Aula-6
Oscilações
Plano de aula
• Movimento Harmônico Simples - MHS
• Movimento Harmônico Amortecido - MHA
• Movimento Harmônico Forçado - MHF
• Ressonância
• Exemplos: outros Pêndulos
Dinâmica do MHS
F=-kx
m
x
0
Força restauradora
F  kx
F  ma
Equação diferencial :
Dinâmica do MHS
d 2x
k
Resolvendo:
 x
2
dt
m
Definimos:
2
d x
2
  x
2
dt
k
2

m
Propomos a solução: x(t) = A cos(t+f)
Dinâmica do MHS
Posição:
x(t) = A cos(t + f)
Velocidade: v(t) = -A sin(t + f)
Aceleração: a(t) = -2A cos(t + f)
F=-kx
m
x
0
k

m
xMAX = A
vMAX = A
aMAX = 2A
Pêndulo Simples
• Torque - eixo de rotação z :
t = -mgd=-mgL sen mgL
(pequenos )
z
t = Ia,I = mL2
2
d

2
mgL  mL 2
dt
d 2
2




2
dt


L
g
L
m
 = 0 cos(t + f)
d
mg
Pêndulo Simples: Período

g
L
1
f 
2
Independente da MASSA
z
g
L
L
  2
g

L
m
d
mg
Energia Potencial Elástica
Força conservativa:
F   kx
Energia Potencial:
x
U ( x)  U (0)    (k ) xdx
0
Referência: U(x0 = 0) = 0
1 2
U ( x)  kx
2
Conservação da Energia
1 2 1 2
Energia Mecânica Total: E  mv  kx = Constante
2
2
1
1
1 2
2
2
E  m(0)  k ( A)  kA
2
2
2
Energia
Cinética
Energia
Potencial Elástica
energia
Extremos: x=A e x=-A
Energia Mecânica do OHS é
proporcional ao quadrado da Amplitude
No ponto de equilíbrio: x = 0
K
E
1
1
1 2
2
2
E  mv0  k (0)  mv0
2
2
2
-A
Energia do OHS no ponto de
equilibrio é totalmente cinética
0
U
A
posição
Conservação da Energia
1 2 1 2
mv  kx  E
2
2
Potenciais Quadráticos
Potencial de
Sistemas reais:
Expansão de Taylor em torno do
mínimo
Potencial APROXIMADAMENTE
quadrático.
U
U
x0
x
x
1 ´´
U ( x)  U ( xo )  U ( xo )(x  xo )  U ( x0 ) ( x  x0 ) 2  ...
2
xo  0 U ( xo )  0 U ´´ ( x0 )  k  cte
´
U ( x) 
1
k x2
2
Dissipação da Energia
F=-kx
m
v
F=-bv
x
0
Na prática sempre existe dissipação de energia :::
ATRITO
Baixas velocidades ::: resistência do fluido ~
proporcional à velocidade do objeto no fluido :::
F=-bv
Oscilador Harmônico
Simples Amortecido
Oscilador Harmônico Amortecido
F  kx  bv  ma
d 2x
dx
m 2  b  kx  0
dt
dt
Equação diferencial de 2º grau
Oscilador Harmônico Amortecido
d 2x
dx
2
2
b
k
:


;






x

0
0
0
2
m
m
dt
dt
x(t )  Ce
Propomos a solução:
dx
pt
 pCe  px
dt
;
d 2x
2
pt
2
 p Ce  p x
2
dt
p  p    0
2
pt
2
0
Oscilador Harmônico Amortecido
d 2x
dx

 o x  0
2
dt
dt
Equação diferencial de 2º grau
p  p    0
2
:  b
2
0
m
;  k
2
0
Equação diferencial de 2º grau
    4
2
p  
2
2
0

 
2

2
4
 02
m
Oscilador Harmônico Amortecido
Equação dinâmica:
F  kx  bv  ma
d 2x
dx
2
b
k
2
:


;



