-M=BF-W
30
P (kN)
AISI-90*,ESTRELLA[6]
25
20
Contraventado
Carga excêntrica
15
10
5
0
-6
-5
-4
-3
Desloc. Transv. (mm)
-2
Figura 5.4 - Curvas de carga x deslocamento.
-1
0
121
C L C / 2.2 - 120 x 60
50
EUROCODE,
ESTRELLA[6]
BF-M
40
BF-E = BF-W
P (kN)
AISI-90*,
ESTRELLA[6]
Carga excêntrica
30
Sem contraventamento
20
EXPERIMENTAL
10
0
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Desloc. Transv. (mm)
Figura 5.5 - Curvas de carga x deslocamento.
C L C / 2.3 - 120 x 60
30
EXPERIMENTAL
AISI-90,
ESTRELLA[6]
25
BF-E
P (kN)
20
EUROCODE
ESTRELLA[6]
BF-M
15
Carga excêntrica
BF-W
Contraventado
10
5
0
0
2
4
6
8
Desloc. Transv. (mm)
Figura 5.6 - Curvas de carga x deslocamento.
10
122
C L C / 4 - 120 x 60
40
EXPERIMENTAL
BF-M
35
BF-E
30
EUROCODE,
ESTRELLA[6]
AISI-90,
ESTRELLA[6]
P (kN)
25
20
BF-W
Carga centrada
Sem contraventamento
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
Desloc. Transv. (mm)
Figura 5.7 - Curvas de carga x deslocamento.
CLC / 5 - 120 x 60
EXPERIMENTAL
50
BF-E = BF-M
40
BF-W
EUROCODE,
ESTRELLA[6]
P (kN)
30
AISI-90,
ESTRELLA[6]
20
Carga centrada
Contraventado
10
0
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
Desloc. Transv. (mm)
Figura 5.8 - Curvas de carga x deslocamento.
4.5
123
CLC / 2 - 180 x 60
40
EXPERIMENTAL
BF-W
35
BF-E = BF-M
30
AISI-90,
ESTRELLA[6]
P (kN)
25
EUROCODE,
ESTRELLA[6]
20
15
Carga centrada
10
Sem contraventamento
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Desloc. Transv. (mm)
Figura 5.9 - Curvas de carga x deslocamento.
A seguir, apresenta-se uma visualização do perfil CLC/1 - 90 x 90 na ruína
(figura 5.10), com larguras efetivas calculadas usando o método das bandas finitas e
deformada inicial de +L/1000. Esta ilustração em 3-D é feita com auxílio do pósprocessador gráfico POS-3D, desenvolvido pelo Grupo de Computação Gráfica Tec
Graf, na PUC-Rio e de propriedade da Petrobrás.
Observa-se, na figura deformada do perfil, regiões vazias (em branco) que
correspondem às partes flambadas das placas do perfil, isto devido ao método de
cálculo empregado, o método das larguras efetivas, descrito no capítulo 2 desta
tese. Neste método, considera-se que as partes flambadas da placa não contribuem
mais para sua rigidez, considerando-se somente as duas faixas extremas não
flambadas, be, a largura efetiva. As cores que aparecem no perfil representam o
nível de tensão em cada banda finita, variando da mais carregada, na cor azul, à
menos carregada, na cor vermelha. Tem-se, para este perfil CLC/1-90x90, devido a
sua geometria próxima do quadrado, uma flambagem por flexo-torção, a ser
observada na figura.
124
-80.25
-97.64
-115.0
-132.4
-149.8
-167.2
-184.6
-202.0
-219.4
-236.8
Figura 5.10 – Deformada do perfil CLC/1 – 90 x 90 na ruína para uma deformada
inicial de +L/1000, usando BF-M. Tensões em MPa.
125
Para uma melhor compressão da figura 5.10 é aconselhável o entendimento
da figura 5.2c (perfil C discretizado em 3D).
5.3 – A INFLUÊNCIA DA DEFORMADA INICIAL E DA EXCENTRICIDADE DA
CARGA, NO PERFIL DE CHAPA DOBRADA
No dimensionamento de seções de paredes finas, quando se utiliza o método
das larguras efetivas, o centro de gravidade da seções varia após a ocorrência da
flambagem local das paredes. Estuda-se, neste item, a influência da deformada
inicial, dy, na carga de ruína dos perfis de chapa dobrada levando-se em conta a
posição do ponto de aplicação da carga e o centro de gravidade efetivo da seção.
Na figura 5.11a representa-se um perfil C antes da flambagem local de suas placas,
seção plena, e após a ocorrência da flambagem, quando o centro de gravidade se
desloca porque somente partes desta seção são consideradas resistentes ao
carregamento. A figura 5.11b mostra um perfil discretizado em quatro elementos
finitos de viga espacial, onde o nó 3 sofre a flecha máxima e apresenta, neste caso,
uma deformada inicial no sentido negativo do eixo y.
126
Seção plena
Seção efetiva
z
C
z
C - centro de torção
G - centro de gravidade C
G P
y
G
P Ge
y
Ge - centro de gravidade
da seção efetiva
P - ponto de aplicação
da carga
p - carga de compressão
(a)
p
1
2
d3
3
4
X
Y
5
(b)
Figura 5.11 – (a) Deslocamento do centro de gravidade da seção efetiva após a
flambagem local.
(b) Perfil com deformada inicial negativa.
Flecha máxima no nó 3.
127
Segundo
o
EUROCODE[21],
deve-se
considerar,
para
efeito
de
dimensionamento de uma seção, seu centro de gravidade efetivo, para uma
compressão uniforme igual a fy.
Tem-se também uma orientação prática que considera como a direção
desfavorável da flecha inicial aquela que coincide com a direção de ype, sendo ype o
vetor PG e , onde Ge é o centro de gravidade efetivo para uma tensão uniforme igual
à tensão de escoamento fy e P, o ponto de aplicação da carga.
A fim de melhor compreender e ilustrar a orientação do EUROCODE [21]
quanto à direção desfavorável da deformada inicial, fez-se um estudo dos perfis
CLC/3-120x60 e CLC/2-180x60, variando-se os pontos de aplicação da carga e
estudando os resultados obtidos. Inicialmente, com ajuda do programa BANFIN
desenvolvido nesta tese, acha-se o centro de gravidade efetivo, Ge, para uma tensão
uniforme igual à tensão de escoamento, fy ,e faz-se variar yp, coordenada do ponto
de aplicação da carga em relação ao centro de gravidade da seção plena, G. No
programa BANFIN, optou-se por utilizar as fórmulas de WINTER (equação 2.22),
apropriada à ruína, e o multiplicador crítico λcr da distribuição de tensões está
relacionado ao conjunto das placas associadas do perfil, isto é, λcr é calculado com
auxílio do método das bandas finitas.
Em seguida, calcula-se, com ajuda do programa FINLOC, a tensão de ruína do perfil
para deformadas iniciais dy, positivas e negativas, com diferentes pontos de
aplicação da carga. A seguir é apresentado, detalhadamente, este estudo e seus
resultados.
ESTUDO DAS DEFORMADAS INICIAIS PARA O PERFIL CLC/3-120X60
yG = 26,2164 mm (coordenada em y do centro de gravidade da seção plena),
yGe = 30,2899 mm (coordenada em y do centro de gravidade da seção efetiva, para
uma tensão constante igual a fy),
L = 2999,74 mm (comprimento do perfil).
128
z
y (-)
p
yp (+)
G
Ge
y
4,07
Figura 5.12 – Posição de Ge para uma tensão constante igual a fy para o perfil
CLC/3-120x60.
yp
ype( ≡ PG e )
-2
+6,0735
+1
+3,0735
dy (L/1000)
Pr (kN)
+
30,35
-
38,21
+
-
+2
+2,0735
+
-
+3
+1,0735
+
-
+6
-1,9265
+
-
34,08
34,98
36,48
35,00
36,17
34,95
35,11
32,62
Tabela 5.5 – Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da
orientação do EUROCODE[21].
Na análise da tabela 5.5, observa-se que os pontos de aplicação da carga yp = +1,
+2 e +3 se situam entre o centro de gravidade da seção plena e o centro de
gravidade da seção efetiva, para uma tensão uniforme igual a fy. Para estes três
casos, somente para yp= +1 e yp= -2 a orientação prática prevalece, isto é, a direção
129
desfavorável da flecha inicial é a que coincide com a direção ype. Para yp = +2 e +3,
quando ype e dy têm o mesmo sentido, não se observa a pior tensão de ruína como
esperado. Sabe-se, porém, que esta orientação é apenas um parâmetro prático a
guiar os cálculos. O EUROCODE[21] considera, com razão, que adotar, para seções
de paredes finas, o centro de gravidade efetivo, leva a melhores resultados que a
consideração dos cálculos relacionados ao centro de gravidade pleno da seção sem
flambagem local. Porém, o programa FINLOC nos dá novos resultados com a seção
transversal variável no elemento finito, podendo-se obter o centro de gravidade
efetivo da seção no momento da ruína, isto é, não mais sob um carregamento
constante igual a fy e sim conforme o critério de ruína adotado, o perfil atinge a ruína
quando o ponto mais comprimido da seção está submetido a uma tensão igual a fy.