 0 x  0
0
2
m
m
dt
dt
Solução proposta:

p   
2
x(t )  Ce
2
4
 02
pt
Oscilador Harmônico Amortecido
x(t )  Ce
SE:
pt

 0
2
;

p   
2

2
4

2
0
Raiz de número negativo
Amortecimento subcrítico
Amortecimento Subcrítico
x(t )  Ce

p   
2

SE: 2  0
pt
;

2
4

2
0
2
2






2
2
p      0       1 0 
2
4 
2
4

p  

2
 i
i  1
  
2
0

2
4
Amortecimento Subcrítico
x(t )  Ce
x(t )  e

 t
2
pt
;

2
p    i ;   02 
2
4
( Aeit  Beit )
eit  cos(t )  isen(t )
x(t )  e

 t
2
A(cos(t )  i sen(t ))  B(cos(t )  i sen(t ))
Solução: Parte Real:
x(t )  Ce

 t
2
cos(t  f )
Amortecimento Subcrítico
x(t )  Ae

 t
2
cos(t  f)
  bm
02  k m

  
4
2
2
0
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm
Amortecimento Supercrítico
x(t )  Ae
SE:
x(t )  e
pt
;

 0
2


t
2
(Ae

p   
2
2
4

2
0
Raiz de número positivo
Amortecimento supercrítico
t
 Be
 t
)
; 
2
4
 02
Amortecimento Supercrítico
x(t )  e

 t
2
(Ae
t
 Be
 t
)


2
4

2
0
Amortecimento

 0
Subcrítico:
2

Supercrítico:
 0
2

 0
Crítico:
2
Oscilações Forçadas
 km
2
0
  bm
: Frequência natural do sistema
: Amortecimento do sistema
Força externa:
F (t )  F0 cos(extt )
Oscilações Forçadas
Força externa: F (t )  F0 cos(extt )
Sistema oscila com
a frequência da
força externa,
mesmo que esta
seja diferente da
frequência natural
do sistema.
Oscilações Forçadas
2
d x
F  m 2  kx  F0 cos(t )
dt
Propomos a solução:
Oscilações Forçadas
2
F0
d x
2
 0 x  cos (t )
2
dt
m
Solução:
x(t )  Acos(t  f)
Fo
 A cos (t  f )  A cos (t  f )  cos (t )
m
2
f 0
2
0
(  0 )
Em fase
f  
(  0 )
Fora de fase
com a FORÇA
F0
A
m 02   2
Oscilações Forçadas
BAIXAS FREQUÊNCIAS:   0
F
d x
 x 
cos(t )
2
dt
2
0
2
0
m
Fo
 A cos (t  f )  A cos (t  f ) 
cos (t )
m
2
2
0
x
f 0
(  0 )
Solução em fase
com a Força
F0
m
2
0
cos(t )
F0
A
2
2
m 0  
Oscilações Forçadas
ALTAS FREQUÊNCIAS:   0
F0
d 2x
2
 0 x 
cos(t )
2
dt
m
Fo
 A cos (t  f )  A cos (t  f ) 
cos (t )
m
2
2
0
x
f  
(  0 )
Solução fora de fase
com a Força
F0
m
2
cos(t )
F0
A
m 02   2
Oscilações Forçadas
2
d x
F  m 2  kx  F0 cos(t )
dt
Solução particular
SOLUÇÃO GERAL =
+
solução da eq. homogênea
B e f0 constantes - condições iniciais
Oscilações Forçadas
x(t ) 
(
F0
m  
2
0
2
)
cos(t )  B cos(0t  f0 )
condições iniciais
SE :
F0

x(0) 
 B cos(f0 )  0
F0
2
2
m 0  
 B   m( 2   2 )
0

v(0)  0 sen(f0 )  0  f0  0 
(
)
Oscilações Forçadas
 cos(0t )  cos(t )
F0
x(t )  


(0   ) 
m(0   ) 
Quando
Para
  o
:
  o :
F0
x(t ) 
tsen(0t )
2m0
Oscilações Forçadas
RESSONÂNCIA
  o
F0
x(t ) 
t sen(0t )
2m0
Oscilações forçadas amortecidas
F0
d 2x
dx
2