Baseando-se nestes critérios, apresenta-se uma nova tabela para o perfil CLC/3120x60 com o centro de gravidade efetivo variando com a direção da deformada
inicial e do ponto de aplicação da carga (excentricidade).
yp
GG e
ype( PG e )
dy(L/1000)
PR(kN)
BF-M
-2
+8,8697
+10,8697
+
30,35
+2,9362
+4,9362
-
38,21
+2,7377
+1,7377
+
34,08
-0,7147
-1,7147
-
34,98
+1,6496
-0,3504
+
36,48
-0,8680
-2,8680
-
35,00
-0,1582
-0,1582
+
36,17
-1,3696
-1,3696
-
34,95
-0,9782
-3,9782
+
35,11
-2,2424
-5,2424
-
32,62
+1
+2
+3
+6
Tabela 5.6 - Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da posição
de Ge na ruína.
130
A análise da tabela 5.6 mostra que, quando a deformada inicial tem o mesmo
sentido de yp, tem-se as menores cargas de ruína, representadas em negrito. Os
estudos obtidos com a utilização do FINLOC leva a bons resultados, embora
somente para yp=+1 não seja conclusivo, e vê-se que, quanto maior a excentricidade
efetiva ype, em módulo, menor é a carga de ruína.
A fim de confirmar estes resultados, empreenderam-se os mesmos estudos para o
perfil CLC/2-180x60.
ESTUDO DAS DEFORMADAS INICIAIS PARA O PERFIL CLC/2-180X60
yG = 21,75 mm (coordenada em y do centro de gravidade da seção plena),
yGe = 27,84 mm (coordenada em y do centro de gravidade da seção efetiva, para
uma tensão constante igual a fy),
L = 2339,85 mm (comprimento do perfil).
z
y (-)
p
yp (+)
G
Ge
6,09
y
Figura 5.13 – Posição de Ge para uma tensão constante igual a fy para o perfil
CLC/2-180x60.
131
yp
ype( ≡ PG e )
-3
+9,0889
+3
+9
dy (L/1000)
Pr (kN)
BF-M
+
29,42
-
32,97
+
35,83
-
32,55
+
32,47
-
31,29
+3,0889
-2,9111
Tabela 5.7 – Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da
orientação do EUROCODE[21].
Novamente, encontrou-se um ponto de aplicação da carga entre os centros de
gravidade que não obedece a orientação prática da direção desfavorável da flecha
inicial, para ype= +3,0889 a menor carga de ruína deveria ser o caso da deformada
inicial também positiva, o que não se verifica na tabela 5.7. Apresenta-se a seguir o
estudo do mesmo perfil, CLC/2-180x60, com o centro de gravidade efetivo no
momento da ruína obtido pelo programa FINLOC.
132
yp
GG e
ype( PG e )
dy(L/1000)
PR(kN)
BF-M
-3
+3
+9
-1,6748
+1,3252
+
-2,6969
+0,3031
-
-3,4942
-6,4942
+
-5,5303
-8,5303
-
-5,9363
-14,9363
+
-6,4030
-15,9363
-
29,42
32,97
35,83
32,55
32,47
31,29
Tabela 5.8 - Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da posição
de Ge na ruína.
Na tabela 5.8 comprova-se uma total concordância da orientação prática quando se
utiliza o centro de gravidade efetivo na ruína, com o carregamento variável real de
cálculo, e com sua posição variando conforme a deformada inicial.
Os estudos da influência da deformada inicial na carga de ruína de colunas de
paredes finas comprovam que o sentido desfavorável da flecha inicial pode ser tanto
o sentido negativo quanto o positivo, dependendo da excentricidade da carga em
relação ao centro de gravidade da seção efetiva a fy. Porém, desprezando-se a
flambagem local, sabe-se que o sentido desfavorável
da flecha inicial de uma
coluna de seção aberta é sempre o sentido negativo, isto é, com o lado aberto da
seção mais comprimido.
Na figura 5.14, apresenta-se um estudo da carga de ruína (Pr) em função do
ponto de aplicação da carga (yp) para o perfil CLC/3 – 120x60, com deformadas
iniciais nulas. De acordo com as orientações do EUROCODE[21], a maior carga de
ruína fica próxima ao centro de gravidade efetivo da seção, submetido a um
carregamento uniforme igual a fy e observa-se que o gráfico da figura 5.14 está em
bom acordo com esta aproximação.