 0 x 
cos(t )
2
dt
dt
m
Propomos solução:
x(t )  A cos(t  f )
De maneira similar ,
para amortecimento fraco
podemos obter :
A () 
2
((
F02
m  
2
2
0
)
2 2
  2 2
)
  0
  

f ( )  arc tan 2
2 
 0   
Oscilações forçadas amortecidas
A 2 () 
((
F02
m  
2
RESSONÂNCIA
  o
A() máxima
2
0
)
2 2
  2 2
)
Ressonância
A 2 () 
((
F02
m  
2
2
0
)
2 2
  2 2
)
Ressonância
Desastre na Tacoma Narrows Bridge, 1940
Exemplos
Túnel Centro da Terra
Um túnel reto é construído
de Campinas ao outro lado
da Terra passando pelo
centro da Terra.
Um estudante de F228 pula
no túnel ao meio-dia.
A que horas ele retorna a
Campinas?
Túnel Centro da Terra
GmM R
FG (R )  
R2
FG
R
RT
MR
FG (R ) M R RT2
 2
FG (RT ) R M T
MR
MT
4 R 3
 3
4 RT3
3
FG (R ) R 3 RT2 R
 2 3 
FG (RT ) R RT RT
Túnel Centro da Terra
FG (R ) R

FG (RT ) RT
FG
R
RT
MR
Túnel Centro da Terra
mg
k 
RT
FG

R
k

m
g
RT
RT
MR
g = 9,81 m/s2
RT = 6,38 x 106 m
 = 0,00124 s-1
2
T=
= 5067 s

 84 min
Túnel Centro da Terra
O estudante
retorna à
Campinas
após 84 min,
as 13:24 h.
Túnel Centro da Terra
• O período de
oscilação não requer
que o túnel passe
pelo centro da terra.
• Qualquer túnel reto
dá o mesmo
resultado, desde que
não haja atrito e que
a densidade da terra
seja constante.
Prove!
Túnel Centro da Terra
• Um objeto em órbita
próximo à superfície da
Terra também tem
período idêntico ao do
túnel.
a = 2 RT = g

g
RT
Pêndulo Físico
• Calcular a freqüência de
oscilação para pequenos
deslocamentos de um
pêndulo que consiste de uma
barra de comprimento L e
massa m pendurada por uma
de suas extremidades.

x CM
mg
O Pêndulo Físico
Torque em relação ao eixo de rotação 0:
0
Para ângulos pequenos:

x CM
mg
O Pêndulo Físico
• Que comprimento deve ter um
pêndulo simples para ter o mesmo
período de um pêndulo físico?
LS
LR
O Pêndulo Físico
LS
g
S 
LS
S = R
LR
3g
R 
2LR
2
LS  LR
3
O Pêndulo Físico
Pêndulo físico de forma arbitrária
com massa M e centro de massa CM
pendurado em um eixo fixo 0
com momento de inércia I relativo ao eixo.
0
R

xCM
Torque para ângulos  pequenos:
d
Mg
O Pêndulo Físico
Um pêndulo consiste de um bambolê de diâmetro D e
massa m pendurado por um prego.
Calcular a frequência de oscilação do bambolê para
pequenos ângulos.
pivô / prego
I aroCM  MR
2
m
D
O Pêndulo Físico

mgR
I
Freqüência angular de
oscilação do bambolê para
pequenos deslocamentos
Teorema dos eixos paralelos:
CM
x R
Pêndulo de torção
Um objeto é suspenso por um
fio preso no seu CM. O sistema
tem um momento de inércia I em
torno do fio que serve de eixo de
rotação.
O fio torcido age como uma
mola gerando um torque que se
opõe à torção e pode ser
aproximado por:
t  k
fio

t
I
Pêndulo de torção
d
t  k  I 2
dt
2
fio

t
I
d 2
dt
2
  
2
k

I