133
Sabe-se, porém, que a maior carga de ruína será aquela que atuará sobre o seu
próprio centro de gravidade efetivo no instante do colapso, o que pode ser
pesquisado, por tentativas, com ajuda do programa FINLOC.
40
38
36
34
Pr(KN)
32
30
28
26
24
22
20
-10
-8
-6
-4
-2
0
yp(mm)
2
4
6
CGe = 4,0735
8
10
Figura 5.14 – Gráfico da carga de ruína x ponto de aplicação da carga, para o perfil
CLC/3-120x60.
Na figura 5.15a apresenta-se um gráfico de carga x deslocamento lateral do
nó 3 na direção do eixo y, utilizando-se o BF-M. Para o perfil dado na figura 5.15b,
fez-se variar o ponto de aplicação da carga yp e o sentido da deformada inicial (dy =
± L/1000), ambos sobre o eixo y. Observam-se então, os diferentes comportamentos
que o perfil pode experimentar com o mesmo yp, mas com deformadas iniciais
positivas ou negativas.
Por exemplo, na figura 5.15a, para o caso de uma carga aplicada no centro de
gravidade da seção plena, linhas vermelhas, quando a deformada inicial é positiva –
linha contínua – tem-se um deslocamento do nó 3 na direção positiva do eixo y,
134
porém, quando a deformada inicial é negativa – linha tracejada – o mesmo perfil,
deforma-se transversalmente na direção do sentido negativo do eixo y.
35
yp = 0
yp = +1
yp = - 1
yp = +1,5
30
yp = +1
25
yp = +1,5
P (KN)
20
yp = 0
15
yp = - 1
10
deformada inicial negativa
5
deformada inicial positiva
0
-6
-4
-2
0
2
4
desloc. em y (mm)
(a)
z
RI = t = 1
t
RI
100
C.G.
y
30
45
(b)
Figura 5.15 – Influência da deformada inicial no comportamento do perfil.
(a) Gráfico carga x deformação.
(b) Características geométricas do perfil.
6
135
CAPÍTULO 6
CONCLUSÃO
Como o objetivo desta tese é contribuir para o aprimoramento do cálculo das
estruturas de paredes finas, acredita-se tê-lo alcançado de maneira satisfatória e
original. O desenvolvimento e a introdução do método das bandas finitas, através do
programa BANFIN, no programa FINLOC, para uma representação mais próxima do
comportamento das placas que compõem a seção do perfil, foi um avanço nas
pesquisas que procuram retratar a interação entre os modos de instabilidade dos
perfis de chapas dobradas sujeitos à compressão.
O programa BANFIN permite uma análise abrangente do perfil de paredes finas,
levando em conta, além da interação entre as placas, também, a influência da
deformada inicial (devido aos processos de fabricação), bem como a excentricidade
do carregamento aplicado. Com essas variáveis, pode-se concluir o quanto o módulo
e a direção das deformadas iniciais podem ser importantes para o valor da carga de
ruína do perfil.
Sabe-se que, considerando apenas a instabilidade global do perfil, a deformada
inicial mais desfavorável será a que submete à maior compressão o lado aberto da
seção.
Porém,
fazendo
essa
análise
simultaneamente
com as possíveis
excentricidades de carga, a direção da deformada inicial mais desfavorável pode ser
positiva ou negativa, no eixo y.
Verificam-se que, as menores cargas de ruína ocorrem quando o vetor G.Ge tem a
mesma direção do vetor P.Ge , conforme as tabelas 5.6 e 5.8.
Com o programa desenvolvido, é possível conhecer o centro de gravidade
efetivo na ruína e, com isso, refinar as análises de deformada inicial x
excentricidade.
136
No estudo da melhor discretização da seção em bandas finitas fez-se uma
análise da variação do valor do multiplicador crítico da seção, λcr, em relação ao
número de bandas finitas por placa da seção transversal do perfil, com auxílio do
programa BANFIN. Utilizando-se os perfis ensaiados por MULLIGAN [43], e a
variação citada anteriormente, concluem-se que, a partir de duas bandas finitas por
placa, os valores de λcr não tem uma alteração significativa.
Foram apresentadas tabelas comparativas entre os métodos e as curvas
carga x deformação para diversos perfis.
Ao utilizar-se, no programa desenvolvido, as curvas de flambagem do
EUROCODE[21], BF-E, a curva de MULLIGAN + WINTER (equação 2.46 ), BF-M,
ou a equação de WINTER ( 2.21 ), BF-W, conclui-se que a equação 2.46 leva a
melhores resultados, conforme a tabela 5.3.
Nas curvas de carga x deslocamento, figuras 5.3 a 5.9, verificam-se uma
rigidez maior do início do carregamento, quando se utilizam o método das bandas
finitas, concluindo-se que a introdução da eficácia do enrijecedor de bordo no
programa desenvolvido poderá levar a melhores resultados.
As figuras 5.5 e 5.7 mostram as curvas carga x deslocamento de perfis que não
levaram contraventamento por ocasião dos ensaios, o que permite uma comparação
entre o Eurocode, segundo ESTRELLA [20], e o BF-M, uma vez que ambos não
levam em conta a eficácia do enrijecedor.
Desta observação, concluem-se que, não só para BF-M como para BF-E e BF-W,
tem-se um melhor comportamento com a utilização da banda finita, do que o caso do
Eurocode segundo [20] que não leva em conta a interação entre as paredes da
seção, tudo isso em relação a curva de carga x deslocamento experimental [43].
Os gráficos das figuras 3.12 a 3.15 reproduzem o comportamento de um perfil
com a variação dos parâmetros geométricos e as variações dos multiplicadores de
carga λC, para um perfil C em relação a esse mesmo perfil sem os enrijecedores de
bordo, ou seja para um perfil U, λU. Neste estudo, construíram-se gráficos para os
possíveis gradientes de tensão.
137
Na figura 3.12, caso do gradiente de tensão uniforme, tem-se que a partir de b3/b1
igual a aproximadamente 0,13 a seção é governada pela flambagem local sem
distorção. Além disso, para que não ocorra distorção, conforme a relação b2/b1
aumenta a largura b3 também deve aumentar.
Para o caso do gradiente de tensões +y, figura 3.13, não se observa o patamar do
gráfico anterior. E concluem-se que, as seções submetidas a esse gradiente de
tensões necessitam de uma largura maior da placa b3, para que não haja distorção.
Como exemplo, tem-se um perfil com b1=100mm, t=1mm, b2/b1 =1,0. Para que não
sofra distorção o perfil sob um gradiente de tensões constante precisa de b3 ≥
13mm, no entanto quando o perfil está submetido a um gradiente de tensão +y esse
mesmo perfil deve ter b3 ≥ 28mm.
Porém, como observado na figura 3.12, para que não ocorra distorção no gráfico da
figura 3.13, aumentando-se a relação b2/b1 também deve ser aumentada a largura
da placa b3.
A figura 3.14 mostra uma configuração diferente das anteriores. Neste caso
do perfil submetido a um gradiente de tensões –y tem-se que para qualquer relação
da geometria da seção, esse gradiente não sofre flambagem com distorção.
Da observação da figura 3.15 concluem-se que, essa seção submetida a um
gradiente de tensão +z, tem um comportamento diferente quanto a relação b2/b1, isto
é, para relações b2/b1 ≥ 0,6, quanto maior essa relação menor será a largura b3
exigida para que não haja distorção.
Como exemplo, tem-se um perfil com b1=100mm, t=1mm, b2/b1 =1,0. Para que não
sofra distorção o perfil sob um gradiente de tensões +z precisa de b3 ≥ 12mm, porém
para b2/b1 =0,3 esse mesmo perfil deverá ter b3 ≥ 15mm.
Nas figuras 3.16 e 3.17, fez-se um estudo de duas séries comerciais de perfis
dobrados, das quais retirou-se as seguintes conclusões:
-
quanto maior a relação b1/t, nos dois gráficos, maior a tendência da flambagem
local sem distorção;
138
-
para a série 75, figura 3.16, para 1a alma (t=1,52mm) e a 2a alma (t=1,90mm) a
flambagem local que governa é sem distorção;
-
para a série 127, figura 3.17, somente na última alma (t=3,42mm) prevalece a
flambagem local com distorção.
Apresentam-se aqui algumas sugestões para futuros trabalhos de pesquisa nesta
área:
-
a introdução da eficácia do enrijecedor de bordo no programa que leva em conta
a interação entre as paredes dos perfis;
-
estender o trabalho para perfis com enrijecedores intermediários de placa;
-
novos estudos de perfis com outras seções transversais;
-
pesquisas experimentais para outros tipos de perfil;
-
novos estudos no método das larguras efetivas visto que, o programa
desenvolvido permite testar outras formulações de larguras efetivas.
139
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